đề thi thử toán thpt quốc gia có đáp án 2020

ĐỀ SỐ 11  BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: Cho góc α thỏa mãn điều kiện π < α < 3π tan α = Tính giá trị biểu thức π   5π  M = sin α + sin  α + ÷+ sin  − 2α ÷ 2    A B − C 1− D 1+ Câu 2: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A M + m = B Mm = −3 C M − m = D M =1 m n−4 3n   n Câu 3: Tìm hệ số x khai triển P ( x ) = 1 + x− x÷   với x > Biết n số n−2 nguyên dương thỏa mãn điều kiện An + 3Cn − Cn +1 = An +1 − 2n A 28 B 78 C 218 D 80 Câu 4: Tìm số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số A 7330 B 7300 C 7400 D 7440 Câu 5: Một người bỏ ngẫu nhiên ba thứ vào ba phong bì ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì A B C D Câu 6: Cho dãy số { xn } xác định bởi:  x1 > Hãy tìm lim xn  2 3 ( n + ) xn +1 = ( n + 1) xn + ( n + ) , ∀n ≥ A B C D   x + 3x + x − 3x ÷ Câu 7: Tính giới hạn xlim →+∞    A +∞ B HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! C D Trang x Câu 8: Cho hàm số y = ( x + 1) e Tính vi phân y A dy = x e ( x + 1) dx x B dy = e ( x + 1) dx C dy = e x ( x + 1) dx D dy = e x ( x − 1) dx 2  x + 2a + b Câu 9: Cho hàm số f ( x ) =   ax + bx + trị biểu thức P = ( a + b ) A 2018 ( a − b − 1) 2019 x < x ≥ có đạo hàm điểm x0 = Tính giá + 3a − 2b B C −1 D Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = Viết phương trình 2 đường tròn ảnh (C) qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự r tâm O tỉ số k = phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1; ) A ( x − 3) + ( y − ) = 16 B ( x − 3) + ( y − ) = C ( x − 1) + ( y − ) = 16 D ( x − 1) + ( y − ) = 2 2 2 2 Câu 11: Hình vẽ sau thể tương giao đồ thị ( C) hàm số y = − x + x + đường thẳng y = m + Dựa vào hình vẽ trên, xác định m để phương trình x − x + m = có nghiệm phân biệt A m = B ≤ m < Câu 12: Xét chiều biến thiên hàm số y = C < m ≤ D m = x + x − 24 x2 − A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) , ( 4; +∞ ) đồng biến khoảng ( 1; ) , ( 2; ) HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) , ( 4; +∞ ) nghịch biến khoảng ( 1; ) , ( 2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) nghịch biến khoảng ( 1; ) , ( 2; ) , ( 4; +∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) đồng biến khoảng ( 1; ) , ( 2; ) , ( 4; +∞ ) Câu 13: Tìm giá trị m để hàm số y = x + m ( sin x + cos x + m ) đồng biến ¡ A − 2 ≤m≤ 2 B ≤ m ≤ 2 ≤ m ≤ C − Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) 2018 D − ≤ m ≤ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số f ( x ) có cực tiểu; B Hàm số f ( x ) có cực đại; C Hàm số f ( x ) có cực đại cực tiểu; D Hàm số f ( x ) khơng có cực trị Câu 15: Tìm giá trị m để tất điểm cực trị đồ thị hàm số y = − x + 2mx − nằm trục tọa độ A m ∈ ( −∞;0 ) ∪ { 2} B m ∈ ( −∞;0] ∪ { 2} C m ∈ ( −∞;0 ) ∪ { −2} D m = ±2 Câu 16: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + ( − x ) đoạn [ −1;1] Tính giá trị A M =2 m B M = m C M m M = m D M = m Câu 17: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị ( C ) hàm số y= x +1 hai điểm phân biệt A, B cho 0° < ·AOB < 90° x −1 A m = B m ≥ HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! C m > D m = Trang Câu 18: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 2018 có hai tiệm cận song song với Oy x2 − 4x + m A m = −2 m = B m < −2 m > C m < −4 m > D m < −1 m > Câu 19: Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Biết điểm M x +1 thuộc nhánh bên phải tiệm cận đứng ( C ) Tìm x0 để điểm M gần điểm I ( −1; −1) A x0 = − −1 B x0 = C x0 = + D x0 = −1 − Câu 20: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = t − t Tính thời điểm t (giây) vận tốc v (m/s) chuyển động đạt giá trị lớn A t = 0,5 B t = D t = 2,5 C t = Câu 21: Cho x, y > thỏa mãn log x = log y = log ( x + y ) Tính tỉ số A x =2 y B x = y C x y x −1 = y D x +1 = y Câu 22: Tìm số số ( x; y; z ) thỏa mãn điều kiện sau: x + y + 5z = 10; x3 y 5z = 30; xyz = A B C D Câu 23: Tìm giá trị m để hàm số y = log log ( m − ) x + ( m − 3) x + m  xác định ¡ B m > A m > C < m < D m ≥ Câu 24: Tính đạo hàm hàm số y = log x ( 3x + 1) A y ′ = C y ′ = ( 3x + 1) ln ( x ) B y ′ = x ln ( x ) − ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x + 1)  ln ( x )  D y ′ = ( 3x + 1) ln ( x ) x ln ( x ) − ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x + 1)  ln ( x )  2 Câu 25: Cho a, b, c, d bốn số dương tạo thành cấp số nhân với công bội q > Xét dãy số log a, log b, log c, log d Mệnh đề đúng? A Dãy cấp số nhân B Dãy cấp số nhân, cấp số cộng HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang C Dãy cấp số cọng D Dãy dãy giảm Câu 26: Cho a = log 3; b = log 5; c = log Tính theo a, b, c giá trị log140 63 A log140 63 = 2ac − abc + 2c + B log140 63 = 2ac + abc + 2c + C log140 63 = 2ac + abc − 2c + D log140 63 = 2abc + abc + 2c + Câu 27: Một nghiên cứu cho thấy nhóm học sinh cho xem danh sách loài động vật kiểm tra lại xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình học sinh tính theo cơng thức M ( t ) = 75 − 20 ln ( + t ) , t ≥ (đơn vị %) Hỏi sau khoảng học sinh nhớ danh sách 10%? A 24 tháng B 20 tháng C năm tháng D năm Câu 28: Cho số thực a, b, c thỏa mãn < a < b < c Bất đẳng thức sau đúng? A log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) > B log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) > C log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) ≥ D log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) > 3  ( x + 1) , x ≤ Câu 29: Cho hàm số f ( x ) =  Tìm k để  k ( − x ) , x < A k = B k = Câu 30: Cho hàm số g ( x ) = A g ′ ( x ) = ∫ f ( x ) dx = −1 C k = D k = 3x t −1 ∫2 x t + dt Tính đạo hàm g ′ ( x ) 9x2 −1 9x2 + B g ′ ( x ) = x2 − x2 − C g ′ ( x ) = − 9x + 4x2 + D g ′ ( x ) = x2 −1 x2 + ( x − 1) x2 + − ( x − 1) x2 + Câu 31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong ( C1 ) : x + y − y = ( C2 ) : x − y + y = A 11 B 10 HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! C D Trang Câu 32: Tính thể tích khối tròn xoay sinh cho elip ( E ) : A π ab B e Câu 33: Cho I = ∫ x ln xdx = A a = b πa b C x2 y + = quay quanh trục Ox a b2 π ab D πa b 3e a + Mệnh đề đúng? b B a + b = 20 C ab = 60 Câu 34: Cho hàm số f ( x ) biết f ( ) = f ′ ( x ) = D a − b = 12 4x2 + x + Biết nguyên hàm 2x +1 f ( x ) có dạng F ( x ) = ax + bx + ln x + + c Tính tỉ lệ a : b : c A a : b : c = 1: :1 B a : b : c = 1:1:1 C a : b : c = : :1 Câu 35: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) (m/s) có gia tốc v′ ( t ) = D a : b : c = 1: : (m/s2) Vận tốc t +1 ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị) A 10 m/s B 11 m/s C 12 m/s D 13 m/s Câu 36: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1; z1 + z2 = Tính z1 − z2 A B C D Câu 37: Cho số phức z = a + ( a − 3) i với a ∈ ¡ Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ nhỏ A B C D Câu 38: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z + z + i ( z + z ) = 2z A Đườn tròn đơn vị B Tia phân giác góc phần tư thứ (bao gồm gốc tọa độ) C Đường thẳng có phương trình y = x + D Đường elip có phương trình x2 + y2 = Câu 39: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 37 Tìm số phức z= z1 z2 HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 3 A z = − ± i 8 3 B z = ± i 8 3 C z = − ± i 4 D z = 3 ± i 4 Câu 40: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A với AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc AA’ tạo với mặt phẳng ( ABC ) 60° Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tính V + A V −1 a3 B a C a D a Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA vng góc với mặt đáy SA = AB = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A a B a C a D a · Câu 42: Một hình chữ nhật ABCD có AB = a BAC = α với 0° < α < 90° Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành hình nón có diện tích xung quanh S Mệnh đề sai? A S = π a tan α cos α B S = 2 C S = π a sin α ( + tan α ) π a sin α cos α D S = π a tan α Câu 43: Cho hình trụ trục OO′ , đường tròn đáy ( C ) ( C ′ ) Xét hình nón đỉnh O’, đáy ( C) có đường sinh hợp với đáy góc α ( 0° < α < 90° ) Cho biết tỉ số diện tích xung quanh hình lăng trụ hình nón A 30° Tính giá trị α B 45° C 60° D Kết khác Câu 44: Cho hình nón tròn xoay đáy đường tròn ( C ) tâm O, bán kính R = , đường cao SO = Xét hình cầu tâm I, nhận ( O ) làm đường tròn nhỏ nhận tất đường sinh hình nón làm tiếp tuyến Tính thể tích hình cầu A V = π B V = 2π HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! C V = 4π D V = 5π Trang Câu 45: Một hợp đựng Chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần lại phía chứa đầy chocolate nguyên chất Với kích thước hình vẽ, gọi x = x0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 A 48 đvtt B 16 đvtt C 64 đvtt D 64 đvtt Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − 4x − y − 4z = điểm A ( 4; 4;0 ) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B ∈ ( S ) tam giác OAB A x − y + z = 0, x + y − z = B x − y + z = 0, x − y − z = C x − y − z = 0, x − y − z = D x − y + z = 0, x − y + z = Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 1;0;5 ) , B ( 2; 2;6 ) đường thẳng ∆: x y+2 z−4 = = mặt phẳng ( α ) : x + y − z + = Tìm điểm M nằm mặt phẳng cho MB = ·ABM = 60°  13  A M  1; ; ÷  2 B M ( 0;0;3) (α) C M ( 1;1;6 ) 1  D M  ; 2;6 ÷ 2   x = −3 + 2t  Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :  y = −1 + t ( t ∈ ¡ z = + t  ) mặt phẳng có phương trình ( α ) : x + y − z + = Gọi A giao điểm ∆ ( α ) Tìm điểm B ∈ ∆, C ∈ ( α ) cho BA = BC = ·ABC = 60°  5  11  A B ( −3; −1;3) , C  − ;0; ÷ B ( −1;0; ) , C  ;0; ÷ 2  2 2  5  11  B B ( −3; −1;3) , C  − ;0; ÷ B ( 1;1;5 ) , C  ;0; ÷ 2  2 2 HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang  5  11  C B ( −3; −1;3) , C  − ;0; ÷ B ( −7; −3;1) , C  ;0; ÷ 2  2 2  5  11  D B ( −3; −1;3) , C  − ;0; ÷ B ( 3; 2;6 ) , C  ;0; ÷ 2  2 2 Câu 49: Trong không gian tọa độ cho đường thẳng d : ( P ) : x + y + z + = Gọi M x − y + z +1 = = mặt phẳng −1 giao điểm d ( P ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( P ) , vng góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới ∆ 42 A x+5 y + z +5 x+3 y + z −5 = = ; = = −3 −3 B x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −2 −3 −3 C x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −3 D x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −3 −3 Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có AB đáy lớn, CD đáy nhỏ A ( 3; −1; −2 ) , B ( 1;5;1) , C ( 2;3;3 ) Tìm tọa độ điểm D hình thang cân  164 51 48  1 1 ; − ; ÷ C D  ; ; ÷ B D  49 49   49 2 4 A D ( 4; −3;0 ) D D ( −4;3;0 ) Đáp án 1-C 11-A 21-C 31-C 41-D 2-D 12-B 22-C 32-A 42-D 3-B 13-A 23-B 33-B 43-C 4-D 14-A 24-C 34-B 44-C 5-A 15-B 25-C 35-D 45-A 6-B 16-D 26-B 36-D 46-B 7-C 17-C 27-C 37-C 47-A 8-C 18-B 28-A 38-B 48-B 9-D 19-B 29-C 39-A 49-D 10-A 20-C 30-D 40-B 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Ta có 3π = + tan α = + = Vì π < α < nên cos α < cos α HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang Suy cos α = − π   5π  − 2α ÷ = sin α + cos α + cos 2α Khi M = sin α + sin  α + ÷+ sin  2    = sin α + cos α + cos α − = cos α + cos α = 1 1− − = 5 Câu 2: Đáp án D Ta có sin x ≤ sin x ⇒ y ≤ sin x + cos x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( − cos x ) ( + cos x ) ( + cos x ) = ( − cos x ) ( + cos x ) ( + cos x )  − cos x + + cos x + + cos x  32 ≤  < ÷ = 2  27 ⇒ − ( − cos x ) ( + cos x ) ( + cos x ) > ⇒ ( − cos x )  − ( − cos x ) ( + cos x )  ≥   ⇔ ( − cos x ) − sin x ≥ ⇔ sin x + cos x ≤ M = max y = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Ta lại có y ≥ − sin x + cos x Tương tự trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( + cos x ) ( − cos x ) ( − cos x ) = ( + cos x ) ( − cos x ) ( − cos x ) ≤ 32 < 27 ⇒ − ( + cos x ) ( − cos x ) ( − cos x ) > ⇒ ( + cos x )  − ( + cos x ) ( − cos x )  ≥   ⇔ − sin x + cos x ≥ − m = y = − ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ Do M = −1 Vì vậy, mệnh đề D sai m Câu 3: Đáp án B HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 10 An2 + 3Cnn − − Cn3+1 = An2+1 − 2n ( *) Điều kiện: n ∈ ¥ , n ≥ Với điều kiện trên, (*) tương đương với: n ( n − 1) + n ( n − 1) − n ( n − 1) ( n + 1) = n ( n + 1) − 2n 6 ⇔ ( n − 1) − ( n − 1) = n + − ⇔ n = ( Khi : P ( x ) = + x − x = ∑ C4k ( −3) 4−k x 4−k k =0 Hệ số số hạng x ứng với ) = ∑C k k =0 k ( −3 ) 4−k x 4−k k   + x  ÷   i ∑ Cki 2i x i =0 4−k i + = ⇔ 2k − 3i = Vì i, k ∈ ¥ i ≤ k ≤ nên ta suy : k = 4; i = k = 2; i = Như hệ số x khai triển là: C44 ( −3) C42 22 + C42 ( −3) C20 20 = 78 Câu 4: Đáp án D Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Số phải tìm chứa 123 Lấy chữ số ∈ { 0; 4;5;6;7;8;9} : có A7 cách Cài 123 vào vị trí đầu, cuối, hai chữ số liền chữ số vừa lấy: có cách Suy có 5A = 5.840 = 4200 số gồm chữ số khác chứa 123 Trong số trên, có A6 = 4.120 = 480 số có chữ số đứng đầu Suy có A7 − A6 = 3720 số phải tìm có mặt 123 Trường hợp 2: Số phải tìm có mặt 321 (lập luận tương tự) Có 3720 số gồm chữ số khác nhau, có mặt 321 Tóm lại, có 3720.2 = 7440 số gồm chữ số khác đôi một, chữ số đứng liền chữ số Câu 5: Đáp án A Xét dãy số ( x1 , x2 , x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) hoán vị ba số 1,2,3 (ở xi = i , tức thư i bỏ địa chỉ) HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 11 Gọi Ω tập hợp tất khả bỏ thư vào phong bì Khi Ω = 3! = Gọi A biến cố: “Có nhât thư bỏ phong bì” Các khả thuận lợi A ( 1, 2,3) ; ( 1,3, ) ; ( 3, 2,1) ; ( 2,1,3 ) Do ΩA = ΩA = = Ω Từ P ( A ) = Câu 6: Đáp án B 2 Ta có: ( n + ) xn +1 = ( n + 1) xn + ( n + ) , ∀n ≥ ⇔ ( n + ) xn2+1 = ( n + 1) xn2 − ( n + 1) + ( n + ) , ∀n ≥ ⇔ ( n + ) ( xn2+1 − 1) = ( n + 1) ( xn2 − 1) , ∀n ≥ n +1 yn Đặt yn = xn − Khi yn +1 = n+2 ( n + 1) 2n 2 y1 =  ÷ y1 hay lim yn = Suy yn +1 = ( n + ) ( n + 1) 3 n+2 n +1 Vậy lim xn = Câu 7: Đáp án C   x + 3x + x − 3x ÷ Ta có xlim  →+∞   = lim x →+∞ 3x + 3x 3x + x + x + x 3x 1+ = lim x →+∞ 1+ 1 + +1 3x x = Câu 8: Đáp án C x x x x Ta có y ′ = xe + ( x + 1) e = e ( x + x + 1) = e ( x + 1) Vậy dy = e x ( x + 1) dx Câu 9: Đáp án D Do f có đạo hàm điểm x0 = −1 nên f liên tục điểm x0 = −1 Khi lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) ⇔ lim+ ( ax + bx + c ) = lim− ( x + 2a + b ) = f x →1+ x →1 x →1 x →1 ( 1) ⇔ a + b + = 2a + b + ⇔ a = HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 12 x + + b Với a = , hàm số f ( x ) trở thành f ( x ) =   x + bx + x < x ≥ f ( x ) có đạo hàm điểm x0 = f ( x ) − f ( 1) f ( x ) − f ( 1) x + bx + − b − x + 2+b−b−3 lim+ = lim− ⇔ lim+ = lim− x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1 ⇔ lim+ ( x + b + 1) = lim1 ⇔ b + = ⇔ b = −1 − x →1 x →1 Suy a + b = Vậy P = Câu 10: Đáp án A uuuur uuuu r  x′ = x * V( O ;2) : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = 2OM ⇔   y′ = y  x " = x′ + * Tvr : M ′ ( x′; y′ ) → M " ( x "; y") ⇔   y " = y′ + Do phép đồng dạng F : M ( x; y ) → M ′′ ( x′′; y ′′ ) có tọa độ thỏa mãn hệ thức   x =  y =  x′ x′′ − = 2 y′ y′′ − = 2 2 2  x′′ −   y′′ −  Do M ( x; y ) ∈ ( C ) nên  − 1÷ +  − ÷ = ⇔ ( x′′ − 3) + ( y ′′ − ) = 16     Vậy ảnh (C) qua F đường tròn có phương trình ( x − 3) + ( y − ) = 16 2 Câu 11: Đáp án A * x − 3x + m = ⇔ − x + 3x + = m + * Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = m + * Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ m + = ⇔ m = Câu 12: Đáp án B * Tập xác định: D = ¡ \ { −2; 2} * y′ = −8 x + 40 x − 32 ( x2 − 4) x = * y′ = ⇔  x = HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 13 * Lập bảng biến thiên suy chiều biến thiên hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) , ( 4; +∞ ) nghịch biến khoảng ( 1; ) , ( 2; ) Câu 13: Đáp án A π  * y ′ = + m ( cos x − sin x ) = − 2m sin  x − ÷ 4  π  * Đặt t = sin  x − ÷ với t ∈ [ −1;1] , ta có f ( t ) = − 2mt 4  * Để hàm số đồng biến ¡  f ( −1) ≥ 1 + 2m ≥ f ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔  ⇔  f ( 1) ≥ 1 − 2m ≥  m ≥ − 2  ⇔ ⇔− ≤m≤ 2 m ≤  Câu 14: Đáp án A * Tập xác định: D = ¡ x =1 * f ′( x) = ⇔  (Lưu ý x = nghiệm bội) x = * Dấu f ′ ( x ) dấu x − Nhận thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương x qua nên hàm số đạt cực tiểu x = Câu 15: Đáp án B x = Ta có: y ′ = −4 x + 4mx = x ( − x + m ) ; y ′ = ⇔  x = m * Nếu m ≤ ( Cm ) có điểm cực trị điểm cực đại nằm trục tung * Nếu m > ( Cm ) có điểm cực trị Một điểm cực tiểu nằm trục tung hai điểm ( )( cực đại có tọa độ − m ; m − , ) m ; m − Hai điểm cực đại nằm trục hồnh Do m − = ⇔ m = ±2 Nhưng m > nên chọn m = Vậy m ∈ ( −∞;0] ∪ { 2} giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 16: Đáp án D Đặt t = x Do x ∈ [ −1;1] nên t ∈ [ 0;1] HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 14 Khi g ( t ) = −3t + 12t − 12t + g ′ ( t ) = −9t + 24t − 12 t = g ′ ( t ) = ⇔  (Loại t = ) t =  2 Ta có g ( ) = 4; g  ÷ = ; g ( 1) = 3 Suy M = 4, m = Vậy M = m Câu 17: Đáp án C Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x +1  x ≠ = 2x + m ⇔  x −1  f ( x ) = x + ( m − 3) x − m − = ∆  = m + 2m + > 0, ∀ m Ta có   f ( 1) = −2 ≠ => d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Gọi x1 , x2 hoành độ điểm A, B Khi 2 ·AOB nhọn ⇔ cos ·AOB = OA + OB − AB > ⇔ OA2 + OB > AB 2.OA.OB ⇔ x12 + ( x1 + m ) + x22 + ( x2 + m ) > ( x2 − x1 ) 2 Sử dụng định lí Viet giải bất phương trình theo m ta thu m > Câu 18: Đáp án B Xét tam thức bậc hai f ( x ) = x − mx + f ( x ) có ∆ = m − Khi m < −2 m > f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Do đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng x = x1 , x = x2 song song với Oy Câu 19: Đáp án B HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 15   M ∈ ( C ) ⇒ M  x0 ; x0 + ÷ với x0 > −1 x0 +     IM = ( x0 + 1) +  x0 + + +2≥ 2 +2 ÷ = ( x0 + 1) + x0 +  ( x0 + 1)  2 IM ngắn ⇔ ( x0 + 1) = ( x0 + 1) ⇔ x0 = −1 (do x0 > −1 M nằm nhánh phải đồ thị ( C ) ) Câu 20: Đáp án C Xét hàm số s = t − t , t ∈ ( 0; +∞ ) Vận tốc chuyển động v = s′ = 2t − t Ta có v′ = − t ; v′ = ⇔ t = Lập bảng biến thiên suy max v = t∈( 0; +∞ ) ⇔t =2 Câu 21: Đáp án C t t t Đặt log x = log y = log ( x + y ) = t ⇒ x = , y = , x + y =   t −1  ÷ = 2t t 2 3 3 t t t Khi + = ⇔  ÷ +  ÷ − = ⇔  t 2 2 − −    ÷ = 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ f ( x ) = ( m − ) x + ( m − 3) x + m − > 0, ∀x ∈ ¡ ( *) * Nếu m = f ( x ) = −2 x + > ⇔ x < a = m − > ⇔m> * Nếu m ≠ ( *) ⇔  ∆′ = −3m + < Câu 24: Đáp án C Ta có y = log x ( 3x + 1) = ln ( x + 1) ln x ln ( x + 1) ′ ln ( x ) − ln ( x + 1) ln ( x ) ′ Suy y ′ = ln ( x )  ln ( x ) − ln ( x + 1) x ln x − x + ln x + ( ) ( ) ( ) 2x = 3x + = 2 ln ( x )  x ( x + 1)  ln ( x )  Câu 25: Đáp án C Xét cấp số nhân a, aq, aq , aq Suy có dãy số log a, log a + log q, log a + log q, log a + 3log q Đây cấp số cộng với công sai d = log q > Câu 26: Đáp án B Áp dụng cơng thức đổi số ta có: log140 63 = Mặt khác log = log 63 log + log = ( *) log 140 + log + log log 1 = ;log = = log 5.log = ab log c log Thay vào (*) ta được: log140 63 = + 2a c + ab + c = 2ac + abc + 2c + Câu 27: Đáp án C Theo cơng thức tính tỉ lệ % cho cần tìm nghiệm t bất phương trình; 75 − 20 ln ( + t ) ≤ 10 ⇔ ln ( + t ) ≥ 3, 25 ⇒ t ≥ 24, 79 (tháng) HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 17 Vậy sau khoảng 25 tháng (tức năm tháng) học sinh nhớ danh sách 10% Câu 28: Đáp án A Để ý < a < b nên log a b > Khi xét số a b log a ( log a b ) > log b ( log a b ) > Do < a < c nên log c a < ⇒ > log c ( log c a ) > log b ( log c a ) Từ suy log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) > log b ( log a b.log b c.log c a ) = log b = Câu 29: Đáp án C Ta có ∫ −1 −1 f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k ( − x dx ) = −1 + 2k =1⇒ k = 3 Câu 30: Đáp án D Đặt f ( t ) = t −1 t2 +1 Gọi F nguyên hàm f Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x) = F ( t ) 3x 2x = F ( 3x ) − F ( x ) Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp ta g ′ ( x ) = 3F ′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = ( x − 1) x2 + − ( x − 1) 4x2 + Câu 31: Đáp án C 2 Phương trình tung độ giao điểm ( C1 ) : x = y − y ( C2 ) : x = y − y là: y = y2 − y = y − y2 ⇔  y = 3 2 Vậy S = ∫ ( y − y ) − ( y − y )  dy = Câu 32: Đáp án A Ta xem khối tròn xoay hình giới hạn bốn đường x = a, x = −a, y = 0, y = b a − x quay quanh trục Ox tạo nên a b2 π b2 Vậy V = π ∫ ( a − x ) dx = a a −a a α  x3  a x − = π ab    −α  HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 18 Câu 33: Đáp án B  du = dx  u = ln x   x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  e e e x4 e4 3e4 + Khi I = ln x − ∫ x dx = − x = 41 14 16 Suy a = 3, b = 16 hay a + b = 20 Câu 34: Đáp án B Ta có f ( x ) = ∫ 4x2 + 4x +   dx = ∫  x + + ÷dx = x + x + ln x + + C 2x +1 2x +1   Do f ( ) = nên c = Suy f ( x ) = x + x + ln x + + Vậy a : b : c = 1:1:1 Câu 35: Đáp án D Ta có v ( t ) = ∫ v′ ( t ) dt = ∫ dt = 3ln t + + C t +1 Do vận tốc ban đầu m/s nên v ( t ) = 3ln t + + Vận tốc vật sau 10 giây v ( ) = 3ln11 + ≈ 13 ( m / s ) Câu 36: Đáp án D Đặt z1 = x1 + iy1 , z = x2 + iy2  x12 + y12 = x22 + y22 = ⇒ ( x1 y1 + x2 y2 ) = Từ giả thiết ta suy  2 ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) = Suy z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) − ( x1 y1 + x2 y2 ) = − = 2 2 Vậy z1 − z2 = Câu 37: Đáp án C Gọi M điểm biểu diễn số phức z Khi OM = z = a + ( a − 3) Dấu “=” xảy ⇔ a = 2 3  = 2 a − ÷ + ≥ 2 2  HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 19 Câu 38: Đáp án B Đặt z = x + yi với x, y ∈ ¡ Suy z + z = x x ≥  x = x z + z + i ( z + z ) = z ⇔ x + i ( x ) = x + 2iy ⇔  ⇔ y = x  x = y Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z tia phân giác góc phần tư thứ (bao gồm gốc tọa độ) Câu 39: Đáp án A Đặt z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 Từ giả thiết ta có  x12 + y12 =  x12 + y12 + x22 + y22 x x + y y = = −6  2  2 x + y = 16 ⇒     x y − x y = ( x + y ) ( x + y ) − ( x x + y y ) = 108 2 1 2 2 ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 37 ( 1 ) Vậy z = z1 z1 z2 z1 z2 −6 ± 3i 3 = = = =− ± i z z z2 z2 16 8 Câu 40: Đáp án B Gọi M trung điểm BC Từ giả thiết ta có BC = 2a, AG = Suy A′G = AG tan 60° = Ta có V = S ABC A′G = Vậy V + 2a · AI = , A′AG = 60° 3 2a 1 2a AB.AC A′G = a.a = a3 2 V −1 = a a3 Câu 41: Đáp án D  SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC Ta có   AC ⊂ ( ABC )  SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SB ⊥ BC   AB ⊥ BC Tâm I mặt cầu trung điểm cạnh huyền SC HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 20 Bán kính: R = SI = SC = SA2 + AC = SA2 + AB + BC a2 + a2 + a2 a = = 2 Câu 42: Đáp án D ∆ABC có BC = a.tan α ; AC = S = π BC AC = a cos α π a tan α π a sin α = = π a sin α ( + tan α ) cos α cos α Do (A), (B), (C) (D) sai Câu 43: Đáp án C Gọi V1 ,V2 thể tích hình trụ hình nón Khi V1 2π Rh 2π Ra sin α = = = 2sin α = Vì 0° < α < 90° nên α = 60° V2 π Ra π Ra Câu 44: Đáp án C Gọi ST đường sinh hình nón · Ta có tan IST = · · = 30° ⇒ OTI = IST 3 OT = = ∆OIT có R = cos 30° 4π Vậy V = π R = 3 Câu 45: Đáp án A Ta có V = ( − x ) ( 12 − x ) x = x ( x − ) = x ( x − 12 x + 36 ) = x − 24 x + 72 x Xét hàm số f ( x ) = x − 24 x + 72 x ( 0;6 ) x = f ′ ( x ) = x − 48 x + 72; f ′ ( x ) = ⇔  x = f ( x ) = f ( ) = 64 đvtt Đến nhiều bạn vội vã khoanh C mà khơng đắn đo Khi max ( 0;6 ) Tuy nhiên, vội vã bạn sai, đề yêu cầu tìm thể tích Chocolate ngun HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 21 chất mà thể tích hộp ta cần Tức − = thể tích hộp, tức 4 64 = 48 (đvtt) Câu 46: Đáp án B Cách 1: B ∈ ( S ) OAB nên ta có hệ phương trình sau:  xB2 + yB2 + z B2 − xB − yB − zB =  2 OA = OB OA2 = AB   xB2 + yB2 + z B2 = ( xB + y B + z B )  xB + y B + z B =   2 ⇔ 32 = xB + yB + z B ⇔  xB2 + yB2 + z B2 = 32   2 2 2  x B + y B + z B − ( xB + y B ) = 32 = ( − xB ) + ( − yB ) + z B  zB =  xB + y B + z B =   2 ⇔  xB + yB2 + z B2 = 32 ⇔ ( xB + yB ) − xB y B + z B2 = 32 x + y = x + y = B B  B  B  xB =  xB =   ⇔  yB = hay  yB = z = z =  B  B uuu r uuur uuu r uuur Trường hợp 1: OA = ( 4; 4;0 ) , OB = ( 0; 4; ) ⇒ OA, OB  = ( 16; −16;16 ) ( ) Phương trình mp ( OAB ) : x − y + z = uuu r uuur uuu r uuur Trường hợp 2: OA = ( 4; 4;0 ) , OB = ( 4;0; ) ⇒ OA, OB  = ( 16; −16; −16 ) ( ) Phương trình mp ( OAB ) : x − y − z = Cách ( S) có tâm I ( 2; 2; ) , bán kính R = Nhận thấy O A thuộc ( S ) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = 2 Khoảng cách d ( I ; ( P ) ) = R − r = ( P) OA = 3 qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0; a + b + c > HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 22 ( P) qua A, suy b = − a d ( I;( P) ) = 2( a + b + c) 2 ⇔ = ⇔ 3 a2 + b2 + c2 2c 2a + c = 4c ⇔ 2 = ⇔ 12c = 8a + 4c ⇔ c = a ⇔ c = ± a 2a + c Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: x − y + z = 0, x − y − z = Câu 47: Đáp án A Ta thấy A ∈ ∆, A ∈ ( α ) B ∈ ∆ Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có: MA2 = BA2 + BM − BA.BM cos 60° = + − = 2 2 Suy MA = Từ ta nhận thấy AB = MA2 + MB nên tam giác MAB vuông M · có MAB = 30° ( ) ( ) · , ( α ) = + −1 = ⇒ ∆ · , ( α ) = 30° = MAB · Mặt khác: sin ∆ 6 Từ suy M hình chiếu B lên mặt phẳng ( α ) Khi MB : x−2 y −2 z −6 = = ⇒ M ( 2m + 2; m + 2; −m + ) −1 Vì M thuộc mặt phẳng ( α ) nên  13  ( 2m + ) + ( m + ) − ( −m + ) + = ⇒ m = − ⇒ M 1; ; ÷  2  13  Vậy M  1; ; ÷  2 Câu 48: Đáp án B Góc ∆ ( α ) 30° Điểm A ( −1;0; ) Ta có B ( −3 + 2t; −1 + t ;3 + t ) AB = nên B ( −3; −1;3) B ( 1;1;5 ) Vì BA = BC = ·ABC = 60° nên tam giác ABC vuông C · Suy : BAC = 30° , C hình chiếu điểm B mặt phẳng ( α ) Từ ta tìm hai điểm C tương ứng với hai điểm B là: HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 23  5  11  C  − ;0; ÷ C  ;0; ÷ 2  2 2 Câu 49: Đáp án D  x = + 2t  Ta có phương trình tham số d là:  y = −2 + t với t ∈ ¡  z = −1 − t  Suy tọa độ điểm M nghiệm phương trình: + 2t − + t − − t + = ⇔ t = −1 ⇒ M ( 1; −3;0 ) uur uu r Lại có VTPT ( P ) n p ( 1;1;1) , VTCP d ud ( 2;1; −1) uu r uu r uur Vì ∆ nằm ( P ) vng góc với d nên VTCP u∆ = ud , n p  = ( 2; −3;1) Gọi N ( x; y; z ) hình chiếu vng góc M ∆ , uuuu r MN = ( x − 1; y + 3; z ) uu r uuuu r Ta có MN vng góc với u∆ nên ta có hệ phương trình: 2x − y + z − 11 = x + y + z + =  Lại có N ∈ ( P ) MN = 42 ta có hệ:  x − y + z − 11 =  2 ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 Giải hệ ta tìm hai nghiệm ( x; y; z ) ( 5; −2; −5 ) , ( −3; −4;5 ) - Nếu N ( 5; −2; −5 ) ta có phương trình ∆ : x−5 y +2 z +5 = = −3 - Nếu N ( −3; −4;5 ) ta có phương trình ∆ : x +3 y + z −5 = = −3 Câu 50: Đáp án B Vì ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi ∆ đường thẳng qua C song song với AB Gọi ( S ) mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm ∆ ( S )  x = − 2t uuur  Đường thẳng ∆ có vectơ phương AB = ( −2;6;3) nên có phương trình:  y = + 6t  z = + 3t  Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + ) = 2 Tọa độ điểm D nghiệm phương trình HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 24 ( −2t − 1) + ( 6t + ) + ( 3t + ) 2  t = −1 = ⇔ 49t + 82t + 33 = ⇔  t = − 33 49  + Với t = −1 D ( 4; −3;0 ) : khơng thỏa AB = CD = + Với t = − 33  164 51 48  ; − ; ÷ (thỏa mãn) D  49 49  49  49 HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI! Trang 25 ... số trên, có A6 = 4.120 = 480 số có chữ số đứng đầu Suy có A7 − A6 = 3720 số phải tìm có mặt 123 Trường hợp 2: Số phải tìm có mặt 321 (lập luận tương tự) Có 3720 số gồm chữ số khác nhau, có mặt... V2 π Ra π Ra Câu 44: Đáp án C Gọi ST đường sinh hình nón · Ta có tan IST = · · = 30° ⇒ OTI = IST 3 OT = = ∆OIT có R = cos 30° 4π Vậy V = π R = 3 Câu 45: Đáp án A Ta có V = ( − x ) ( 12 − x... Câu 29: Đáp án C Ta có ∫ −1 −1 f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k ( − x dx ) = −1 + 2k =1⇒ k = 3 Câu 30: Đáp án D Đặt f ( t ) = t −1 t2 +1 Gọi F nguyên hàm f Theo định nghĩa tích phân ta có g