Một số vấn đề mới trong hình Arbelos

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Sơn Hải MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỚI TRONG HÌNH ARBELOS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Sơn Hải MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỚI TRONG HÌNH ARBELOS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2019 i Danh mục hình 1.1 1.2 Arbelos-“hình dao thợ đóng giầy” Bốn ngũ giác thập giác 1.3 a+b a = =ϕ a b 1.4 Chứng minh hai tính chất arbelos d1 e1 = d2 e2 1.6 [ABC] - arbelos vàng ⇐⇒ δj j , j ≥ 1.7 Đường tròn nội tiếp ω(ρ) 1.5 Tính chất mới: [ABC]-arbelos vàng ⇐⇒ 10 11 12 14 16 17 17 thẳng Schoch 18 20 21 22 a b + =1 a0 b 24 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 Định lý Bankoff thứ Ba cách dựng đường trịn nội tiếp hình arbelos [ABC] Định lý Bankoff thứ hai Cặp đường tròn Archimedes thứ thứ hai Cặp đường tròn Archimedes thứ ba thứ tư Cặp đường tròn Archimedes thứ năm thứ sáu 2.1 2.2 2.3 2.4 Đường tròn Archimedes Schoch Đường tròn Archimedes Schoch đường Các đường tròn Archimedes Schoch Các đường tròn C(a0 , b0 ) 2.5 C(a0 , b0 ) đường tròn Archimedes ⇐⇒ 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 Các đường tròn Un Woo Điểm T thuộc đường thẳng L Đường tròn U0 Woo Chứng minh mệnh đề 2.10, trường hợp Chứng minh mệnh đề 2.10, trường hợp Trường hợp n = Tổng qt hóa cặp đường trịn Archimedes kiểu Power Đường tròn qua C Archimedes ⇐⇒ T1 ∈ α hay T2 ∈ β 25 27 28 29 30 31 32 34 3.1 3.2 3.3 Chuỗi đường tròn nội tiếp Phép chứng minh bổ đề 3.1 Phép nghịch đảo chuỗi Pappus 37 38 41 ii 3.4 3.5 Ba chuỗi Pappus arbelos [ABC] 43 Đường tròn nội tiếp arbelos [ABC] đường tròn nghịch đảo 47 iii Mục lục Mở đầu 1 Hình arbelos cặp đường tròn Archimedes 1.1 Giới thiệu arbelos 1.2 Kết arbelos vàng 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos 1.4 Các cặp đường tròn Archimedes 1.4.1 Định nghĩa đường tròn Archimedes 1.4.2 Các cặp đường tròn Archimedes khác 3 15 15 16 18 18 18 21 24 27 29 31 33 Chuỗi đường trịn nội tiếp hình arbelos 3.1 Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos 3.2 Ba chuỗi đường tròn Pappus nội tiếp arbelos 3.3 Phép nghịch đảo hình arbelos 37 37 42 45 Tài liệu tham khảo 52 Một số họ đường tròn Archimedes 2.1 Họ dường tròn Archimedes Schoch 2.1.1 Đường thẳng Schoch 2.1.2 Tổng qt hóa đường trịn U2 Schoch 2.2 Các đường tròn Un Woo 2.2.1 Các đường tròn Un Woo với n < 2.2.2 Một tổng quát hóa khác U0 2.3 Tổng quát hóa kiểu Power 2.4 Đặc trưng đường tròn Archimedes qua C iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn tin, q thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11B (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2019 Người viết Luận văn Nguyễn Sơn Hải Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Điểm, đường thẳng, tam giác, đa giác, đường tròn, đối tượng nghiên cứu Hình học Euclid phẳng Với chủ ý tìm hiểu đường tròn, chuỗi đường tròn vấn đề khác hình học phẳng, tơi muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu thêm số vấn đề phát hình arbelos Đó kết hình học mới, chưa giới thiệu sách hình học Việt nam Ở nước ngoài, nhiều Tạp chí, chẳng hạn Tạp chí Tốn học Đại học Florida Atlatic Hoa kỳ (Forum Geometricorum, ISSN 1534-1178), nhiều tác giả nghiên cứu khai thác sâu sắc vấn đề Các báo hình arbelos đăng thường xuyên năm gần Đó lý tơi chọn đề tài Mục đích đề tài là: - Tìm hiểu trình bày vấn đề hình arbelos (hình dao thợ đóng giầy): đặc trưng arbelos vàng, hướng tổng qt hóa đường trịn Archimedes, chuỗi đường tròn Pappus số đồng thức Những vấn đề đề cập đến báo từ năm 2004 trở lại - Sử dụng cơng cụ phương pháp hình học như: Dựng hình com pa-thước kẻ, phép nghịch đảo, tọa độ Descartes, tọa độ Barycentric để giải toán Các phương pháp tiếp cận hình arbelos thời Archimedes công cụ đại mang lại nhiều kết đẹp có ích - Bồi dưỡng lực dạy chuyên đề khó trường THCS THPT góp phần đào tạo học sinh có tư tốt Hình học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Trình bày số tốn hình arbelos, đặc biệt kết arbelos vàng (tham khảo [3] chi tiết hóa), giới thiệu số tính chất đường trịn Archimedes (tham khảo [7]), số hướng tổng quát để tìm họ đường trịn Archimedes (tổng hợp từ báo [4], [2], [5] ), trình bày chuỗi Pappus đường trịn hình arbelos số đồng thức Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes Hình arbelos dựa hình tạo nửa đường tròn (α, β, γ), gọi "hình dao thợ đóng giầy" Chúng tơi giới thiệu số kiện hình học này, kết arbelos vàng, cách dựng cặp đường tròn Archimedes đường tròn nội tiếp arbelos Chương bao gồm: 1.1 Giới thiệu arbelos 1.2 Kết arbelos vàng 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos 1.4 Các cặp đường tròn Archimedes Chương Một số họ đường trịn Archimedes Chương trình bày cách tổng quát hóa để thu số họ đường tròn Archimedes Nội dung bao gồm mục sau: 2.1 Họ đường tròn Archimedes T Schoch 2.2 Các đường trịn Archimedes P.Woo 2.3 Tổng qt hóa kiểu Power 2.4 Đặc trưng đường tròn Archimedes qua gốc tọa độ Chương Chuỗi đường trịn nội tiếp hình arbelos Bằng cơng cụ tọa độ phép nghịch đảo, chương giới thiệu số chuỗi đường trịn nội tiếp arbelos Từ cơng thức tính bán kính đường trịn chuỗi lập số đồng thức liên quan đến dãy số tự nhiên 3.1 Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos 3.2 Ba chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos 3.3 Một số đồng thức Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes 1.1 Giới thiệu arbelos Hình arbelos nghiên cứu nửa đường tròn tiếp xúc, chữ "arbelos" ghép từ chữ α, %, β, η, λ, θ, ς thành (α%βηλθς ) Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C dựng nửa đường trịn đường kính AC, BC, AB, ta gọi nửa đường tròn O1 (a), O2 (b) O(a + b) tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giầy” hay cịn gọi hình arbelos Archimedes Trong luận văn chúng tơi thống dùng (a) Hình “con dao thợ đóng giầy” (b) S(1) + S(2) = S(3) Hình 1.1: Arbelos-“hình dao thợ đóng giầy” tên gọi “arbelos [ABC ]” để hình vẽ 1.1, bán kính hai nửa đường trịn nhỏ AC = a, CB = b, O1 , O2 hai tâm nửa đường tròn, C tiếp điểm hai nửa đường tròn nhỏ, D giao nửa đường tròn lớn với đường vng góc Ct ⊥ AB Như đường trịn lớn có bán kính a + b Ta dùng ký hiệu (P Q) để nửa đường trịn đường kính P Q hay O(r) để đường trịn tâm O, bán kính r Nhà toán học thiên văn học Archimedes khám phá nhiều định lý arbelos công bố sách “Sách bổ đề” ông Mặc dù tốn hình arbelos có từ thời đến tận ngày người ta phát nhiều bí ẩn, nhiều kết cơng bố diễn đàn tốn học mà điển hình Forum Geometricorum (ISSN 1534-1178) Đây tạp chí khoa học hình học Euclide khoa tốn trường đại học Florida Atlantic (Mỹ) Tạp chí thành lập giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 ơng tổng biên tập tạp chí Trong hình arbelos có số kết sau phát biểu trình bày phép chứng minh [1]: Bài toán 1.1 Cho arbelos [ABC] hình 1.1 b) Chứng minh diện tích hình arbelos diện tích hình trịn đường kính CD 2πab Bài tốn 1.2 Trong arbelos [ABC] gọi U = AD ∩ (AC) V = BD ∩ (BC) tứ giác CU DV hình chữ nhật Bài toán 1.3 Giả thiết toán trên, đường thẳng U V tiếp tuyến hai nửa đường tròn (AC) (CB) 1.2 Kết arbelos vàng Năm 1999 có báo mang tên Those ubiquitious Archimedes circles công bố Math Mag 72 (1999) tập thể tác giả: C.W Dodge, T Schoch, P.Y Woo, P Yiu Bài báo làm cho nhà tốn học chun khơng chun quan tâm đến hình arbelos Ở kỷ có nhiều thảo luận arbelos mà đa số chúng công bố tác phẩm “The arbelos: A cosmos made by three semicircles” (Arbelos: vũ trụ tạo ba nửa đường tròn) hai nhà toán học H Okumura M Watanabe (Nhật bản) Tác phẩm đăng tạp chí Iwanami Shoten năm 2010 Tiếng Nhật Sau phát hay Hiroshi Okumura: Một đặc trưng arbelos vàng, [6] Với hình arbelos [ABC], giả sử a, b bán kính nửa đường trịn (AC), (CB) với a > b > a, b gọi “ở tỷ số vàng” a b = (1.1) a+b a ... thác sâu sắc vấn đề Các báo hình arbelos đăng thường xuyên năm gần Đó lý tơi chọn đề tài Mục đích đề tài là: - Tìm hiểu trình bày vấn đề hình arbelos (hình dao thợ đóng giầy): đặc trưng arbelos vàng,...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Sơn Hải MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỚI TRONG HÌNH ARBELOS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... Pappus đường trịn hình arbelos số đồng thức Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes Hình arbelos dựa hình tạo nửa đường tròn (α, β, γ), gọi "hình dao thợ đóng