CĐtoán6.p4

Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Chuyên đề : ớc và bội A . Lí thuyết I. Kiến thức cơ bản 1. a b (a, b N , b 0) a là bội của b; b là ớc của a. 2. Cách tìm bội và ớc. B (a) = { } .3;2;;0 aaa Ư (a) là các số tự nhiên mà a chia hết cho số đó. 3. Ư (1) = 1; B 1 = N; Ư (0) = N * ; số 0 không có bội. II. Kiến thức mở rộng B (a) có dạng a . k ( k N ) Ước thực sự là các ớc khác 1 và chính nó. B. Bài tập. Bài 1. Tìm tập M a) Các số x là Ư (65) và 12 < x< 65 b) Các số y là B (13) và 26 104 y c) Các số z vừa là ớc của 65 vừa là bội của 13. Giải a) Ta có Ư (65) = { } 65;13;5;1 Vì x Ư (65) và 12 < x < 65 x = 13. Vậy tập M các số x là Ư (65) và 12 < x< 65 là : M = { } 13 b) Ta có B (13) = { } .117;104;91;78;65;52;39;26;13;0 Vì y B (13) và 26 104 y y { } 104;91;78;65;52;39;26 Vậy tập M các số y là B (13) và 26 104 y là : { } 104;91;78;65;52;39;26 c) Ta có Ư (65) = { } 65;13;5;1 Vì z là bội của 13 nên z 13 mà z Ư (65) nên z { } 65;13 Vây tập hợp các số z vừa là ớc của 65 vừa là bội của 13 là : M = { } 65;13 Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên. a) 12 12 + a ; b) 1 3 + + a a ; c) 5 15 + a Giải a) Để biểu thức : 12 12 + a là số tự nhiên thì 12 2a + 1 => 2a + 1 Ư (12) . Ta có : Ư (12) = { } 12;6;4;3;2;1 mà 2a + 1 là số lẻ nên: 2a + 1 { } ;3;1 Nếu 2a + 1 = 1 a = 0 Nếu 2a + 1 = 3 a = 1 Vậy a { } 1;0 thì biểu thức 12 12 + a là số tự nhiên. b) Để biểu thức : 1 3 + + a a là số tự nhiên thì a + 3 a + 1 a+ 1 + 2 a + 1 Vì a + 1 a + 1 nên 2 a + 1 Ta có : Ư (2) = { } 2;1 a + 1 { } 2;1 1 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Nếu a + 1 = 1 a = 0 Nếu a + 1 = 2 a = 1 Vậy a { } 1;0 thì biểu thức 1 3 + + a a là số tự nhiên. c) Cách 1: Để 5 15 + a là số tự nhiên thì a + 15 5 mà 15 5 nên a 5 hay a là bội của 5 Do đó a { } .20;15;10;5;0 Vậy a { } .20;15;10;5;0 thì biểu thức 1 3 + + a a là số tự nhiên. Cách 2. Để 5 15 + a là số tự nhiên thì a + 15 5 hay a + 15 là bội của 5 Ta có B (5) = { } .20;15;10;5;0 mà a + 15 15 a { } .20;15;10;5;0 hay a = 5k ( k N) Vậy a { } .20;15;10;5;0 thì biểu thức 1 3 + + a a là số tự nhiên. Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết: a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10 b) (x + 6) = y ( x - 1) c) x . y = 30 Giải a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10 Vì x; y thuộc N 2x + 1 ; y - 3 thuộc N * Ta có (2x + 1) . ( y - 3) = 10 nên 2x + 1 Ư (10) và y - 3 Ư (10) mà Ư (10) { } 10;5;2;1 . Do 2x + 1 là một số lẻ nên ta có bảng giá trị sau : 2x +1 1 2 5 10 y - 3 10 5 2 1 2x 0 1 4 9 x 0 loại 2 loại y 13 8 5 4 Vậy x = 0 và y = 13 hoặc x = 2; y = 5 thì (2x + 1) . ( y - 3) = 10 b) (x + 6) = y ( x - 1) (x + 6) (x - 1) Ta có : x - 1 x - 1 x + 6 - (x - 1) x - 1 x + 6 - x + 1 x - 1 7 x - 1 x -1 là ớc của 7 mà Ư (7) { } 7;1 . Do đó: +) Nếu x - 1 = 1 x = 2 (2 + 6) = y(2 - 1) 8 = y +) Nếu x - 1 = 7 x = 8 (8+6) = y(8 - 1) 14 = y . 7 y = 14 : 7 = 2 Vậy x = 2 và y = 8 hoặc x = 8 và y = 2 thì (x + 6) = y ( x - 1) c) x . y = 30 Vì x . y = 30 và x, y thuộc N x, y là cặp ớc của 30 mà Ư (30) ) { } 30;15;10;6;5;3;2;1 . Ta có bảng giá trị sau: 2 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng x 1 2 3 5 6 10 15 30 y 30 15 10 6 5 3 2 1 Vậy (x,y) { } )1;30();2;15();3;10();6;5();10;3();15;2();30;1( Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : a) n + 4 n + 1 b) n 2 + 4 n + 2 Giải a) n + 4 n + 1 n + 1 + 3 n + 1 Vì n + 1 n + 1 nên 3 n + 1 n + 1 3 Ta có : Ư (3) = { } 3;1 n + 1 { } 3;1 Nếu n + 1 = 1 n = 0 Nếu n + 1 = 3 n = 2 Vậy n { } 2;0 thì n + 4 n + 1 b) n 2 + 4 n + 2 n 2 + 8 - 4 + 2n - 2n n + 2 (n. n - 2n) + (2n - 4) + 8 n + 2 n (n - 2) + 2 ( n - 2) + 8 n + 2 (n - 2) (n + 2) + 8 n + 2 Vì n + 2 n + 2 (n - 2) (n + 2) n + 2 8 n + 2 n + 2 8 Ta có : Ư (8) = { } 8;4;2;1 n + 1 { } 8;4;2;1 Nếu n + 2 = 1 n = 1 - 2 (loại) Nếu n + 2 = 2 n = 0 Nếu n + 2 = 4 n = 2 Nếu n + 2 = 8 n = 6 Vậy n { } 6;2;0 thì n 2 + 4 n + 2 Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết: a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10 (y > 3) b) (x - 3) = y ( x - 2) Giải a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10 Vì x; y thuộc N và y > 3 3x - 2 ; y - 3 thuộc N * Ta có (3x - 2) . ( y - 3) = 10 nên 3x - 2 Ư (10) và y - 3 Ư (10) mà Ư (10) { } 10;5;2;1 . ta có bảng giá trị sau : 3x - 2 1 2 5 10 y - 3 10 5 2 1 3x 3 4 7 12 x 1 loại loại 4 y 13 8 5 4 Vậy x = 1 và y = 13 hoặc x = 10; y = 4 thì (2x + 1) . ( y - 3) = 10 b) (x - 3) = y ( x - 2) (x - 3) (x - 2) Ta có : x - 2 x - 2 x - 2 - (x - 3) x - 2 x - 2 - x + 3 x - 2 3 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng 1 x - 2 x - 2 là ớc của 1 mà Ư (1) { } 1 . Do đó: x - 2 = 1 x = 3 (3 - 3) = y (3 - 2) y = 0 Vậy x = 3 và y = 0 thì (x - 3) = y ( x - 2) Bài 6. Tìm n thuộc N biết: a) 13n n - 1 b) 2n + 3 n - 2 c) 3n + 1 11 - 2n Giải a) 13n n - 1 V ì n - 1 n - 1 13 ( n - 1) n - 1 13n - 13 ( n - 1) n - 1 13n - 13 n + 13 n - 1 13 n -1 n - 1 Ư (13) mà Ư (13) { } 13;1 n - 1 { } 13;1 Do đó: Nếu n - 1 = 1 n = 2 Nếu n - 1 = 13 n = 14 Vậy n { } 14;2 thì 13n n - 1 b) 2n + 3 n - 2 Ta có n - 2 n - 2 2(n - 2) n - 2 mà 2n + 3 n - 2 2n + 3 2(n -2) n - 2 2n + 3 2n + 4 n - 2 7 n - 2 n - 2 Ư (7) mà Ư (7) { } 7;1 n - 2 { } 7;1 Do đó: n - 2 = 1 n = 1 + 2 = 3 n - 2 = 7 n = 7 + 2 = 9 Vậy n { } 9;3 thì 2n + 7 n + 1. c) 3n + 1 11 - 2n Ta có 11 - 2n 11- 2n 3 (11 - 2n) 11- 2n 33 - 6n 11 - 2n Ta có : 3n + 1 11 - 2n 2. ( 3n + 1 ) 11 - 2n 6n + 2 11 - 2n 6n + 2 + 33 - 6n 11 - 2n 35 11 - 2n 11- 2n Ư (35) mà Ư (35) { } 35;7;5;1 n - 2 { } 35;7;5;1 Do đó: 11- 2n = 1 2n = 11- 1 2n = 10 n = 5 11- 2n = 5 2n = 11 - 5 2n = 6 n = 3 11- 2n = 7 2n = 11 - 7 2n = 4 n = 2 11- 2n = 35 2n = 11 - 35 (loại) Vậy n { } ;5;3;2 thì ) 3n + 1 11 - 2n Bài tập về chuyên đề ớc và bội 4 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Bài 1. Tìm tập M a) Các số x là Ư (65) và 12 < x< 65 b) Các số y là B (13) và 26 104 y c) Các số z vừa là ớc của 65 vừa là bội của 13. Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên. a) 12 12 + a ; b) 1 3 + + a a ; c) 5 15 + a Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết: a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10 b) (x + 6) = y ( x - 1) c) x . y = 30 Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : a) n + 4 n + 1 b) n 2 + 4 n + 2 Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết: a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10 (y > 3) b) (x - 3) = y ( x - 2) Bài 6. Tìm n thuộc N biết: a) 13n n - 1 b) 2n + 3 n - 2 c) 3n + 1 11 - 2n ===***== Bài tập về chuyên đề ớc và bội Bài 1. Tìm tập M a) Các số x là Ư (65) và 12 < x< 65 b) Các số y là B (13) và 26 104 y c) Các số z vừa là ớc của 65 vừa là bội của 13. Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên. a) 12 12 + a ; b) 1 3 + + a a ; c) 5 15 + a Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết: a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10 b) (x + 6) = y ( x - 1) c) x . y = 30 Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : a) n + 4 n + 1 b) n 2 + 4 n + 2 Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết: a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10 (y > 3) b) (x - 3) = y ( x - 2) Bài 6. Tìm n thuộc N biết: a) 13n n - 1 b) 2n + 3 n - 2 c) 3n + 1 11 - 2n ===***=== 5