Nghiên cứu dao động của màng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HÀ NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MÀNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trường trình thực khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhậnđược đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Công trình không trùng lặp với kết luận văn tác giả Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1.2 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT 1.2.1 Dao động cưỡng màng chữ nhật 1.2.2 Các đường nút màng chữ nhật 13 1.3 PHƯƠNG TRÌNH BETSEN 15 1.4 HÀM BETSEN 17 1.4.1 Các tính chất truy hồi hàm betsen 24 1.4.2 Một vài trường hợp riêng hàm betsen 25 1.4.4 Tính trực giao hàm betsen 27 1.4.5 Khai triển hàm tùy ý vào hàm betsen 31 1.5 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG TRÒN 32 1.6 HÀM GAMMA 38 KẾT LUẬN CHƯƠNG 38 CHƯƠNG 2: BÀI TẬP 39 KẾT LUẬN CHƯƠNG 53 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Vật lý môn khoa học nghiên cứu vật tượng xảy hàng ngày, có tính thực tiễn cao, cần vận dụng kiến thức toán học Những phương pháp toán học dùng vật lý đa dạng phong phú Các kiến thức toán học cần thiết cho bạn sinh viên học trường mà công cụ hữu ích cho công việc học trường Phương pháp toán lý học phần quan trọng việc đào tạo giáo viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm phương pháp toán học đại vật lý, hiểu rõ chất trình truyền sóng truyền nhiệt vật chất Việc nghiên cứu học phần sở nghiên cứu môn học khác Đặc biệt việc nghiên cứu dao động sóng tương đối phức tạp đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học Các phương trình mô tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến ) đạo hàm riêng biến số độc lập Các phương trình vật lý toán phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt phương trình Laplaxo Nói cách đơn giản chúng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập chia làm ba dạng phương trình eliptic, phương trình hipebolic phương trình parabolic Là sinh viên sư phạm vật lý nhận thấy môn phương pháp toán lý môn học tương đối khó có phần dao động màng Trong thời điểm tài liệu tham khảo loại dao động hạn chế, phương pháp mang tính khái quát thiếu cụ thể chọn đề tài có tên “Nghiên cứu dao động màng “ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương trình dao động màng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Dao động màng Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng phương trình dao động màng - Áp dụng phương trình dao động màng để giải số tập Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải tích toán học - Các phương trình vi phân - Đọc tài liệu tra cứu Cấu trúc khóa luận - Phần 1: mở đầu - Phần 2: Nội dung Chương 1: Phương trình dao động màng Chương 2: Bài tập - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo NỘI DUNG CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Giả sử ta có màng kéo lực căng T Nghĩa tách phần màng giới hạn đường cong kín L, phần lại thay lực đặt lên L’ nằm mặt phẳng tiếp xúc với màng hướng theo pháp tuyến L’(h.1.1) phân bố cho yếu tố cung ds’ đường cong L’có lực tác dụng Tds’, T mật độ phân bố không đổi lực căng Giả thiết màng đàn hồi, dao động nhỏ đến mức độ tăng diện tích màng trình dao động bỏ qua Khi mật độ phân bố lực căng T tất tiết diện màng Giả sử nằm yên, màng mặt phẳng (x, y), dao động xảy cho đểm màng lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng Kí hiệu độ lệch u; u hàm tọa độ x, y thời gian t: u = u( x, y, t ) L ds’ Tds’ Hình 1.1 Bây ta tìm phương trình mà hàm thỏa mãn Khi nằm yên, màng chiếm diện tích  mặt phẳng (x, y) ( h1.2) Ta xác định hình chiếu trục u lực tác dụng lên mẫu màng u L  n P [s,n] S y  x ds Hình 1.2 Gọi vecto đơn vị pháp tuyến với màng điểm P đường cong L n n= cos  i + cos  j+ cos  k cos  , cos𝛽, cos𝛾 cosin phương n Vecto đơn vị tiếp tuyến L P S S = cos  ’i + cos  ’j+ cos  ’k cos  ’, cos  ’, cos  ’ cosin phương S Lực căng T tác dụng theo phương vecto [S,n]=(cos  ’cos  - cos  cos  ’ )i +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’)j +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’) k Do hình chiếu lực căng tác dụng lên yếu tố cung ds’ L’ trục u là: 𝑇(cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠′ Còn hình chiếu tương ứng hợp lực căng phân bố theo chu tuyến L’ 𝑇 ∮𝐿′ (cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠 ′ = 𝑇 ∮𝐿′ (cos 𝛽 𝑑𝑥 ′ − cos ∝ 𝑑𝑦′)(1.1) cos  ’ds’ = dx’ ; cos  ’ds’= dy’ Ta biết cosin phương pháp tuyến mặt u= u( x,y,t) cos  = −𝑢𝑥 √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 ; cos  = 𝑢′𝑦 √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 ; cos  = √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 (góc n trục u coi nhọn ) Mặt khác diện tích mẫu màng ∮𝜎 √1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 ds =𝑆𝜎 =∫𝜎 𝑑𝑠 Ta giả thiết diện tích màng trình dao động không thay đổi nên√1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 lấy 1, nghĩa 𝑢′2𝑥 , 𝑢′2𝑦 bỏ qua so với Do ta đặt cos∝ = −𝑢′𝑥 ; cos𝛽 = −𝑢′𝑦 ; cos𝛾 = biểu thức( 1.1) có dạng : −𝑇 ∮𝐿′ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦′)(1.2) Ta kí hiệu hình chiếu chu tuyến L mặt phẳng xy  Vì ta đặt cos  = 1, nghĩa  = nên dx’ = dx, dy’=dy với dx, dy hình chiếu yếu tố cung ds chu tuyến  lên trục ox, oy, tích phân (1.2) lấy theo  −𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦 ′ ) = −𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦) 𝜑′ 𝜑 Biến đổi thành tích phân mặt theo công thức Grin ta có : ∫ 𝑢′𝑦 − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦 = − ∫ (𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆 𝜑 𝜎 Vì cuối hình chiếu trục u hợp lực căng phân bố theo chu tuyến ’ là: 𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 )𝑑𝑆 (1.3) 𝜎 Ngoài ra, giả sử màng chịu tác dụng ngoại lực song song ngược chiều với trục u có mật độ phân bố theo màng 𝜌g( x,y,t) hợp lực chúng −𝜌 ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) 𝑑𝑆 𝜎 Nếu  mật độ mặt không đổi màng, hợp lực quán tính theo mẫu màng xét 𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆 𝜎 t≥0, ta có đẳng thức 𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆 = 𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆 − 𝜌 ∫ 𝑔𝑑𝑆 𝜎 𝜎 𝜎 Hay ∫𝜎 {𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′𝑥𝑥 − 𝑢′′𝑦𝑦 ) + 𝑔𝜌} 𝑑𝑆 = (1.4) Bởi  vùng mặt (x,y) nên biểu thức dấu tích phân (1.4) phải điểm màng thời điểm bất kỳ, nghĩa phải xảy đẳng thức 𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) + 𝜌𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 − 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) hay a2= (1.5) T số dương  Phương trình(1.5) gọi phương trình dao động màng Nó phương trình sóng hai chiều, hệ số a trước vận tốc lan truyền sóng, g( x,y,t)  0, phương trình nhất, mô tả dao động tự 𝑢𝑘1,𝑘2 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = (𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡) sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦 Tần số 𝜔𝑘1 ,𝑘2 xác định gọi tần số riêng màng chữ nhật , dao động 𝑢𝑘1,𝑘2 dao động riêng, sóng đứng màng chữ nhật điểm màng x,y thực dao động điều hòa tần số 𝜔𝑘1,𝑘2 có biên độ √𝑎𝑘1,𝑘2 + 𝑏𝑘1,𝑘2 sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦 Nghiệm toán có dạng ∞ ∞ 𝑢 = ∑ ∑ 𝑢𝑘1,𝑘2 𝑘2 =1 𝑘1 =1 ∞ ∞ = ∑ ∑ (𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 𝑘2 =1 𝑘1 =1 + 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡) sin 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑥 sin 𝐿 𝑀 Hàm thỏa mãn phương trình (*) điều kiện biên Từ điều kiện ban đầu ta có ∞ ∞ 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑎𝑘1,𝑘2 sin 𝑘2 =1 𝑘1 =1 ∞ 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑥 sin 𝐿 𝑀 ∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin 𝑘2 =1 𝑘1 =1 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑥 sin 𝐿 𝑀 Vì để xác định hệ số 𝑎𝑘1 ,𝑘2 , 𝑏𝑘1,𝑘2 ta phải phân tích hàm 𝑓(𝑥, 𝑦)và hàm 𝐹(𝑥, 𝑦) thành chuỗi Fourier hai lớp theo sin Chú ya 𝑀 𝐿 ∫ [∫ sin 0 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘3 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑦 𝑘4 𝜋𝑦 𝐿𝑀 sin 𝑑𝑥 ] sin sin 𝑑𝑦 = 𝛿 𝛿 𝐿 𝐿 𝑀 𝑀 13 24 41 𝐿 𝑀 => 𝑎𝑘1,𝑘2 𝑘2 𝜋 𝑘1 𝜋 = ∫ ∫ 𝑓(, ) sin sin 𝑑 𝑑 𝐿𝑀 𝑀 𝐿 0 𝑏𝑘1,𝑘2 𝐿 𝑀 𝑘2 𝜋 𝑘1 𝜋 = ∫ ∫ 𝐹(, ) sin sin 𝑑 𝑑 𝜔𝑘1 ,𝑘2 𝐿𝑀 𝑀 𝐿 0 Bài 2: Tìm dao động ngang màng hình chữ nhật 0