ĐỀ THI HSG TRƯỜNG 09_10

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA GV: Trần Đình Hiền KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010 MÔN THI : TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I: 1) Giải phương trình : ( ) 1 1 sin 2 1 sin 2 cos sin 2 2 cos sin x x x x x x + − − = + − 2) Cho x,y > 0 thỏa mãn 5 2 4 x y π + < . Chứng minh rằng : .sin cos( ) .sin y x x y x y + < . Câu II: 1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : ( ) 2 2 2 2 2 2 1 8 ( 3) 1 16 mxy y y y x y my y  + − =   − + − − =   2) Tính tổng : 0 1 2 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 . . 1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) 2008.2009 2009.2010 k C C C C C C S k k = + + + + + + + + + , (k ∈ N, 0≤ k ≤ 2008). Câu III: 1) Cho x,y ≥ 0 và x 2 + y 2 = 1 .Tìm GTNN, GTLN của 2 2 1 1 x y P y x = + + + 2) Cho dãy số (u n ) với u 1 = 1 và 1 1 2 2 n n n u u u +   = +  ÷   , với n ∈ N, n ≥ 2 . Chứng minh dãy số (u n ) hội tụ và tính lim u n . Câu IV: 1) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; - 1) và 1 1 cos ;cos 2 10 A B= = − . Tìm tọa độ đỉnh C. 2) Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng: ' ' 'MA MB MC SA SB SC + + có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong tam giác ABC. b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất. Câu V: Cho hàm số f: R R→ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2, , 3 f x f y f xy x y x y R − = + + ∀ ∈ Hãy tính giá trị f(2009). ………… Hết ………… . SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA GV: Trần Đình Hiền KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2 009 - 2 010 MÔN THI : TOÁN - LỚP 12 Thời gian. 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 . . 1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) 2008.2 009 2 009. 2 010 k C C C C C C S k k = + + + + + + + + + , (k ∈ N, 0≤ k ≤ 2008). Câu