2 TICH PHAN HAM AN p2

Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A f ( x ) + B u ′ f (u ) +C f (a + b − x )= g ( x ) b b u (a ) = a +) Với  ∫ f ( x ) dx = g ( x ) dx u (b )= b A + B + C ∫a a  b b u (a ) = b g ( x ) dx +) Với  ∫ f ( x ) dx = u (b )= a A − B + C ∫a a  Trong đề thường bị khuyết hệ số A, B,C b Nếu f ( x ) liên tục [a; b ] ∫ b f (a + b − x ) dx = a ∫ f ( x ) dx a Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn f ( x ) = x f ( x ) − Tính 3x + 1 ∫ f ( x ) dx C −1 D Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) 6 Biến đổi f ( x ) = x f ( x ) − ⇔ f ( x ) − 2.3 x f ( x ) = − với A = , 3x + 3x +1 B = −2 1 − dx = Áp dụng cơng thức ta có: ∫ f ( x ) dx = ∫ + − ( ) x + 0 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – không nhớ công thức) 1 1 3 ⇒ ∫ f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx = −6 ∫ dx Từ f ( x ) = x f ( x ) − 3x +1 3x + 0 A B Đặt u = x ⇒ du = x dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi ∫ 3x f ( x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (*) , ta được: ∫ 1 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −6 ∫ Ví dụ Xét hàm số f (x ) 1 dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ 3x +1 0 liên tục [0;1] dx = 3x + thỏa mãn điều kiện xf ( x ) + f ( x −1) = − x Tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = π B I = π C I = π 20 D I = π 16 Lời giải 1 0 Từ x f ( x ) + f ( x −1) = 1− x ⇒ ∫ xf ( x ) dx + 3∫ f (1− x ) dx = ∫ − x dx (∗) 2 +) Đặt u = x ⇒ du = xdx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi ∫ xf ( x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx (1) +) Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi ∫ 1 f (1− x ) dx = ∫ f (t ) dt = ∫ f ( x ) dx 0 (2 ) Thay (1),(2) vào (∗) ta được: 1 1 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ − x dx ⇔ ∫ 0 0 1 π f ( x )dx = ∫ 1− x dx = 20 DẠNG Điều kiện hàm ẩn A f (u( x )) + B f (v ( x )) = g ( x ) Phương pháp giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có ẩn f ( x ) ) để suy hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x cần đặt lần t = v ( x ) ) Các kết đặc biệt:  x − b   x − c  A g   − B g     a   −a  Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (với A ≠ B ) f ( x ) = (*) A2 − B A g ( x ) − B g (−x ) +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = A2 − B g (x ) +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B f (x ) 1 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ f ( x ) + f   = x Tính I = ∫ dx  x  x 2 A I = B I = C I = D I = −1 Lời giải 1  1 1 Đặt, t = ⇒ x = điều kiện trở thành f   + f (t ) = ⇒ f ( x ) + f   =   t  x x x t t 1 1 Hay f ( x ) + f   = , kết hợp với điều kiện f ( x ) + f   = x Suy :  x  x  x  2 f (x ) 2   −2  f (x )   dx = ∫  −1 dx =  − x  = f ( x ) = − 3x ⇒ = −1 ⇒ I = ∫   x   x  x x x x 1 2 Ví dụ (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1− x ) = x 1− x Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx A I = − 15 B I = 15 C I = 75 D I = Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (1 − x ) = x 1− x ta có A = 2; B = Suy ra: ∫ f ( x ) dx = Casio x − xdx = 0,05 (3) = ∫ 2+3 75 Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) Trang 25 Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Áp dụng kết Dạng 3: “Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (Với A ≠ B )  x − b   x − c  A g   − B g    a   −a  f (x ) = ” A2 − B Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x 1− x = g ( x ) ⇒ f ( x ) = = g ( x )− g (1− x ) 22 − 32 x − x − (1 − x ) x −5 Casio x − x − (1 − x ) x dx = 0,05 (3) = 75 −5 0 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 1 Suy ra: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ 1 Từ f ( x ) + f (1 − x ) = x − x ⇒ ∫ f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ x − x dx 0 = 0,2 (6) = (∗) Đặt u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = 15 Casio Suy ∫ 1 f (1 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (∗) , ta được: 0 2 5∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 15 75 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π giá trị I = ∫ f ( x ) dx − A I = 2019 π B I = 1009 C I = 2019 D I = 1009 Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ta có A = 1; B = 2018 π Suy I = ∫ f ( x ) dx = − π π Casio x sin xdx = ∫ + 2018 π 2019 − Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) g (x ) Áp dụng Hệ 2: A f ( x ) + Bf (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B x sin x Ta có f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ⇒ f ( x ) = 2019 π I =∫ − π π Casio = f ( x ) dx = x sin x d x ∫ 2019 π 2019 − Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng DẠNG HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI ẨN DƯỚI CẬN TÍCH PHÂN  u( x ) ′  Phương pháp giải: Sử dụng công thức  ∫ f (t ) dt  = u ' f (u ) − v ' f (v )   v( x )  ′ u ( x )   Kết đặc biệt:  ∫ f (t ) dt  = u ' f (u ) với a số   a u( x ) Chứng minh: Giải sử ∫ v(x ) u( x ) f (t )dt = F (t ) v( x ) = F (u ( x )) − F (v ( x ))  u( x ) ′  ′ ⇒  ∫ f (t )dt  = ( F (u ( x )) − F (v ( x ))) = u '.F ' (u )− v '.F ' (v ) = u ' f ' (u ) − v ' f ' (v )    v(x )  Ví dụ [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ x2 Biết ∫ f (t )dt = e x + x −1 với ∀x ∈ ℝ Giá trị f (4) là: A f (4) = e + B f (4) = e C f (4) = e + Lời giải D f (4) = u ( x ) ′   Sử dụng công thức  ∫ f (t )dt  = u ′ f (u ) , ta có:   a  x2 ∫ ′  x2   ′ f (t )dt = e + x −1 ⇒  ∫ f (t )dt  = e x + x −1   x2 ( ) ⇔ xf ( x ) = x.e x + x Suy ra: f ( x ) = e x + x ⇒ f ( x ) = e x + x ⇒ f (4) = e + Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn [0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt g ( x ) = f ( x ) Tính A 1011 ∫ g ( x )dx B 1009 2019 Lời giải C D 505  u( x ) ′  Sử dụng công thức  ∫ f (t ) dt  = u ′ f (u ), ta có  0  x g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ( ) ( ) ⇒ g ′ ( x ) = 2018 f ( x )← → g ′ ( x ) = 2018 g ( x ) ⇔ f ( x )>0 g x =f x Suy ∫ g ′(x ) g (x ) g ′(x ) g (x ) dx = ∫ 2018dx ⇔ g ( x ) = 2018 x + C (*) Trang = 2018 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng x Từ điều kiện g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ⇒ g (0 ) = thay vào (*) suy C = Khi g ( x ) = 1009 x + ⇒ ∫ g ( x )dx = ∫ (1009 x + 1) dx = 0 1011 DẠNG Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f (u ( x )) = v ( x ) v ( x ) hàm đơn điệu (luôn đồng b biến nghịch biến) ℝ Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a Phương pháp giải: dt = u ′ ( x ) dx Đặt t = u ( x ) ⇒   f (t ) = v ( x )  b b Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt a a Đổi cận: Với t = a ⇒ u ( x ) = a ⇔ x = α t = b ⇒ b = u ( x ) ⇔ x = β β b Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ v ( x ).u ′ ( x ) dx a Ví dụ α Cho hàm số y = f (x ) thỏa f ( x + x + 1) = x + 2, ∀x ∈ ℝ mãn Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx A B 17 33 Lời giải C D −1761 du = dx u = x  Đặt  ⇒ ⇒ I = xf x − ( )   ∫ f ( x ) dx dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  f (5) = ( x = 1)  Từ f ( x + x + 1) = x + ⇒  , suy I = 23 − ∫ f ( x ) dx  f (1) = ( x = )  dt = (3 x + 3) dx  Đặt t = x + x + ⇒   f (t ) = x +  Đổi cận: Với t = ⇒ = x + x + ⇔ x = t = ⇒ x + x + = ⇔ x = Casio 33 I = 23 − f x dx = 23 − Khi ∫ ( ) ∫ (3x + 2)(3x + 3) dx = DẠNG Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn g  f ( x ) = x g (t ) hàm đơn điệu ( đồng b biến nghịch biến) R Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a Phương pháp giải: Đặt y = f ( x ) ⇒ x = g ( y ) ⇒ dx = g ′ ( y ) dy  x = a → g ( y ) = a ⇔ y = α Đổi cận   x = b → g ( y ) = b ⇔ y = β  b β Suy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ yg ( y )dy a α Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cho hàm số f ( x ) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ R Tính Ví dụ I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y + y ⇒ dx = (3 y + 1) dy  x = → y + y = ⇔ y = Đổi cận    x = → y + y = ⇔ y =  dx b −a = k + f (x ) 2k Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y (3 y + 1) dy = ∫ (3 y + y ) dy = 1 0 b DẠNG Cho f ( x ) f (a + b − x ) = k , I = ∫ a dt = −dx  Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒  k x = a ⇒ t − b ; x = b ⇒ t = a  f ( x ) = f (t )  b b b f ( x ) dx dx dx Khi I = ∫ =∫ = ∫ k k + f (x ) a k a k + f (x ) a k+ f (t ) b 2I = ∫ a Ví dụ f ( x ) dx dx 1 b −a + ∫ = ∫ dx = (b − a ) ⇒ I = k + f (x ) k a k + f (x ) k a k 2k b b Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương [0;1] Biết f ( x ) f (1− x ) = với ∀x ∈ [0;1] Tính giá trị I = ∫ A dx 1+ f (x ) B C D Lời giải dt = −dx dx  Đặt t = − x ⇒  x = a ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi I = ∫  f ( x ) = 1+ f (x ) f (t )  1 f ( x ) dx dt =∫ =∫ 1 + f x ( ) 1+ f (t ) 2I = ∫ f ( x ) dx dx +∫ = ∫ dx = ⇒ I = 1+ f (x ) 1+ f (x ) 1  f (a + b − x ) = f ( x ) b  b 2I ⇒ ∫ f ( x ) dx = DẠNG Cho   xf ( x ) dx = I a +b a ∫  a dt = −dx  Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒  x = a ⇒ t = b Khi   x = b ⇒ t = a Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng b Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng b b b I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (a + b − t ) f (a + b − t ) dt = ∫ (a + b − x ) f (a + b − x ) dx = ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx a a a b a b b b Suy I = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx = (a + b ) ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = a Ví dụ a a a 2I a +b Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (4 − x ) = f ( x ) Biết 3 ∫ xf ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải Đặt t = − x ⇒ dt = −dx x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = A B C D 11 Khi đó: = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (4 − t ) f (4 − t ) dt = ∫ (4 − x ) f (4 − x ) dx = ∫ (4 − x ) f ( x ) dx 1 3 Suy ra: 10 = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (4 − x ) f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 1 b b a a DẠNG Tính tích phân I = ∫ max { f ( x ); g ( x )} dx I = ∫ { f ( x ); g ( x )} dx Ví dụ Tính tích phân I = ∫ max { x ; x }dx 17 A 15 D 4 Lời giải x ∈[0; ] ≤ x ≤ Trên đoạn [ 0; ] , xét x ≥ x ⇔ x ( x −1)( x + 1) ≤ ←→  x ≤ x ≤  x ∈ [0; 1] ⇒ x ≥ x   max ; Vậy  ⇒ x x = { } [ 0; ]  x ∈ [1; ] ⇒ x ≤ x  x ≤ x ≤  B C 2 0 Suy I = ∫ max { x ; x } dx = ∫ xdx + ∫ x dx = 15 17 + = 4 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI Học sinh làm BTTL xong, tô phương án Buổi sau học sinh GV kiểm tra kết Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Trường Đức Thọ - Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa Tính 3x +1 B mãn f ( x ) = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx C −1 D [Chu Văn An – Hà Nội – 2018] Xét hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn A Câu 1 điều kiện xf ( x ) + f ( x −1) = − x Tích phân I = ∫ f ( x ) dx π A I = Câu π B I = π C I = 20 π 16 Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;2 ] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (2 − x ) = x D I = Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = C I = D I = Xét hàm số f ( x ) liên tục [−1;2 ] thỏa mãn f ( x ) + xf ( x − 2) + f (1 − x ) = x A I = −4 Câu Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx −1 Câu 5 A I = B I = C I = D I = 15 Hàm số f ( x ) liên tục [−1;2 ] thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x + + xf (3 − x ) Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x )dx −1 A I = Câu 14 B I = 28 C I = D I = Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = x +1 Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = ln Câu B I = ln C I = D I = [Chuyên Thái Nguyên – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x )− x f ( x )+ x3 x +1 = Tích phân I = ∫ f ( x ) dx = a b ; tối giản Tính a + b + c c c A B −4 Câu C a −b với a, b, c ∈ ℤ c D −10 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [− ln 2;ln ] thõa mãn f ( x ) + f (−x ) = ln Biết ∫ f ( x ) dx = a ln + b ln , với a, b ∈ ℚ Tính giá trị P = a + b − ln A P = B P = −2 C P = −1 Trang D P = e +1 x Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Chuyên Vinh- Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , f (0) = ∫ π π  f ( x ) + f  − x  = sin x cos x   với ∀x ∈ ℝ Giá trị tích phân xf ′ ( x ) dx D − Câu 10 [Diễn Châu- Ngệ An- lần 3- 2018] Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn π A − B C π x2 , ∀ x ∈ ℝ tính tích phân I = ∫−1 f ( x ) dx x +1 π π π π A I = − B I = − C I = − D I = f (x ) 1 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ f ( x ) + f   = x Tính I = ∫ dx  x  x f (1 + 2x ) + f (1 − 2x ) = A I = B I = C I = D I = −1 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π giá trị I = ∫ f ( x ) dx − π D I = 2019 1009 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x Tính giá A I = 2019 B I = 1009 C I = B I = e −1 2018e C I = trị I = ∫ f ( x ) dx −1 e −1 A I = 2019e D I = e −1 e Câu 14 [Chuyên Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , thỏa mãn f (2 x ) + f (1 − x ) = 12 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ A y = x + B y = x − C y = x − D y = x − Câu 15 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ℝ thỏa mãn ∫ f ( x )dx = 2018 g ( x ) hàm số liên tục ℝ thỏa mãn g ( x ) + g (−x ) = , ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x )g ( x ) dx −1 A I = 2018 Câu 16 B I = 1009 C I = 4036 D I = 1008 (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x − x Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng A I = − 15 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng B I = 15 C I = 75 D I = 25 x2 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ Biết ∫ f (t )dt = x cos(π x ) Giá trị f (4) là: D f (4) = Câu 18 [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ A f (4) = B f (4) = C f (4) = x2 Biết ∫ f (t )dt = e x + x −1 với ∀x ∈ ℝ Giá trị f (4) là: A f (4) = e + B f (4) = e C f (4) = e + D f (4) = Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt g ( x ) = f ( x ) Tính A g ( x )dx ∫ 1011 B 1009 C 2019 D 505 x2 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [1;2 ] Biết ∫ f (t ) dt = x + x −1 với ∀x ∈ [1;2 ] x ∫ Tính tích phân T = a + b + c + d A T = 10 Câu 21 Cho hàm số b f ( x ) dx = a + ln d Biết a, b, c , d số nguyên tố Tính c B T = 11 C T = 17 f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn D T = 16 f ( x + x − 2) = x −1 Tính 10 I = ∫ f ( x ) dx A I = 45 Câu 22 Cho hàm số B I = C I = 135 f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn 27 f ( x + 1) = x −1, ∀x ∈ ℝ Tính D I = I = ∫ f ( x ) dx A I = −2 B I = C I = −4 D I = Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x + x + 1) = x + 2, ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx A 17 B Câu 24 Cho hàm số 33 C D −1761 f ( x ) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = Trang 10 D I = Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 25 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = 5 D I = 12 Câu 26 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn x + f ( x ) + f ( x ) = , ∀x ∈ ℝ Tính B I = C I = C I = I = ∫ f ( x ) dx −2 Câu 27 Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương [ 0;1] Biết f ( x ) f (1 − x ) = với A I = B I = ∀x ∈ [ 0;1] Tính giá trị I = ∫ A B D I = dx 1+ f (x ) C D Câu 28 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ , ta có f ( x ) > f (0 ) f (2018 − x ) = Giá trị 2018 dx + f (x ) A I = 2018 B I = C I = 1009 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn tích phân I = ∫ ∫ D 4016 f (4 − x ) = f ( x ) Biết xf ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx 11 Câu 30 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x )− f (3 − x ) = Biết A B C D C D ∫ xf ( x ) dx = Tính A −1 ∫ f ( x ) dx −1 B { 3 } Câu 31 Tính I = ∫ x ; − x dx A I = B I = C I = D I = Câu 32 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x }dx 17 A B C 15 D C 275 12 D 119 Câu 33 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x − x }dx 117 A B 707 Trang 11 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng (Lời giải chi tiết tham khảo đây) Trang 12 ... Suy :  x  x  x  2 f (x ) 2   2  f (x )   dx = ∫  −1 dx =  − x  = f ( x ) = − 3x ⇒ = −1 ⇒ I = ∫   x   x  x x x x 1 2 Ví dụ (Sở Kiên Giang – 20 18) Xét hàm số f ( x... nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (1 − x ) = x 1− x ta có A = 2; B = Suy ra: ∫ f ( x ) dx = Casio x − xdx = 0,05 (3) = ∫ 2+ 3 75 Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) Trang 25 Biên soạn:... ) ( ) ⇒ g ′ ( x ) = 20 18 f ( x )← → g ′ ( x ) = 20 18 g ( x ) ⇔ f ( x )>0 g x =f x Suy ∫ g ′(x ) g (x ) g ′(x ) g (x ) dx = ∫ 20 18dx ⇔ g ( x ) = 20 18 x + C (*) Trang = 20 18 Biên soạn: Hoàng