Nghiên cứu dao động của màng

Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong việc đào tạo giáo viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm được các phương pháp toán học hiện đại trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

NGUYỄN THỊ HÀ

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MÀNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim

Thanh đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa

luận tốt nghiệp này

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđược những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 19 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lưu

Thị Kim Thanh Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của

các tác giả

Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 3

1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH 3

1.2 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT 7

1.2.1 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật 7

1.2.2 Các đường nút trên màng chữ nhật 13

1.3 PHƯƠNG TRÌNH BETSEN 15

1.4 HÀM BETSEN 17

1.4.1 Các tính chất truy hồi của hàm betsen 24

1.4.2 Một vài trường hợp riêng của hàm betsen 25

1.4.4 Tính trực giao của hàm betsen 27

1.4.5 Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm betsen 31

1.5 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG TRÒN 32

1.6 HÀM GAMMA 38

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 38

CHƯƠNG 2: BÀI TẬP 39

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 53

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

1

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Vật lý là một môn khoa học nghiên cứu những sự vật hiện tượng xảy ra hàng ngày, có tính thực tiễn cao, cần vận dụng những kiến thức toán học Những phương pháp toán học dùng trong vật lý rất đa dạng và phong phú Các kiến thức toán học này không những cần thiết cho các bạn sinh viên khi đang học tại trường mà còn là công cụ hữu ích cho công việc của học khi ra trường Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong việc đào tạo giáo viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm được các phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và truyền nhiệt của vật chất Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác Đặc biệt việc nghiên cứu về dao động sóng tương đối phức tạp đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học

Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường

là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến ) các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập Các phương trình vật lý toán cơ bản là các phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt và phương trình Laplaxo Nói một cách đơn giản thì chúng là những phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập được chia làm ba dạng

là phương trình eliptic, phương trình hipebolic và phương trình parabolic

Là sinh viên sư phạm vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp toán lý

là môn học tương đối khó trong đó có phần dao động của màng Trong khi đó

ở thời điểm hiện tại các tài liệu tham khảo về các loại dao động này còn hạn chế, các phương pháp còn mang tính khái quát thiếu cụ thể vì thế tôi đã chọn

đề tài có tên “Nghiên cứu dao động của màng “

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu phương trình dao động của màng

2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Dao động của màng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng phương trình dao động của màng

- Áp dụng phương trình dao động của màng để giải một số bài tập

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp giải tích toán học

- Các phương trình vi phân

- Đọc tài liệu và tra cứu

6 Cấu trúc khóa luận

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG

1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Giả sử ta có một màng được kéo bằng lực căng T Nghĩa là nếu tách ra một phần của màng giới hạn bởi đường cong kín L, thì phần còn lại có thể thay thế bằng các lực đặt lên L’ nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với màng hướng theo pháp tuyến ngoài của L’(h.1.1) và được phân bố sao cho trên yếu tố cung ds’ của đường cong L’có lực tác dụng Tds’, trong đó T là mật độ phân bố không đổi của lực căng

Giả thiết màng là đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng

T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng

Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng (x, y), còn dao động xảy ra sao cho mỗi đểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này Kí hiệu độ lệch này là u; u là hàm của các tọa độ x, y và thời gian t:

u = u( x, y, t )

Bây giờ ta tìm phương trình mà hàm này thỏa mãn

Khi nằm yên, màng chiếm diện tích  trên mặt phẳng (x, y) ( h1.2) Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của lực tác dụng lên mẫu màng này

ds’

Hình 1.1 Tds’

L

4

Gọi vecto đơn vị pháp tuyến với màng tại điểm P của đường cong L là n

n= cos i + cos j+ cosk

cos , cos𝛽, cos𝛾 là các cosin chỉ phương của n

Vecto đơn vị tiếp tuyến của L tại P là S

S = cos ’i + cos ’j+ cos’k

cos ’, cos ’, cos’ là các cosin chỉ phương của S Lực căng T tác dụng

theo phương của vecto

[S,n]=(cos ’cos- cos cos’ )i +( cos’ cos - cos cos ’)j

+( cos ’ cos - cos cos ’) k

Do đó hình chiếu của lực căng tác dụng lên yếu tố cung ds’ của L’ trên trục u là:

𝑇(cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠′

Còn hình chiếu tương ứng của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến L’ là

𝑇 ∮ (cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠𝐿′ ′ = 𝑇 ∮ (cos 𝛽 𝑑𝑥𝐿′ ′ − cos ∝ 𝑑𝑦′)(1.1) bởi vì cos ’ds’ = dx’ ; cos ’ds’= dy’

Ta đã biết các cosin chỉ phương của pháp tuyến đối với mặt

cos∝ = −𝑢′𝑥; cos𝛽 = −𝑢′𝑦; cos𝛾 = 1

𝑑𝑆

Vì thế cuối cùng hình chiếu trên trục u của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến

’ là:

là hằng số dương

Phương trình(1.5) được gọi là phương trình dao động màng Nó là

phương trình sóng hai chiều, hệ số a như trước kia là vận tốc lan truyền sóng, nếu g( x,y,t)  0, thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của

và vận tốc ban đầu của các điểm x,y của màng Nếu xét dao động của màng, có biên gắn chặt, thì điều kiện biên được viết dưới dạng

𝑢|L =0 (1.7) 𝑢|L là kí hiệu giá trị của hàm uở các điểm của chu tuyến L

1.2 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT

1.2.1 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật

Ta hãy xét màng hình chữ nhật, lúc cân bằng nằm trong mặt phẳng (x,y) chiếm miền G{0 x  l , 0  y  m} (h1.3) các điều kiện biên gắn chặt được viết

u= X(x)Y(y)T(t) Bởi vì: 𝑢′′𝑡𝑡= XYT’’ ; 𝑢′′𝑥𝑥= X’’YT ; 𝑢′′𝑦𝑦= XY’’T

cho nên phương trình (1.9) có dạng

XYT’’ – a2(X’’YT+ XY’’T) = 0

Từ đó rút ra: 𝑇 = 𝐴 cos √𝜆2+ 𝜇2𝑎𝑡 + 𝐵 sin √𝜆2+ 𝜇2𝑎𝑡

X= C1cosx+D1sinx ; Y= C2cos y+D2sin y

Để làm u= XYT thỏa mãn điều kiện biên (1.8), ta phải đặt

𝑢𝑘1,𝑘2(𝑥, 𝑦, 𝑡)

= (𝑎𝑘1,𝑘2cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝑏𝑘1,𝑘2sin 𝜔𝑘1,𝑘2𝑡) sin 𝜆𝑘1𝑥 sin 𝜇𝑘2𝑦 (1.16) Hàm (1.15) thỏa mãn phương trình(1.9) và các điều kiện biên (1.8), nghĩa là nghiệm của bài toán biên, các hàm

𝑋𝑘1(𝑥) = sin 𝜆𝑘1𝑥 𝑣à 𝑌𝑘2(𝑦) = sin 𝜇𝑘2𝑦 (1.17)

là nghiệm của bài toán biên đối với các phương trình vi phân thông thường (1.11) (1.12) với các điều kiện biên (1.14) Vì thế các số 𝜆𝑘1và 𝜇𝑘2 là các giá trị riêng còn (1.17) là các hàm riêng của bài toán biên này

Tần số 𝜔𝑘1,𝑘2 xác định bằng (1.15) được gọi là các tần số riêng của màng chữ nhật, còn dao động (1.16) là các dao động riêng, đó là các sóng đứng với màng chữ nhật Mỗi điểm của màng x,y thực hiện một dao động điều hòa tần số 𝜔𝑘1,𝑘2

có biên độ là

√∝𝑘21,𝑘2+ 𝛽𝑘

1 ,𝑘2

2 sin 𝜆𝑘1𝑥 sin 𝜇𝑘2𝑦 hơn nữa tất cả các điểm của màng đồng thời dạt được độ lệch cực đại của mình

về 1phía này hay phía kia Chẳng hạn trên (h1.4) ta có dạng của màng ( nghĩa

là dạng của sóng đứng) ứng với các dao động

Đối với màng vuông, tần số âm cơ bản là: 𝜔1,1 =𝜋

𝑙 √2𝑎 = 𝜋𝑙 √2√𝑇𝜌nghĩa là lớn hơn tần số âm cơ bản của sợi dây √2 lần

Bây giờ ta cộng tất cả các sóng dừng lại nghĩa là tổng 2 lần theo k1, k2

Bụng

Đường nút

Đường nút Hình 1.4

Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng phương pháp tách biến tương tự như bài toán dao động cưỡng bức của dây hữu hạn Nghiệm của phương trình

𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2(𝑢′′𝑥𝑥+ 𝑢′′𝑦𝑦) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) (1.23) với điều kiện ban đầu (1.6) và điều kiện biên (1.8) được viết dưới dạng

𝑇𝑘1,𝑘2(0) = 𝑎𝑘1,𝑘2, 𝑇′𝑘1,𝑘2(0) = 𝜔𝑘1,𝑘2𝑏𝑘1,𝑘2, trong đó 𝑎𝑘1,𝑘2 và 𝑏𝑘1,𝑘2 được xác định bằng các công thức (1.21) và (1.22) Nghiệm của bài toán dao động cưỡng bức của màng sẽ xác định được nhờ thay thế 𝑇𝑘1,𝑘2(𝑡) vào công thức (1.24)

Ta xét trường hợp dao động của màng vuông có tần số

𝑞 < 0, thay y cho x ta dẫn đến trường hợp d) (h1.5f)

g).p=0 thì 𝑦 = 𝑙

2 (h5g) h).0 < 𝑝

𝑞 < 1 thay y cho x ta dẫn đến trường hợp b) (h1.5h)

15

Tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng 𝑥 = 𝑦 = 𝑙

2 hình 1.5 biểu diễn tất cả các đường nút đó

Đối với các tần số riêng cao hơn 𝜔𝑘1,𝑘2 ( k1 2, k22) các đường nút có dạng phức tạp hơn

1.3 PHƯƠNG TRÌNH BETSEN

Xét dao động của một màng tròn Giả sử màng chiếm một hình trong D bán kính q trên mặt phẳng xy có tâm ở gốc tọa độ Nếu ta dùng tọa độ cực thì phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là r=q (h1.6) độ lệch của một điểm của màng u là r, và t: u=u( r, ,t)

Điều kiện biên bây giờ có dạng

𝑢|𝑟=𝑞 = 0 (1.26) Trong tọa độ cực, toán tử laplaxo hai chiều có dạng

Do đó có phương trình dao động tự do của màng trong hệ tọa độ cực có dạng

Vì thế đối với hàm R(r) ta có phương trình

𝑑𝑟 = 𝑣

𝑑𝑦𝑑𝑥

Phương trình (1.35) được gọi là phương trình betsen Nó là một phương

trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm của nó được gọi

là hàm betsen Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật

lý xảy ra trong miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên gọi là hàm trụ

−𝑘2𝑐0+ (1 − 𝑘2)𝑐1𝑥 + [𝑐0 + (4 − 𝑘2)𝑐2]𝑥2+ [𝑐1 + (9 − 𝑘2)𝑐3]𝑥3+ ⋯

+ [𝑐𝑛−2+ (𝑛2− 𝑘2)𝑐𝑛]𝑥𝑛+ ⋯

Từ đó ta rút ra

−𝑘2𝑐0 = 0; (1 − 𝑘2)𝑐1 = 0; 𝑐𝑛−2+ (𝑛2− 𝑘2)𝑐𝑛 = 0 (1.38) n=2,3,…

ở đây k là một số nguyên không âm

𝑐1(2.4)(4.6)Tổng quát c2m=0

(2.4)(4.6) … [2𝑚(2𝑚 + 2)]

2𝑚𝑚! (𝑚 + 1)! (𝑚 = 1,2,3 … ) Nên ta có nghiệm của phương trình betsen với k=1

được gọi là hàm betsen loại một hạng một

Nếu k=2,3,4….thì từ hệ thức (1.38) ta rút ra c0=0 , c1=0 , …,ck-1=0,ck là tùy ý, ck+1=0

được gọi là hàm betsen loại một hạng k

Nếu k=0,1 ta lại có các biểu thức (1.39) (1.40) Vậy (1.41) xác định hàm betsen loại 1 tất cả các hạng k=0,1,2…Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (1.41) là hội

tụ thỏa mãn phương trình betsen(1.35)

Biểu thức (1.41) của hàm betsen loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua hàm gamma 𝛤(𝑡)

Γ(t)=∫ 𝑥0∞ 𝑡−1𝑒−𝑥𝑑𝑥Khi đó hệ thức (1.41) đúng với cả k không nguyên

Từ công thức (1.43) ta rút ra là Jk(x) có một tập hợp vô số các nghiệm

𝑛(𝑘), n=1,2,3…trên nửa trục dương x: 𝐽𝑘(𝑛(𝑘)) = 0

Có thể chứng minh được là các nghiệm này là đơn giản, nghĩa là 𝐽′𝑘(𝑛(𝑘)

) ≠ 0 và nếu đánh số chúng theo thứ tự tăng lên: 1(𝑘)

Hình 1.7

y y=J0(x)

1(0) 2(0)

3(0)

22

Phương trình hàm betsen phải có hai nghiệm độc lập tuyến tính với J(x) Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với J(x), đối với các giá trị x lớn gần bằng

Hình 1.8cho ta đồ thị của hàm N0(x) Đặc tính cơ bản của các hàm Nơman là lim

𝑚=𝑛

(1.46) Nếu đặt m=n+l và thay vào công thức (1.46) ta có

𝐽−𝑛(𝑥) = ∑(−1)

𝑙(−1)𝑙(𝑥

2)−𝑛+2𝑛+2𝑙𝛤(𝑛 + 𝑙 + 1)𝛤(𝑙 + 1)

∞

𝑙=0

= (−1)𝑛∑ (−1)𝑙(𝑥

2)𝑛+2𝑙𝛤(𝑛 + 𝑙 + 1)𝛤(𝑙 + 1)

Vì 𝐽−𝑛(𝑥) = (−1)𝑛 𝐽𝑛(𝑥) cho nên khi lấy giới hạn biểu thức trên có dạng 0/0, áp dụng quy tắc L’Hoppital thu được biểu thức tường minh của 𝑌𝑛(𝑥):

∞

𝑚=0

Rõ ràng hàm 𝑌𝑘(𝑥) này cũng là nghiệm của phương trình (1.35), bởi vì

nó là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng 𝐽𝑘(𝑥) và 𝐽−𝑘(𝑥) của phương trình này 𝑌𝑘(𝑥) được gọi là hàm Betsen loại 2 cấp k hay còn được gọi là hàm Weber

𝐽𝑘(𝑥) và 𝑌𝑘(𝑥) là hai hàm độc lập tuyến tính, với k là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.35)

đó là điều phải chứng minh

1.4.2 Một vài trường hợp riêng của hàm betsen

Trong vật lý toán thường gặp các hàm sau

𝐽0(𝑥) , 𝐽1(𝑥) , 𝑌0(𝑥) , 𝐽±𝑛+1

2(𝑥) với n nguyên Hai hàm đầu tiên được biểu diễn dưới dạng chuỗi :

𝑥4

2 42 6−

𝑥6

2 42 62 8 + ⋯ )

𝐽1 2(𝑥) = ∑ (−1)

(𝑥) = √ 2

(−1)𝑚𝑥2𝑚+1(2𝑚 + 1)!

∞

𝑚=0

= √ 2

𝜋𝑥sin 𝑥 Tương tự

𝐽−1 2

27

với x được thay bằng ix

Nếu x được thay bằng ix, phương trình (1.53) có dạng

𝑑2𝑦𝑑(𝑖𝑥)2+ 1

(𝑖𝑥)

𝑑𝑦𝑑(𝑖𝑥)+ (1 −

𝑘2(𝑖𝑥)2) 𝑦 = 0

𝑦(𝑥) = 𝐶1𝐽𝑘(𝑖𝑥) + 𝐶2𝑌𝑘(𝑖𝑥) Như vậy

𝐽𝑘(𝑖𝑥) = ∑ (−1)

𝑚(𝑖𝑥

2)2𝑚+𝑘𝑚! 𝛤(𝑘 + 𝑚 + 1)

∞

𝑚=0

= ∑ (−1)𝑚𝑖𝑘(−1)𝑚(𝑥

2)2𝑚+𝑘𝑚! 𝛤(𝑘 + 𝑚 + 1)

𝑦(𝑥) = 𝐶1𝐼𝑘(𝑥) + 𝐶2𝑉𝑘(𝑥)

1.4.4 Tính trực giao của hàm betsen

a) Tính chất trực giao thứ nhất của hàm betsen

Nếu thay t=cx khi đó ta được phương trình (1.55) về dạng

𝑑𝑥 − 𝑥𝐽𝑘(𝑐1𝑥)𝑑𝐽𝑘(𝑐2𝑥)

𝑑𝑥 ] Lấy tích phân từ 0 đến L phương trình trên ta được

sẽ có từng cặp giống nhau về giá trị tuyệt đối nhưng ngược nhau về dấu , nên

ta chỉ xét các nghiệm dương Giả sử 𝑐1 = 𝜇𝑖

𝐿 , 𝑐2 =𝜇𝑗

𝐿 trong đó 𝜇𝑖 , 𝜇𝑗 là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình 𝐽𝑘(𝑥) = 0 Suy ra

𝐿 với 𝜇 là nghiệm dương của phương trình 𝐽𝑘(𝑥) =

0 Trong công thức (1.60) thay 𝑐1 = 𝑐 cho 𝑐2 → 𝑐 và coi 𝑐2 như là biến số ta

với 𝜇𝑖 , 𝜇𝑗 là nghiệm dương của phương trình 𝐽𝑘(𝑥) = 0

b) Tính chất trực giao thứ hai của hàm betsen

Nếu cho điều kiện

30

∝ 𝐽𝑘(𝑥) + 𝛽𝐽′𝑘(𝑥) = 0, 𝑘 > −1 (1.63) ∫ 𝑥𝐽2𝑘(𝜇𝑥

𝑐1𝐽′𝑘(𝑐1𝐿)𝐽𝑘(𝑐2𝐿) − 𝑐2𝐽′𝑘(𝑐2𝐿)𝐽𝑘(𝑐1𝐿) = 0 Khi 𝑐1 ≠ 𝑐2

∫ 𝑥𝐽𝑘(𝑐1𝑥)𝐽𝑘(𝑐2𝑥)

𝐿

0

𝑑𝑥 = 𝐿[𝑐1𝐽′𝑘(𝑐1𝐿)𝐽𝑘(𝑐2𝐿) − 𝑐2𝐽′𝑘(𝑐2𝐿)𝐽𝑘(𝑐1𝐿)] = 0 Trong trường hợp này ta cũng có tính trực giao của hàm betsen

1.4.5 Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm betsen

Hãy tìm hệ số khai triển một hàm tùy ý vào chuỗi các hàm betsen 𝐽𝑘(𝜇𝑖 𝑥

𝐿 ) trên đoạn 0<x<L trong hai trường hợp

i) 𝜇𝑖(i=1,2,3…)là nghiệm của phương trình 𝐽𝑘(𝑥) = 0

ii) 𝜇𝑖(i=1,2,3…)là nghiệm của phương trình ∝ 𝐽𝑘(𝑥) + 𝛽𝐽′

𝐿 ) rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số

người ta gọi khai triển này là khai triển fourier-betsen

ii) Nếu 𝜇𝑖(i=1,2,3…)là nghiệm của phương trình ∝ 𝐽𝑘(𝑥) + 𝛽𝐽′𝑘(𝑥) = 0 theo tính chất trực giao thứ hai của hàm betsen ta có

Nhân hai vế của phương trình đã cho với 𝑥𝐽𝑘(𝜇𝑖𝑥

𝐿 ) rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số

Thật vậy, vì hàm 𝑅 (𝑥

𝑣) phải thỏa mãn phương trình betsen nên

𝑅 (𝑥

𝑣) = 𝑐1𝐽𝑘(𝑥) + 𝑐2𝑁𝑘(𝑥) trong đó Jk(x), và Nk(x) là các hàm betsen loại 1 và 2 Từ đó ta có

𝑅(𝑟) = 𝑐1𝐽𝑘(𝑣𝑟) + 𝑐2𝑁𝑘(𝑣𝑟) Nhưng theo (1.45)

Jk(vq)=0 (1.68) còn nếu không, ngược lại mà c1=0 thì R(r)≡ 0và 𝑢 ≡ 0 Điều đó có nghĩa là vq phải là một trong các nghiệm của các hàm Jk(x), nghĩa là

𝑣𝑞 = 𝑛(𝑘)

, 𝑛 = 1,2,3 … Vậy hằng số v xuất hiện khi tách biến không phải tùy ý mà phải có một trong các giá trị

𝑣 =1

𝑞𝑛(𝑘)

, 𝑛 = 1,2,3 …

34

Do đó theo công thức (1.67)

𝑅(𝑟) = 𝑐1𝐽𝑘(𝑛(𝑘)

𝑞 𝑟) (1.69) Hàm (𝜑) có dạng

(𝜑) = 𝐷1cos 𝑘𝜑 + 𝐷2sin 𝑘𝜑 còn hàm T(t) thỏa mãn phương trình

và thứ hai là (n-1) vòng tròn đồng tâm ( dọc theo các vòng tròn này)

𝐽𝑘(𝑛 (𝑘)

𝑞 𝑟) = 0 Nghĩa là

𝑟1 = 𝑞1 (𝑘)

𝑛(𝑘) , 𝑟2 = 𝑞2 (𝑘)

𝑛(𝑘) ,… , 𝑟𝑛−1 = 𝑞𝑛−1 (𝑘)

𝑛(𝑘)

Hình 1.9 cho ta các đường nút khi k=1 và n=3

Một trường hợp quan trọng của dao động màng tròn là có dạng sóng đứng không phụ thuộc vào 𝜑 nghĩa là (𝜑) = hằng số Dao động như vậy gọi là đối xứng trụ Các điều kiện ban đầu bây giờ có dạng

Hình 1.9