(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần

(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 ✶ ▼ö❝ ❧ö❝ ❚r❛♥❣ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✷ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ợ t ữỡ ữỡ tố t t ởt số ỵ tự ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸✳ ✶✳✹✳ ✶✳✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ trà ❦➻ ❞à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✷✳ ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✈➔ ❙❱❉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✶✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✶✳✸✳✷✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ữỡ tố t t ỗ q ✤ì♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ q t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ t ữợ sỹ ữợ t t➻♥❤ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❖❛♥❤✳ ❈æ ✤➣ ❞➔♥❤ tớ ữợ t ❝õ❛ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝ỉ✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✈➲ ❝æ♥❣ ❧❛♦ ❞↕② ❞é tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ tỉ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❚❍P❚ ◗✉➳ ❱ã sè ✶✱ t➟♣ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ tê ❚♦→♥✲❚✐♥ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❝ê ✈ơ ✤➸ tỉ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔②✳✳✳t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❍å❝ ✈✐➯♥ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ❍÷í♥❣ ✸ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✭❚♦t❛❧ st sqr ữủ ợ t ▲♦❛♥ ✳✳✳✳♥❤÷ ♠ët ❦ÿ t❤✉➟t ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ✧q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✧ ✭♦✈❡r❞❡t❡r♠✐♥❡❞ s②st❡♠✮✱ tù❝ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➺ ❝â sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥ ❝â ❞↕♥❣ A ∈ Rm×n t ợ B Rmìd m > n trữợ AX B X Rnìd ợ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝❤÷❛ ❜✐➳t✱ ✤❛♥❣ ❝➛♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ X ❝❤♦ ①➜♣ ①➾ ✤❛♥❣ t➻♠✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ sü tê♥❣ q✉→t q✉→ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✭▲❡❛st sq✉❛r❡ ✲▲❙✮ ❦❤✐ ❝↔ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ B ✤➲✉ ❜à ♥❤✐➵✉✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ởt tt q ữợ ữủ t số t t t ữợ ữủ t số t✉②➳♥ t✐♥❤ ✤➣ ❞➝♥ tỵ✐ ♠ët ❧ỵ♣ rë♥❣ r➣✐ ❝→❝ ỹ ữ ỷ ỵ t ❦❤✐➸♥ tü ✤ë♥❣✱✳ ✳ ✳ ✱ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr tt tố t ỵ t s✐♥❤ ❤å❝✱✳ ✳ ✳ ✳ ◆â ✤÷đ❝ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ s❛✉ α1 x1 + · · · + αn xn = β tr♦♥❣ ✤â α1 , , αn ✈➔ β ❧➔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✈➔ x = [x1 , , xn ]T ∈ Rn ✭✵✳✶✮ ❧➔ ✈➨❝ tì t❤❛♠ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ✭✵✳✶✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ tø ❞ú ❦✐➺♥ ✤♦ ✤÷đ❝ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥✱ t ởt ữợ ữủ t số ữ ❜✐➳t t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤ ✤ó♥❣ ♥❤➜t✳ ●å✐ A ∈ Rm×n αi , i = 1, , n ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝â ❤➔♥❣ t❤ù ✈➔ ✈➨❝ tì b ∈ Rm ❝❤ù❛ β Ax = b i t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤ù❛ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❤➺ ✭✵✳✷✮ ỗ m ữỡ tr n ợ t t ữỡ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t❤➻ ♠❛ tr➟♥ A ❝õ❛ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ✤♦ αi ✭✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✵✳✷✮✮ ✤÷đ❝ ❣✐↔ sû ❧➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ❦❤æ♥❣ ❝â s❛✐ sè✳ ❉♦ ✤â✱ ❝→❝ s❛✐ sè ✤➲✉ ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❜ð✐ ✈➨❝ tì q✉❛♥ s→t b ✭tù❝ ❧➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✵✳✷✮✮✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ♥➔② ❦❤æ♥❣ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t❤ü❝ t➳ ❜ð✐ t➜t ❝→❝ ❝→❝ s❛✐ sè ❝õ❛ ♠æ ❤➻♥❤✱ s❛✐ sè ✤♦ ✤↕❝ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❜ð✐ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✳ ❚✐➳♣ ❝➟♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t ỵ tỹ t ỡ t s❛✐ sè ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❝↔ ð ✈➨❝ tì q✉❛♥ s→t b ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❞ú ❧✐➺✉ A ✣➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ t➼♥❤ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t t s ợ ữỡ ữỡ tố t❤✐➸✉✱ t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ♠ët ✈➼ ❞ư tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❛ ❝â ♠ët t❤❛♠ sè✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ n = 1✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✵✳✶✮ trð t❤➔♥❤ αx = β ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ tø x✳ sè ✭✵✳✸✮ m ✤♦ ✤↕❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ α ✈➔ β ✱ t❛ ữợ ữủ t s ✈ỵ✐ A = [a1 , , am ]T ✈➔ b = [b1 , , bm ]T tr♦♥❣ ✤â ✈ỵ✐ ∆ai , ∆bi ❜✐➳♥ = a0i + ∆ai , ✭✵✳✹✮ bi = b0i + ∆bi , i = 1, , m, ✭✵✳✺✮ ❧➔ ❝→❝ s❛✐ sè ❝ë♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ ①→❝ a0i , b0i ❝õ❛ ❝→❝ α, β ◆➳✉ α ❧➔ ✤♦ ✤÷đ❝ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ tù❝ ❧➔ ❦❤✐ ✤♦ β ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ b✳ ∆ai = 0✱ ❦❤✐ ✤â s❛✐ sè ❝❤➾ ①↔② r❛ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✵✳✷✮✱ tù❝ ❧➔ t❛ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❝→❝ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝â ❞↕♥❣ m (bi − x)2 i=1 ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ tê♥❣ tr➯♥ t❤➻ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤❛② ✺ ÷ỵ❝ ❧÷đ♥❣ x ❝õ❛ x ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ x = ◆➳✉ β ❦❤æ♥❣ ❝â s❛✐ sè✱ tù❝ ❧➔ n i=1 bi n i=1 ∆bi = t t ữỡ tr ữợ = α x ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ t t ữủ ữợ ữủ tốt t x = x ♥❤÷ s❛✉ n i=1 bi n i=1 bi ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤÷đ❝ ✤♦ ❧✉æ♥ ❝â s❛✐ sè✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈➔ ∆bi = ∆ai = ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ t❛ ❝➛♥ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❜➔✐ t♦→♥ ữỡ ỵ tỹ t ❤ì♥✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ợ t ữỡ ữỡ tố t t ♣❤➛♥ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷✿ P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ trà ❦➻ ❞à✱ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t✱ ♥❣❤✐➺♠ ữỡ tố t t ỵ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥✱✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ự ỗ q ỡ t t ỗ q ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ư sè ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ữỡ ợ t ữỡ ữỡ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ởt số tự q tợ ữỡ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✈➔ ❝â ♠✐♥❤ ❤å❛ ♠ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥â✐ tr➯♥✳ ✶✳✶✳ ▼ët số ỵ tự ỡ tr tr R(S) tữỡ ự Rr (S)✮ ❝→❝ ❤➔♥❣✮ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❧➔ ♥❤➙♥ ❝õ❛ A S N (S) ỵ ổ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ S✳ ▼❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ aij = AT ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ởt tữỡ ự A ù mìn A = (1 , ã ã ã , p ), ợ ữỡ ỵ ợ i=j tr ỡ ù ữỡ tr aii = i mìm ợ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✈ỵ✐ p = {m, n} i = 1, , p ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Im ❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ AX = B tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï m × n✱ X ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï I ✭✶✳✶✮ n × d✱ ✈➔ B ❧➔ ♠❛ ✼ tr➟♥ ❝ï m × d✳ ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr ữủ ỵ X ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ✤÷đ❝ ỵ r trữớ ủ tỡ x, b d = 1✱ ˆ✳ X t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ X, B ❜ð✐ ❝→❝ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤✉➞♥ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ n M F M ❝ï mìn ữủ m m2ij = = tr(M T M ), ✭✶✳✷✮ i=1 i=1 tr♦♥❣ ✤â tr(M • T M) ❧➔ ✈➳t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ M T M ❈❤✉➞♥ ✷ ❤❛② ❝❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ❝õ❛ ✈➨❝ tì y tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ n ❝❤✐➲✉ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ n y yi2 = ✭✶✳✸✮ i=1 • P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ tr ỵ tr➟♥ A ❝ï m × n, m > n ❝â ❞↕♥❣ A = U Σ V T, ✭✶✳✹✮ tr♦♥❣ ✤â U = [U1 ; U2 ], U1 = [u1 , · · · , un ], U2 = [un+1 , · · · , um ], ui ∈ Rm , U T U = Im , V = [v1 , · · · , ], vi ∈ Rn , V T V = In , Σ = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn ) ∈ Rm×n , σ1 ≥ · · · ≥ σn ≥ ❚❛ ❝ô♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❙❱❉ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ [A; B] ❝ï m × (n + d), m > n ❝â ❞↕♥❣ [A; B] = U ΣV T , ✭✶✳✺✮ ✽ tr♦♥❣ ✤â U = [U1 ; U2 ], U1 = [u1 , · · · , un ], U2 = [un+1 , · · · , um ], ui ∈ Rm , U T U = Im , V = Σ= V11 V12 = [v1 , · · · , vn+d ], vi ∈ Rn+d , V T V = In+d , V21 V22 Σ1 0 Σ2 = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn+t ) ∈ Rm×(n+d) , t = min{m − n, d}, Σ1 = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn ) ∈ Rn×n , Σ1 = ❞✐❛❣(σn+1 , · · · , σn+t ) ∈ R(m−n)×d , ✈➔ σ1 ≥ · · · ≥ σn+t ≥ ✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✭▲❙✮ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ♣❤ê ❜✐➳♥ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✱ tù❝ ❧➔ sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥✳ ◆â✐ ❝❤✉♥❣ ❝→❝ ❤➺ ♥❤÷ ✈➟② ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♥❤÷♥❣ t❛ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➺ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ s❛✐ sè ✤÷đ❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤ì♥ ❧➫✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ x ∈ Rn t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b, tr♦♥❣ ✤â b ∈ Rm ✤➣ ❜✐➳t ✈➔ ❞ú ❧✐➺✉ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥✱ tù❝ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ b∈ / R(A) A Rmìn số ữỡ tr m > n t❤➻ ❤➺ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚r♦♥❣ t❤➻ ❤➺ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ❞♦ ✈➟② t❛ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ Ax ≈ b ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr ữợ t t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ Ax − b , x∈Rn ❈ü❝ t✐➸✉ Ax ≈ b x A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ✭✶✳✻✮ ❜➜t ❦ý ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ ❤➺ ✷✶ ✣à♥❤ ỵ ữợ s r r ✭✶✳✷✹✮ ❧✉ỉ♥ ♥❤ä ❤ì♥ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ▲❙ ✭✶✳✷✷✮✳ ˆ = ˆb t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ①➜♣ ①➾ ▲❙ ✈➔ ❚▲❙ ✣à♥❤ ỵ Ax = b Ax t Ax ≈ b t❤➻ ❦❤✐ ✤â b−b ❱➼ ❞ö ✶✳✸ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤  N − −1   −1 N −      −1  −1   −1 −1  −1 −1 ♥❣❤✐➺♠ ▲❙ x ··· ··· ··· ··· ··· −1 ˆ ˆb] ≥ [A; b] − [A; Ax = b  ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❚▲❙ ❝â ❞↕♥❣  xˆ N,N −2        −1   x2           , =   ≈      −1  x     N −3   N − 1   xN −2 −1   −1       N − 1  −1   −1 F x1  ✭✶✳✹✹✮ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈➔ ❝❤♦ ❜ð✐ x = −0.5[1, 1, , 1]T , xˆ = −[1, 1, , 1]T ❈→❝ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ∆b = b − b = 0.5[0, 0, , 0, N, −N ]T ˆ ∆ˆb] = [A; b] − [A; ˆ ˆb] = [−1, , −1, N − 1]T [1, , 1] [∆A; N −1 ❚ø ✤â t❛ ❝â s➩ ❧ỵ♥ ❦❤✐ N ∆b 22 ˆ ∆ˆb] [∆A; ❧ỵ♥✳ F = N ✷✷ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ỗ q ỡ t t r ổ R2 ❝❤♦ m ✤✐➸♠ sè ❧✐➺✉ {(xi , yi ) ∈ R2 | i = 1, · · · , m} t❤ä❛ ♠➣♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ y(x) = a + bx✳ ✭✷✳✶✮ ❚➻♠ t❤❛♠ sè a, b ✤➸ ❝❤♦ t❛ ❝ü❝ t✐➸✉ ✧tèt ♥❤➜t✧ ❝õ❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❞÷ m (yi − a − bxi )2 f (a, b) := ✭✷✳✷✮ i=1 ❚❛ ❝â t❤➸ ❤✐➸✉ ✤✐➲✉ ♥➔② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ R2 |y = a + bx} l := {(x, y) ∈ ✧❣➛♥✧ ❝→❝ ✤✐➸♠♠ ❞ú ❧✐➺✉ ♥❤➜t✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ l ữ tr ữợ ỷ trồ t➙♠ f (a, b) z¯ = (¯ x, y¯)T = ( m1 i=1 mxi , m T i=1 myi ) , t t ữợ m m (yi − y¯ + b(xi − x¯))2 + m(¯ y − a − b¯ x)2 (yi − a − bxi ) = f (a, b) := i=1 i=1 m (yi − y¯ + b(xi − x¯))2 , ∀a, b ≥ i=1 ✷✸ ❍➻♥❤ ✷✳✶✿ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❤➥♥❣✱ tù❝ ❧➔ z¯ ∈ l b= ✣÷í♥❣ ▲❙✿ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤❡♦ trö❝ y✳ y¯ = a + b¯ x✱ ❦❤✐ ✤â trå♥❣ t➙♠ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❑❤✐ ✤â ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ✭✷✳✷✮ ❧➔ m x − xi )(¯ y − yi ) i=1 (¯ ✈➔ m (¯ x − x ) i i=1 a = y¯ − b¯ x ◆❤÷ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✮ ✈➔ ❍➻♥❤ ✷✳✶✱ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❣➛♥ ♥❤➜t ❝❤♦ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠✳ ❚❛ s➩ sû ❞ö♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❊✉❝❧✐❞❡✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✷✳✷ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤➟t m dist((xi , yi ), l)2 f (l) = i=1 ❚❤❛② ✈➻ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = ax + b✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❞↕♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ s❛✉ l = {(x, y) ∈ R2 |a + r1 x + r2 y = 0} = w + r⊥ ✈ỵ✐ r = r12 + r22 = 1, l ✷✹ ❍➻♥❤ ✷✳✷✿ tr♦♥❣ ✤â w r2 w2 = r2 = 0✱ l✱ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛♠ sè ❤♦→ ♥➔② ❝õ❛ l✱ l = w + r tợ ữớ t l ợ r tự ❧➔ a + r1 w1 + ❝â t❤➸ ①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❝â ❞↕♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ z ✣÷í♥❣ ❚▲❙✿ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤❡♦ ❝↔ trư❝ x ✈➔ trö❝ y✳ y = αx + β ❚r♦♥❣ ❧➔ ✈➨❝ tì ✤ì♥ ✈à✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤✐➸♠ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ dist(z, l) = |rT (z − w)|✱ l = w + r⊥ = {z ∈ R2 |rT (z − w) = 0} ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ t➻♠ r ✈➔ ✈➔ w r = tr♦♥❣ ✤â ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ ❤➔♠ m r1 (xi − x¯) + r2 (yi − y¯) = Br I(r, w) = 2 = rT B T Br, ✭✷✳✸✮ i=1 tr♦♥❣ ✤â B ∈ Rm×2 ❧➔ ♠❛ tr➟♥   x − x¯ y1 − y¯    x − x¯ y − y¯    B = (x − x¯e|y − y¯e) =       xm − x¯ ym − y¯ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ Br 2 ✈ỵ✐ r = ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ ✷✺ trà ❦➻ ❞à ❝õ❛ B B = U ΣV T , r ❱➨❝ tì ♥❣❤✐➺♠ Σ= σ1 0 σ2 ✈➔ σ ≥ σ2 ❝õ❛ ✭✷✳✸✮ ❧➔ ✈➨❝ tì ❦➻ ❞à ♣❤↔✐ ❝õ❛ trà ❦➻ ❞à ♥❤ä ❤ì♥ ❝õ❛ ❱➼ ợ B tữỡ ự ợ B ố ❧✐➺✉ ✈➲ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❝õ❛ ♣❤ư ♥ú tr♦♥❣ ✤ë t✉ê✐ tø ✸✵✲✸✾✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ xi yi xi yi ✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✺✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✶✳✻✵ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ s➩ ✤÷đ❝ ♥➯✉ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ Pử t q ỗ q t t ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ❚▲❙ ✈➔ ▲❙ ❍➻♥❤ ✷✳✸ ♠ỉ t↔ ữớ ỗ q ỡ sỷ ữỡ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✈➔ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥✳ ❙❛✐ sè ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ ❊rr❚▲❙ = 0.0226 ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❧➔ ❊rr▲❙ ✈➔ s❛✐ số = 133.1582 ỗ q t r tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠ỉ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❦❤â ✤➸ ✤÷❛ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t♦→♥ ❤å❝ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❝õ❛ ♠ỉ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ư ữợ t s ỗ q t ❞↕♥❣ ❱➼ ❞ö ✷✳✷ y = ax2 + bx + c✳ ❈❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✭✶✳✷✽✺✺✱ ✶✶✳✹✽✷✼✮❀ ✭✶✳✼✻✾✸✱ ✶✵✳✶✽✻✺✮❀ ✭✶✳✽✼✺✶✱ ✶✶✳✻✸✶✶✮❀ ✭✷✳✼✾✶✼✱ ✶✷✳✵✸✺✺✮❀ ✭✸✳✽✶✼✹✱ ✶✵✳✸✾✹✻✮❀ ✭✺✳✾✶✾✼✱ ✶✷✳✶✺✻✷✮❀ ✭✼✳✸✶✸✸✱ ✶✷✳✻✼✻✷✮❀ ✭✽✳✷✵✶✽✱ ✶✵✳✷✷✾✼✮❀ ✭✾✳✺✹✵✽✱ ✶✶✳✺✸✺✻✮❀ ✭✶✵✳✸✾✶✽✱ ✶✵✳✽✸✺✵✮❀ ✭✶✶✳✽✸✸✻✱ ✽✳✾✸✽✵✮❀ ✭✶✷✳✾✷✺✾✱ ✾✳✹✼✶✶✮❀ ✭✶✸✳✷✺✽✾✱ ✾✳✹✶✼✺✮❀ ✭✶✹✳✼✺✸✻✱ ✼✳✹✺✹✸✮❀ ✭✶✺✳✹✷✾✾✱ ✺✳✾✾✾✵✮❀ ✭✶✻✳✾✻✵✽✱ ✺✳✾✺✸✷✮❀ ✭✶✼✳✸✵✶✸✱ ✻✳✻✼✶✵✮❀ ✭✶✽✳✼✵✶✷✱ ✸✳✹✷✼✹✮❀ ✭✶✾✳✽✷✹✾✱ ✺✳✻✵✽✻✮❀ ✭✷✵✳✼✷✸✶✱ ✷✳✺✶✵✵✮❀ ❚➻♠ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❞↕♥❣ y = ax2 + bx + c ❝❤♦ ❞ú ❧✐➺✉ tr➯♥✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ỉ ♣❤ä♥❣ ✤➛② ✤õ ✤÷đ❝ ♥➯✉ ð P❤ư ❧ư❝ ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❑➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ♠æ t↔ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ✷✳✹ s❛✉ ❍➻♥❤ ✷✳✹✿ ❑➳t q✉↔ ỗ q t sỷ ✷✼ ▼ỉ ❤➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲❙ ❝â s❛✐ sè ❧➔ ✶✻✳✾✵ ✈➔ ✤÷í♥❣ ♣❛r❛❜♦❧ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ y = −0.0335x2 + 0.2998y + 10.8836 ▼ỉ ❤➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚▲❙ ❝â s❛✐ sè ❧➔ ✶✺✳✵✶ ✈➔ ✤÷í♥❣ ♣❛r❛❜♦❧ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ y = −0.0422x2 + 0.5092y + 10.0000 ✷✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❞❡ ●r♦❡♥✱ P✐❡t❡r ✭✶✾✾✻✮✱ ✧❆♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❚♦t❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s✱✧ ◆✐❡✉✇ ❆r❝❤✳ ❲✐s❦✳✱ ✶✹✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✸✼✕✷✺✸✳ ❬✷❪ ▼❛r❦♦✈s❦②✱ ■✈❛♥ ❛♥❞ ❱❛♥ ❍✉❢❢❡❧✱ ❙❛❜✐♥❡ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t♦t❛❧ ❙✐❣♥❛❧ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✱ ✽✼✭✶✵✮✱ ♣♣✳ ✷✷✽✸✕✷✸✵✷✳ ❬✸❪ ❱❛♥ ❍✉❢❢❡❧✱ ❙❛❜✐♥❡ ✫ ❱❛♥❞❡r✇❛❧❧❡✱ ❏♦♦s ✭✶✾✾✶✮✱ ❚❤❡ ❚♦t❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s Pr♦❜❧❡♠✿ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❆s♣❡❝ts ❛♥❞ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❙■❆▼✱ ❧❡❛st✲sq✉❛r❡s ♠❡t❤♦❞s✱✑ P❤✐❧❛❞❡❧♣❤✐❛✱ P❆✳ ✷✾ P❤ö ❧ö❝ ❱➼ ❞ö ✷✳✶ ✳ ❙è ❧✐➺✉ ✈➲ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❝õ❛ ♣❤ư ♥ú tr♦♥❣ ✤ë t✉ê✐ tø ✸✵✲✸✾✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ xi yi xi yi ✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✺✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✶✳✻✵ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤÷ s❛✉ Pữỡ ỗ q t t tr ổ ❝❤✐➲✉ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❊rr✱ P❪ ❂ ❢✐t❴✷❉❴❞❛t❛✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✮ ✪ ❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐♥ ✷❉ ❢♦r ♠♦❞❡❧✿ ② ❂ ❛ ✰ ❜① ✪ ■♥♣✉t ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❳❉❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ①✿ ❛①✐s ✪ ✲ ❨❉❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ②✿ ❛①✐s ✪ ✲ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ❢✐❣✉r❡ ✭✬②❡s✬✱✬♥♦✬✮ ✪ ❘❡t✉r♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❊rr✿ ❡rr♦r ✲ s✉♠ ♦❢ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✪ ✲ P✿ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❬❜✲s❧♦♣❡✱ ❛✲♦❢❢s❡t❪ ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ✸✵ ♥❂s✐③❡✭❨❉❛t❛✱✷✮❀ s②❂s✉♠✭❨❉❛t❛✮✳✴❦②❀ s①❂s✉♠✭❳❉❛t❛✮✳✴❦①❀ s①②❂s✉♠✭❳❉❛t❛✳✯❨❉❛t❛✮❀ s②✷❂s✉♠✭❨❉❛t❛✳ ˆ ✷✮❀ s①✷❂s✉♠✭❳❉❛t❛✳ ˆ ✷✮❀ ❇❂✵✳✺✳✯✭✭✭s②✷✲❦②✳✯s②✳ ˆ ✷✮✲✭s①✷✲❦①✳✯s①✳ ˆ ✷✮✮✳✴✭❦②✳✯s①✳✯s②✲s①②✮✮❀ ❜✶❂✲❇✰✭❇✳ ˆ ✷✰✶✮✳ ˆ ✵✳✺❀ ❜✷❂✲❇✲✭❇✳ ˆ ✷✰✶✮✳ ˆ ✵✳✺❀ ❛✶❂s②✲❜✶✳✯s①❀ ❛✷❂s②✲❜✷✳✯s①❀ ❘❂❝♦rr❝♦❡❢✭❳❉❛t❛✱❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❘✭✶✱✷✮ ❃ ✵ P❂❬❜✶ ❛✶❪❀ ❨❤❛t ❂ ❳❉❛t❛✳✯❜✶ ✰ ❛✶❀ ❳❤❛t ❂ ✭✭❨❉❛t❛✲❛✶✮✳✴❜✶✮❀ ❡♥❞ ✐❢ ❘✭✶✱✷✮ ❁ ✵ P❂❬❜✷ ❛✷❪❀ ❨❤❛t ❂ ❳❉❛t❛✳✯❜✷ ✰ ❛✷❀ ❳❤❛t ❂ ✭✭❨❉❛t❛✲❛✷✮✳✴❜✷✮❀ ❡♥❞ ❛❧♣❤❛ ❂ ❛t❛♥✭❛❜s✭✭❨❤❛t✲❨❉❛t❛✮✳✴✭❳❤❛t✲❳❉❛t❛✮✮✮❀ ❞❂❛❜s✭❳❤❛t✲❳❉❛t❛✮✳✯s✐♥✭❛❧♣❤❛✮❀ ❊rr❂s✉♠✭❞✳ ˆ ✷✮❀ s✇✐t❝❤ ❧♦✇❡r✭✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✮ ❝❛s❡ ✬②❡s✬ ♣❧♦t✭❳❉❛t❛✱❨❉❛t❛✱✬❜❧✉❡✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥❀ ❝❛s❡ ✬♥♦✬ ♣❧♦t✭❳❉❛t❛✱❨❤❛t✱✬❜❧❛❝❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦❢❢ ✸✶ ❞✐s♣✭✬◆♦ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✳✬✮ ❡♥❞ ✪ ❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❋✱ ❙r❡③✱ ❙❝❡❧❪❂st❛t✐♥❞❡①❡s✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ❛✱ ❜✮ ✪ ❬❋✱ ❙r❡③✱ ❙❝❡❧❪❂st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❛✱ ❜✮ ✪ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❞✐❝❛t♦rs ❢♦r ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✪ ■♥♣✉t ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ①❞❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ①✿ ❛①✐s ✪ ✲ ②❞❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ②✿ ❛①✐s ✪ ✲ ❛✿ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ② ❂ ❜① ✰ ❛ ✪ ✲ ❜✿ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✴ ✪ ❘❡t✉r♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❋✿ ✈❛❧✉❡ ❢♦r ❋✲t❡st ✪ ✲ ❙r❡③✿ r❡s✐❞✉❛❧ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ✪ ✲ ❙❝❡❧✿ t♦t❛❧ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ♥❂s✐③❡✭❨❉❛t❛✱✷✮❀ ❙r❡③ ❂ s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲✭❛✰❜✯❳❉❛t❛✮✴✭sqrt✭✶✰❜ ˆ ✷✮✮✮✳ ˆ ✷✮✴✭♥✲✷✮❀ ❙❝❡❧❂s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲♠❡❛♥✭❨❉❛t❛✮✮✳ˆ✷✰✭❳❉❛t❛✲♠❡❛♥✭❳❉❛t❛✮✮✳ˆ✷✮✴✭♥✲ ✶✮❀ ❋❂❙❝❡❧✴❙r❡③❀ ✪ ❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❝❧❡❛r ❛❧❧❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ①❞❛t❛❂❬✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✶✳✻ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✸✷ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸❪❀ ②❞❛t❛❂❬✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✷✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻❪❀ ❬❊rr❚▲❙✱ P✶❪ ❂ ❢✐t❴✷❉❴❞❛t❛✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬♥♦✬✮ ❨❤❛t❚▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✶✱①❞❛t❛✮❀ ❬❋❴❚▲❙✱ ❙r❡③❴❚▲❙✱ ❙❝❡❧❴❚▲❙❪ ❂ st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ P✶✭✷✮✱ P✶✭✶✮✮ P✷❂♣♦❧②❢✐t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✶✮ ❨❤❛t▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✷✱①❞❛t❛✮❀ ❊rr▲❙❂s✉♠✭✭❨❤❛t▲❙✲②❞❛t❛✮✳ ˆ ✷✮ ❬❋❴▲❙✱ ❙r❡③❴▲❙✱ ❙❝❡❧❴▲❙❪ ❂ st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ P✷✭✷✮✱ P✷✭✶✮✮ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t❚▲❙✱✬❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t▲❙✱✬❜✕✬✱✬❧✐♥❡✇✐❞t❤✬✱✶✳✺✱✬♠❛r❦❡rs✐③❡✬✱✷✮❀ ①❧❛❜❡❧✭✬①✬✮❀ ②❧❛❜❡❧✭✬②✬✮❀ ❧❡❣❡♥❞✭✬❉❛t❛✬✱✬▼♦❞❡❧ ✭❚▲❙✮✬✱ ✬▼♦❞❡❧ ✭▲❙✮✬✮✳ ✸✸ ❱➼ ❞ö ✷✳✷ ✳ ❈❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✭✶✳✷✽✺✺✱ ✶✶✳✹✽✷✼✮❀ ✭✶✳✼✻✾✸✱ ✶✵✳✶✽✻✺✮❀ ✭✶✳✽✼✺✶✱ ✶✶✳✻✸✶✶✮❀ ✭✷✳✼✾✶✼✱ ✶✷✳✵✸✺✺✮❀ ✭✸✳✽✶✼✹✱ ✶✵✳✸✾✹✻✮❀ ✭✺✳✾✶✾✼✱ ✶✷✳✶✺✻✷✮❀ ✭✼✳✸✶✸✸✱ ✶✷✳✻✼✻✷✮❀ ✭✽✳✷✵✶✽✱ ✶✵✳✷✷✾✼✮❀ ✭✾✳✺✹✵✽✱ ✶✶✳✺✸✺✻✮❀ ✭✶✵✳✸✾✶✽✱ ✶✵✳✽✸✺✵✮❀ ✭✶✶✳✽✸✸✻✱ ✽✳✾✸✽✵✮❀ ✭✶✷✳✾✷✺✾✱ ✾✳✹✼✶✶✮❀ ✭✶✸✳✷✺✽✾✱ ✾✳✹✶✼✺✮❀ ✭✶✹✳✼✺✸✻✱ ✼✳✹✺✹✸✮❀ ✭✶✺✳✹✷✾✾✱ ✺✳✾✾✾✵✮❀ ✭✶✻✳✾✻✵✽✱ ✺✳✾✺✸✷✮❀ ✭✶✼✳✸✵✶✸✱ ✻✳✻✼✶✵✮❀ ✭✶✽✳✼✵✶✷✱ ✸✳✹✷✼✹✮❀ ✭✶✾✳✽✷✹✾✱ ✺✳✻✵✽✻✮❀ ✭✷✵✳✼✷✸✶✱ ✷✳✺✶✵✵✮❀ ❚➻♠ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❞↕♥❣ y = ax2 + bx + c ❝❤♦ ❞ú ❧✐➺✉ tr➯♥✳ ✣➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚▲❙ ✈➔ ▲❙✱ t❛ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ▼❆❚▲❆❇ ♥❤÷ s❛✉ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ✪ ❉❡♠♦ ♦♥ ◆♦♥❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✈✐❛ ❚▲❙ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▲❙ ♠❡t❤♦❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❊rr✱ ♠✐♥❴♣❛r❛♠❪❂♥✉♠❡r❋♠✐♥❙✭❢✉♥✱ ♣✱ ▲❇❛✱ ❯❇❛✱ ①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✮ ✐❢ ✭❡①✐st✭✬❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞✬✱ ✬❢✐❧❡✬✮ ❂❂ ✷✮ P ❂ r❡q✉✐r❡❋❊❳♣❛❝❦❛❣❡✭✽✷✼✼✮❀ ✪ ❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞ ✐s ♣❛rt ♦❢ ✽✷✼✼ ❛t ▼❛t❤❲♦r❦s✳❝♦♠ ❡♥❞ ✇❛r♥✐♥❣ ♦❢❢ ❛❧❧ ♦♣t✐♦♥s✶ ❂ ♦❞❡s❡t✭✬❘❡❧❚♦❧✬✱✶❡✲✻✱✬❆❜s❚♦❧✬✱✶❡✲✻✮❀ ♦♣t✐♦♥s ❂ ♦♣t✐♠s❡t✭✬▼❛①■t❡r✬✱✶❡✰✹✱✬▼❛①❋✉♥❊✈❛❧s✬✱✶❡✰✹✱✬❚♦❧❳✬✱✶❡✲✻✱✬❚♦❧❋✉♥✬✱✶❡✲ ✻✮❀ ▼♣♦✐♥ts✭✿✱✶✮❂①❞❛t❛❀ ▼♣♦✐♥ts✭✿✱✷✮❂②❞❛t❛❀ s✉♠❂✵❀ ❛✵❂③❡r♦s✭✶✱♣✮❀ ❬❛✱❢✈❛❧✱❡①✐t❢❧❛❣✱♦✉t♣✉t❪ ❂ ❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞✭❅❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱❛✵✱▲❇❛✱❯❇❛✱♦♣t✐♦♥s✮❀ ✪ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ✇✐t❤ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ❬②②❪❂❢✉♥✭①❞❛t❛✱ ❛✮❀ ①❂①❞❛t❛❀ ②❂②②❀ ✪s♦♠❡ ♦✉t♣✉t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥✿ ❛❧❣♦r✐t♠❂♦✉t♣✉t✳❛❧❣♦r✐t❤♠❀ ❢✉♥❝❈♦✉♥t❂♦✉t♣✉t✳❢✉♥❝❈♦✉♥t❀ ✐t❡r❂♦✉t♣✉t✳✐t❡r❛t✐♦♥s❀ ✸✹ ♦✉t♣✉t✳♠❡ss❛❣❡❀ ♠✐♥❴♣❛r❛♠❂❛❀ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ✪❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬s✉♠❪ ❂ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ✭❛✮ s✉♠❂✵❀ ❬②②❪❂❢✉♥✭①❞❛t❛✱ ❛✮❀ ①❂①❞❛t❛❀ ②❂②②❀ ♣♦✐♥ts✭✿✱✶✮❂①❀ ♣♦✐♥ts✭✿✱✷✮❂②❀ ❢♦r ♠❂✶✿s✐③❡✭▼♣♦✐♥ts✱✶✮ ❬♠✐♥❴❞✐st✱ ■P❪❂❞✐st❴❞s❡❛r❝❤✭♣♦✐♥ts✱▼♣♦✐♥ts✭♠✱✿✮✱✬♦❢❢✬✮❀ s✉♠❂s✉♠✰✭♠✐♥❴❞✐st✮✳ ˆ ✷❀ ❡♥❞ ❊rr❂s✉♠❀ ❡♥❞ ❡♥❞ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬■❪ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛▼✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ ✪ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥❞❡① ✪ ■♥♣✉ts✿ ❳❉❛t❛✿ ① ❞❛t❛ ✪ ❨❉❛t❛✿ ② ❞❛t❛ ✪ ❨❉❛t❛▼✿ ♠♦❞❡❧ ❞❛t❛ ✪ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✿ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✪ ❖✉t♣✉t✿ ■✿ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥❞❡① ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ❦②♠❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛▼✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ✸✺ ♥❂❦②♠❀ s❡②❂✭s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲❨❉❛t❛▼✮✳ ˆ ✷✮✮✴✭♥✲♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮❀ s②❂✈❛r✭❨❉❛t❛✮❀ ■❂✭✶✲✭s❡②✳✴s②✮✮ ˆ ✵✳✺❀ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❝❧❡❛r ❛❧❧❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ①❞❛t❛❂❬✶✳✷✽✺✺ ✶✳✼✻✾✸ ✶✳✽✼✺✶ ✷✳✼✾✶✼ ✸✳✽✶✼✹ ✺✳✾✶✾✼ ✼✳✸✶✸✸ ✽✳✷✵✶✽ ✾✳✺✹✵✽ ✶✵✳✸✾✶✽ ✶✶✳✽✸✸✻ ✶✷✳✾✷✺✾ ✶✸✳✷✺✽✾ ✶✹✳✼✺✸✻ ✶✺✳✹✷✾✾ ✶✻✳✾✻✵✽ ✶✼✳✸✵✶✸ ✶✽✳✼✵✶✷ ✶✾✳✽✷✹✾ ✷✵✳✼✷✸✶❪❀ ②❞❛t❛❂❬✶✶✳✹✽✷✼ ✶✵✳✶✽✻✺ ✶✶✳✻✸✶✶ ✶✷✳✵✸✺✺ ✶✵✳✸✾✹✻ ✶✷✳✶✺✻✷ ✶✷✳✻✼✻✷ ✶✵✳✷✷✾✼ ✶✶✳✺✸✺✻ ✶✵✳✽✸✺✵ ✽✳✾✸✽✵ ✾✳✹✼✶✶ ✾✳✹✶✼✺ ✼✳✹✺✹✸ ✺✳✾✾✾✵ ✺✳✾✺✸✷ ✻✳✻✼✶✵ ✸✳✹✷✼✹ ✺✳✻✵✽✻ ✷✳✺✶✵✵❪❀ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r ❂ ✸❀ ❬❊rr❚▲❙✱P✶❪❂♥✉♠❡r❋♠✐♥❙✭❅♠♦❞❡❧✱♣❛r❴♥✉♠❜❡r✱❬✲✵✳✵✺ ✵✳✺ ✾✳✺❪✱ ❬✲✵✳✵✹ ✵✳✼ ✶✵✳✵❪✱ ①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✮ ❨❤❛t❚▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✶✭✶✿♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮✱①❞❛t❛✮❀ ■♥❞❡①❴❚▲❙ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❨❤❛t❚▲❙✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ P✷❂♣♦❧②❢✐t✭①❞❛t❛✱②❞❛t❛✱✷✮ ❨❤❛t▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✷✱①❞❛t❛✮❀ ■♥❞❡①❴▲❙ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❨❤❛t▲❙✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t❚▲❙✱✬❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t▲❙✱✬r✬✮❀ ①❧❛❜❡❧✭✬①✬✮❀ ②❧❛❜❡❧✭✬②✬✮❀ ❧❡❣❡♥❞✭✬❉❛t❛✬✱✬▼♦❞❡❧ ✭❚▲❙✮✬✱ ✬▼♦❞❡❧ ✭▲❙✮✬✮❀ ... KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn