Nghiên cứu dao động của màng (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HÀ NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MÀNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trường q trình thực khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhậnđược đóng góp ý kiến thầy bạn bè để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Cơng trình khơng trùng lặp với kết luận văn tác giả Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1.2 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT 1.2.1 Dao động cưỡng màng chữ nhật 1.2.2 Các đường nút màng chữ nhật 13 1.3 PHƯƠNG TRÌNH BETSEN 15 1.4 HÀM BETSEN 17 1.4.1 Các tính chất truy hồi hàm betsen 24 1.4.2 Một vài trường hợp riêng hàm betsen 25 1.4.4 Tính trực giao hàm betsen 27 1.4.5 Khai triển hàm tùy ý vào hàm betsen 31 1.5 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG TRÒN 32 1.6 HÀM GAMMA 38 KẾT LUẬN CHƯƠNG 38 CHƯƠNG 2: BÀI TẬP 39 KẾT LUẬN CHƯƠNG 53 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Vật lý môn khoa học nghiên cứu vật tượng xảy hàng ngày, có tính thực tiễn cao, cần vận dụng kiến thức toán học Những phương pháp toán học dùng vật lý đa dạng phong phú Các kiến thức toán học cần thiết cho bạn sinh viên học trường mà cơng cụ hữu ích cho cơng việc học trường Phương pháp toán lý học phần quan trọng việc đào tạo giáo viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm phương pháp toán học đại vật lý, hiểu rõ chất q trình truyền sóng truyền nhiệt vật chất Việc nghiên cứu học phần sở nghiên cứu môn học khác Đặc biệt việc nghiên cứu dao động sóng tương đối phức tạp đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học Các phương trình mơ tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến ) đạo hàm riêng biến số độc lập Các phương trình vật lý tốn phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt phương trình Laplaxo Nói cách đơn giản chúng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập chia làm ba dạng phương trình eliptic, phương trình hipebolic phương trình parabolic Là sinh viên sư phạm vật lý tơi nhận thấy mơn phương pháp tốn lý mơn học tương đối khó có phần dao động màng Trong thời điểm tài liệu tham khảo loại dao động hạn chế, phương pháp mang tính khái qt thiếu cụ thể tơi chọn đề tài có tên “Nghiên cứu dao động màng “ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương trình dao 1động màng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dao động màng Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng phương trình dao động màng - Áp dụng phương trình dao động màng để giải số tập Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải tích tốn học - Các phương trình vi phân - Đọc tài liệu tra cứu Cấu trúc khóa luận - Phần 1: mở đầu - Phần 2: Nội dung Chương 1: Phương trình dao động màng Chương 2: Bài tập - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo NỘI DUNG CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Giả sử ta có màng kéo lực căng T Nghĩa tách phần màng giới hạn đường cong kín L, phần lại thay lực đặt lên L’ nằm mặt phẳng tiếp xúc với màng hướng theo pháp tuyến L’(h.1.1) phân bố cho yếu tố cung ds’ đường cong L’có lực tác dụng Tds’, T mật độ phân bố không đổi lực căng Giả thiết màng đàn hồi, dao động nhỏ đến mức độ tăng diện tích màng q trình dao động bỏ qua Khi mật độ phân bố lực căng T tất tiết diện màng Giả sử nằm yên, màng mặt phẳng (x, y), dao động xảy cho đểm màng lệch theo phương vng góc với mặt phẳng Kí hiệu độ lệch u; u hàm tọa độ x, y thời gian t: u = u( x, y, t ) L ds’ Tds’ Hình 1.1 Bây ta tìm phương trình mà hàm thỏa mãn Khi nằm yên, màng chiếm diện tích  mặt phẳng (x, y) ( h1.2) Ta xác định hình chiếu trục u lực tác dụng lên mẫu màng u L  n P [s,n] S  x y ds Hình 1.2 Gọi vecto đơn vị pháp tuyến với màng điểm P đường cong L n n= cos  i + cos  j+ cos  k cos  , cos�, cos� cosin phương n Vecto đơn vị tiếp tuyến L P S S = cos  ’i + cos  ’j+ cos  ’k cos  ’, cos  ’, cos  ’ cosin phương S Lực căng T tác dụng theo phương vecto [S,n]=(cos  ’cos  - cos  cos  ’ )i +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’)j +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’) k Do hình chiếu lực căng tác dụng lên yếu tố cung ds’ L’ trục u là: �(cos ∝ ′ cos � − cos ∝ cos �′)��′ Còn hình chiếu tương ứng hợp lực căng phân bố theo chu tuyến L’ � ∮ (cos ∝ ′ cos � − cos ∝ cos �′)�� ′ = � ∮ (cos � �� ′ − cos ∝ ��′)(1.1) �′ �′ cos  ’ds’ = dx’ ; cos  ’ds’= dy’ Ta biết cosin phương pháp tuyến mặt u= u( x,y,t) −� cos  = � �′ ; cos  = 2 2 √1+�′� +�′ � √1+� ′� +�′� � ; cos  = √1+�′ � +�′� (góc n trục u coi nhọn ) Mặt khác diện tích mẫu màng ∮� √1 + �′�22 + �′� ds =� =∫ �� Ta giả thiết diện tích màng q trình dao động khơng thay 2 đổi nên√1 + �′ � + lấy 1, nghĩa �′� , �′� bỏ �′� qua so với Do ta đặt cos∝ = −�′� ; cos� = −�′� ; cos� = biểu thức( 1.1) có dạng : −� �∮ (�′� �� ′ − �′ � ��′)(1.2) ′ Ta kí hiệu hình chiếu chu tuyến L mặt phẳng xy  Vì ta đặt cos  = 1, nghĩa  = nên dx’ = dx, dy’=dy với dx, dy hình chiếu yếu tố cung ds chu tuyến  lên trục ox, oy, tích phân (1.2) lấy theo  −� ∮ (�′� �� ′ − �′� �� ′ ) = −� ∮ (�′� �� − � ′� ��) ��′  Biến đổi thành tích phân mặt theo cơng thức Grin ta có : ∫ �′� − �′ � �� = − ∫ (�′′�� + �′′�� ) ��   Vì cuối hình chiếu trục u hợp lực căng phân bố theo chu tuyến Thay λ=��2 vào (2.20) ta có nghiệm riêng � (2.20) : T(t)=��� cos ��� �� + ��� sin ��� �� =>nghiệm riêng (2.16) : ��� �� ��� (�, �) = (��� cos ��� �� + ��� � � sin sin ��� ��) sin � nên ta có nghiệm phương trình (2.16) : ∞ ∞ ��� ��� sin �(�, �) = ∑ ∑(��� cos ��� �� + ��� sin (2.27) � ��� ��) sin �=1 �=1 � Từ diều kiện ban đầu: ∞ ∞ �|�=0 = ∑ ∑ ��� sin �=1 �=1 ∞ ∞ ��� � sin �� ��� | = ∑ ∑ ���� sin � �= { � ��� = ���(� − � )(� − �) � (2.28) ��� => ��� = sin � (2.29) � �=1 �=1 Nhận thấy ��� hệ số khai triển Axy(b - x) thành chuỗi Fourier Nhân �� � vế (2.27) với sin � sin � �� � lấy tích phân theo x y � � ��� ��� ���� ∫ ∫ ��� sin2 sin2 � � 0 � � ��� ��� ���� = ∫ ∫ ���(� − �)(� − �) sin � sin � 0 Ta có: � � �2 �2�� �� ) �� (1 − ) �� �� = ∫ (1 − cos � � cos �� ��� = sin � [� − �2� �2 �� �� � � �� ]| [� − sin �2� � ]| � ��� = �2 (2.30) � � � = ∫ ∫ ���(� − �� − �� + ��) sin � 0 � � =∫� sin ��� � �� � ∫[(� ��� sin ��� ��� �− �� )� (� + − ��) � 2] sin � �� � �� � �� � đặt: � = ∫ (� � − �� )� sin � ��� � − = − (� � �� )� cos | �� � � �2 + 2 � � (� ��� � 2� − | =− � �� �� (� 2)� − �� 2� sin 2) cos �� �3 � − �4� cos �� => �1 = �� � �� � �� � đặt � = ∫ (� − ��)� 0sin 2� � + �� ∫ �� cos sin�� | + � �� � [− ��] = (� − ��) [− | �4� − �3 � � 2� cos �� + (� � � −� � Nên � = − 1)(� − ��) �� �� � � (cos �� − �� �� + } ] = (� cos �� + [ 2� − ��) {− 1)] �� �2 � => �2 = cos �� + � � � �� �2 � � �� cos | �� � �� +�� � ��� � = (� − ��) � cos 2� cos �� + �� (cos �� − 1) − ��) � �3 �−� � cos �� + �3 � �ế� � = 2� = {−4� (� − ��) �ế� � = 2� + (2� + 1)3 � � => � = ∫ −4�� (� − � sin � ��) � (2� + 1)3 � �� � 2� (cos �� � −4�� ��� ( = ∫ � �� − ��) (2� + 1)3 � � sin −4�� = (2� + 1)3 � (� � {− �� � � + ∫(2� − �) �� cos 2− ��� �� ) cos � 0| � ��� ��} � −4�� � ��� 2� ��� cos � [(2� − �)�sin � = { | + �2� | ]} �� � � ( 2� + ) � � � −4�� 2� (cos �� − 1)] = [ (2� + 1)3 � � � ={ �ế� � = 2� 16�� �ế� � = 2� + (2� + 1)3 (2� + 1)3 � 16�� => � = (2� + 1)3 (2� + 1)3 � Từ (2.30), (2.31) => (2.31) �2 16���6 �� = (2�+1)3 (2�+1)3�6 => �� = 64�� �4 (2�+1)3 (2�+1)3 �6 (2.32) Theo trên: �2 2� =�� �2 � [(2� + 1)2 + (2� + 1)2 ] 2 √(2� + => ��� = � 1) + (2� + 1) Từ (2.27), (2.29), (2.23) ta có nghiệm tốn cho: �(�, �) = ∞ ∞ 16 �� ∑∑ �6 �=0 �=0 (2�+1)� (2�+1)�� � sin sin � � cos (2� + 1)3 (2� + 1)3 �� √(2� + 1)2 + (2� + 1)2 � � Bài 4: chứng minh �1 (�) = −�′0 (�) vẽ đồ thị của�1 (�) Lời giải Ta∞có �0 (�) = ∑ (−1)� �=0 � 2� 22� (� !)2 0,6 0,4 0,2 -0,2 10 15 20 Hình 2.1 ∞ � 2�+1 � (�) = ∑ (−1) 22�+1 �! (� + 1)! � �=0 Ta thấy ∞ 2�� 2�−1 �0′ (�) = ∑ (−1) 2� (�!)2 � �=1 Đặt m=n+1 ta ∞ �′0 (�) = ∑(−1) (�+1) �=0 ∞ � = − ∑(−1) �=0 2(� + 1)� 2�+1 22(�+1) (� + 1)! (� + 1)! � 2�+1 = −� (�) 22�+1 �! (� + 1) ! Bài 5:Tìm dao động ngang màng tròn với biên gắn chặt, gây lên độ lệch ban đầu có dạng Parabol tròn xoay vận tốc ban đầu �2� { Lời giải � �� � � = ( + ) �� �� � �� �(�, �) = �2 ) �(�, 0) = �(�) = � � (1 − ��2 � 2� = �2 (� Ta tìm nghiệm phương trình : ��� � �2 � + � � ) thỏa�mãn điều kiện :�(�, �) = �(�, 0) = �(�) = � (1) − �2 Nghiệm phương trình có dạng : ∞ (0) (0) � �� ( � ) �(�, �) = ∑ (�0� cos �=0 � (0) ��� ( � � � �) + �0� sin ) �0 ( ) �0 � với hệ số có dạng : �0� = �0 2 (0) � (�0��� ) (0) ∫ �� (�) �0 ( � � � ) �� = � 0 �0 �0� = (0) ∫ ��(�)� �� � ( 2(�(0) ) �0 �� � 2� = 2 (0) ) �� �0 �0 �2 )= ∫ � (1 − �0 2� 2 (0) [�� ( � � (0) � ) �� �0 �0 ��1 ) (�� �0 �(0) � � − ∫ � �0 ( �0 �0 �0 �1 (�� ) ) ��] (0) �� Để tện cho tính tốn, ta đặt : �� =�� ,ta cần tính hai tích phân sau: �0 ∫0 �� � �0 (��)�� � )�� ; ∫ (�� Để tính tch phân thứ hai ta chứng minh: � ∫ � �0 (�)�� = 2� �0 (�) + (� − 4�)�1 (�) � ∫ ��0 (�)�� = ��1 (�) Thật vậy: �′1 (� ) = �0 (� ) − => �0 (� ) = �′1 (� ) + � � � �1 (� ) �1 (� ) , �′0 (�) = −�1 (� ) � � 3 => � = ∫ � �0 (� )�� = ∫ � �′1 (� )�� + ∫ � �1 (� )�� 0 � � � ∫ � �′1 (�)�� = ∫ � ��1 (� ) = � �1 (� ) − ∫ � �1 (� )�� 0 � => � = � �1 (�) − ∫ � �1 (�)�� � � � (�) mà ∫0 � �1 (�)�� =0 − ∫ � �′0 (�)�� = − ∫ � ��0 = −� �1 (�) + 20� ∫ � �0 (� )�� � = � �1 (�) + 2� �0 (�)�� − 4��1 (�) = 2� �0 (�) + (� − 4�)�1 (�) Do đó: �0 � �0 ∫ ��0 (��)�� = [�� = � → � = � ; �0 = �0 = �2 (��0 )�1 (��0 ) ] = 2∫ � � ��0 (� )�� ��0 ��0 � �0 ] = 2∫ � � ∫ � �0 (��)�� = [�� = � ; �0 (� )�� � � →�= � = = [2� �0 (�) + − 4�)�1 (�)]�=��0 �4 (� = [� − 4(�� )� (�� )] � � � � (0) � ��0 ) �� − ∫ ��0 � � ( ∫ � 0 ��0 �( ) � � ) �� = ∫ �0 ( � �� (�� )�� 0 ��0 − ∫ � �0 (��)�� �0 = � �0 = 1 (��0 )�1 (� � �0 �0 ) − � �1 (��0 ) −0 �4 � [� �0 − 4(��0 )�1 (��0 )] �(��0 ) + � �3 �1 (��0 ) Như vây: �0� = 2 (0) �0 �1 (�� ) �0 � 8 �(��0 ) = ∞ (0) (0) (�� ) �0 (�� ) (0) ( (0) � �� ( � ) ) cos � �� � (0) �0 �0 (0) � �=0 ( � ) � (� ) � (0 ) Trong �� nghiệm dương phương trình �0 (�) = �(�, �) = 8� ∑ KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương tập dao động màng tơi trình bày số tập dao động màng có hình dạng đặc biệt màng chữ nhật, màng vng, màng tròn tập hàm Betsen đồng thời nêu cách giải tập này, qua giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống hướng giải dạng tập khác tương tự KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu hướng dẫn cô giáo, PGS.TS, Lưu Thị Kim Thanh, tơi hồn thành đề tài “Nghiên cứu dao động màng”, theo hướng nghiên cứu dao động màng khóa luận thu số kết sau Trình bày thiết lập phương trình dao động màng nghiên cứu dao động số màng có hình dạng đặc biệt màng chữ nhật, màng tròn số hàm đặc biệt có liên quan hàm Betsen hàm Gamma Giải số tập dao động màng dao động màng chữ nhật, màng vng, màng tròn tập hàm Betsen Những kết nghiên cứu khóa luận tảng giúp cho sinh viên hiểu sâu hơn, hệ thống vấn đề dao động màng, từ làm tảng để sinh viên nghiên cứu sâu số vấn đề Vật lý Lý thuyết Do thời gian có hạn lần làm quen với nghiên cứu khoa học nên khả vốn kiến thức thân tơi nhiều thiếu sót , tơi hy vọng nhận góp ý thầy cô bạn đọc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chính Cương(2011),Bài tập phương pháp tốn lý,nhà xuất sư phạm [2] Nguyễn Đình Thanh(1996),Phương pháp tốn lý, nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Trọng Thái, Nguyễn Đình Trí (1971), Phương trình vật lý – tốn, nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [4] Phan Huy Thiện(2010),Phương trình tốn lý,nhà xuất giáo dục [5] Nguyễn Tú Uyên ( 1997), Phương trình toán lý, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội ... cứu - Nghiên cứu phương trình dao 1động màng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dao động màng Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng phương trình dao động màng - Áp dụng phương trình dao động màng để giải... phần dao động màng Trong thời điểm tài liệu tham khảo loại dao động hạn chế, phương pháp mang tính khái qt thiếu cụ thể tơi chọn đề tài có tên Nghiên cứu dao động màng “ Mục đích nghiên cứu - Nghiên. .. CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1.2 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT 1.2.1 Dao động cưỡng màng chữ nhật 1.2.2 Các đường nút màng chữ nhật 13