TOAN 12

1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng a.Cho hµm sè y = f(x) Liªn tôc vµ kh«ng ©m Trªn [a; b]. f(x) O S = ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx = ∫ ∫ §å thÞ cña hµm sè y = f(x) cã vÞ trÝ nh­ thÕ nµo so víi trôc Ox ? ? X Y B A A’ B’ ● ● a b Ví dụ1 Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]. Từ đó tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx, y = 0, x = 0, x = 2 X Y HD: áp dụng công thức ta có: 2 2 0 0 sin cos 1( )S xdx x dvdt = = = O 1 2 2 Trong trường hợp f(x) là hàm số không dương trên đoạn [a;b] thì đồ thị của hàm số có vị trí như thế nào so với trục Ox? ? Đồ thị nằm phía dưới Trục Ox. Quan sát hình bên em Có nhận xét gì về diện tích của hai hình thang cong AA B B và A CDB ? f(x) 0 trên [a;b] ? X Y B A A B a b O f(x) -f(x) C D S AA B B = S A CDB Khi đó diện tích hình Thang A CDB được tính như thế nào? ? ' ' ( ) ( ) b b A CDB a a S f x dx f x dx = = Mét c¸ch tæng qu¸t • Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a;b]. Khi ®ã diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè y = f(x), x = a, x = b vµ trôc hoµnh lµ: ( ) b a S f x dx = ∫ VÝ dô 2 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè y = cosx, y = 0, x = 0, x = 2 HD Tõ h×nh vÏ ta cã diÖn tÝch H×nh ph¼ng giíi h¹n lµ: ● ● ● ● 2 2 ● ● 3 2 O X Y 1 - 1 3 2 2 2 3 0 2 2 3 2 2 2 3 2 2 cos cos cos sin sin sin 1 0 1 2( ) o S xdx xdx xdx x x x dvdt π π π π π π π π π π = + − + = − + = + + = ∫ ∫ ∫ Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b thì diện tích của nó có còn được tính bởi công thức trên nữa không? ? Quan sát hình vẽ.Em hãy cho biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x),y = 0 , x = a, x = b được tính như thế nào? ? Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = g(x), y = 0, x = a, x = b được tính như thế nào? 1 ( ) ( ) c b a c S f x dx f x dx = + 2 ( ) ( ) c b a c S g x dx g x dx = + O f(x) g(x) X Y a c b Từ hình vẽ em hãy tìm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b? 1 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] c b a c S S S f x g x dx g x f x dx = = + Mét c¸ch tæng qu¸t Cho hai hµm sè y = f 1 (x), y = f 2 (x) liªn tôc trªn [a;b] khi ®ã diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = f 1 (x), y = f 2 (x), x = a, x = b ®­îc cho bëi c«ng thøc: 1 2 ( ) ( ) b a S f x f x dx = − ∫ Chó ý §Ó tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = f 1 (x), y = f 2 (x), x = a, x = b ta thùc hiÖn nh­ sau: • Gi¶i Ph­¬ng tr×nh f 1 (x) = f 2 (x) ®Ó t×m c,d… (trong ®ã a ≤ c ≤ d ≤ …≤ b) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] b a c d a c b d S f x f x dx f x f x dx f x f x dx f x f x dx = − = − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ áp dụng. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đư ờng y = x 2 + 2, y = 3x. HD: Xét phương trình x 2 + 2 = 3x giải phương trình ta tìm được x = 1 và x = 2. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 ( 2 ) ( ) 3 2 6 6 S x x dx x x dx x x x dvdt = + = + = + = =