GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân PHẦN MỘT : ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: Ư ́ NG DU ̣ NG CU ̉ A ĐA ̣ O HA ̀ M ĐÊ ̉ KHA ̉ O SA ́ T VA ̀ VE ̃ ĐÔ ̀ THI ̣ CU ̉ A HA ̀ M SÔ ́ I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Khảo sát hàm số 1. Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 3ax 2 + 2bx + c với ∆ / = b 2 − 3ac ∆ / ≤ 0 ∆ / > 0 y / cùng dấu với hệ số a •KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y / = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn: • )(lim 23 dcxbxax x +++ +∞→ = <∞− >+∞ )0( )0( a a ; • )(lim 23 dcxbxax x +++ −∞→ = <∞+ >−∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên: x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / + y / + 0 − 0 + y + ∞ - ∞ y CĐ + ∞ - ∞ CT x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / − y / − 0 + 0 − y + ∞ − ∞ y + ∞ CĐ CT − ∞ Chú ý : dù y / = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ? • ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2. Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 4ax 3 + 2b.x =2x.(2a x 2 + b) a,b cùng dấu a, b trái dấu y / = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y / = 0 ⇔ 2x (2ax 2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x 1,2 =± a b 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị • Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± a b 2 − ) =− a4 ∆ Có 3 cực trị + Giới hạn : )(lim 24 cbxax x ++ ±∞→ = <∞− >+∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên : x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ y / − 0 + y / − 0 + 0 − 0 + y + ∞ + ∞ y + ∞ CĐ + ∞ CT CT x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ 1 a > 0 a < 0 Điểm uốn I(− a b 3 ;f(− a b 3 )) a < 0 a > 0 CT GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân y / + 0 − y / + 0 − 0 + 0 − y − ∞ − ∞ y CĐ CĐ - ∞ CT - ∞ + vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương 3.Hàm phân thức : y = dcx bax + + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) TXĐ : D = R\ − c d + Đạo hàm : y / = 2 )( dcx bcad + − + Tiệm cận: • x = c d − là tiệm cận đứng vì dcx bax cdx + + −→ / lim = ∞; • y = c a là tiệm cận ngang vì dcx bax x + + ∞→ lim = c a +Bảng biến thiên : x − ∞ −d/c + ∞ x − ∞ −d/c + ∞ y / − || − y / + || + y a/c ||+ ∞ − ∞ a/c y + ∞ || a/c a/c − ∞ + vẽ đồ thị : − vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : 1. Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là : Từ x 0 tính f(x 0 ) ; • Đạo hàm : y / = f / (x) => f / (x 0 ) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là y = f / (x 0 )(x− x 0 ) + f(x 0 ) 2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x) + Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, (d) là tiếp tuyến của ( C) tại điểm M, Pt đường thẳng (d) là : y = f / (x 0 )(x− x 0 ) + f(x 0 ) + Điều kiện để đường thẳng (d) đi qua A là :y 1 = f / (x 0 )(x 1 − x 0 ) + f(x 0 ), giải phương trình ẩn x 0 =>f(x 0 ), f’(x 0 ) .Kết luận . 3. Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a 1 + giả sử M(x 0 ; f(x 0 )) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f / (x 0 ). + Giải phương trình f / (x 0 ) = k => x 0 = ? −> f(x 0 ) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x 0 ) + f(x 0 ) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k 1 .k 2 = −1 + Hai đường thẳng song song nhau : k 1 = k 2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : ad−bc < 0 ad−bc > 0 y / < 0 ∀ x ∈D y / > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D 2 x= −d/ c y= a/c x= −d/ c y= a/c a> 0 b>0 a< 0 b <0 a< 0 b>0 a> 0 b <0 CĐ GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân + Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) . + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BXD (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y / > 0 thì hàm số tăng ; y / < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng . Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f / (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f / (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b). Bài toán5: Cực trị hàm số • Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính y CĐ ; y CT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0. 3) x 0 là cực trị của hàm số / ( ) 0 0 / ( ) = y x y x • Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y / = ? y // = ? cho y / = 0 ( nếu có ) => x 1 , x 2 … . + Tính y // (x 1 ); y // (x 2 )…….: Nếu y // (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x 0 , y CT = ? Nếu y // (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , y CĐ = ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là : y = phần dư của phép chia f(x) cho f / (x). Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u v ,u(x) ; và(x) là các đa thức có MXĐ: D.và y / = u v v u 2 v ′ ′ − = g(x) 2 v dấu của y / là dấu của g(x) Nếu h/s đạt cực trị tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 => g(x 0 ) = 0 <=> u / và−và / u = 0 => u u v v ′ = ′ . Do đó giá trị cực trị y(x 0 ) = u (x ) 0 v (x ) 0 ′ ′ Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]: + Miền đang xét [a;b] + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) x 1 , x 2 … . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x 1 ) ; y(x 2 ) ………. So sánh → K.Luận y(a) ; y(b) + max y [a;b] = ? min y [a;b] = ? 2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ : + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BBT: 3 đổi dấu qua x 0 GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y y ct [a;b] = * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y [a;b] = y CĐ * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b). Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó : + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2 Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) vô nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung • pt(1) có n nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) <=> hệ pt f (x) g(x) f (x) g (x) = ′ ′ = có nghiệm Bài toán8: Cách xác định tiệm cận :*Tiệm cận đứng : f (x) lim x x 0 = ∞ → => x = x 0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x 0 là những điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : f (x) y lim 0 x = →∞ => y = y 0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang . II- BÀI TẬP Dạng 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 1. 532 2 +−= xxy ; 2. 2 34 xxy −+= ; 3. x x y − + = 1 13 ; 4. 2 4 1y x= − Bài 2. Tìm m để hàm số 1. 1 2 ++= mxxy đồng biến trên khoảng );1( ∞+ ; 2. 3)6( 2 ++−= xmxmy nghịch biến trên khoảng );1( ∞+− Bài 3. Chứng minh rằng hàm số 1. 1 2 + = x x y đồng biến trên khoảng )1;1( − và nghịch biến trên các khoảng )1( −−∞ và );1( ∞+ . 2. 2 2 xxy −= đồng biến trên khoảng )1;0( và nghịch biến trên khoảng )2;1( . Dạng 2: Cực đại và cực tiểu. Bài 1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số 1. 1222 23 +−−= xxxy ;2. 24 24 +−= xxy ; 3. x xy 1 += ; 4. 23 )1( xxy −= Bài 2. Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của hàm số 1. 14 24 +−= xxy ;2. xxy −= 2sin ; 3. xxy 2cos2sin += Bài 3.Chứng minh rằng hàm số 5 4 xy −= không có đạo hàm tại 0 = x nhưng đạt cực đại tại điểm đó. Bài 4. Xác định m để hàm số 1. mx mxx y + ++ = 1 2 đạt cực đại tại 2 = x . 2. 1)1( 3 1 223 ++−+−= xmmmxxy đạt cực tiểu tại 1 = x . 3. 1 2 + +− = x mxx y : a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau. 4. 6)2(36 23 −−++−= mxmxxy : a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị cùng dấu nhau. 5. 12 2 ++−= xmxy có cực tiểu. 4 GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân Dạng 3: Tìm các đường tiệm cận Bài 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau 1. 12 23 + − = x x y ;2. 1 2 2 − + = x x y ; 3. 42 21 − − = x x y ; 4. x x y 51 23 − − = Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau 1. 2 12 23 + +++ = x xxx y ; 2. 54 1182 2 2 +− +− = xx xx y ; 3. 12 2 2 +− − = xx x y ; 4. 3 3 )1( 4 − − = x x y Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN và chứng minh bất đẳng thức. Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 1cos 2 x x −≥ với mọi x thuộc R; 2. 6 sin 3 x xx −> với mọi 0 > x ; 3. Cho 2 =+ ba . Chứng minh rằng 2 44 ≥+ ba . Bài 2. Tìm GTLN – GTNN. 1. 3593 23 +−−= xxxy trên đoạn [ ] 4;4 − 2. 23 2 +−= xxy trên đoạn [ ] 10;10 − 3. xy 45 −= trên đoạn [ ] 1;1 − 4. xxy −= 2sin trên đoạn − 2 ; 2 ππ 5. x xx y − +− = 1 52 2 trên đoạn [ ] 4;2 6. 1 1 2 + + = x x y trên đoạn [ ] 2;1 − Dạng 4. Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan. Loại 1. Hàm số bậc ba. Bài 1. Cho hàm số 13 23 ++= xxy (1) 1. Khảo sát hàm số. 2. Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1). Viết phương trình các tiếp tuyến đó. 3. Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm của phương trình theo m : 03 23 =+− mxx . Bài 2. Cho hàm số 23 23 +−= xxy (C) 1. Khảo sát hàm số (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C). 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3). 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 1x3y +−= Bài 3. Cho hàm số 1)12(33 23 +−+−= xmmxxy )( m C . 1. Khảo sát hàm số khi 1 = m . 2. Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định. 3. Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm toạ độ của điểm cực tiểu. Loại 2. Hàm số trùng phương. Bài 1. Cho hàm số 2 3 3 2 1 24 +−= xxy (C) 1. Khảo sát hàm số (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. 3. Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ) 2 3 ;0(A . Bài 2. Cho hàm số 122 24 +−+−= mmxxy )( m C 1. Khảo sát hàm số khi 5 = m . 2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số. 3. Xác định m sao cho )( m C cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này. Bài 3. Cho hàm số 42 xmxy −= 1. Khảo sát hàm số (C) khi 2m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm )16;2(A −− 3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị. 1. Loại 3. Hàm số phân thức )0;0( ≠−≠ + + = bcadc dcx bax y 5 GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân Bài 1. Cho hàm số 1x 1x2 y − + = (C) 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(2; 5) 3. Tìm m để đường thẳng mxy:d += cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. Bài 2. Cho hàm số x1 x y − = (C) 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và d Bài 3. Cho hàm số x1 bax y − + = (C) 1. Tìm giá trị của a, b để (C) cắt trục tung tại điểm A(0; -1) và tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng -3. Khảo sát hàm số với giá trị a, b vừa tìm được. 2. Đường thẳng d có hệ số góc m đi qua điểm B(-2; 2). Với giá trị nào của m thì d cắt (C) 3. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt, hãy tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm. Ba V ì_07/09 6 . là một khoảng thì dùng cách 2 Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x). 5. 12 2 ++−= xmxy có cực tiểu. 4 GV: Đ ỗ Đ ắc Qu ân Dạng 3: Tìm các đường tiệm cận Bài 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau 1. 12