Gv:ng« tïng l©m- thpt thanh s¬n- d®: 0916 166 645 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Thể tích của một khối đa diện là một số dương có tính chất sau: a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 2. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc; với a,b,c là ba kích thước của khối hộp 3. Thể tích của khối chóp: 1 . 3 V S h= ; S,h lần lượt là diện tích đáy cà chiều cao của hình chóp 4. Thể tích của khối lăng trụ: V = S.h B. BÀI TẬP Vấn đề 1 : THỂ TÍCH KHỐI HỘP 0.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi hép ch÷ nhËt cã chiỊu réng b»ng 2,chiỊu dµi b»ng 3 vµ chiỊu cao b»ng 4 1. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với đáy một góc bằng 30 0 2. Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân cơng bội bằng 2. Thể tích bằng 64. Tìm các kích thước đó. 3. Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm 3 . Khi đó tính độ dài cạnh của hình lập phương. 4. Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 60 0 , AC = B’D. Tính thể tích của hình hộp. 5. Đáy của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh bằng 6cm, góc BAD bằng 45 0 ; cạnh bên AA’ = 10cm và tạo với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích của khối hộp đó. 6. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD bằng 60 0 , AB’ hợp với đáy ABCD một góc α . Tính thể tích của khối hộp đó 7.C¸c ®êng chÐo cđa c¸c mỈt bªn cđa mét khèi hép ch÷ nhËt b»ng: 5 , 10 , 13 8.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lËp ph¬ng cã tỉng diªn tÝch c¸c mỈt b»ng 24 Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Loại 1 : Khối chóp đều : là khối chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy . 0.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diªn ®Ịu c¹nh b»ng a 1. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Biết góc BAC bằng 120 0 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 2. Cho khối chóp tam giác đều cạnh bên bằng 2 và các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp. 3. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Tính thể tích của khối chóp. 4. Cho khối chóp tam giác đều cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với đáy một góc bằng 45 0 . Tính thể tích của khối chóp. 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Tính thể tích của khối chóp. 6. Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của khối chóp đó. 7. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều: a. Cóù cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 11 b. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc α . Tính thể tích của khối chóp đó. 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc α . Tính thể tích của khối chóp đó. 10.(DHSP HCM-00) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA =SD =SB = SC = a. a. Tính diªn tÝch toµn phÇn vµ thể tích khối chóp S.ABCD. b)TÝnh cosin cđa gãc nhÞ diªn (SAB,SAD) 11.(Y HN-00) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có c¹nh ®¸y AB=a vµ ¼ SAB = α . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α . 12: TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp tam gi¸c ®Ịu SABC trong c¸c trêng hỵp sau: a) C¹nh ®¸y b»ng a, gãc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, gãc gi÷a mỈt bªn vµ mỈt ®¸y b»ng α (CD-09). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a , SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đườngthẳng MN vng góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. 2)Khối chóp có một c¹nh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là c¹nh bên (phát xuất từ đỉnh khối chóp ) 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng có đường chéo bằng 2; hai mặt bên SAB, SAD cùng vng góc với đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 30 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. a. Chứng minh rằng CS ⊥ BD. b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) c. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ∆ 15. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC . b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') . c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' . 16. H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iĨm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC. 17. H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA ⊥ (ABC). ACB =60 o , BC = a, SA = a 3 , M lµ trung ®iĨm SB. TÝnh thĨ tÝch MABC 18.H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA ⊥ (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A trªn SB, SD. Chøng minh r»ng SC ⊥ (AHK) vµ TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp OAHK. 19.(DH B-06) H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA ⊥ (ABCD). M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm AD vµ SC. I = BM ∩ AC. TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp ANIB. DS:V= 3 2 36 a D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 2 DS:V ABCMN = V SABC – V SAMN = 3 9 3 3 25 50 SBAC a V = (CĐ -2008) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, · · 0 90BAD ABC= = , AB=BC=a, AD=2a, SA ⊥ đáy ABCD, SA= 2a. gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. ĐS: V = 3 3 a (DH). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA= 3a và SA ⊥ mp đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB, AC. ĐS: V = 3 3 6 a ; cos α = 2 4 Loại 3 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao của tam giác mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp ) 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, , 3AB a BC a= = . Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC. 21. Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) ⊥ (ABCD). M, N - Trung ®iĨm AB, BC. TÝnh VSBMDN 22(A-07). H×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, (SAD) ⊥ (ABCD). ∆SAD ®Ịu. M, N, P lÇn lỵt lµ trung ®iĨm SB, BC, CD. tÝnh thĨ tÝch h×nh chãp CMNP ®s: V= 3 3 96 a 23.(ĐH B-2008) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA= a, SB = 3a và mp(SAB) vuông góc với mp đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin góc giữa 2 đường thẳng SM, DN. ĐS: V = 3 3 3 a ; cos α = 5 5 Loai 4 : Khối chóp có hai mặt bên kề nhau vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là giao tuyến của hai mặt bên đó . 24. Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 120 0 . a.Chứng minh hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. b.Tính diện tích xung quanh của hình chóp SABCD. c.Tính thể tích hình chóp S.BCD, từ đó suy ra khoảng cách từ D đến (SBC). 25) .ĐH – A-2009):Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D ; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tỉng hỵp 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3 2 a và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 60 0 . a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) c. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 3 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, · 0 5 60 , 2 a BAD SA SC= = = , SB = SD. a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD). 28. Cho S. ABC có các mặt bên là các ∆ vuông; SA= SB= SC = a. Gọi M, N, E là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đt (AD) với mp(SMN). Chứng minh AD ⊥ SI và tính thể tích khối tứ diện MBSI. ĐS: 3 36 a 29. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các ∆ đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc nhau. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính góc giữa 2 đt AD, BC. ĐS: 3 2 12 a V = ; · 0 (AD, BC)=60 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là 60 0 , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích của khối chóp đã cho. 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA ⊥ (ABC), · 0 60 , , 3ACB BC a SA a= = = . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. 33. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 2a, tam giác ABC vng tại C có AB = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SC, SB. a. Tính thể tích của khối chóp H.ABC b. Chứng minh AH ⊥ SB và SB ⊥ (AHK). c. Tính thể tích khối chóp S.AHK. Vấn đề 3 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, chiều cạnh bên bằng 2a. 2.Mét l¨ng trơ ®øng tam gi¸c cã c¸c c¹nh ®¸y b»ng 37,13,30 vµ diªn tÝch xung quanh b»ng 480.TÝnh thĨ tÝch khèi l¨ng trơ ®ã ( S-xq=chu vi ®¸y *c¹nh bªn ) 3. Mét l¨ng trơ ®øng tam gi¸c cã c¸c c¹nh ®¸y b»ng 13,14,15 c¹nh bªn t¹o víi ®¸y gãc 30 0 vµ cã chiỊu cao b»ng 8.TÝnh thĨ tÝch cđa KLT 4. Mét l¨ng trơ ®øng tam gi¸c cã c¸c c¹nh ®¸y b»ng 19,20,37 chiỊu cao cđa khèi l¨ng trơ b»ng trung b×nh céng cđa c¸c cach ®¸y. tÝnh V KLT 5. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vng tại A, AC = a, góc ACB bằng 60 0 . Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30 0 . a. Tính độ dài đoạn thẳng AC’ b. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối chóp A. BCC’B’. 7. Cho hình lăng trụ xiªn ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 . Hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B và AB = a, BC = 2a, AA’ = 3a. Mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với CA’ lần lượt cắt CC’ và BB’ tại M và N. a. Tính thể tích khối chóp C.A’AB b. Chứng minh AN ⊥ A’B c. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN. d. Tính diện tích tam giác AMN. 9. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 60 0 , BC = a và hình chóp A.A’B’C’ là hình chóp đều. Tính thể tích khối lăng trụ theo a. 4 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C. ĐS: V = 3 2 2 a ; d = 7 7 a 11(ĐH A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là ∆ vuông tại A, AB=a, AC= 3a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích A’.ABC và cosin góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. ĐS: V = 3 2 a ;cosα= 1 4 12(D-08). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C. ĐS: V = 3 2 2 a ; d = 7 7 a 13. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là ∆ vuông tại A, AB=a, AC= 3a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích A’.ABC và cosin góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. ĐS: V = 3 2 a ; cos α = 1 4 14. Cho lăng trụ đứng ABC. A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác vng có AB=AC= a, AA 1 = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA 1 và BC 1 . Chứng minh MN là đường vng góc chung của AA 1 và BC 1 . Tính thể tích khối chóp MA 1 BC 1 . ĐS: V= 3 2 12 a 15. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’. b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’) 16. (ĐH khối D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’. Gọi I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC và tính khoảng cách từ A đến mp(IBC). Ds:V= 3 4 9 a H= 2 5 5 a 17.(B-09)Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vng tại C và · BAC = 60 0 . Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Ds:V 3 9 208 a = Vấn đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH 0. Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B = 'C' . V SA SB SC CMR: . . V' SA' SB' SC' 1 1. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ 3 diện ABMD và ABMC . = ABDM ABCM V Đáp số : 2 V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C ′ ′ = A.BB'C'C ABC.A'B C V 2 Đáp số : V 3 5 3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN. Mp(MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số AQ AD và tỷ số thể tích 2 phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp(MNP). ĐS: 3 5 AQ AD = ; 1 2 7 13 V V = 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S. AB’C’D’. 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP). 6 . tích khối chóp S.BCNM theo a. ĐS: V = 3 3 a (DH). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA= 3a và SA ⊥ mp đáy. Tính theo a thể tích khối tứ. lăng trụ theo a. 4 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể