1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)

37 84 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 37
Dung lượng 494,01 KB

Nội dung

Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu toàn phần (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 ✶ ▼ö❝ ❧ö❝ ❚r❛♥❣ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✷ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ợ t ữỡ ữỡ tố t t ởt số ỵ tự ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸✳ ✶✳✹✳ ✶✳✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ trà ❦➻ ❞à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✷✳ ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✈➔ ❙❱❉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✶✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✶✳✸✳✷✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ữỡ tố t t ỗ q ✤ì♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ q t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ t ữợ sỹ ữợ t t➻♥❤ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❖❛♥❤✳ ❈æ ✤➣ ❞➔♥❤ tớ ữợ t ❝õ❛ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝ỉ✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✈➲ ❝æ♥❣ ❧❛♦ ❞↕② ❞é tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ tỉ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❚❍P❚ ◗✉➳ ❱ã sè ✶✱ t➟♣ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ tê ❚♦→♥✲❚✐♥ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❝ê ✈ơ ✤➸ tỉ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔②✳✳✳t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❍å❝ ✈✐➯♥ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ❍÷í♥❣ ✸ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✭❚♦t❛❧ st sqr ữủ ợ t ▲♦❛♥ ✳✳✳✳♥❤÷ ♠ët ❦ÿ t❤✉➟t ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ✧q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✧ ✭♦✈❡r❞❡t❡r♠✐♥❡❞ s②st❡♠✮✱ tù❝ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➺ ❝â sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥ ❝â ❞↕♥❣ A ∈ Rm×n t ợ B Rmìd m > n trữợ AX B X Rnìd ợ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝❤÷❛ ❜✐➳t✱ ✤❛♥❣ ❝➛♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ X ❝❤♦ ①➜♣ ①➾ ✤❛♥❣ t➻♠✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ sü tê♥❣ q✉→t q✉→ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✭▲❡❛st sq✉❛r❡ ✲▲❙✮ ❦❤✐ ❝↔ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ B ✤➲✉ ❜à ♥❤✐➵✉✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ởt tt q ữợ ữủ t số t t t ữợ ữủ t số t✉②➳♥ t✐♥❤ ✤➣ ❞➝♥ tỵ✐ ♠ët ❧ỵ♣ rë♥❣ r➣✐ ❝→❝ ỹ ữ ỷ ỵ t ❦❤✐➸♥ tü ✤ë♥❣✱✳ ✳ ✳ ✱ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr tt tố t ỵ t s✐♥❤ ❤å❝✱✳ ✳ ✳ ✳ ◆â ✤÷đ❝ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ s❛✉ α1 x1 + · · · + αn xn = β tr♦♥❣ ✤â α1 , , αn ✈➔ β ❧➔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✈➔ x = [x1 , , xn ]T ∈ Rn ✭✵✳✶✮ ❧➔ ✈➨❝ tì t❤❛♠ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ✭✵✳✶✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ tø ❞ú ❦✐➺♥ ✤♦ ✤÷đ❝ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥✱ t ởt ữợ ữủ t số ữ ❜✐➳t t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤ ✤ó♥❣ ♥❤➜t✳ ●å✐ A ∈ Rm×n αi , i = 1, , n ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝â ❤➔♥❣ t❤ù ✈➔ ✈➨❝ tì b ∈ Rm ❝❤ù❛ β Ax = b i t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤ù❛ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❤➺ ✭✵✳✷✮ ỗ m ữỡ tr n ợ t t ữỡ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t❤➻ ♠❛ tr➟♥ A ❝õ❛ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ✤♦ αi ✭✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✵✳✷✮✮ ✤÷đ❝ ❣✐↔ sû ❧➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ❦❤æ♥❣ ❝â s❛✐ sè✳ ❉♦ ✤â✱ ❝→❝ s❛✐ sè ✤➲✉ ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❜ð✐ ✈➨❝ tì q✉❛♥ s→t b ✭tù❝ ❧➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✵✳✷✮✮✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ♥➔② ❦❤æ♥❣ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t❤ü❝ t➳ ❜ð✐ t➜t ❝→❝ ❝→❝ s❛✐ sè ❝õ❛ ♠æ ❤➻♥❤✱ s❛✐ sè ✤♦ ✤↕❝ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❜ð✐ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✳ ❚✐➳♣ ❝➟♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t ỵ tỹ t ỡ t s❛✐ sè ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ❝↔ ð ✈➨❝ tì q✉❛♥ s→t b ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❞ú ❧✐➺✉ A ✣➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ t➼♥❤ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t t s ợ ữỡ ữỡ tố t❤✐➸✉✱ t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ♠ët ✈➼ ❞ư tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❛ ❝â ♠ët t❤❛♠ sè✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ n = 1✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✵✳✶✮ trð t❤➔♥❤ αx = β ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ tø x✳ sè ✭✵✳✸✮ m ✤♦ ✤↕❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ α ✈➔ β ✱ t❛ ữợ ữủ t s ✈ỵ✐ A = [a1 , , am ]T ✈➔ b = [b1 , , bm ]T tr♦♥❣ ✤â ✈ỵ✐ ∆ai , ∆bi ❜✐➳♥ = a0i + ∆ai , ✭✵✳✹✮ bi = b0i + ∆bi , i = 1, , m, ✭✵✳✺✮ ❧➔ ❝→❝ s❛✐ sè ❝ë♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ ①→❝ a0i , b0i ❝õ❛ ❝→❝ α, β ◆➳✉ α ❧➔ ✤♦ ✤÷đ❝ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ tù❝ ❧➔ ❦❤✐ ✤♦ β ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ b✳ ∆ai = 0✱ ❦❤✐ ✤â s❛✐ sè ❝❤➾ ①↔② r❛ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✵✳✷✮✱ tù❝ ❧➔ t❛ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❝→❝ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝â ❞↕♥❣ m (bi − x)2 i=1 ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ tê♥❣ tr➯♥ t❤➻ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤❛② ✺ ÷ỵ❝ ❧÷đ♥❣ x ❝õ❛ x ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ x = ◆➳✉ β ❦❤æ♥❣ ❝â s❛✐ sè✱ tù❝ ❧➔ n i=1 bi n i=1 ∆bi = t t ữỡ tr ữợ = α x ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ t t ữủ ữợ ữủ tốt t x = x ♥❤÷ s❛✉ n i=1 bi n i=1 bi ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤÷đ❝ ✤♦ ❧✉æ♥ ❝â s❛✐ sè✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈➔ ∆bi = ∆ai = ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ t❛ ❝➛♥ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❜➔✐ t♦→♥ ữỡ ỵ tỹ t ❤ì♥✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ợ t ữỡ ữỡ tố t t ♣❤➛♥ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷✿ P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ trà ❦➻ ❞à✱ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t✱ ♥❣❤✐➺♠ ữỡ tố t t ỵ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥✱✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ự ỗ q ỡ t t ỗ q ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ư sè ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ữỡ ợ t ữỡ ữỡ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ởt số tự q tợ ữỡ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ✈➔ ❝â ♠✐♥❤ ❤å❛ ♠ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥â✐ tr➯♥✳ ✶✳✶✳ ▼ët số ỵ tự ỡ tr tr R(S) tữỡ ự Rr (S)✮ ❝→❝ ❤➔♥❣✮ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❧➔ ♥❤➙♥ ❝õ❛ A S N (S) ỵ ổ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ S✳ ▼❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ aij = AT ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ởt tữỡ ự A ù mìn A = (1 , ã ã ã , p ), ợ ữỡ ỵ ợ i=j tr ỡ ù ữỡ tr aii = i mìm ợ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✈ỵ✐ p = {m, n} i = 1, , p ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Im ❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ AX = B tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï m × n✱ X ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï I ✭✶✳✶✮ n × d✱ ✈➔ B ❧➔ ♠❛ ✼ tr➟♥ ❝ï m × d✳ ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr ữủ ỵ X ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ✤÷đ❝ ỵ r trữớ ủ tỡ x, b d = 1✱ ˆ✳ X t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ X, B ❜ð✐ ❝→❝ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤✉➞♥ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ n M F M ❝ï mìn ữủ m m2ij = = tr(M T M ), ✭✶✳✷✮ i=1 i=1 tr♦♥❣ ✤â tr(M • T M) ❧➔ ✈➳t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ M T M ❈❤✉➞♥ ✷ ❤❛② ❝❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ❝õ❛ ✈➨❝ tì y tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ n ❝❤✐➲✉ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ n y yi2 = ✭✶✳✸✮ i=1 • P❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ tr ỵ tr➟♥ A ❝ï m × n, m > n ❝â ❞↕♥❣ A = U Σ V T, ✭✶✳✹✮ tr♦♥❣ ✤â U = [U1 ; U2 ], U1 = [u1 , · · · , un ], U2 = [un+1 , · · · , um ], ui ∈ Rm , U T U = Im , V = [v1 , · · · , ], vi ∈ Rn , V T V = In , Σ = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn ) ∈ Rm×n , σ1 ≥ · · · ≥ σn ≥ ❚❛ ❝ô♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❙❱❉ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ [A; B] ❝ï m × (n + d), m > n ❝â ❞↕♥❣ [A; B] = U ΣV T , ✭✶✳✺✮ ✽ tr♦♥❣ ✤â U = [U1 ; U2 ], U1 = [u1 , · · · , un ], U2 = [un+1 , · · · , um ], ui ∈ Rm , U T U = Im , V = Σ= V11 V12 = [v1 , · · · , vn+d ], vi ∈ Rn+d , V T V = In+d , V21 V22 Σ1 0 Σ2 = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn+t ) ∈ Rm×(n+d) , t = min{m − n, d}, Σ1 = ❞✐❛❣(σ1 , · · · , σn ) ∈ Rn×n , Σ1 = ❞✐❛❣(σn+1 , · · · , σn+t ) ∈ R(m−n)×d , ✈➔ σ1 ≥ · · · ≥ σn+t ≥ ✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✭▲❙✮ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ♣❤ê ❜✐➳♥ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✱ tù❝ ❧➔ sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥✳ ◆â✐ ❝❤✉♥❣ ❝→❝ ❤➺ ♥❤÷ ✈➟② ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♥❤÷♥❣ t❛ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➺ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ s❛✐ sè ✤÷đ❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤ì♥ ❧➫✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ x ∈ Rn t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b, tr♦♥❣ ✤â b ∈ Rm ✤➣ ❜✐➳t ✈➔ ❞ú ❧✐➺✉ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ➞♥✱ tù❝ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ b∈ / R(A) A Rmìn số ữỡ tr m > n t❤➻ ❤➺ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚r♦♥❣ t❤➻ ❤➺ q✉→ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ❞♦ ✈➟② t❛ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ Ax ≈ b ◆❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr ữợ t t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ Ax − b , x∈Rn ❈ü❝ t✐➸✉ Ax ≈ b x A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ✭✶✳✻✮ ❜➜t ❦ý ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ ❤➺ ✷✶ ✣à♥❤ ỵ ữợ s r r ✭✶✳✷✹✮ ❧✉ỉ♥ ♥❤ä ❤ì♥ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ▲❙ ✭✶✳✷✷✮✳ ˆ = ˆb t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ①➜♣ ①➾ ▲❙ ✈➔ ❚▲❙ ✣à♥❤ ỵ Ax = b Ax t Ax ≈ b t❤➻ ❦❤✐ ✤â b−b ❱➼ ❞ö ✶✳✸ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤  N − −1   −1 N −      −1  −1   −1 −1  −1 −1 ♥❣❤✐➺♠ ▲❙ x ··· ··· ··· ··· ··· −1 ˆ ˆb] ≥ [A; b] − [A; Ax = b  ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❚▲❙ ❝â ❞↕♥❣  xˆ N,N −2        −1   x2           , =   ≈      −1  x     N −3   N − 1   xN −2 −1   −1       N − 1  −1   −1 F x1  ✭✶✳✹✹✮ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈➔ ❝❤♦ ❜ð✐ x = −0.5[1, 1, , 1]T , xˆ = −[1, 1, , 1]T ❈→❝ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ∆b = b − b = 0.5[0, 0, , 0, N, −N ]T ˆ ∆ˆb] = [A; b] − [A; ˆ ˆb] = [−1, , −1, N − 1]T [1, , 1] [∆A; N −1 ❚ø ✤â t❛ ❝â s➩ ❧ỵ♥ ❦❤✐ N ∆b 22 ˆ ∆ˆb] [∆A; ❧ỵ♥✳ F = N ✷✷ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ỗ q ỡ t t r ổ R2 ❝❤♦ m ✤✐➸♠ sè ❧✐➺✉ {(xi , yi ) ∈ R2 | i = 1, · · · , m} t❤ä❛ ♠➣♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ y(x) = a + bx✳ ✭✷✳✶✮ ❚➻♠ t❤❛♠ sè a, b ✤➸ ❝❤♦ t❛ ❝ü❝ t✐➸✉ ✧tèt ♥❤➜t✧ ❝õ❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❞÷ m (yi − a − bxi )2 f (a, b) := ✭✷✳✷✮ i=1 ❚❛ ❝â t❤➸ ❤✐➸✉ ✤✐➲✉ ♥➔② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ R2 |y = a + bx} l := {(x, y) ∈ ✧❣➛♥✧ ❝→❝ ✤✐➸♠♠ ❞ú ❧✐➺✉ ♥❤➜t✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ l ữ tr ữợ ỷ trồ t➙♠ f (a, b) z¯ = (¯ x, y¯)T = ( m1 i=1 mxi , m T i=1 myi ) , t t ữợ m m (yi − y¯ + b(xi − x¯))2 + m(¯ y − a − b¯ x)2 (yi − a − bxi ) = f (a, b) := i=1 i=1 m (yi − y¯ + b(xi − x¯))2 , ∀a, b ≥ i=1 ✷✸ ❍➻♥❤ ✷✳✶✿ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❤➥♥❣✱ tù❝ ❧➔ z¯ ∈ l b= ✣÷í♥❣ ▲❙✿ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤❡♦ trö❝ y✳ y¯ = a + b¯ x✱ ❦❤✐ ✤â trå♥❣ t➙♠ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❑❤✐ ✤â ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ✭✷✳✷✮ ❧➔ m x − xi )(¯ y − yi ) i=1 (¯ ✈➔ m (¯ x − x ) i i=1 a = y¯ − b¯ x ◆❤÷ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✮ ✈➔ ❍➻♥❤ ✷✳✶✱ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❣➛♥ ♥❤➜t ❝❤♦ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠✳ ❚❛ s➩ sû ❞ö♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❊✉❝❧✐❞❡✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✷✳✷ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤➟t m dist((xi , yi ), l)2 f (l) = i=1 ❚❤❛② ✈➻ t➻♠ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = ax + b✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❞↕♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ s❛✉ l = {(x, y) ∈ R2 |a + r1 x + r2 y = 0} = w + r⊥ ✈ỵ✐ r = r12 + r22 = 1, l ✷✹ ❍➻♥❤ ✷✳✷✿ tr♦♥❣ ✤â w r2 w2 = r2 = 0✱ l✱ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛♠ sè ❤♦→ ♥➔② ❝õ❛ l✱ l = w + r tợ ữớ t l ợ r tự ❧➔ a + r1 w1 + ❝â t❤➸ ①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❝â ❞↕♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ z ✣÷í♥❣ ❚▲❙✿ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤❡♦ ❝↔ trư❝ x ✈➔ trö❝ y✳ y = αx + β ❚r♦♥❣ ❧➔ ✈➨❝ tì ✤ì♥ ✈à✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤✐➸♠ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ dist(z, l) = |rT (z − w)|✱ l = w + r⊥ = {z ∈ R2 |rT (z − w) = 0} ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ t➻♠ r ✈➔ ✈➔ w r = tr♦♥❣ ✤â ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ ❤➔♠ m r1 (xi − x¯) + r2 (yi − y¯) = Br I(r, w) = 2 = rT B T Br, ✭✷✳✸✮ i=1 tr♦♥❣ ✤â B ∈ Rm×2 ❧➔ ♠❛ tr➟♥   x − x¯ y1 − y¯    x − x¯ y − y¯    B = (x − x¯e|y − y¯e) =       xm − x¯ ym − y¯ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ Br 2 ✈ỵ✐ r = ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ ✷✺ trà ❦➻ ❞à ❝õ❛ B B = U ΣV T , r ❱➨❝ tì ♥❣❤✐➺♠ Σ= σ1 0 σ2 ✈➔ σ ≥ σ2 ❝õ❛ ✭✷✳✸✮ ❧➔ ✈➨❝ tì ❦➻ ❞à ♣❤↔✐ ❝õ❛ trà ❦➻ ❞à ♥❤ä ❤ì♥ ❝õ❛ ❱➼ ợ B tữỡ ự ợ B ố ❧✐➺✉ ✈➲ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❝õ❛ ♣❤ư ♥ú tr♦♥❣ ✤ë t✉ê✐ tø ✸✵✲✸✾✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ xi yi xi yi ✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✺✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✶✳✻✵ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ s➩ ✤÷đ❝ ♥➯✉ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ Pử t q ỗ q t t ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ❚▲❙ ✈➔ ▲❙ ❍➻♥❤ ✷✳✸ ♠ỉ t↔ ữớ ỗ q ỡ sỷ ữỡ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✈➔ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥✳ ❙❛✐ sè ❦❤✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❧➔ ❊rr❚▲❙ = 0.0226 ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❧➔ ❊rr▲❙ ✈➔ s❛✐ số = 133.1582 ỗ q t r tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠ỉ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❦❤â ✤➸ ✤÷❛ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t♦→♥ ❤å❝ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❝õ❛ ♠ỉ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ư ữợ t s ỗ q t ❞↕♥❣ ❱➼ ❞ö ✷✳✷ y = ax2 + bx + c✳ ❈❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✭✶✳✷✽✺✺✱ ✶✶✳✹✽✷✼✮❀ ✭✶✳✼✻✾✸✱ ✶✵✳✶✽✻✺✮❀ ✭✶✳✽✼✺✶✱ ✶✶✳✻✸✶✶✮❀ ✭✷✳✼✾✶✼✱ ✶✷✳✵✸✺✺✮❀ ✭✸✳✽✶✼✹✱ ✶✵✳✸✾✹✻✮❀ ✭✺✳✾✶✾✼✱ ✶✷✳✶✺✻✷✮❀ ✭✼✳✸✶✸✸✱ ✶✷✳✻✼✻✷✮❀ ✭✽✳✷✵✶✽✱ ✶✵✳✷✷✾✼✮❀ ✭✾✳✺✹✵✽✱ ✶✶✳✺✸✺✻✮❀ ✭✶✵✳✸✾✶✽✱ ✶✵✳✽✸✺✵✮❀ ✭✶✶✳✽✸✸✻✱ ✽✳✾✸✽✵✮❀ ✭✶✷✳✾✷✺✾✱ ✾✳✹✼✶✶✮❀ ✭✶✸✳✷✺✽✾✱ ✾✳✹✶✼✺✮❀ ✭✶✹✳✼✺✸✻✱ ✼✳✹✺✹✸✮❀ ✭✶✺✳✹✷✾✾✱ ✺✳✾✾✾✵✮❀ ✭✶✻✳✾✻✵✽✱ ✺✳✾✺✸✷✮❀ ✭✶✼✳✸✵✶✸✱ ✻✳✻✼✶✵✮❀ ✭✶✽✳✼✵✶✷✱ ✸✳✹✷✼✹✮❀ ✭✶✾✳✽✷✹✾✱ ✺✳✻✵✽✻✮❀ ✭✷✵✳✼✷✸✶✱ ✷✳✺✶✵✵✮❀ ❚➻♠ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❞↕♥❣ y = ax2 + bx + c ❝❤♦ ❞ú ❧✐➺✉ tr➯♥✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ỉ ♣❤ä♥❣ ✤➛② ✤õ ✤÷đ❝ ♥➯✉ ð P❤ư ❧ư❝ ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❑➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ♠æ t↔ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ✷✳✹ s❛✉ ❍➻♥❤ ✷✳✹✿ ❑➳t q✉↔ ỗ q t sỷ ✷✼ ▼ỉ ❤➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲❙ ❝â s❛✐ sè ❧➔ ✶✻✳✾✵ ✈➔ ✤÷í♥❣ ♣❛r❛❜♦❧ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ y = −0.0335x2 + 0.2998y + 10.8836 ▼ỉ ❤➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚▲❙ ❝â s❛✐ sè ❧➔ ✶✺✳✵✶ ✈➔ ✤÷í♥❣ ♣❛r❛❜♦❧ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ y = −0.0422x2 + 0.5092y + 10.0000 ✷✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❞❡ ●r♦❡♥✱ P✐❡t❡r ✭✶✾✾✻✮✱ ✧❆♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❚♦t❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s✱✧ ◆✐❡✉✇ ❆r❝❤✳ ❲✐s❦✳✱ ✶✹✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✸✼✕✷✺✸✳ ❬✷❪ ▼❛r❦♦✈s❦②✱ ■✈❛♥ ❛♥❞ ❱❛♥ ❍✉❢❢❡❧✱ ❙❛❜✐♥❡ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t♦t❛❧ ❙✐❣♥❛❧ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✱ ✽✼✭✶✵✮✱ ♣♣✳ ✷✷✽✸✕✷✸✵✷✳ ❬✸❪ ❱❛♥ ❍✉❢❢❡❧✱ ❙❛❜✐♥❡ ✫ ❱❛♥❞❡r✇❛❧❧❡✱ ❏♦♦s ✭✶✾✾✶✮✱ ❚❤❡ ❚♦t❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s Pr♦❜❧❡♠✿ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❆s♣❡❝ts ❛♥❞ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❙■❆▼✱ ❧❡❛st✲sq✉❛r❡s ♠❡t❤♦❞s✱✑ P❤✐❧❛❞❡❧♣❤✐❛✱ P❆✳ ✷✾ P❤ö ❧ö❝ ❱➼ ❞ö ✷✳✶ ✳ ❙è ❧✐➺✉ ✈➲ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❝õ❛ ♣❤ư ♥ú tr♦♥❣ ✤ë t✉ê✐ tø ✸✵✲✸✾✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ ❈❤✐➲✉ ❝❛♦✱ ❑❤è✐ ❧÷đ♥❣✱ xi yi xi yi ✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✺✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✶✳✻✵ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤÷ s❛✉ Pữỡ ỗ q t t tr ổ ❝❤✐➲✉ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❊rr✱ P❪ ❂ ❢✐t❴✷❉❴❞❛t❛✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✮ ✪ ❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐♥ ✷❉ ❢♦r ♠♦❞❡❧✿ ② ❂ ❛ ✰ ❜① ✪ ■♥♣✉t ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❳❉❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ①✿ ❛①✐s ✪ ✲ ❨❉❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ②✿ ❛①✐s ✪ ✲ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ❢✐❣✉r❡ ✭✬②❡s✬✱✬♥♦✬✮ ✪ ❘❡t✉r♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❊rr✿ ❡rr♦r ✲ s✉♠ ♦❢ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✪ ✲ P✿ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❬❜✲s❧♦♣❡✱ ❛✲♦❢❢s❡t❪ ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ✸✵ ♥❂s✐③❡✭❨❉❛t❛✱✷✮❀ s②❂s✉♠✭❨❉❛t❛✮✳✴❦②❀ s①❂s✉♠✭❳❉❛t❛✮✳✴❦①❀ s①②❂s✉♠✭❳❉❛t❛✳✯❨❉❛t❛✮❀ s②✷❂s✉♠✭❨❉❛t❛✳ ˆ ✷✮❀ s①✷❂s✉♠✭❳❉❛t❛✳ ˆ ✷✮❀ ❇❂✵✳✺✳✯✭✭✭s②✷✲❦②✳✯s②✳ ˆ ✷✮✲✭s①✷✲❦①✳✯s①✳ ˆ ✷✮✮✳✴✭❦②✳✯s①✳✯s②✲s①②✮✮❀ ❜✶❂✲❇✰✭❇✳ ˆ ✷✰✶✮✳ ˆ ✵✳✺❀ ❜✷❂✲❇✲✭❇✳ ˆ ✷✰✶✮✳ ˆ ✵✳✺❀ ❛✶❂s②✲❜✶✳✯s①❀ ❛✷❂s②✲❜✷✳✯s①❀ ❘❂❝♦rr❝♦❡❢✭❳❉❛t❛✱❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❘✭✶✱✷✮ ❃ ✵ P❂❬❜✶ ❛✶❪❀ ❨❤❛t ❂ ❳❉❛t❛✳✯❜✶ ✰ ❛✶❀ ❳❤❛t ❂ ✭✭❨❉❛t❛✲❛✶✮✳✴❜✶✮❀ ❡♥❞ ✐❢ ❘✭✶✱✷✮ ❁ ✵ P❂❬❜✷ ❛✷❪❀ ❨❤❛t ❂ ❳❉❛t❛✳✯❜✷ ✰ ❛✷❀ ❳❤❛t ❂ ✭✭❨❉❛t❛✲❛✷✮✳✴❜✷✮❀ ❡♥❞ ❛❧♣❤❛ ❂ ❛t❛♥✭❛❜s✭✭❨❤❛t✲❨❉❛t❛✮✳✴✭❳❤❛t✲❳❉❛t❛✮✮✮❀ ❞❂❛❜s✭❳❤❛t✲❳❉❛t❛✮✳✯s✐♥✭❛❧♣❤❛✮❀ ❊rr❂s✉♠✭❞✳ ˆ ✷✮❀ s✇✐t❝❤ ❧♦✇❡r✭✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✮ ❝❛s❡ ✬②❡s✬ ♣❧♦t✭❳❉❛t❛✱❨❉❛t❛✱✬❜❧✉❡✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥❀ ❝❛s❡ ✬♥♦✬ ♣❧♦t✭❳❉❛t❛✱❨❤❛t✱✬❜❧❛❝❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦❢❢ ✸✶ ❞✐s♣✭✬◆♦ ✈✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥✳✬✮ ❡♥❞ ✪ ❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❋✱ ❙r❡③✱ ❙❝❡❧❪❂st❛t✐♥❞❡①❡s✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ❛✱ ❜✮ ✪ ❬❋✱ ❙r❡③✱ ❙❝❡❧❪❂st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❛✱ ❜✮ ✪ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❞✐❝❛t♦rs ❢♦r ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✪ ■♥♣✉t ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ①❞❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ①✿ ❛①✐s ✪ ✲ ②❞❛t❛✿ ✐♥♣✉t ❞❛t❛ ❜❧♦❝❦ ✕ ②✿ ❛①✐s ✪ ✲ ❛✿ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ② ❂ ❜① ✰ ❛ ✪ ✲ ❜✿ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✴ ✪ ❘❡t✉r♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ✪ ✲ ❋✿ ✈❛❧✉❡ ❢♦r ❋✲t❡st ✪ ✲ ❙r❡③✿ r❡s✐❞✉❛❧ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ✪ ✲ ❙❝❡❧✿ t♦t❛❧ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ♥❂s✐③❡✭❨❉❛t❛✱✷✮❀ ❙r❡③ ❂ s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲✭❛✰❜✯❳❉❛t❛✮✴✭sqrt✭✶✰❜ ˆ ✷✮✮✮✳ ˆ ✷✮✴✭♥✲✷✮❀ ❙❝❡❧❂s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲♠❡❛♥✭❨❉❛t❛✮✮✳ˆ✷✰✭❳❉❛t❛✲♠❡❛♥✭❳❉❛t❛✮✮✳ˆ✷✮✴✭♥✲ ✶✮❀ ❋❂❙❝❡❧✴❙r❡③❀ ✪ ❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❝❧❡❛r ❛❧❧❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ①❞❛t❛❂❬✶✳✺✵ ✶✳✺✶ ✶✳✺✷ ✶✳✺✺ ✶✳✺✼ ✶✳✻✵ ✶✳✻✵ ✶✳✻✶ ✶✳✻ ✶✳✻✷ ✶✳✻✸ ✶✳✻✵ ✶✳✻✽ ✸✷ ✶✳✽✵ ✶✳✽✸❪❀ ②❞❛t❛❂❬✺✷✳✷✶ ✺✸✳✶✷ ✺✹✳✹✽ ✺✷✳✽✹ ✺✼✳✷✵ ✺✽✳✺✼ ✺✾✳✾✸ ✻✶✳✷✾ ✻✸✳✶✶ ✻✹✳✹✼ ✻✻✳✷✽ ✻✽✳✶✵ ✻✾✳✾✷ ✼✷✳✶✾ ✼✹✳✹✻❪❀ ❬❊rr❚▲❙✱ P✶❪ ❂ ❢✐t❴✷❉❴❞❛t❛✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬♥♦✬✮ ❨❤❛t❚▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✶✱①❞❛t❛✮❀ ❬❋❴❚▲❙✱ ❙r❡③❴❚▲❙✱ ❙❝❡❧❴❚▲❙❪ ❂ st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ P✶✭✷✮✱ P✶✭✶✮✮ P✷❂♣♦❧②❢✐t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✶✮ ❨❤❛t▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✷✱①❞❛t❛✮❀ ❊rr▲❙❂s✉♠✭✭❨❤❛t▲❙✲②❞❛t❛✮✳ ˆ ✷✮ ❬❋❴▲❙✱ ❙r❡③❴▲❙✱ ❙❝❡❧❴▲❙❪ ❂ st❛t✐♥❞❡①❡s✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ P✷✭✷✮✱ P✷✭✶✮✮ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t❚▲❙✱✬❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t▲❙✱✬❜✕✬✱✬❧✐♥❡✇✐❞t❤✬✱✶✳✺✱✬♠❛r❦❡rs✐③❡✬✱✷✮❀ ①❧❛❜❡❧✭✬①✬✮❀ ②❧❛❜❡❧✭✬②✬✮❀ ❧❡❣❡♥❞✭✬❉❛t❛✬✱✬▼♦❞❡❧ ✭❚▲❙✮✬✱ ✬▼♦❞❡❧ ✭▲❙✮✬✮✳ ✸✸ ❱➼ ❞ö ✷✳✷ ✳ ❈❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❞ú ❧✐➺✉ ✭✶✳✷✽✺✺✱ ✶✶✳✹✽✷✼✮❀ ✭✶✳✼✻✾✸✱ ✶✵✳✶✽✻✺✮❀ ✭✶✳✽✼✺✶✱ ✶✶✳✻✸✶✶✮❀ ✭✷✳✼✾✶✼✱ ✶✷✳✵✸✺✺✮❀ ✭✸✳✽✶✼✹✱ ✶✵✳✸✾✹✻✮❀ ✭✺✳✾✶✾✼✱ ✶✷✳✶✺✻✷✮❀ ✭✼✳✸✶✸✸✱ ✶✷✳✻✼✻✷✮❀ ✭✽✳✷✵✶✽✱ ✶✵✳✷✷✾✼✮❀ ✭✾✳✺✹✵✽✱ ✶✶✳✺✸✺✻✮❀ ✭✶✵✳✸✾✶✽✱ ✶✵✳✽✸✺✵✮❀ ✭✶✶✳✽✸✸✻✱ ✽✳✾✸✽✵✮❀ ✭✶✷✳✾✷✺✾✱ ✾✳✹✼✶✶✮❀ ✭✶✸✳✷✺✽✾✱ ✾✳✹✶✼✺✮❀ ✭✶✹✳✼✺✸✻✱ ✼✳✹✺✹✸✮❀ ✭✶✺✳✹✷✾✾✱ ✺✳✾✾✾✵✮❀ ✭✶✻✳✾✻✵✽✱ ✺✳✾✺✸✷✮❀ ✭✶✼✳✸✵✶✸✱ ✻✳✻✼✶✵✮❀ ✭✶✽✳✼✵✶✷✱ ✸✳✹✷✼✹✮❀ ✭✶✾✳✽✷✹✾✱ ✺✳✻✵✽✻✮❀ ✭✷✵✳✼✷✸✶✱ ✷✳✺✶✵✵✮❀ ❚➻♠ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❞↕♥❣ y = ax2 + bx + c ❝❤♦ ❞ú ❧✐➺✉ tr➯♥✳ ✣➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚▲❙ ✈➔ ▲❙✱ t❛ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ▼❆❚▲❆❇ ♥❤÷ s❛✉ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ✪ ❉❡♠♦ ♦♥ ◆♦♥❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✈✐❛ ❚▲❙ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▲❙ ♠❡t❤♦❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❊rr✱ ♠✐♥❴♣❛r❛♠❪❂♥✉♠❡r❋♠✐♥❙✭❢✉♥✱ ♣✱ ▲❇❛✱ ❯❇❛✱ ①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✮ ✐❢ ✭❡①✐st✭✬❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞✬✱ ✬❢✐❧❡✬✮ ❂❂ ✷✮ P ❂ r❡q✉✐r❡❋❊❳♣❛❝❦❛❣❡✭✽✷✼✼✮❀ ✪ ❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞ ✐s ♣❛rt ♦❢ ✽✷✼✼ ❛t ▼❛t❤❲♦r❦s✳❝♦♠ ❡♥❞ ✇❛r♥✐♥❣ ♦❢❢ ❛❧❧ ♦♣t✐♦♥s✶ ❂ ♦❞❡s❡t✭✬❘❡❧❚♦❧✬✱✶❡✲✻✱✬❆❜s❚♦❧✬✱✶❡✲✻✮❀ ♦♣t✐♦♥s ❂ ♦♣t✐♠s❡t✭✬▼❛①■t❡r✬✱✶❡✰✹✱✬▼❛①❋✉♥❊✈❛❧s✬✱✶❡✰✹✱✬❚♦❧❳✬✱✶❡✲✻✱✬❚♦❧❋✉♥✬✱✶❡✲ ✻✮❀ ▼♣♦✐♥ts✭✿✱✶✮❂①❞❛t❛❀ ▼♣♦✐♥ts✭✿✱✷✮❂②❞❛t❛❀ s✉♠❂✵❀ ❛✵❂③❡r♦s✭✶✱♣✮❀ ❬❛✱❢✈❛❧✱❡①✐t❢❧❛❣✱♦✉t♣✉t❪ ❂ ❢♠✐♥s❡❛r❝❤❜♥❞✭❅❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱❛✵✱▲❇❛✱❯❇❛✱♦♣t✐♦♥s✮❀ ✪ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ✇✐t❤ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ❬②②❪❂❢✉♥✭①❞❛t❛✱ ❛✮❀ ①❂①❞❛t❛❀ ②❂②②❀ ✪s♦♠❡ ♦✉t♣✉t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥✿ ❛❧❣♦r✐t♠❂♦✉t♣✉t✳❛❧❣♦r✐t❤♠❀ ❢✉♥❝❈♦✉♥t❂♦✉t♣✉t✳❢✉♥❝❈♦✉♥t❀ ✐t❡r❂♦✉t♣✉t✳✐t❡r❛t✐♦♥s❀ ✸✹ ♦✉t♣✉t✳♠❡ss❛❣❡❀ ♠✐♥❴♣❛r❛♠❂❛❀ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ✪❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬s✉♠❪ ❂ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ✭❛✮ s✉♠❂✵❀ ❬②②❪❂❢✉♥✭①❞❛t❛✱ ❛✮❀ ①❂①❞❛t❛❀ ②❂②②❀ ♣♦✐♥ts✭✿✱✶✮❂①❀ ♣♦✐♥ts✭✿✱✷✮❂②❀ ❢♦r ♠❂✶✿s✐③❡✭▼♣♦✐♥ts✱✶✮ ❬♠✐♥❴❞✐st✱ ■P❪❂❞✐st❴❞s❡❛r❝❤✭♣♦✐♥ts✱▼♣♦✐♥ts✭♠✱✿✮✱✬♦❢❢✬✮❀ s✉♠❂s✉♠✰✭♠✐♥❴❞✐st✮✳ ˆ ✷❀ ❡♥❞ ❊rr❂s✉♠❀ ❡♥❞ ❡♥❞ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬■❪ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭❳❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛✱ ❨❉❛t❛▼✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ ✪ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥❞❡① ✪ ■♥♣✉ts✿ ❳❉❛t❛✿ ① ❞❛t❛ ✪ ❨❉❛t❛✿ ② ❞❛t❛ ✪ ❨❉❛t❛▼✿ ♠♦❞❡❧ ❞❛t❛ ✪ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✿ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✪ ❖✉t♣✉t✿ ■✿ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥❞❡① ❦①❂❧❡♥❣t❤✭❳❉❛t❛✮❀ ❦②❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛✮❀ ❦②♠❂❧❡♥❣t❤✭❨❉❛t❛▼✮❀ ✐❢ ❦① ❂ ❦② ❞✐s♣✭✬■♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❳ ❛♥❞ ❨ ❞❛t❛✳✬✮❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ❡♥❞ ✸✺ ♥❂❦②♠❀ s❡②❂✭s✉♠✭✭❨❉❛t❛✲❨❉❛t❛▼✮✳ ˆ ✷✮✮✴✭♥✲♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮❀ s②❂✈❛r✭❨❉❛t❛✮❀ ■❂✭✶✲✭s❡②✳✴s②✮✮ ˆ ✵✳✺❀ ✪❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂❂ ❝❧❡❛r ❛❧❧❀ ❝❧♦s❡ ❛❧❧❀ ①❞❛t❛❂❬✶✳✷✽✺✺ ✶✳✼✻✾✸ ✶✳✽✼✺✶ ✷✳✼✾✶✼ ✸✳✽✶✼✹ ✺✳✾✶✾✼ ✼✳✸✶✸✸ ✽✳✷✵✶✽ ✾✳✺✹✵✽ ✶✵✳✸✾✶✽ ✶✶✳✽✸✸✻ ✶✷✳✾✷✺✾ ✶✸✳✷✺✽✾ ✶✹✳✼✺✸✻ ✶✺✳✹✷✾✾ ✶✻✳✾✻✵✽ ✶✼✳✸✵✶✸ ✶✽✳✼✵✶✷ ✶✾✳✽✷✹✾ ✷✵✳✼✷✸✶❪❀ ②❞❛t❛❂❬✶✶✳✹✽✷✼ ✶✵✳✶✽✻✺ ✶✶✳✻✸✶✶ ✶✷✳✵✸✺✺ ✶✵✳✸✾✹✻ ✶✷✳✶✺✻✷ ✶✷✳✻✼✻✷ ✶✵✳✷✷✾✼ ✶✶✳✺✸✺✻ ✶✵✳✽✸✺✵ ✽✳✾✸✽✵ ✾✳✹✼✶✶ ✾✳✹✶✼✺ ✼✳✹✺✹✸ ✺✳✾✾✾✵ ✺✳✾✺✸✷ ✻✳✻✼✶✵ ✸✳✹✷✼✹ ✺✳✻✵✽✻ ✷✳✺✶✵✵❪❀ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r ❂ ✸❀ ❬❊rr❚▲❙✱P✶❪❂♥✉♠❡r❋♠✐♥❙✭❅♠♦❞❡❧✱♣❛r❴♥✉♠❜❡r✱❬✲✵✳✵✺ ✵✳✺ ✾✳✺❪✱ ❬✲✵✳✵✹ ✵✳✼ ✶✵✳✵❪✱ ①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✮ ❨❤❛t❚▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✶✭✶✿♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮✱①❞❛t❛✮❀ ■♥❞❡①❴❚▲❙ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❨❤❛t❚▲❙✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ P✷❂♣♦❧②❢✐t✭①❞❛t❛✱②❞❛t❛✱✷✮ ❨❤❛t▲❙❂♣♦❧②✈❛❧✭P✷✱①❞❛t❛✮❀ ■♥❞❡①❴▲❙ ❂ ❝♦rr✐♥❞❡①✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ❨❤❛t▲❙✱ ♣❛r❴♥✉♠❜❡r✮ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱ ②❞❛t❛✱ ✬✯✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t❚▲❙✱✬❦✬✮❀ ❤♦❧❞ ♦♥ ♣❧♦t✭①❞❛t❛✱❨❤❛t▲❙✱✬r✬✮❀ ①❧❛❜❡❧✭✬①✬✮❀ ②❧❛❜❡❧✭✬②✬✮❀ ❧❡❣❡♥❞✭✬❉❛t❛✬✱✬▼♦❞❡❧ ✭❚▲❙✮✬✱ ✬▼♦❞❡❧ ✭▲❙✮✬✮❀ ... KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU HƯỜNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TỒN PHẦN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn

Ngày đăng: 09/01/2020, 09:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w