Luận văn một số vấn đề mới trong hình arbelos

1 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Điểm, đường thẳng, tam giác, đa giác, đường tròn, đối tượng nghiên cứu Hình học Euclid phẳng Với chủ ý tìm hiểu đường tròn, chuỗi đường tròn vấn đề khác hình học phẳng, tơi muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu thêm số vấn đề phát hình arbelos Đó kết hình học mới, chưa giới thiệu sách hình học Việt nam Ở nước ngoài, nhiều Tạp chí, chẳng hạn Tạp chí Tốn học Đại học Florida Atlatic Hoa kỳ (Forum Geometricorum, ISSN 1534-1178), nhiều tác giả nghiên cứu khai thác sâu sắc vấn đề Các báo hình arbelos đăng thường xuyên năm gần Đó lý tơi chọn đề tài Mục đích đề tài là: - Tìm hiểu trình bày vấn đề hình arbelos (hình dao thợ đóng giầy): đặc trưng arbelos vàng, hướng tổng qt hóa đường trịn Archimedes, chuỗi đường tròn Pappus số đồng thức Những vấn đề đề cập đến báo từ năm 2004 trở lại - Sử dụng cơng cụ phương pháp hình học như: Dựng hình com pa-thước kẻ, phép nghịch đảo, tọa độ Descartes, tọa độ Barycentric để giải toán Các phương pháp tiếp cận hình arbelos thời Archimedes công cụ đại mang lại nhiều kết đẹp có ích - Bồi dưỡng lực dạy chuyên đề khó trường THCS THPT góp phần đào tạo học sinh có tư tốt Hình học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Trình bày số tốn hình arbelos, đặc biệt kết arbelos vàng (tham khảo [3] chi tiết hóa), giới thiệu số tính chất đường trịn Archimedes (tham khảo [7]), số hướng tổng quát để tìm họ đường trịn Archimedes (tổng hợp từ báo [4], [2], [5] ), trình bày chuỗi Pappus đường trịn hình arbelos số đồng thức Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes Hình arbelos dựa hình tạo nửa đường tròn (α, β, γ), gọi "hình dao thợ đóng giầy" Chúng tơi giới thiệu số kiện hình học này, kết arbelos vàng, cách dựng cặp đường tròn Archimedes đường tròn nội tiếp arbelos Chương bao gồm: 1.1 Giới thiệu arbelos 1.2 Kết arbelos vàng 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos 1.4 Các cặp đường tròn Archimedes Chương Một số họ đường trịn Archimedes Chương trình bày cách tổng quát hóa để thu số họ đường tròn Archimedes Nội dung bao gồm mục sau: 2.1 Họ đường tròn Archimedes T Schoch 2.2 Các đường trịn Archimedes P.Woo 2.3 Tổng qt hóa kiểu Power 2.4 Đặc trưng đường tròn Archimedes qua gốc tọa độ Chương Chuỗi đường trịn nội tiếp hình arbelos Bằng cơng cụ tọa độ phép nghịch đảo, chương giới thiệu số chuỗi đường trịn nội tiếp arbelos Từ cơng thức tính bán kính đường trịn chuỗi lập số đồng thức liên quan đến dãy số tự nhiên 3.1 Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos 3.2 Ba chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos 3.3 Một số đồng thức Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes 1.1 Giới thiệu arbelos Hình arbelos nghiên cứu nửa đường tròn tiếp xúc, chữ "arbelos" ghép từ chữ α, %, β, η, λ, θ, ς thành (α%βηλθς ) Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C dựng nửa đường trịn đường kính AC, BC, AB, ta gọi nửa đường tròn O1 (a), O2 (b) O(a + b) tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giầy” hay cịn gọi hình arbelos Archimedes Trong luận văn chúng tơi thống dùng (a) Hình “con dao thợ đóng giầy” (b) S(1) + S(2) = S(3) Hình 1.1: Arbelos-“hình dao thợ đóng giầy” tên gọi “arbelos [ABC ]” để hình vẽ 1.1, bán kính hai nửa đường trịn nhỏ AC = a, CB = b, O1 , O2 hai tâm nửa đường tròn, C tiếp điểm hai nửa đường tròn nhỏ, D giao nửa đường tròn lớn với đường vng góc Ct ⊥ AB Như đường trịn lớn có bán kính a + b Ta dùng ký hiệu (P Q) để nửa đường trịn đường kính P Q hay O(r) để đường trịn tâm O, bán kính r Nhà toán học thiên văn học Archimedes khám phá nhiều định lý arbelos công bố sách “Sách bổ đề” ông Mặc dù tốn hình arbelos có từ thời đến tận ngày người ta phát nhiều bí ẩn, nhiều kết cơng bố diễn đàn tốn học mà điển hình Forum Geometricorum (ISSN 1534-1178) Đây tạp chí khoa học hình học Euclide khoa tốn trường đại học Florida Atlantic (Mỹ) Tạp chí thành lập giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 ơng tổng biên tập tạp chí Trong hình arbelos có số kết sau phát biểu trình bày phép chứng minh [1]: Bài toán 1.1 Cho arbelos [ABC] hình 1.1 b) Chứng minh diện tích hình arbelos diện tích hình trịn đường kính CD 2πab Bài tốn 1.2 Trong arbelos [ABC] gọi U = AD ∩ (AC) V = BD ∩ (BC) tứ giác CU DV hình chữ nhật Bài toán 1.3 Giả thiết toán trên, đường thẳng U V tiếp tuyến hai nửa đường tròn (AC) (CB) 1.2 Kết arbelos vàng Năm 1999 có báo mang tên Those ubiquitious Archimedes circles công bố Math Mag 72 (1999) tập thể tác giả: C.W Dodge, T Schoch, P.Y Woo, P Yiu Bài báo làm cho nhà tốn học chun khơng chun quan tâm đến hình arbelos Ở kỷ có nhiều thảo luận arbelos mà đa số chúng công bố tác phẩm “The arbelos: A cosmos made by three semicircles” (Arbelos: vũ trụ tạo ba nửa đường tròn) hai nhà toán học H Okumura M Watanabe (Nhật bản) Tác phẩm đăng tạp chí Iwanami Shoten năm 2010 Tiếng Nhật Sau phát hay Hiroshi Okumura: Một đặc trưng arbelos vàng, [6] Với hình arbelos [ABC], giả sử a, b bán kính nửa đường trịn (AC), (CB) với a > b > a, b gọi “ở tỷ số vàng” a b = (1.1) a+b a Đẳng thức tương đương với ( a2 = ab + b2 a, b> √ a 1+ ⇐⇒ = =ϕ b Ta biết tỷ số ϕ không xuất toán học mà hội họa kiến trúc xuất thường xun Trong hình học tỷ số vàng liên quan chặt chẽ đến ngũ giác (xem hình 1.2) Một arbelos [ABC] mà (1.1) thỏa mãn gọi arbelos vàng, tức a : b đạt tỷ số vàng Tỷ số vàng thường ký hiệu chữ Hylạp ϕ để tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc có cơng xây dựng ngơi đền Parthenon Bài tốn 1.4 Dựng ngũ giác hình arbelos vàng Hình 1.2: Bốn ngũ giác thập giác Lời giải Tóm tắt hình 1.2 Trên hình có ngũ giác đều, chúng nội tiếp đường tròn đường kính AC, BC, AB thập giác nội tiếp đường trịn đường kính AB Tất gắn với arbelos vàng Ta gọi trục đẳng phương hai đường trịn đường kính AC, BC , tức đường thẳng qua C vng góc với AB trục arbelos [ABC] Giả sử δi , (i = 1, 2, 3) đường tròn tiếp xúc với α = (AC) tiếp xúc với γ = (AB) cho δ1 tiếp xúc với trục, δ2 tiếp xúc với δ1 đường thẳng p tiếp tuyến δ2 , song song với trục, tiếp xúc δ2 Cuối cùng, δ3 tiếp xúc với p hình vẽ 1.3 Gọi i , i = 1, 2, đường tròn tiếp xúc với hai tiếp chung α, β cho 1 tiếp xúc với β B , j , j = 2, tiếp xúc với j1 Theo Hiroshi Okumura kể lại viết Leon Bankoff dường người nghiên cứu arbelos vàng Ông phát đường tròn δi i với i = 1, 2, 3 đường tròn nội tiếp τ tam giác cong tạo α, δ1 trục arbelos Trong cuối báo Bankoff nhấn mạnh thêm đường trịn nội tiếp δ3 Do đó, δ3 3 Nhưng ơng khơng nói thêm Trong ơng lại khẳng định đường thẳng nối hai tâm δ1 δ2 song song với AB Do hai đường tròn δ1 δ2 bị chia rẽ tiếp tuyến chung song song với trục Trước nói tính chất arbelos vàng ta xét đến bổ đề mà coi tính chất arbelos Hình 1.3: a+b a = =ϕ a b Bổ đề 1.1 Nếu đường trịn bán kính r tiếp xúc với α, tiếp xúc với γ d khoảng cách từ tâm W đường trịn đến đường thẳng Ay ⊥ AB b r= d (1.2) b + 2a Chứng minh Từ tâm W hạ W K ⊥ AB, W H ⊥ Ay O1 E ⊥ W H (hình 1.4a) Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông KOW EO1 W ta có: O1 E = O1 W − EW = (a + r)2 − (d − a)2 F W = OW − OK = ((a + b) − r)2 − (d − (a + b))2 O1 E = F W ⇐⇒ (a + r)2 − (d − a)2 = ((a + b) − r)2 − (d − (a + b))2 b Giải phương trình ta r = · d  2a + b Bổ đề 1.2 Nếu hai đường trịn bán kính r1 , r2 , r1 > r2 tiếp xúc với α, tiếp xúc với γ tiếp xúc với đường thẳng ` ⊥ AB r2 a = (1.3) r1 a+b (a) (b) Hình 1.4: Chứng minh hai tính chất arbelos Chứng minh (Hình 1.4b) Giả sử d khoảng cách từ đường thẳng ` đến Ay Theo bổ đề 1.1 ta có r1 = b (d + r1 ) ; 2a + b Giải phương trình cho r1 = r2 = b (d − r2 ) 2a + b bd bd , r2 = Từ suy (1.3)  2a 2a + 2b Tính chất 1.1 (Tính chất arbelos vàng,[6]) Cho hai đường trịn bán kính d1 , d2 (d1 > d2 ) tiếp xúc với (AC) = α, tiếp xúc với (AB) = γ , tiếp xúc với đường thẳng ` ⊥ AB hai đường tròn bán kính e1 , e2 , (e1 > e2 ) tiếp xúc với hai tiếp tuyến chung (AC) = α (BC) = β đồng thời tiếp xúc Khi d1 e1 [ABC] arbelos vàng = d2 e2 Hình 1.5: Tính chất mới: [ABC]-arbelos vàng ⇐⇒ d1 e1 = d2 e2 b d2 a e2 = tính chất vị tự = theo (1.3) e1 a d1 a+b a b d1 e1 Từ [ABC] arbelos vàng = ⇐⇒ = a+b a d2 e2 Chứng minh Ta có Giả sử δ1 = 1 = β p1 trục Với số tự nhiên j ≥ giả sử δj tiếp xúc với α tiếp xúc với γ pj−1 pj tiếp xúc với δj , song song với p1 Lại giả sử j đường tròn tiếp xúc với hai tiếp tuyến chung α β tiếp xúc với j − Khi bán kính δi bán kính i tạo thành hai cấp số nhân với tỷ số chung b a tương ứng Như ta có a+b a Tính chất 1.2 (Hai dãy đường trịn đồng đẳng,[6]) [ABC] arbelos vàng δj j với j ≥ Hình 1.6: [ABC] - arbelos vàng ⇐⇒ δj j , j ≥ 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos Định nghĩa 1.1 Cho arbelos [ABC] Đường tròn tiếp xúc với (BC), (CA) X, Y tiếp xúc với (AB) Z gọi đường tròn nội tiếp arbelos [ABC] Ba điểm X, Y, Z tiếp điểm Mệnh đề 1.1 (Xem [7]) Đường trịn nội tiếp hình arbelos [ABC] có bán kính ρ= ab(a + b) a2 + ab + b2 (1.4) Chứng minh Gọi ω tâm ρ bán kính đường trịn nội tiếp, đặt \2 = θ Theo định lý cô sin áp dụng vào ∆O1 ωO, ∆O2 ωO tương ωOO đương với (a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ) cos θ (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 − 2b(a + b − ρ) cos θ Khử cos θ ta a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 Khai triển hai vế giản ước ta phương trình bậc ρ:
a3 + b3 + a2 + b2 ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ 10 hay ρ = ab(a + b) a2 + ab + b2  Hình 1.7: Đường tròn nội tiếp ω(ρ) P Woo đưa cách dựng đường trịn nội tiếp hình arbelos đơn giản, tất suy từ việc phát điểm thuộc đường tròn Ngay sau ta trình bày tính chất đường trịn nội tiếp Từ suy cách dựng đường trịn nội tiếp hình arbelos Mệnh đề 1.2 (Định lý Bankoff thứ nhất,[7]) Giả sử Q1 , Q2 trung điểm nửa đường tròn (AC), (BC) Với ký hiệu định nghĩa đường trịn nội tiếp hình arbelos i) A, C, X, Z nằm đường trịn, tâm Q1 i)) B, C, Y, Z nằm đường tròn, tâm Q2 Chứng minh Xem hình 1.8 Gọi D giao nửa đường trịn kính AB với đường thẳng Ct ⊥ AB Lưu ý ta có AB.AC = AD2 Xét phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (A, AD) Hai điểm B, C nghịch đảo nhau, AB đường thẳng kép Ảnh nửa đường tròn (AB), (AC) tương ứng đường thẳng ` `0 vng góc với AB , qua C B Nửa đường tròn (AB) trực giao với AB (kép) nên nửa đường tròn kép Đường tròn nội tiếp (XY Z) nghịch đảo thành đường tròn tiếp xúc với nửa đường tròn (BC) đường thẳng `, `0 tương ứng điểm P, Y , Z Vì nửa đường trịn (BC) kép nên điểm A, X, P thẳng hàng; điểm Y , Z , cần thỏa 38 Bổ đề 3.1 Cho hai nửa đường tròn BC, BD tiếp xúc B Hai đường tròn (A), (P ) (tâm A P ) tiếp xúc hai nửa đường tròn tiếp xúc H Hạ P N ⊥ BC, AM ⊥ P N, P N cắt (P ) O, AM cắt (A) S , ký hiệu K = BP ∩ M A Khi đó, d, d0 tương ứng đường kính (A), (P ) (i) BM d = 0, BN d (ii) Bốn điểm B, O, H, S thẳng hàng, (iii) AM PN +1= d d Chứng minh Xem hình 3.2 d d0 (i) Đặt r = , r0 = Vẽ đường kính W AZ k BC W X , AM, 2 ZY ⊥ BC Thật vậy, Gọi E = W D ∩ CZ E tiếp điểm A với nửa đường tròn nhỏ, tương tự, gọi G = BW ∩ CZ G tiếp điểm A với nửa đường tròn lớn BC + BD BM = Ta có ∆BW X ∼ ∆BCG ⇒ Ta chứng minh r BC − BD BC BW BZ = ⇒ BC.BX = BW.BG ∆BY Z ∼ ∆BED ⇒ = BG BX BY BD ⇒ BD.BY = BE.BZ Nhưng BW.BG = BE.BZ = p, BE BC BY p = PB/(CA ) Do đó, BC.BX = BD.BY ⇒ = BD BX (a) (b) Hình 3.2: Phép chứng minh bổ đề 3.1 39 Mặt khác, BM = BX+ r = BY − r =⇒ BX +BY = 2BM Áp c a+b c+d a = =⇒ = , ta có dụng tính chất tỷ số b d a−b c−d BC + BD BY + BX 2BM 2BM BM = = = = BC − BD BY − BX XY 2r r BC + BD BM = vế phải không phụ thuộc vào đường Như r BC − BD trịn (A), (P ) nên viết BM = λ.r; BN = λ · r0 Từ ta khẳng BM r d định = = BN r d (ii) Các điểm O, H, S thẳng hàng hiển nhiên Ta phải chứng minh đường thẳng OHS qua B (hình 3.2b) F giao đường vng góc với BC kẻ từ B đường nối tâm P A; V = F J ∩ (P ); Q tâm đường trịn kính BD Ta chứng minh EJ qua F Ký hiệu O0 = BH ∩ P N, O = P N ∩ (P ) Vì F BkP N nên ∆HF P ∼ ∆HF P =⇒ P O0 FB FA BM r = (?) Vì F BkP N kAM nên = = (theo i.) PH FH FB BN r F A AE r F A Gọi F = EJ ∩ AP = = = , suy F ≡ F F P P V r F B r Đặt σ = ∆F V P vị tự với ∆F EA với tỷ số σ, ∆F U V vị tự với r ∆F HE với tỷ số σ Từ suy F E = F V · σ, F H = F U.σ Theo tính chất phương tích: F B = F J.F E, F J.F V = F H.F U , F B = F J.F E = F J.F V.σ = F H.F U.σ = F H Ta suy F B = F H Kết hợp với ?, P O0 = P H = P O = r0 , tức O0 ≡ O, O ∈ BH BM BK (iii) (hình 3.2a) Vì P N kKM nên theo định lý Thales: = = BN BP KS KS d AS 1 theo (ii.), = 0= AS = d P O = d0 Như vậy, PO PO d PO 2 KS = AS Lại có ∆BM K ∼ ∆BN P nên MK BM KS = = PN BN PO Nhưng M K = AM + d AS = KS = d, đó, MK PN AM + d P N AM PN = =⇒ = =⇒ +1= 1 KS PO d d d d 2 40 Bổ đề chứng minh hồn tồn  Bây ta trình bày định lý Pappus nói chuỗi đường trịn nội tiếp arbelos Mệnh đề 3.1 (Định lý Pappus) Cho chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp arbelos C1 , C2 , , , Cn , Khi với n khoảng cách từ tâm Cn đến đáy BC arbelos n lần đường kính Cn Nói cách khác, với ký hiệu hn khoảng cách từ tâm Cn đến BC , rn bán kính Cn với n, ta có cơng thức hn = 2n.rn (3.1) Chứng minh Có phương pháp chứng minh Cách (Phương pháp sơ cấp) Nếu gọi dãy tâm A1 , A2 , , An , , chân đường vng góc hạ từ tâm xuống BC M1 , M2 , , Mn , dãy đường kính d1 , d2 , , dn , ta cần chứng minh An Mn = n.dn Chứng minh quy nạp n = kết ta coi nửa đường trịn đóng vai trị C0 Với n = 1, ta cần chứng minh A1 M1 = d1 , tức cần có tâm đường tròn nội tiếp arbelos cách BC khoảng đường kính đường trịn Điều chứng minh nhờ tính tốn A1 M1 = 2ρ, với ρ bán kính đường trịn nội tiếp arbelos (trong (ii.), mệnh đề 1.6, chương 1) Giả sử mệnh đề với n ta chứng minh với (n + 1) Thật vậy, ta coi C(A) C(P ) đóng vai trị Cn−1 , Cn định lý phần (iii) bổ đề điều ta cần chứng minh Cách (Phương pháp nghịch đảo) Xét phép nghịch đảo fpA với đường tròn nghịch đảo (A, 2AB), p = (AB)2 Hai đường tròn (AB) (AC) biến thành hai đường thẳng song song qua B C = fpA (C), vng góc với AB Các đường tròn C0 , C1 , · · · , Cn , · · · biến thành đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song nên có bán kính nhau, C00 , C10 , · · · , Cn , · · · Đối với đường tròn ta có h0 = 2n · r0 với h00 khoảng cách từ tâm O00 C _n đến AB, r00 bán kính Cn0 Tuy nhiên, đường tròn tương ứng nghịch đảo vị tự với tâm vị tự A Gọi d, d0 khoảng cách từ A đến tâm Cn tâm Cn0 từ hai tam giác đồng dạng ta suy dn d0n = rn rn 41 Hình 3.3: Phép nghịch đảo chuỗi Pappus Mặt khác từ cặp tam giác vuông tạo AB đường vuông h0n hn h0n hn = Từ suy = = 2n (3.1) chứng góc ta có: dn dn rn rn minh Với phép nghịch đảo ta xây dựng nhiều công thức khác b Đặt k = hay b = ka, R = a + b Vẫn xét phép nghịch đảo nói a (2R)2 0 A trên, gọi C = IAB (C) Ta có AB = AC · AC nên AC = = AC 4R2 AB + AC 0 = 2(1 + k)R Lại AO = = (2 + k)R, BO0 = kR nên 2a hn BO0 rn BO0 = 2n · hay = Từ 4Pn AO0 APn AO0 AO0 · rn (2 + k)rn AP n = = BO0 k Mệnh đề 3.2 (Công thức Archimedes) Với ký hiệu trên, ta có rn = Chứng minh Ta có (k n2 kR ab(a + b) = 2 + k + 1) n b + ab + a2 ATn0 r0 kR = n= ATn rn rn (3.2) 42 4R3 k · ATn = (2R) =⇒ = rn 2 Mặt khác, (ATn ) = (2R + kR) + (2nkR)2 − (kR)2 Khử ATn0 ta phương trình rn : ATn0 (ATn0 )2 4R3 k = (2R + kR)2 + (2nkR)2 − (kR)2 rn = 4R2 + 4kR2 + k R2 + 4n2 k R2 − k R2
= 4R2 + k + n2 k kR ab(a + b) cab ⇒ rn = 2 = 2 = n k + k + n b + ab + a2 n2 b2 + ca Hệ 3.1.1 Khoảng cách từ A đến chân đường vng góc hạ từ tâm đường trịn Cn đến AB APn = 3.2 R(2 + k) a(a + b)(2 + b) = k n2 + k + n2 b2 + ba + a2 Ba chuỗi đường trịn Pappus nội tiếp arbelos Trong hình arbelos có chuỗi Pappus hình 3.4 Ta xét đồng thời chuỗi dựa theo báo [2] Đường tròn C1 đường tròn chung cho ba chuỗi Pappus đường trịn nội tiếp arbelos [ABC] Bằng phép nghịch đảo xác dịnh tọa độ tâm bán kính đường tròn chuỗi Γa , Γb , Γc hướng đến điểm B , điểm A điểm C Ta có cơng thức tính bán kính ρc,n , ρa,n , ρb,n : Chuỗi Bk thứ n ρc,n = Γc Γa Γb cab cab cab ρ = ρ = a,n b,n n2 c2 − ab n2 a2 + cb n2 b2 + ca Chứng minh Công thức tính ρb,n rn chứng minh mệnh đề 3.2, công thức ρb,n làm tương tự Ta chứng minh công thức cab P (n) = ρc,n = 2 phương pháp quy nạp n c − ab +P (1) đường trịn thứ chuỗi đường trịn (a + b)ab nội tiếp arbelos có bán kính ρ = (theo kết chương 2) a + ab + b2 43 Hình 3.4: Ba chuỗi Pappus arbelos [ABC] + Ta có P (n) =⇒ P (n + 1) Xét đường tròn Cc,n Cc,n+1 chuỗi Γc với nửa đường tròn α β arbelos Áp dụng định lý Descartes ta có (xem [2]):
2c,n + 2c,n+1 + 2a + 2b = (c,n + c,n+1 + a + b )2 , (3.3) đó, c,n , c,n+1 , a , b độ cong, tức nghịch đảo bán kính đường trịn Khai triển (3.3) biểu diễn thành phương trình bậc c,n+1 : 2c,n+1 −2c,n+1 (c,n + a + b )+2c,n +2a +2b −2 (c,n a + a b + b c,n ) = Theo công thức nghiệm ta có (ta lấy nghiệm dương): p c,n+1 = c,n + a + b + c,n a + a b + b c,n (3.4) 1 cab Thay giá trị a = , b = , c,n = 2 vào (3.4) ta nhận a b n c − ab (sau số phép biến đổi đại số): ρc,n+1 = c,n+1 = cab (n + 1)2 c2 − ab Theo nguyên tắc quy nạp P(n) với n ≥ Sau ta xét số đồng thức xuất kết hợp cơng thức bán kính Bán kính đường tròn nội tiếp arbelos ρi = rn = 44 cab hay bình phương vế: a2 + ab + b2 ρ2i = c2 a2 b2 a4 + 2a3 b + 2a2 b2 + 2ab3 + b4 (3.5) Bây có ba đồng thức thể mối quan hệ bán kính đường trịn nội tiếp arbelos bán kính đường trịn thuộc chuỗi xét Mệnh đề 3.3 Cho arbelos [ABC] với ba chuỗi Pappus, đồng thức sau với n ∈ N   1 + + = 2n2 + (3.6) ρi ρcn ρa,n ρb,n ! 1 ρ2i + + = 2n4 + (3.7) ρc,n ρa,n ρb,n   1 1 1 · + · + · = n4 + 2n2 (3.8) ρ2i ρc,n ρa,n ρa,n ρb,n ρb,n ρc,n Chứng minh Để chứng minh (3.6) ta việc lấy cơng thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ρi = rn cho (3.5) cơng thức tính bán kính đường trịn thứ n biến đổi đại số với lưu ý c = a + b  2  cab n c − ab n2 a2 + cb n2 b2 + ca + + = a2 + ab + b2 cab cab cab  2
 2 n c + a + b − ab + cb + ca = a2 + ab + b2
n2 2a2 + 2ab + 2b2 + a2 + b2 + ab = 2n2 + = 2 a + ab + b Để chứng minh (3.7) ta lấy cơng thức bình phương bán kính đường trịn nội tiếp ρ2i cho (3.5) cơng thức tính bán kính đường trịn thứ n biến đổi đại số với lưu ý c = a + b " 2  2 2  2 2 # cab n2 c2 − ab n a + cb n b + ca + + = a2 + ab + b2 cab cab cab
2
2
2 n2 c2 − ab + n2 a2 + cb + n2 b2 + ca = (a2 + ab + b2 ) cab 45
n4 c4 + a4 + b4 + a2 b2 + c2 a2 = 2n4 + 2 (a + ab + b ) cab Để chứng minh (3.8) ta lấy ρ2i có (3.5) cơng thức tính bán kính đường trịn thứ n bảng biến đổi đại số vế trái c2 a2 b2 H (3.8) · 2 , đó, (a2 + ab + b2 ) c a b



H = n2 c2 − ab n2 a2 + cb + n2 a2 + cb n2 b2 + ca

+ n2 b2 + ca n2 c2 − ab

2 = n4 + 2n2 a2 + ab + b2 với c = a + b Thay vào vị trí H rút gọn ta (3.8) Hệ 3.2.1 Ta nhận hai đồng thức sau !2 !2 !2 ρi ρi ρi + + • ρic,n ρia,n ρib,n  
2 ρ2i ρ2i ρ2i − + + = n2 − (3.9) ρa,n ρb,n ρa,n ρc,n ρa,n ρb,n     ρ2i ρi ρ2i ρ2i ρi ρi • + + − + + = n4 − ρc,n ρa,n ρc,n ρa,n ρc,n ρa,n ρc,n ρa,n ρb,n (3.10) Chứng minh
2 • Vế trái (3.9) 2n4 + − n4 + 2n2 = n2 −
• Vế trái (3.10) n4 + 2n2 − 2n2 + = n4 −  Như cách xét chuỗi đường tròn Pappus nội tiếp hình arbelos [ABC] ta thu đồng thức biểu diễn mối quan hệ bán kính đường trịn nội tiếp bán kính đường trịn chuỗi Các đồng thức sinh dãy số nguyên 3.3 Phép nghịch đảo hình arbelos Phép nghịch đảo sử dụng chương 1, chương số phép chứng minh Ở ta dùng phép nghịch đảo dạng phương 46 trình tọa độ để tìm số cơng thức chuỗi Pappus, sau suy loạt đồng thức liên quan đến dãy bán kính, phần tổng hợp bổ sung kết báo [2], [3] Ta nhắc lại số biểu thức, tính chất phép nghịch đảo mặt phẳng tọa độ xOy : Phép nghịch đảo cực ω(x0 , y0 ), phương tích R2 hay cịn gọi phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (ω, R) thường ký hiệu f (ω, R) xác định E2  ω, M, M thẳng hàng M = f(ω,R) (M ) ⇐⇒ ωM · ωM = R2 Các tính chất sau suy từ định nghĩa phép nghịch đảo qua đường trịn (ω, R): (a) Có tính chất đối hợp, tức f(ω,R) = id (b) Biến đường thẳng qua cực ω thành nó, (c) Biến đường thẳng qua cực thành đường trịn khơng qua cực ngược lại, (d) Biến đường trịn khơng qua cực thành đường trịn khơng qua cực, (e) Có tính chất bảo giác Từ suy ra: phép nghịch đảo biến đường tròn tiếp xúc thành đường tròn tiếp xúc đường thẳng tiếp xúc với đường trịn đường thẳng song song; biến hai đường tròn trực giao thành hai ảnh nghịch đảo trực giao; (f) Nếu M 7→ M , N 7→ N R2 d (M , N ) = ωM.ωN.d(M, N ) 0 Chọn hệ tọa độ Descartes sau: Trục hoành đường thẳng AB , gốc tọa độ điểm C , vậy, A(2a, 0), B(2b, 0) Từ định nghĩa phép nghịch đảo ta suy công thức sau, gọi phương trình phép nghịch đảo   R2 (x − x0 )   x = x0 + (x − x0 )2 + (y − y0 )2 R2 (y − y0 )    y = y +  (x − x0 )2 + (y − y0 )2 47 Với giả thiết chuỗi Pappus nội tiếp arbelos người ta tìm đươc tọa độ tâm đường trịn thuộc chuỗi sau ([3]): Γc Γa Γb ab(a − b) cb(c + b) ca(c + a) xc,n = 2 xa,n = 2b − 2 xb,n = −2a + 2 n c − ab n a + cb n b + ca 2ncab 2ncab 2ncab yc,n = 2 ya,n = 2 yb,n = 2 n c − ab n a + cb n b + ca Đường trịn nội tiếp arbelos có tâm I(xi , yi ) bán kính ρi = rn :   2ab(a + b) ab(a + b) ab(a − b) , ; ρ = (xi , yi ) = i a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 Bây ta xét ảnh nghịch đảo ba chuỗi Pappus qua phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo đường tròn (I, ρi ) nội tiếp arbelos, hình 3.5 Hình 3.5: Đường trịn nội tiếp arbelos [ABC] đường tròn nghịch đảo Để thuận lợi ta sử dụng cơng thức tính ảnh nghịch đảo tâm bán kính đường tròn chuỗi Pappus Bổ đề 3.2 ([3]) Qua phép nghịch đảo f(ω,R0 ) với ω(x0 , y0 ), đường trịn tâm (xC , yC ), bán kính R biến thành đường tròn tâm (xiC , yCi ), bán kính Ri xiC R02 (xC − x0 ) , = x0 + (xC − x0 )2 + (yC − y0 )2 − R2 48 R02 = y0 + (yC − y0 ) , (xC − x0 )2 + (yC − y0 )2 − R2 R ... dung luận văn chia làm chương: Chương Hình arbelos cặp đường trịn Archimedes Hình arbelos dựa hình tạo nửa đường trịn (α, β, γ), cịn gọi "hình dao thợ đóng giầy" Chúng tơi giới thiệu số kiện hình. .. tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giầy” hay cịn gọi hình arbelos Archimedes Trong luận văn thống dùng (a) Hình “con dao thợ đóng giầy”... biên tập tạp chí Trong hình arbelos có số kết sau phát biểu trình bày phép chứng minh [1]: Bài toán 1.1 Cho arbelos [ABC] hình 1.1 b) Chứng minh diện tích hình arbelos diện tích hình trịn đường