Trong bài viết đặt vấn đề tìm kiếm một thuật toán dùng vào mục đích thiết kế các mặt cong có thể cần thiết trong ứng dụng công nghệ cao CNC. Các kết quả bước đầu nhận được trên cơ sở phát triển nghiên cứu ứng dụng về hàm hoá bề mặt lý thuyết vỏ tàu thuỷ của chính Tác giả. Các ý kiến thảo luận làm rõ triển vọng áp dụng của ý tưởng đặt ra.
Tạp chí Khoa học – Cơng nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang VẤN ĐỀ TRAO ĐỔI THỬ TÌM KIẾM MỘT THUẬT TỐN THIẾT KẾ CÁC MẶT CONG PGS.TS Nguyễn Quang Minh Khoa Cơ khí - Trường ĐH Nha Trang Trong báo đặt vấn đề tìm kiếm thuật tốn dùng vào mục đích thiết kế mặt cong cần thiết ứng dụng công nghệ cao CNC Các kết bước đầu nhận sở phát triển nghiên cứu ứng dụng hàm hoá bề mặt lý thuyết vỏ tàu thuỷ Tác giả Các ý kiến thảo luận làm rõ triển vọng áp dụng ý tưởng đặt TỔNG QUAN Bài tốn thiết kế, thay xấp xỉ nghĩa trực tiếp mặt cong đặt có ý nghĩa thực tế cần thiết, chí nhiều trường hợp cần đến phương tiện quan trọng, chẳng hạn lĩnh vực công nghệ cao CNC Một mặt cong, cách chung nhất, xem tập hợp đường cong phẳng - tiết diện mặt cong với mặt phẳng (P) lựa chọn phù hợp Nếu vậy, cách tự nhiên nghĩ thuật tốn thiết kế mặt cong tốt nên đưa từ mô hình tốn khơng gian mơ hình biểu diễn tốn học xác đường cong phẳng Đơn giản tốn thiết kế đường cong cho mặt phẳng (P) giải quyết, tồn mặt cong cho trước đương nhiên nhận cách tịnh tiến quay hợp lý mặt phẳng (P) Theo cách tiếp cận trực tiếp vậy, toán đặt thuật tốn thiết kế mặt cong giải khơng khó khăn, ứng dụng mơ hình tốn xấp xỉ quen thuộc, mơ hình tốn điều kiện biên, cách giải thể qua bước gồm: - Chọn dạng hàm sở 52 - Áp dụng điều kiện biên xác lập số lượng thích hợp phương trình theo điều kiện - Giải hệ phương trình điều kiện biên biện luận kết Để đạt kết xấp xỉ mong muốn cần có số điểm thuộc đường cong giữ vai trò điều kiện biên đủ lớn Hàm sở thông thường chọn dạng đa thức luỹ thừa bậc n viết tổng quát đây: k =n x = ∑ ak y k (1) k =0 dạng chi tiết hoá: X =a0 +a1Y +a2Y2 +a3Y3 +a4Y4 + +an−1Yn−1 +anYn (2) Với X,Y- toạ độ điểm cho hệ toạ độ lựa chọn XOY, k = 0, 1, 2, 3…, n-1, n Dễ nhận xét biểu thức (2) dùng để tính tốn gần hình cong mà hiệu mục đích thiết kế đường cong Phương pháp spline Alberg J đề nghị nửa kỷ trước đây, nghiên cứu áp dụng rộng rãi toàn giới nhằm khắc phục phần nhược điểm đa thức luỹ thừa (2) Tuân theo ngun tắc Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 đường cong hàm hoá chia làm nhiều đoạn ngắn, đoạn xấp xỉ theo hàm đơn giản, phổ biến thường chọn parabol bậc viết tổng quát đây: k '= x j = ∑ c j ',k ' ( y j − y j '−1 ) k ' (4) k '= Trường Đại học Nha Trang Trong báo giới thiệu số kết phát triển từ nghiên cứu biểu diễn toán học bề mặt tàu thuỷ, vốn vật thể có đặc điểm riêng, hy vọng áp dụng giải thuật lập trình thiết kế chế tạo xác mặt cong theo mục đích cụ thể với j = (j'-1), j', (j'+1) J' = 1, 2, 3,…, k-1 Nhờ lợi lập trình, phương pháp spline ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ đem lại thành tựu quan trọng Mặc dù vậy, phương pháp spline xấp xỉ tốn học đường cong phẳng khơng thể đánh công cụ hiệu mục đích thiết kế nghiêm túc MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI NGHIÊN CỨU XẤP XỈ CÁC ĐƯỜNG CONG PHẲNG Trên hình minh hoạ mơ hình tốn lớp đường cong phẳng 1a, 1b, 1c nằm mặt phẳng P quan hệ khác hệ toạ độ lựa chọn XOY Tất đường cong cho tập hợp điểm rời rạc (Xi , Yi), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, n O Hình Sơ đồ đường cong phẳng - đối tượng xấp xỉ toán học Về phương pháp, yêu cầu thiết kế đường cong khác với đơn giản vẽ lại đường cong cho trước chỗ đòi hỏi, khơng áp dụng điều kiện biên nghĩa thông thường, mà quan trọng phải khai thác áp dụng điều kiện biên cách hợp lý nhất, đảm bảo khơng tính phù hợp trường hợp cụ thể, mà phải tiện lợi áp dụng đường cong thuộc lớp xét - đối tượng tốn xấp xỉ u cầu nói thực nhờ việc sử dụng đặc điểm hình học quan trọng gọi yếu tố điều khiển 53 Tạp chí Khoa học – Cơng nghệ Thủy sản số 01/2007 Có thể chứng tỏ tồn yếu tố có chức điều khiển vậy, xem tập hợp điều kiện cần để thơng qua thiết kế xác đường cong, vào yêu cầu thiết kế khác Các yếu tố gồm có: • Toạ độ điểm đầu (X0, Y0) • Toạ độ điểm cuối (Xt, Yt) • Diện tích hình cong Dt tạo đường cong cho trước với trục Toạ độ X = 0, X = 0, đường thẳng Y = Yt, X = Xt Trường Đại học Nha Trang cho phép chọn từ tập hợp đường cong, nhận sở điều kiện biên đầu tiên, xác đường cong phải tìm nghiệm toán thiết kế Trên sở biểu thức (3), (5.1) ÷ (5.4) dễ dàng thiết lập hệ phương trình mơ tả điều kiện biên giữ vai trò yếu tố điều khiển, nghiệm hệ phương trình cho hệ số thuộc biểu thức luỹ thừa bậc 3: X = X + a1Y + a 2Y + a 3Y xác định theo biểu thức sau đây: a1 = • Momen tĩnh Mox diện tích nói ứng với trục hoành Thật vậy, giả sử kết xấp xỉ tốn học xác đường cong cho tương ứng hình tìm dạng hàm liên tục: X = f (Y ) f (Y0 ) = X (5.1) f ( X t ) = Yt (5.2) yt y0 y0 ∫ Xdy = ∫ f (Y )dy = Dt yt : ∫ XYdy = y0 (5.3) yt ∫ f (Y )Ydy = M ox (5.4) y0 Hiển nhiên điều kiện (5.1) (5.2) phải đảm bảo Điều kiện (5.3) đảm bảo để đường cong hàm hoá được, tương ứng với điểm đầu cuối cho, tạo thành với trục tọa độ hình cong có diện tích Dt Điều kiện cuối (5.4) chứa ưu thiết kế đặc biệt cần khai thác 54 a2 = − ( X t + 32 Dt ) 7h (7) × (8 Dt − 15Mx + X t ) 7h (8) 20 (6 Dt − 12 Mx + X t ) 7h (9) a = : Khi biểu thức viết theo điều kiện biên mơ tả viết dễ dàng đây: yt (6) Dt = D − y0h Mx− y0h2 / ; Mx= ; h = yt − y0 (10) h h2 Biểu thức (6) với biểu thức (7) ÷ (10) tỏ đơn giản, áp dụng để thiết kế đường cong với điều kiện cho theo (4) Tuy nhiên nói bao gồm điều kiện cần tối thiểu Để cho bổ sung điều kiện “đủ”, đòi hỏi phải xác định đặc điểm hình cong giới hạn đường cong - đối tượng hàm hoá, cho phép phân biệt với đương cong lớp lại, chẳng hạn tính liên tục, tính biến thiên, góc tạo tiếp tuyến với đường cong vẽ nhiều điểm khác nhau, đặc biệt hai điểm đầu cuối Sau có lẽ quan trọng đường cong có điểm uốn miền xác định [y0,yt] Chẳng hạn nhận xét biểu thức (6) làm việc đường cong đối tượng hàm hoá cho trước có điểm uốn, đạo Tạp chí Khoa học – Cơng nghệ Thủy sản số 01/2007 hàm bậc nhận giá trị điểm y ∗ = − a / 3a Trong số nghiên cứu ứng dụng có lợi chọn hàm sở dạng hàm (1) x = k=n ∑ k =0 Trường Đại học Nha Trang mở rộng, thay giá trị ngun luỹ thừa nhận số thực dương bất kỳ, viết dạng tổng quát: a k y mk ; m > ; k = 1, , , , , n (11) chi tiết: X = X + a1Y m + a 2Y m + a 3Y 3m + a 4Y m + + a k −1Y k −1 + a k Y k Áp dụng điều kiện biên xét theo (4), sau tiếp tục thực bước tính tốn trình bày, dẫn đến đa thức luỹ thừa bậc 2m với m thực dương đây: X = X + a1Y m + a 2Y m (13) Thừa số luỹ thừa m hệ số có mặt biểu thức xác định theo biểu thức − 1,5( A − B ) ± 2,25( A − B ) − 2( A − B )( A − B + Xt ) m= 2( A − B ) a1 = (12) ( m + 1)[( m + 1) A + X − X t ] mh m (14) (15) X t − X − a1 h m a2 = h 2m (16) đó, ngồi ký hiệu thích ký hiệu dùng gồm: A= ω tt − X h h (17) B = m ω oytt − X h / h2 Biểu thức (13) với biểu thức (14)÷(18) sử dụng tiện lợi hiệu nhiều so với biểu thức (6), đặc biệt cần thiết giải ngược phương trình, tính Y theo X Trong trường hợp cần qua vài phép biến đổi dẫn dạng phương trình bậc sử dụng nghiệm giải sẵn quen thuộc (18) Vì cố gắng tìm kiếm lời giải sở nghiệm phương trình bậc 2, hiển nhiên biểu thức xấp xỉ (13) làm việc m có nghiệm thực, điều có nghĩa biểu thức dấu căn, viết vế phải biểu thức (14) không âm, thực chất hiểu phận đặc biệt số gọi điều kiện đủ để xấp xỉ toán học đường cong thuộc lớp xét, viết sau: 55 Tạp chí Khoa học – Cơng nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang , 25 ( A − B ) − ( A − B )( A − B + X t ) >= (19) Biểu thức (19) cho phép nhận đựơc điều kiện đủ để xấp xỉ toán đường cong minh hoạ hình biểu thức dạng đa thức luỹ thừa bậc 2m bao gồm: nếu: B > 2xt/ (20) nếu: B< − ( B − xt ) − xt − B 2X t ;A< 0,5 (20') và: B< − ( B − xt ) + xt − B 2X t ;A> 0,5 (20'') Giả sử nâng bậc đa thức luỹ thừa (13) lên bậc 3m cách áp dụng thêm điều kiện biên, chẳng hạn hệ số góc tạo tiếp tuyến với đường cong hàm hố điểm cuối Y = Yt , Khi biểu thức xấp xỉ đối tượng tìm kiếm viết dạng: X = X + a1 y m + a y m + a y 3m (21) Trong thừa số luỹ thừa m xác định nghiệm phương trình bậc đủ: m + 1,8333 ( A − 8B − X + 3xt − kh) ( A − B) ( A − B − X + X t ) m + m + 0,1667 =0 ( A − B) ( A − B) ( A − B) (22) Các hệ số có mặt biểu thức (21) xác định sau: a3 = m(3m + 1)( kh + X − X t ) + (2m + 1)(3m + 1)[(m + 1) A + X − X t ] m = 2m h m (23) kh m(3m + 2)( + X − X t ) + (2m + 2)(3m + 2)[(m + 2) B + X − X t ] m 2m h m kh + X − X t − 2a h m (2m + 2)(3m + 2)[(m + 2) B + X − X t ] a2 = m =− + 2m h m(3m + 2)h m 2m(2m + 2)a3 h m(3m + 2)h 3m 3m và: =− (2m + 1)(3m + 1)[(m + 1) A + X − X t ] + 2m(2m + 1)a3 h m(3m + 1)h m X t − X − a h m − a3 h 3m a1 = hm Hệ số góc tạo tiếp tuyến điểm cuối (Xt,Yt) viết biểu thức (22)÷(25) mang ý nghĩa điều kiện “đủ” viết 56 (24) 3m (25) biểu thức (20), (20') (20'') áp dụng cho biểu thức (13) Tạp chí Khoa học – Công nghệ Thủy sản số 01/2007 Trường Đại học Nha Trang cong cho hình sản phẩm trực tiếp đoạn chương trình máy tính viết sở thuật tốn trình bày coi minh chứng sinh động THAY LỜI KẾT LUẬN - - - Các kết đạt qua phân tích lý thuyết, đặc biệt qua chạy thử đoạn chương trình viết ngơn ngữ V.B cho phép khẳng định điều kiện biên đảm bảo xác, biểu thức xấp xỉ (13) (21) cho kết Điều nhận xét khẳng định hàm sở mở rộng viết dạng đa thức luỹ thừa bậc số thực (13) với ý tưởng khai thác hợp lý điều kiện biên, phân biệt gồm điều kiện cần điều kiện “đủ” có sở lý thuyết đúng, áp dụng rộng rãi cho hiệu cao Các điều kiện gọi đủ (20), (20') (20'') mặt khẳng định tính khơng thể xấp xỉ tốn học theo biểu thức (13) đường cong cho không thoả mãn chúng, mặt khác điều kiện lại đựơc lợi dụng, cộng cụ chính, để đưa đường cong từ chỗ khơng đến xấp xỉ nhờ vài phép biến đổi cần thiết Chính biểu thức (13) cuối tỏ tiện lợi, vạn năng, đồng thời hiệu xấp xỉ đường cong so với biểu thức (21) Các đường - Trong nhiều trường hợp điều kiện (5) nên coi chìa khóa thiết kế, gọi cách khác yếu tố điều khiển đề cập trên, cho phép thiết kế sở biểu thức (6) đường cong thiết kế có miền xác định điểm uốn nhất, sở biểu thức (13), (21)-khi đường cong thiết kế có từ hai điểm uốn trở lên Rất đáng ý kết thông báo nhận từ phép biến đổi tốn học xác điều kiện ứng dụng tin học sâu rộng, hiệu đảm bảo xác tham số điều khiển đường cong cho trước thực Những nhận xét khiến ý nghĩa phép xấp xỉ đường cong, thực tế, thay ý nghĩa phép hàm hố - mơ tả tốn học xác đường cong Tất trình bày đánh sở lý thuyết thực tiễn vững khẳng định triển vọng cuả thuật tốn lập trình thiết kế xác lớp mặt cong kỹ thuật đề cập viết TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Văn Hạp – Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật tốn, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Quang Minh, Kết nghiên cứu hàm hoá bề mặt lý thuyết vỏ tàu thuỷ, Tuyển tập cơng trình khoa học cơng nghệ, Trường Đại học Nha Trang, 1999 E.W Cheney, Introduction to appoximation theory, University of Texas, 1966 Robert Sedgewick, Algorithms, Princeton University (USA), 2nd Edition Addison-Wesley Publishing Co Người dịch: Trần Đan Thư, Vũ Mạnh Tưởng, Dương Vũ Diệu Trà, Nguyễn Tiến Huy, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1994 Zeldôvich Ya B., Yaglom I.M., " Higher Math for beginner" Mir Publisher Moscow, 1987 ABSTRACT In the paper will be introduced the problem of researching an algorythm for designing the curve surfaces, that may be needed somewhere in the field of CNC application The beginning results that will be represented are based on the reseaches of the ship theorical surfaces approximation, acheaved by the Author The discussions clarify the aplyed abilities of the rised idea 57 ... khóa thiết kế, gọi cách khác yếu tố điều khiển đề cập trên, cho phép thiết kế sở biểu thức (6) đường cong thiết kế có miền xác định điểm uốn nhất, sở biểu thức (13), (21)-khi đường cong thiết kế. .. spline xấp xỉ toán học đường cong phẳng đánh công cụ hiệu mục đích thiết kế nghiêm túc MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI NGHIÊN CỨU XẤP XỈ CÁC ĐƯỜNG CONG PHẲNG Trên hình minh hoạ mơ hình tốn lớp đường cong phẳng... cần để thông qua thiết kế xác đường cong, vào yêu cầu thiết kế khác Các yếu tố gồm có: • Toạ độ điểm đầu (X0, Y0) • Toạ độ điểm cuối (Xt, Yt) • Diện tích hình cong Dt tạo đường cong cho trước với