Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích của bài báo là đánh giá sai số giữa các mô hình tính theo các lý thuyết biến dạng cắt khác nhau trong phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu tấm composite dạng sandwich. Lời giảI giảI tích được xây dựng theo phương pháp nghiệm Navier cho kết cấu tấm tựa bản lề trên chu vi. Các kết quả số được so sánh với các kết quả của một số tác giả khác đã công bố nhằm kiểm chứng lời giải của các mô hình tính mà bài báo đưa ra.
PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM SANDWICH CHỊU UỐN THEO LÝ THUYẾT CHUYỂN VỊ BẬC CAO TS Trần Minh Tú Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp Trường Đại học Xây dựng Tóm tắt: Mục đích báo đánh giá sai số mơ hình tính theo lý thuyết biến dạng cắt khác phân tích ứng xử tĩnh kết cấu composite dạng sandwich Lời giảI giảI tích xây dựng theo phương pháp nghiệm Navier cho kết cấu tựa lề chu vi Các kết số so sánh với kết số tác giả khác công bố nhằm kiểm chứng lời giải mơ hình tính mà báo đưa Summary: The goal of the present study is to assess the accuracy of few computational models based on different shear deformation theories in predicting static behaviors of sandwich plates The performances of various models are evaluated on simply supported sandwich plates The equations of equilibrium are obtained using the principle of minimum potential energy Analytical solution method is based on Naviers technique by solving the boundary value problem The accuracy of each model is established by comparing the present results with the elasticity solutions and the results are already available in the literature Mở đầu Kết cấu sandwich kết cấu sử dụng rộng rãi ngành công nghiệp hàng không, vũ trụ, tàu, thuyền, ô tô,…, nhiều lĩnh vực công nghiệp dân dụng khác Kết cấu có nhiều lợi so với kết cấu thông thường độ bền độ cứng uốn cao, trọng lượng nhẹ, cách âm, cách nhiệt tốt, giá hợp lý Các kết cấu dầm sandwich điển hình thường bao gồm phần lõi dạng tổ ong, dạng bọt, hay bột gỗ nằm hai lớp bề mặt đẳng hướng dị hướng Các lớp bề mặt thiết kế để chịu chủ yếu ứng suất uốn, lớp lõi chủ yếu chịu ứng suất cắt Bằng cách đưa lớp vật liệu bề mặt xa mặt trung bình, độ cứng uốn kết cấu tăng cường tương tự dầm tiết diện chữ I [1, 2, 3] Lý thuyết nhiều lớp cổ điển [8] phát triển sở lý thuyết cổ điển, bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt ngang khơng thích hợp phân tích kết cấu nhiều lớp, đặc biệt sandwich Lý thuyết bậc Reissner-Mindlin [4;6] giả thiết trường chuyển vị biến thiên bậc dọc theo chiều dày kết cấu, nhiên cần phải xác định hệ số hiệu chỉnh cắt chiều dày tăng lên Để khắc phục hạn chế lý thuyết bậc nhất, lý thuyết chuyển vị bậc cao đề xuất kể đến số hạng bậc cao khai triển chuỗi Taylor hàm chuyển vị theo toạ độ chiều dày kết cấu Số lượng số hạng bậc cao ẩn số cần tìm phụ thuộc vào lý thuyết 40 T¹p chÝ khoa häc công nghệ xây dựng Cỏc mụ men chuyn v Để phân tích trường ứng suất biến dạng kết cấu sandwich chịu uốn, người ta thường sử dụng mơ hình chuyển vị sau đây: a Mơ hình [12] u = u0 ( x, y ) + z x ( x, y ) + z 2u0* ( x, y ) + z 3 *y ( x, y ) v = v0 ( x, y ) + z y ( x, y ) + z 2v0* ( x, y ) + z 3 x* ( x, y ) w = w0 ( x, y ) + z z ( x, y ) + zw2*0 ( x, y) + z 3 z* ( x, (1) y) đó: u0 , v0 , w0 thành phần chuyển vị mặt trung bình theo phương x, y ,z x , y góc xoay mặt pháp tuyến quanh hai trục y, x u0* , v0* , w0* , x* , *y , z* thành phần bậc cao khai triển chuỗi Taylor b Mơ hình [8] Với giả thiết chuyển vị pháp tuyến số theo toạ độ chiều dày, phương trình (1) trở thành: u = u0 ( x, y ) + z x ( x, y ) + z 2u0* ( x, y ) + z 3 y* ( x, y ) v = v0 ( x, y ) + z y ( x, y ) + z 2v0* ( x, y) + z 3 x* ( x, y) (2) w = w0 ( x, y) c Mơ hình [9] Trường chuyển vị giả thiết dạng: u = u0 ( x, y ) + z x ( x, y ) v = v0 ( x, y ) + z y ( x, y ) (3) w = w0 ( x, y ) d Mô hình [9] Theo mơ hình này, trường chuyển vi giả thiết dạng sau: w 4 z u = u0 ( x, y ) + z x ( x, y ) − x ( x, y ) + 3h x w 4 z v = v0 ( x, y ) + z y ( x, y ) − y ( x, y ) + 3h y w = w0 ( x, y ) (4) e Mơ hình [9] Khi giả thiết chuyển vị pháp mặt trung bình phân tích thành hai thành phần chuyển vị pháp w0u uốn chuyển vị pháp w0c cắt, trường chuyển v cú dng: Tạp chí khoa học công nghệ xây dùng 41 u = u0 ( x, y ) − z v = v0 ( x, y ) − z w0u − c z w0 3h x w0u − c z w0 3h y x y (5) w = w0u ( x, y ) + w0c ( x, y ) Với mơ hình chuyển vị kể Azar [1], Liaw Little [3], Reissner [5] xây dựng lời giải giải tích theo mơ hình chuyển vị bậc với kết số cho kết cấu vật liệu cụ thể Mơ hình chuyển vị bậc cao Reddy [8], T.M.Tú [10], sử dụng để xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn cho tính tốn số kết cấu vỏ composite lớp Trong này, tác giả xây dựng lời giải giải tích với hai mơ hình chuyển vị: bậc ba đầy đủ (mơ hình 1) bậc ba khơng đầy đủ (mơ hình 2) cho kết cấu sandwich chữ nhật tựa lề chu vi nhằm cung cấp thêm kết để kiểm chứng với lời giải phần tử hữu hạn số trường hợp riêng Trường biến dạng ứng suất Xét sandwich có lớp bề mặt gồm lớp composite cốt sợi đồng phương, lớp lõi có chiều dày không đổi lớn nhiều so với chiều dày lớp bề mặt Kích thước hình học sandwich thể hình vẽ Hình Kích thước hình học sandwich Từ mơ hình chuyển vị bậc ba đầy đủ (1), ta nhận trường biến dạng có dạng sau: x = u' x = x0 + z.k x + z 2 *x0 + z 3k x* y = u' y = y0 + z.k y + z 2 *y0 + z3k*y * (6) z = u' z = z + z.k z + z 2 *z + z 3k z* xy = u' y + v' x = xy0 + z.kxy + z 2 *xy0 + z3kxy 42 Tạp chí khoa học công nghệ x©y dùng xz = u' z + w' x = xz + z.k xz + z 2 *xz + z k xz* yz = v' z + w' y = yz0 + z.k yz + z 2 *yz0 + z3k *yz với: x0 *xo = u0' x v0' y u0' y + v0' x T T *y *xy = u0'* x v0'* y u0'* y + v0'* x ; T T kx k y k kxy = x' x y ' y y ' x + x' y y0 xy0 T T z*0 = z 3 z* z0 z k * x kz* kxy* = x*' x y*' y k *y y*' x + x*' y T yz0 xz = y + w0' y x + w0' x kxz = 2u0* + z x T * z 2v0 + y * yz k yz T *xz T = 3 T * y 3 x* (7) T ; k*xz T k *yz T * = z x z* y Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, ứng suất lớp thứ k suy từ định luật Hooke: x y z xy yz xz k Q11' Q12' Q13' Q22' Q23' Q33' = DX Q14' Q24' Q34' Q44' 0 0 Q55' x y z xy ' yz Q56 Q66' k xz k 0 0 (8) Qij' số ma trận độ cứng lớp vật liệu thứ k hệ trục toạ độ tổng thể kết cấu, xác định qua ma trận biến đổi hệ sở ứng suất, biến dạng số ma trận độ cứng Qij lớp vật liệu xác định theo mơ đun kỹ thuật [10] Tích phân thành phần ứng suất dọc theo chiều dày ta thu thành phần nội lực N x N y N z N xy Mx N *x My N *y Mz N *z N *xy M xy M *x x hk * n My y = 1 z k =1 h z k −1 xy M *xy Tạp chí khoa học công nghệ xây dùng z2 z dz 43 Q x Q y Sx Q*x Sy Q*y S *x n k xz = 1 z S *y k =1 yz k hk −1 h z2 z dz (9) Quan hệ nội lực - biến dạng biểu diễn dạng sau N x N y N*x N*y N z A x0 y0 *x0 *y0 N xy N *xy = B x0 y M xy * M xy xy * + B ' xy k xy k *xy ky k *x k *y = T kz *x0 *y z *z kx ky k *x N *z Mx z0 *z My kx M *x M *y T Mz k *y (10) T kz + (11) Q Qx yz y yz xz xz * * * * * Qx yz Q y *xz ' yz ' xz = D + D ; = E + E Sx k xz k yz S y k xz k yz * * * * Sx k xz k *yz S y k xz k *yz (12) Biểu thức cụ thể ma trận [A], [A’], [B], [B’], [D], [D’], [E], [E’] thể [6] Hệ phương trình cân Các phương trình cân thành lập nguyên lý cực tiểu toàn phần [4] N x N xy + =0 ; x y N *x N xy N *xy x 44 + N y y =0; x x + N *xy + − 2S x = y N *y y − 2S y = Qx Qy + + pz = ; x y * Q*x Q y h2 + − M *z + pz = x y M x M xy + − Qx = ; x y M *x x + M *xy y (13) − 3Q*x = Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng M xy x + M y y − Qy = ; M *xy x + S x S y h + − N z + pz = ; x y M *y y − 3Q*y = * S *x S y h3 + − N *z + pz = x y Biểu diễn thành phần biến dạng (10), (11) (12) theo thành phần chuyển vị (7) ta nhận biểu thức thành phần nội lực theo chuyển vị Thay thành phần nội lực biểu diễn theo chuyển vị vào (13) ta nhận hệ phương trình cân theo chuyển vị Lời giải giải tích Với chữ nhật tựa lề cạnh, điều kiện biên gồm: Trên cạnh x = x = a: v0 = 0, w0 = 0, y = 0, z = 0, M x = 0, v0* = 0, (14) w0* = 0, y* = 0, z* = 0, M*x = 0, Nx = 0, N*x = Trên cạnh y = y = a: u0 = 0, w0 = 0, x = 0, z = 0, My = 0, u0* = 0, (15) w0* = 0, x* = 0, z* = 0, My* = 0, Ny = 0, Ny* = Các hàm chuyển vị chọn dạng chuỗi kép Fourier thoả mãn điều kiện biên (14) (15): u0 = m x n y ; u* = sin a b u0mn cos m=1 n =1 v0 = v0mn sin m=1 n=1 w0mn sin m=1 n=1 x = xmn cos m =1 n =1 y = m=1 n =1 z = zmn sin m=1 n =1 m x n y sin ; w*0 = a b m x n y sin ; *x = a b m x n y cos ; *y = a b ymn sin m x n y * sin ; z = a b u*0mn cos m=1 n =1 m x n y cos ; v*0 = a b w0 = v0mn sin m=1 n =1 m x n y sin a b m x n y cos a b w*0mn sin m x n y sin a b m x n y sin a b m=1 n =1 *xmn cos m=1 n =1 *ymn sin m=1 n =1 *zmn sin m=1 n =1 m x n y cos a b m x n y sin a b (16) Khai triển tải trọng dạng: pz = pzmn sin m=1 n =1 m x n y sin a b Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng (17) 45 Thay (16), (17) vào hệ phương trình cân theo chuyển vị (nhận từ (13)) ta thu phương trình: u0 v 0 pz w0 x y p h z z2 (18) H 1212 u0* = * v0 * h2 w0 pz * x * y * h2 z 121 p z với giá trị m, n Các số hạng ma trận [H] xác định với trợ giúp phần mềm tính tốn MAPLE 10 Kết số Các ví dụ số thực nhằm tính tốn trường chuyển vị trường ứng suất sandwich theo mơ hình chuyển vị khác Với mơ hình bậc nhất, lấy hệ số hiệu chỉnh cắt 5/6 Các vật liệu sử dụng tính tốn có số đàn hồi sau [9]: - Lớp bề mặt: : E1=131 GPa; E2=E3= 10,34 GPa; G12=G23=6,895 GPa; G13=6,205 GPa; 12=13=0,22; 23=0,49 - Lớp lõi: E1=E2=E3= 2G=6,9.10-3 GPa; G12=G13=G23= 3,45.10-3 GPa; 12=13=23=0 Các đại lượng khơng thứ ngun tính theo: 100h3 E 2 u = u p a4 h2 ; 100h3 E 2 v = v p a4 ; 100h3 E 2 w = w p a4 h2 ; h2 ; xy = xy ; y =y ; x =x p a2 p a2 p a2 Các thành phần chuyển vị ứng suất lớn xác định điểm có toạ độ: u(0, b/2, h/2) x, y(a/2, b/2, h/2) v(a/2,0, h/2) sxy (, 0, h/2) ; w(a/2, b/2, 0) Kết so sánh với: a Lời giải giải tích Kant Swaminathan [9] theo mơ hình: - Mơ hình - mơ hình chuyn v bc nht 46 Tạp chí khoa học công nghƯ x©y dùng - Mơ hình - mơ hình chuyển vị bậc cải biên (áp đặt thoả mãn điều kiện biên ứng suất cắt ngang mặt khơng) - Mơ hình - dựa lý thuyết chuyển vị bậc nhất, phân tích chuyển vị theo phương chiều dày thành hai thành phần: chuyển vị uốn chuyển vị lực cắt (thoả mãn điều kiện ứng suất cắt ngang mặt không) b Lời giải Pagano [14] Pagano dựa vào lý thuyết đàn hồi ba chiều xây dựng lời giải giải tích cho composite lớp sandwich Ví dụ 1: Tấm sandwich vng (00/lõi/00) chiều dày h Chiều dày lớp bề mặt h/10 Chuyển vị ứng suất khơng thứ ngun tính với tỷ số kích thước a/h khác thể bảng Bảng Độ võng ứng suất không thứ nguyên sandwich vuông (0 0/lõi/00) chịu tải trọng vng góc phân bố hình sin a/h w x y xy - 1,512 0,2533 0,1437 Mơ hình (Tác giả) 7,0549 1,5131 0,2646 0,1377 Mơ hình (Tác giả) 7,1540 1,5028 0,2388 0,1406 Mơ hình [9] 7,0873 1,4182 0,2365 0,1383 Mơ hình [9] 5,6205 1,5765 0,0780 0,0623 Mơ hình [9] 4,7666 0,8918 0,1562 0,0907 Pagano [14] - 1,152 0,1099 0,0707 Mơ hình (Tác giả) 2,0757 1,1520 0,1100 0,0679 Mơ hình (Tác giả) 2,0842 1,1491 0,1039 0,0682 Mơ hình [9] 2,0629 1,1300 0,1030 0,0679 Mơ hình [9] 1,6458 1,1746 0,0581 0,0464 Mơ hình [9] 1,5604 1,0457 0,0798 0,0552 Pagano [14] - 1,110 0,0700 0,0511 Mơ hình (Tác giả) 1,1928 1,1107 0,0701 0,0511 Mơ hình (Tác giả) 1,1934 1,1088 0,0678 0,0500 Mơ hình [9] 1,1876 1,1039 0,0679 0,0502 Mơ hình [9] 1,0704 1,1164 0,0552 0,0441 Mơ hình [9] 1,0524 1,0830 0,0612 0,0466 Pagano [14] - 1,099 0,0569 0,0446 Mơ hình (Tác giả) 0,9290 1,1051 0,0577 0,0444 Mơ hình (Tác giả) 0,9286 1,0983 0,0572 0,0443 Mơ hình [9] 0,9284 1,0980 0,0565 0,0445 Mơ hình [9] 0,9090 1,1001 0,0545 0,0435 Mơ hình [9] 0,9063 1,0947 0,0554 0,0439 Mơ hình Pagano [14] 10 20 50 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 47 Cú thể thấy kết mà báo đưa theo mơ hình chuyển vị bậc cao có sai số nhỏ ( 0,1% ) so sánh với kết Pagano với giá trị tỉ số a/h Khi so sánh với kết tính theo mơ hình 2, 4, Kant (bậc bậc cải biên) cho thấy sai số lớn tỉ số a/h nhỏ (tấm dày) Ví dụ 2: Tấm sandwich vuông với lớp bề mặt gồm hai lớp composite đồng phương, lệch trục bất đối xứng [300/-300/lõi/-300/300] Tỉ số chiều dày lớp lõi chiều dày lớp bề mặt hloi/hbm=4 Chuyển vị ứng suất không thứ nguyên tính với tỷ số kích thước a/h khác thể bảng Bảng Độ võng ứng suất không thứ nguyên sandwich vuông [300/-300/lõi/-300/300] chịu tải trọng vng góc phân bố hình sin a/h 10 20 50 Mơ hình w x y xy Mơ hình (Tác giả) 13,0331 1,0173 0,5014 -0,5856 Mơ hình (Tác giả) 13,2427 1,0105 0,4981 -0.5930 Mơ hình [9] 8,1972 0,5576 0,3002 -0,3694 Mơ hình [9] 8,0144 0,6495 0,2744 -0,3269 Mơ hình [9] 2,5977 0,2803 0,1510 -0,1948 Mơ hình (Tác giả) 2,9391 0,4217 0,2049 -0,2621 Mơ hình (Tác giả) 2,9519 0,4240 0,2105 -2,6181 Mơ hình [9] 1,9692 0,3531 0,1699 -0,2139 Mơ hình [9] 1,9047 0,3847 0,1610 -0,1992 Mơ hình [9] 1,0182 0,3222 0,1415 -0,1787 Mơ hình (Tác giả) 1,2838 0,3521 0,1568 -0,1994 Mơ hình (Tác giả) 1,2867 0,3525 0,1583 -0,1985 Mơ hình [9] 1,0300 0,3367 0,1471 -0,1850 Mơ hình [9] 1,0107 0,3462 0,1445 -0,1806 Mơ hình [9] 0,7884 0,3304 01396 -0,1755 Mơ hình (Tác giả) 0,8031 0,3365 0,1424 -0,1793 Mơ hình (Tác giả) 0,8042 0,3360 0,1423 -0,1781 Mơ hình [9] 0,7627 0,3338 0,1403 -0,1762 Mơ hình [9] 0,7594 0,3354 0,1398 -0,1754 Mơ hình [9] 0,7237 0,3328 0,1391 -0,1746 Bảng cho thấy dày (a/h = 4-10) sai lệch kết mơ hình bậc cao (mơ hình 2) mơ hình bậc (mơ hình 3, 4, 5) lớn Khi mỏng dần (tỉ số a/h tăng lên) độ sai lệch giảm dần Điều hoàn toàn phù hợp với thực tế tính tốn, lý thuyết cổ điển phù hợp với mỏng, lý thuyết bậc phù hợp với có chiều dày trung bỡnh 48 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng Kết luận Bài báo đưa lời giải giải tích phân tích tĩnh kết cấu sandwich chịu uốn theo lý thuyết chuyển vị bậc cao Lời giải có độ tin cậy so sánh với lời giải đàn hồi Pagano trường hợp vật liệu lớp bề mặt có cấu hình đối xứng vng góc Kết số cho thấy cần thiết phải sử dụng lý thuyết chuyển vị bậc cao tính toán kết cấu sandwich kết cấu có chiều dày lớn Các kết sử dụng để kiểm chứng với lời giải số khác nghiên cứu kết cấu composite dạng sandwich Tài liệu tham khảo Azar J J (1968), Bending theory of multilayer orthotropic sandwich plates, AIAA J 6:21662169 Bau-Madsen N K (1993), “Large deflections of sandwich plates - an experimental investigations”, Composite Structures 23:47-52 Liaw B D., Little R W (1967), “Theory of bending multilayer sandwich plates”, AIAA J 5:301-304 Reddy, J N (1996), Energy and Variational Methods in Engg Mechanics, John Wiley, New York Reissner E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, ASME J Appl Mech 12(2):69-77 Ronald F Gibson (1994), Principles of Composite Material Mechanics, McGraw-Hill, Inc Singapore Whitney JM., Pagano NJ (1970), “Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates“, ASME J Appl Mech 37(4):1031-6 Reddy JN (1984), “A simple higher order theory for laminated composite plates”, ASME J Appl Mech, 51,745-52 Kant T., Swaminathan K (2001), “Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher-order refined theory”, Composite Structure, 53,73-85 10 Trần Ích Thịnh (1994), Cơ học Vật liệu Composite, Nxb Giáo dục, Hà Nội 11 Trần Minh Tú (2006), Tính tốn độ bền độ ổn định kết cấu tấm, vỏ composite lớp có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ độ ẩm, Luận án Tiến sỹ kĩ thuật, Trường ĐHBK Hà Nội 12 Vinson J R (1999), The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials, Technomic Publishing Company, Inc.USA 13 Whitney, J M (1987), Structural Analysis of Laminate Anisotropic Plates, Technomic Publishing Company, Inc.USA 14 Pagano, N.J (1996), “Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending” Journal of Composite Materials, 3, 389-411 Tạp chí khoa học công nghệ x©y dùng 49 ... mỏng, lý thuyết bậc phù hợp với có chiều dày trung bình 48 T¹p chÝ khoa học công nghệ xây dựng Kt lun Bi báo đưa lời giải giải tích phân tích tĩnh kết cấu sandwich chịu uốn theo lý thuyết chuyển vị. .. suất cắt ngang mặt không) - Mơ hình - dựa lý thuyết chuyển vị bậc nhất, phân tích chuyển vị theo phương chiều dày thành hai thành phần: chuyển vị uốn chuyển vị lực cắt (thoả mãn điều kiện ứng suất... Với mơ hình chuyển vị kể Azar [1], Liaw Little [3], Reissner [5] xây dựng lời giải giải tích theo mơ hình chuyển vị bậc với kết số cho kết cấu vật liệu cụ thể Mơ hình chuyển vị bậc cao Reddy [8],