UBND TỉnhhảI dơng Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam GD & ĐT hảI dơng Độc lập Tự do Hạnh phúc Đềthi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2008 2009 Môn toán Thời gian 150 phút Câu 1: ( 1,5 điểm) Cho biểu thức A = 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x x x x x x + + + ữ ữ + + với 0, 1x x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng 0 < A < 2. Câu 2: (2 điểm) 1) Cho các số dơng a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng: 1 5 5 5 5 5 5 ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + . 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) (2008 2010 )f x x x= + Câu 3: (2 điểm) 1) Giải phơng trình: 2 2 2 2 2 2 2 x x x x + + = + + 2) Giải hệ phơng trình: 3 2 2 2 2 2 4 3 0 (1) 2 0 (2) x y y x x y y + + = + = Câu 4 ( 3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn ( O;R ) . Điểm M thuộc cung nhỏ BC. gọi I,K,H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC. Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của AB; HK. 1) Chứng minh MQ PQ. 2) Chứng minh : MH BC MK AC MI AB =+ 3) Cho tam giác ABC đều. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất Câu 5: Trên một đờng tròn ta lấy 1000 điểm rồi đánh số theo thứ tự cùng chiều từ 1 đến 1000. Bắt đầu từ số 1 cứ 15 số ta gạch đI một số, tức là xoá các số 1,16, 31 Tiếp tục quá trình này qua một số vòng cho đến khi số 1 bị xóa lần thứ 2. Hỏi trớc lúc đó còn lại bao nhiêu số không bị xoá ? Hết . Họ và tên thí sinh: Số Báo Danh: Hớng dẫn chấm. - Đáp án biểu điểm Câu Đáp án hớng dẫn Điểm 1,5 điểm 1) với 0, 1x x Ta có A = ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 : . 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + = ữ ữ + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) 2 1 2 2 . 1 1 1 1 + = + + + + x x x x x x x x 0,25 0,5 2) với 0, 1x x ta luôn có A > 0 Lại có: 2 1 1 2 1 + + > < + + x x x x hay A < 2 Vậy 0 < A < 2 0,25 0,25 0,25 Câu 2 2 điểm Ta có a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 - a 3 b + a 2 b 2 ab 3 +b 4 ) =(a + b)[(a - b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) + a 2 b 2 ) Do 2 (a - b) 0; a,b,c > 0, nên 2 2 2 (a - b) (a + ab + b ) 0 Suy ra ( ) 5 5 2 2 a b a b a b+ + . Đẳng thức sảy ra khi a = b. Do đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 5 5 1 ab ab c ab a b ab a b c a b c a b a b ab a b ab = = = + + + + + + + + + + (1) ( vì có abc =1) Chứng minh tơng tự tacó 5 5 a b bc a b c c bc + + + + (2) 5 5 b ca a b c c a ca + + + + (3) Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta có 1 5 5 5 5 5 5 a b c a b c ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + = + + + + + + + + + + Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có ( ) 2 ( ) 2008. 2008 2010f x x x= + áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 2 bộ số : ( ) ( ) 2 2008 , 1 ; 2008 , 2010 x Ta đợc ( ) 2 2 ( ) 2008 1. 2008 2010 2009 4018f x x x x x + + = áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm x 2 và 2 4018 x ta có 2 2 4018 2 4018 2009 2 x x x x + = Suy ra: ( ) 2009 2009 2009 2009 ( ) 2009 2009f x f x Vây max ( ) 2009 2009f x = khi x = 2009 min ( ) 2009 2009f x = khi x = - 2009 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 2 điểm ĐK: 0 4x Đặt 2 0; 2 0x a x b+ = = Ta có 2 2 4 , a + b = 4ab x= . Phơng trình là: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b ab a b a b a a b b b a + = + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a ab a b a ba b b + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( do a b 4)ab a b ab + = + + = Do 2 + ab 0 nên a b = 2 Bình phơng hai vế ta đợc 2 2 2 2 2 2 1 4 1 3a b ab ab ab x x+ = = = = = x = 3 thoả mãn điều kiện bài toán. Phơng trình có nghệm duy nhất x =3. 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Từ (1) 3 2 3 1 2( 1) 1 1 x y x x = Từ (2) 2 2 2 2 1 1 -1 1 y y x x x + = Suy ra x = -1 thay vào (2) ta có: y 2 2y + 1 = 0 y =1 Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x , y ) = (-1 , 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 D O P Q K I H M C B A Câu 4 3 điểm 1) Tứ giác MCKH nội tiếp ã ã ã ã ã ã BCM = HKM = BAM; HMK = BCA = BMA BMA HMK. Mặt khác MP, MQ là trung tuyến của BMA, HMK MH MB MQ MP = và ã ã BMH = PMQ BMH PMQ Mặt khác ã ã 0 0 BHM = 90 PQM = 90 PQ MQ. 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Giả sử AC AB ta có: MK AK MI AI MK KCAK MI BIAI MK AC MI AB += + + =+ (1) ( Do ã ã MBI = MCK ã ã cotg MBI = cotgMCK ) MK KC MI BI = Do à à à à 1 1 1 1 C = A nên cotgA = cotgC MH CH MI AI = ( 2) à à à à 2 1 2 1 A = B nên cotgA = cotgB (3) AK BH MK MH = Từ (1),(2) và (3) suy ra MH BC MH BH MH CH MK AC MI AB =+=+ 0,25 0,25 0,25 0,25 3) Gọi D là giao điểm của MA với BD ta có : MBD MAC ã ã ã ã ( ) , BMD AMC DBM CAM= = MB BD MA AC = Tơng tự ta có : MC CD MA AB = Do đó 1 MB MC MA MA + = Suy ra MA + MB + MC = 2MA 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R khi AM là đờng kính khi đó M là trung điểm của cung BC 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 1 điểm Số đầu bị gạch là số 1, số thứ hai là 1 + 15 = 16 số thứ ba là 1 + 15.2 = 31 v.v. số thứ n bị gạch có dạng 1 + 15(n-1) = 15n - 14 . Bài toán có thể hiểu theo cạch khác là: Sau vòng thứ nhất ở vị trí số 1 ta đặt số 1001, vòng thứ 2 ta đặt số 2001, vòng thứ 3 ta đặt số 3001. Số các số bị gạch là số nguyên, vì vậy quá trình gạch các số này sé kết thúc khi, ở vị trí số 1, trong dãy 1001, 2001, 3001,lần đầu tiên ta gặp số bị gạch có dạng 15 n -14. Giả sử điều đó xảy ra sau k vòng tức là số k.1000 + 1 = 15n 14 hay k.1000+15 = 15 nnghĩa là số (k.1000+15) chia hết cho 15. Do đó trong dãy số 1015, 2015, 3015 cần phải tìm số đầu tiên chia hết cho 15. Rõ ràng đó là số 3015 vì 3015 = 15.201. Khi đó khác nhau bị gạch là 200 ( vì số 1 bị gạch hai lần lần đầu là số 1 lần sau là số 3001). Vì vậy tất cả các số bị gạch là 200 (số) đồng thời không có số nào bị gạch hai lần. Suy ra các số không bị gạch là 1000- 200 = 800 (số). 0,25 0,25 0,25 0,25 . UBND Tỉnh hảI dơng Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam GD & ĐT hảI dơng Độc lập Tự do Hạnh phúc Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2008. vì số 1 bị gạch hai lần lần đầu là số 1 lần sau là số 3001). Vì vậy tất cả các số bị gạch là 200 (số) đồng thời không có số nào bị gạch hai lần. Suy ra