Bài giảng Vật lý 2: Cơ sở cơ học lượng tử - Lê Quang Nguyên

Bài giảng gồm 5 phần trình bày các nội dung: Lưỡng tính sóng - hạt của vật chất, phương trình Schrodinger, hạt trong giếng thế vô hạn một chiều, hệ thức bất định Heisenberg, kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Nội dung Cơ sở Cơ Học Lượng Tử Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Lưỡng tính sóng-hạt vật chất Phương trình Schrưdinger Hạt giếng vô hạn chiều Hệ thức bất định Heisenberg Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM) 1a Giả thuyết De Broglie Lưỡng tính sóng hạt vật chất a b c d e f • Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt • Các hạt vật chất phải có lưỡng tính sóng-hạt? • De Broglie, 1923 − hạt vật chất sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie) hạt có động lượng p là: Giả thuyết De Broglie Ví dụ Kiểm chứng Ứng dụng Bản chất sóng vật chất Bài tập λ= h p Louis De Broglie 1892-1987 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1b Ví dụ 1b Ví dụ • Bước sóng De Broglie hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s • Voi Dumbo khối lượng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s có bước sóng De Broglie bao nhiêu? h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ = = −9 = 3,313 × 10−23 m p 10 kg × 0,020m s h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ= = = 6,626 × 10−38 m p 10 kg ì 10m s Bc súng ny cng q nhỏ để quan sát • Các hạt vĩ mơ khơng thể rõ tính sóng • Bước sóng nhỏ để quan sát 1b Ví dụ 1c Kiểm chứng thực nghiệm • Một electron mạch điện hay nguyên tử có động trung bình vào khoảng eV, có bước sóng De Broglie bằng: • Davisson Germer, 1927: electron nhiễu xạ tinh thể Nickel giống tia X • Nhiễu xạ electron tinh thể tuân theo định luật Bragg • Bước sóng electron đo phù hợp với giả thuyết De Broglie h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ= = 2mK × 9,11 ⋅ 10−31 kg × 1,6 ⋅ 10−19 J ( ) ( = 10−9 m = 10Å ) • Bước sóng vào cỡ kích thước ngun tử nên quan sát • Các hạt vi mơ thể rõ tính sóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1c Kiểm chứng thực nghiệm 1c Kiểm chứng thực nghiệm • G P Thomson, 1927: electron nhiễu xạ màng mỏng kim loại, tạo vân tròn tương tự tia X nhiễu xạ bột đa tinh thể • Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron hai khe Electron Tia X 1c Kiểm chứng thực nghiệm 1d Ứng dụng sóng De Broglie • Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến triệu lần • Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron dùng để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự nhiễu xạ tia X • Sóng dừng electron bề mặt đồng, ảnh chụp Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1e Bản chất sóng De Broglie − • Giao thoa sóng electron hệ hai khe: 100 electrons 3000 electrons 70 000 electrons Càng nhiều hạt, quy luật sóng rõ Nơi hạt đến nhiều nơi có cường độ sóng lớn 1e Bản chất sóng De Broglie − • Ψ(x,y,z) số phức, nên ta có: Ψ ( x , y, z ) = Ψ ⋅ Ψ* • Xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian V, hạt tồn tại, phải đơn vị, đó: ∫ Ψ ( x , y , z ) dV = V 1e Bản chất sóng De Broglie − • Max Born, 1928: sóng vật chất sóng xác suất • Bình phương biên độ hàm sóng vị trí tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt • Gọi Ψ(x,y,z) hàm sóng vật chất vị trí (x,y,z) hạt, dV thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt thể tích dV là: dP = Ψ ( x , y , z ) dV • |Ψ(x,y,z)|2 mật độ xác suất hạt (x,y,z) 1f Bài tập • Hình bên cho thấy sóng dừng lò vi ba, màu xám nơi sóng điện từ khơng, màu trắng đen nơi sóng cực đại • Hãy so sánh mật độ photon vị trí A, B C củ cà-rốt • Đó điều kiện chuẩn hóa hàm sóng vật chất CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1f Bài tập 1f Bài tập Hàm sóng hạt bị “giam” khoảng từ đến L Asin(πx/L), A số Xác suất tìm thấy hạt vị trí sau lớn nhất? • Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ lệ với bình phương biên độ sóng vật chất (sóng điện từ photon) • Biên độ sóng cực đại A C, • mật độ photon cực đại A C • Mật độ xác suất: • w = A2sin2(πx/L) • Cực trị w cho bởi: • sin(πx/L)cos(πx/L) = • πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L • w cực đại ứng với x = L/2 • Câu trả lời (b) (a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L 1f Bài tập 1f Trả lời tập CuuDuongThanCong.com Hàm sóng Mật độ xác suất L/2 Bước sóng De Broglie electron tăng tốc không vận tốc đầu hiệu điện U bằng: (a) h 2meeU (b) h meeU (c) 2h 2meeU (d) h meeU https://fb.com/tailieudientucntt 1f Trả lời tập • Động electron sau tăng tốc: K= p = eU 2me • Suy động lượng: p = 2meeU • Vậy bước sóng De Broglie là: λ= Phương trình Schrưdinger a Phương trình Schrưdinger tổng qt b Phương trình Schrưdinger dừng c Hàm sóng hạt tự h 2meeU • Câu trả lời (a) Erwin Schrödinger 1887-1961 2a Phương trình Schrưdinger tổng qt 2b Phương trình Schrưdinger dừng • Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) hạt khối lượng m, chuyển động trường U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrưdinger tổng qt: • Khi U khơng phụ thuộc vào thời gian nghiệm phương trình Schrưdinger viết dạng:  ∂Ψ  ℏ2 iℏ =− ∆ +U Ψ ∂t  2m  i = −1 • ħ = h/2π, Δ Laplacian: ∂2 ∂2 ∂2 ∆= + + ∂x ∂y ∂z CuuDuongThanCong.com Ψ ( x , y , z ,t ) = e E −i t ℏ Φ( x , y,z ) • với E lượng hạt, Φ(x,y,z) hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger dừng:  ℏ2   − 2m ∆ + U  Φ = E Φ   ∆Φ + 2m (E −U )Φ = ℏ2 https://fb.com/tailieudientucntt 2c Hàm sóng hạt tự − • Phương trình Schrödinger dừng hạt tự chuyển động theo dọc trục x: E −i t ℏ Ψ = Ae • với E động hạt Phương trình có nghiệm tổng qt là: k= 2mE p = ℏ2 ℏ Hạt giếng vô hạn chiều a b c d • Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất: Ψ =e ∂ 2Φ 2m + EΦ = ∂x ℏ2 Φ = Aeikx + Be −ikx 2c Hàm sóng hạt tự − Giếng vô hạn chiều Năng lượng bị lượng tử hóa Hàm sóng Bài tập ⋅ Ae p i x ℏ − i (ωt −kx ) = Ae ω= − i ( Et − px ) ℏ E ℏ k= • sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần số góc ω, vectơ sóng k, bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie: λ= 2π h = k p 3a Giếng vơ hạn chiều • Hạt chuyển động giếng vơ hạn chiều xác định :  0< x ɶ h ∆y ⋅ ∆p y >ɶ h p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s ) = 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s ∆z ⋅ ∆pz >ɶ h • Độ bất định động lượng: • Khơng thể xác định xác đồng thời tọa độ động lượng vi hạt • Khơng thể xác định quỹ đạo vi hạt ∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10−26 kg.m s h ∆x >ɶ = 2,4 × 10−8 m = 24nm ∆p x • Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 4b Ví dụ 4b Ví dụ • Electron ngun tử có Δx ~ kích thước ngun tử, tức 0,1 nm Tìm Δp • Một banh golf có khối lượng 45 g bay với vận tốc 35 m/s Vận tốc đo với độ xác 1,5 % Tìm Δx • Làm tương tự Ví dụ 1, ta suy độ bất định vị trí banh: h 6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s ∆px >ɶ = = 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s −9 0,1 ⋅ 10 m ∆x • Electron nguyên tử có động vào khoảng eV, có động lượng : ( )( px = 2mK = ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J = 5,4 × 10−25 kg m s ) x > ì 1032 m bt nh nhỏ: với vật vĩ mô xác định xác đồng thời vị trí động lượng • Δp ~ 10 p ! CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4b Ví dụ 4c Bất định thời gian lượng • Bó sóng tổ hợp tuyến tính nhiều sóng hình sin có động lượng gần • Phân bố động lượng rộng (Δp lớn), • bó sóng hẹp (Δx nhỏ) • Gọi Δt thời gian hạt tồn trạng thái; • ΔE độ bất định lượng hạt trạng thái • Giữa chúng có hệ thức: ∆t ⋅ ∆E >ɶ h • Độ bất định lượng trạng thái lớn thời gian tồn trạng thái ngắn • Do bó sóng khơng thể tồn lâu 4d Hiệu ứng đường ngầm – 4d Hiệu ứng đường ngầm – • Xét hạt bị giam giếng có độ sâu U • Giả sử trạng thái hạt không bền, tồn thời gian ngắn Δt ≈ h/U • Trong khoảng thời gian độ bất định lượng hạt : ∆E >ɶ h h = =U ∆t h U • Hạt có độ bất định lượng lớn độ sâu giếng thế, thoát khỏi giếng thế! CuuDuongThanCong.com ΔE U E https://fb.com/tailieudientucntt 4d Hiệu ứng đường ngầm – • Hiệu ứng xảy rào (hay tường thế) Hạt chui qua rào dù có lượng nhỏ chiều cao rào • Xác suất vượt rào (hệ số truyền qua) là: Scanning Tunneling Microscope U0 E a  2a  D ≈ exp − 2m (U0 − E )   ℏ  • Minh họa CuuDuongThanCong.com x Khi quét bề mặt mẫu đầu kim kéo lên hay hạ xuống thấp để giữ cho dòng e- chui ngầm không đổi Độ cao đầu kim hiển thị hình, hình ảnh bề mặt mẫu Minh họa https://fb.com/tailieudientucntt ... h λ = h h =n 2a n 2a 3b Năng lượng bị lượng tử hóa − • Do lượng hạt là: p2 h2 En = =n 2m 8ma2 • Năng lượng hạt bị lượng tử hóa • Số n gọi số lượng tử lượng • Mức lượng thấp nhất, ứng với n =... 3b Năng lượng bị lượng tử hóa − • Sóng vật chất chuyển động lui tới hai vách giếng thế, tạo nên sóng dừng • Khi bề rộng giếng phải bội số nửa bước sóng: n=3 a=n λ n = 1,2… • Suy động lượng hạt:... 2m + EΦ = ∂x ℏ2 Φ = Aeikx + Be −ikx 2c Hàm sóng hạt tự − Giếng vô hạn chiều Năng lượng bị lượng tử hóa Hàm sóng Bài tập ⋅ Ae p i x ℏ − i (ωt −kx ) = Ae ω= − i ( Et − px ) ℏ E ℏ k= • sóng phẳng