Chu kỳ của chip firing game song song trên đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Mai Thu Huyền CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Mai Thu Huyền CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hoàng Thạch Hà Nội - 2019 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài: "Chu kỳ chip-firing game song song đồ thị" trình bày lại từ hai báo [3] [4] Các ví dụ số liệu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nếu khơng nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm đề tài Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Mai Thu Huyền Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Hồng Thạch, thầy hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập làm luận văn Thầy truyền cảm hứng giúp tơi hồn thiện thân nhiều sau q trình làm việc thầy Tơi xin gửi lòng cảm ơn tới tất thầy Viện Toán Học truyền đạt kiến thức chuyên sâu ý nghĩa việc học Toán hai năm học Tôi xin cảm ơn tới tất thầy cô anh chị Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm nhiều q trình học tập Cuối cùng, tơi xin gửi lời tri ân tới bố mẹ, người thân gia đình bạn bè ln ủng hộ, khích lệ động viên tinh thần suốt trình học tập để hồn thành tốt luận văn thạc sĩ Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Mai Thu Huyền Danh mục kí hiệu CF G Cn K n W n C(t) Cv(t) L fvi (t) Mơ hình chip-firing game Chu trình n đỉnh Đồ thị đầy đủ n đỉnh Đồ thị bánh xe n đỉnh Cấu hình chip thời điểm t Cấu hình chip đỉnh v thời điểm t Sk i Ma trận Laplace Vết đỉnh vi thời điểm t chu kỳ T Tập lớn kí tự Dk i Tập lớn kí tự Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 2.1 Một ví dụ đồ thị đơn Một ví dụ đa đồ thị Một ví dụ đồ thị có khuyên Một ví dụ đồ thị có hướng Một ví dụ đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) Một ví dụ chu trình: (a) C3, (b)C4, (c) C5 Một ví dụ đồ thi đầy đủ: (a) K4, (b) K5 Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2;3, (b) K3;3 Đồ thị bánh xe: (a) W3, (b) W4, (c) W5 Đồ thi liên thông Đồ thị không liên thông Cây Cấu hình ban đầu chip đồ thị 4 5 8 9 10 10 11 14 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 Bắn chip chu trình C3 Bắn chip đồ thị Đồ thị cho ma trận Laplace Cấu hình chip ban đầu chu trình C6 Cấu hình ban đầu chip đường 14 17 18 20 22 3.2 3.3 3.4 3.5 Cấu hình ban đầu chip đồ thị Cấu hình ban đầu chip chu trình Cây có chu kỳ T = Chu trình có chu kỳ T = 23 25 30 31 Danh sách bảng 2.1 Bắn chip chu trình C6 20 3.1 Bắn chip song song đường 22 3.2 CFG song song chu trình 25 3.3 CFG song song chu trình đỉnh 31 Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ 1.1 CÁCKHÁINIỆMCƠBẢN 1.2 MỘTSỐDẠNGĐỒTHỊVÀVÍDỤ 1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THƠNG 1.4 CÂY 10 CHIP-FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 2.1 MƠHÌNHCFGTRÊNĐỒTHỊ 2.2 TÍNHHỮUHẠNCỦACFG 2.3 CFGVÀMATRẬNLAPLACE 12 12 14 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 3.1 MÔ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 3.2 CHUKỲCỦACHIPSTRÊNCÂY A Mã nguồn CFG 21 21 24 33 B Mã nguồn CFG song song 35 MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, mơ hình Chip-firing game (CFG) thu hút nhiều nhà nghiên cứu, nhiều cơng trình công bố CFG trở thành phần quan trọng cấu trúc tổ hợp (structural combinatoric) Năm 1986, CFG mở đầu báo J Spencer viết "balancing game" Năm 1991, A Bjorner, L Lovasz, P W Shor xây dựng mô hình CFG cho đồ thị đơn, vơ hướng liên thơng, trình bày [3] Họ tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Năm 1992, J Bitar E Goles xây dựng mơ hình CFG song song chu kỳ cây,được trình bày [4] Trong khn khổ luận văn trình bày kết đồ thị hữu hạn, liên thông, đơn vô hướng Luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày số định nghĩa kết sử dụng chương chương Đó số khái niệm tính chất đồ thị Chương trình bày mơ hình CFG, tính hữu hạn CFG, mối liên hệ CFG ma trận Laplace Chương trình bày mơ hình CFG song song chu kỳ chip dạng đồ thị Phụ lục A trình bày mã nguồn tìm cấu hình kết thúc CFG, phụ lục B trình bày mã nguồn tìm cấu hình thời điểm CFG song song đồ thị Mã nguồn trình bày ngơn ngữ Python với thư viện xây dựng cho đồ thị networkx Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ Phần trình bày số kiến thức đồ thị tham khảo từ [1], [2] Đó kiến thức sở phần luận văn 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong phần trình bày số khái niệm sở đồ thị hữu hạn Định nghĩa 1.1 Một đồ thị (vô hướng) G = (V; E) xác định bởi: • tập hợp V khác rỗng gồm đỉnh, • tập hợp E gồm cạnh, cạnh có hai đầu hai đỉnh Định nghĩa 1.2 Nếu hai đỉnh có khơng q cạnh G gọi đồ thị đơn Khi E đồng với tập hợp cặp đỉnh không thứ tự Một cách tương đương, E đồng với ánh xạ từ V V vào f0; 1g cho với vi; vj V : ( có cạnh nối vi vj ; E(vi; vj) = E(vj; vi) = không 22 1; Cvi (t) deg(vi) đỉnh vi Hàm ngưỡng: fv (t) = (Cv (t) i i deg(vi)) = 0; ngược lại: Nhận xét Từ (3:1) ln tìm số chip đỉnh vi V thời điểm t hiểu sau: • Nếu Cvi deg(vi) đỉnh vi deg(vi) chip • Đỉnh vi nhận chip từ đỉnh kề Hình 3.1: Cấu hình ban đầu chip đường Ví dụ 3.2 Cho G = fv1; v2; v3; v4; v5g đường gồm đỉnh với cấu hình chip ban đầu C(0) = (0; 2; 1; 1; 1) (Hình 3.1) Thực bắn chip song song bảng 3.1 sau chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 C 1 v1 C 2 v2 C v3 2 C v4 2 C v5 1 Bảng 3.1: Bắn chip song song đường Ví dụ 3.3 Cho đồ thị có cấu hình ban đầu Hình 3.2 với cấu hình ban đầu C(0) = (3; 4; 2; 1; 2) Thực trình bắn chip song song đồ thị, với lần bắn cho đỉnh ta thu đầu sau: 23 Hình 3.2: Cấu hình ban đầu chip đồ thị The start configure: ,! {'v1':3,'v2':4,'v3':2,'v4':1,'v5':2} At time t = ***The configure: ,! {'v1':2,'v2':2,'v3':1,'v4':3,'v5':4} At time t = ***The configure: ,! {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,! {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,! {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,! {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,! {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} At time t = ***The configure: ,! {'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1} At time t = ***The configure: ,! {'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3} Từ định lý 2.7, thấy trò chơi vô hạn Theo định nghĩa chu kỳ, chọn t0 = chu kỳ CFG song song T = 24 3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY Định nghĩa 3.4 Giả sử trạng thái ổn định xích giới hạn (C(0); :::; C(T 1)) với chu kỳ T a) Vòng lặp địa phương định nghĩa bởi: 8vi V : C = (Cvi (0); Cvi (1); :::; Cvi (T vi 1)) N f = (fvi (0); fvi (1); :::; fvi (T 1)) f0; 1g T vi T đó, fvi (t) = (Cvi (t) deg(vi)) gọi vết đỉnh vi vòng lặp địa phương b) Giá fvi tập hợp tất thời điểm mà đỉnh vi bắn chu kỳ T , định nghĩa bởi: supp(fvi ) = ft [0; T 1] : fvi (t) = 1g Ta phân hoạch supp(fvi ) thành pi khoảng rời viết lại sau: k[ supp(fvi ) = pi (3.2) i =1 Sk i đó, Sk tập lớn [0; T 1] kí tự định i nghĩa sau: Sk = [t; t + q] cho fvi (t + s) = 1; s = 0; :::; q fvi (t 1) = fvi (t + q + 1) = 0: Ví dụ 3.5 Cho đồ thị chu trình Hình 3.3 có cấu hình chip ban đầu C(0) = f0; 2; 1; 1; 0; 2g Thực bắn chip song song bảng 3.2, tìm chu kỳ CFG T = fv1 = (010001) 1 [ k S1 = f1g; S2 = f5g; supp(fv1 ) = Sk1 =1 Bổ đề 3.6 Cho G = (V; E) đồ thị đơn, liên thơng vơ hướng với cấu hình ban đầu chip C(0) thực CFG song song G Khi đó, 25 Hình 3.3: Cấu hình ban đầu chip chu trình chips t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 C C v1 1 2 1 v2 C v3 2 1 C v4 1 2 C v5 1 2 C v6 1 2 Bảng 3.2: CFG song song chu trình a) Nếu f f ~ vk ~ ~ = ) fvi = 0; 8vi V ~ = ) fvi = 1; 8vi V hai trường hợp này, vòng lặp địa phương điểm cố định, tức chu kỳ vết T = 1: vk b) Cho [s k; s] supp(fvi ) tập lớn kí tự 1, 9vj N (vi) cho [s k 1; s 1] supp(fvj ): c c) Cho [s k; s] (supp(fvi )) , 9vj N (vi) cho c [s k 1; s 1] (supp(fvi )) : 26 Chứng minh ~ = 0, chứng minh a) Ta chứng minh cho trường hợp fvk ~ tương tự fvk = Giả sử fvk = Từ (3:1) ta có: ~ X Cvk (t + 1) = Cvk (t) deg(vk)fvk (t) + X = Cvk (t) + Cvk (t) fvi (t) vi2N (vk) fvi (t) vi2N (vk) Suy ra, Cvk (T 1) Cvk (T 2) ::: Cvk (0) = Cvk (T ) Cvk (T 1): Vì vậy, Cvk = (ak; :::; ak) ; ak (3.3) deg(vk) Giả sử phản chứng 9vi N (vk) thời điểm t [0; T 1] cho X fvi (t ) = Ta có: 0 fvi (t ) Cvk (t + 1) = Cvk (t ) + vi2N (vk) Cvk (t ) + > Cvk (t ) Điều mâu thuẫn với (3.3), suy fvi = 0; 8vi N (vk) T = ~ Vì G đồ thị hữu hạn, nên khẳng định cho 8vi V: b) Từ (3.1) ta có: X Cvi (s) = Cvi (s 1) deg(vi)fvi (s 1) + fvj (s 1) vj 2N (vi) = Cvi (s + 2) deg(vi) [fvi (s X vj 2N (vi) ::: fvj (s 1) + fvj (s 2) 1) + fvi (s 2)] 27 k XX = Cvi (s f (s k) k: deg(vi) + t): vj vj 2N (vi) t=1 Do [s k; s] tập lớn fvi , theo định nghĩa ta có: 1: f (s k 1) = ) Cvi (s k 1) deg(vi) vi Và k+1 Cvi (s) = Cvi (s k XX 1) f (s k: deg(vi) + t): vj vj 2N (vi) t=1 Vì vậy, k+1 Cvi (s) deg(vi) XX f (s k: deg(vi) + vj t): vj 2N (vi) t=1 Giả sử phản chứng với đỉnh kề vj vi cho [s k 1; s 1; s 1] cho f (t ) = 0: supp(fvj ), tức v v (v ); t [s k j Ta có: 8j2N i 9j2 1] * j k+1 XX f (s vj t) k: deg(vi) ) Cvi (s) deg(vi) vj 2N (vi) t=1 Vì vậy, fvi (s) = 0, mâu thuẫn với giả thiết [s c) Giả sử phản chứng 8vj N (vi); 9tj [s k; s] supp(fvi ): k 1; s 1] cho fvj (tj ) = 1: Suy ra, tập [s k; s] đỉnh vi nhận deg(vi) chip Suy ra, 9t [s k; s] cho Cvi (t) deg(vi), mâu thuẫn với giả thiết Định nghĩa 3.7 Cho xích giới hạn phân hoạch giá (3.2), ta định nghĩa số lớn kí tự liên tiếp fvi : i M = max max Sk v 2V k p i i 28 Tương tự, ta định nghĩa phân hoạch tập lớn kí tự q c k i [ (supp(fvi )) = Dki; vi V =1 i Dk tập lớn gồm kí tự liên tiếp vector vết fvi Ta định nghĩa: N = max max Dk i vi2V k qi Rõ ràng, M; N T Nếu M = M = T tương ứng với điểm cố định Bổ đề 3:6 Trong trường hợp đồ thị cây, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.8 Cho G = (V; E) (C(0); C(1); :::; C(T 1)) xích giới hạn CFG song song Khi đó, 0= G.degree[node]: new_chips[node] = chips[node] - G.degree[node] + ,! num_adj_firing(node) else: new_chips[node] = chips[node] + ,! num_adj_firing(node) chips = new_chips print("***The configure: ", chips) ... MƠHÌNHCFGTRÊNĐỒTHỊ 2.2 TÍNHHỮUHẠNCỦACFG 2.3 CFGVÀMATRẬNLAPLACE 12 12 14 17 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 3.1 MƠ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 3.2 CHUKỲCỦACHIPSTRÊNCÂY... THỨC CHU N BỊ VỀ ĐỒ THỊ 1.1 CÁCKHÁINIỆMCƠBẢN 1.2 MỘTSỐDẠNGĐỒTHỊVÀVÍDỤ 1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THƠNG 1.4 CÂY 10 CHIP- FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 2.1 MƠHÌNHCFGTRÊNĐỒTHỊ... đỉnh không kề tạo đồ thị có chu trình đơn 12 Chương CHIP- FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ Chương trình bày số khái niệm, kết tính hữu hạn tính chất ma trận Laplace chip- firing game đồ thị đơn, liên thông