Tìm toạ độ điểm M thuộc E sao cho F1M⊥F2M.
Trang 1Sở GD & ĐT TPHCM Đề thi học sinh giỏi lớp 10
Năm học 2008 - 2009
-*** -
Môn thi : Toán
Ngày thi: 04 / 05/ 2009
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -Câu 1: (2 điểm) Cho f(x) =x2 − 2 (m+ 1 )x+m2 − 3 Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn x13+x1x22− 4x1 =x23+x2x12 − 4x2.
Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình
= + +
=
+
4 2
3 )2
(
x
x xy
Câu 3: (2điểm) Cho tana+cota=3, Tính giá trị của biểu thức
a
a a
a a
a
3 2
3
cos
cot cos
sin
1 sin
tan
+
−
=
Câu 4: (2điểm) Giải bất phơng trình sau: x2 + 2x2 + 4x+ 4 ≥ 5 − 2x
Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lợt ứng với các
góc A, B, C Chứng minh rằng nếu
=
=
− +
− +
C b a
a a c b
a c b
cos 2
2 3 3 3
thì tam giác ABC đều.
Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, c ho elip
225 25
9
:
)
(E x2 + y2 = , gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của ( E) Tìm toạ độ điểm M thuộc (E)
sao cho F1M⊥F2M.
Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai đờng
tròn ( ) : 4 5 0 và ( ) : 2 2 6 8 16 0
2 2
2
1 x +y − y− = C x +y − x− y+ =
tuyến chung của hai đờng tròn.
Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) và B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho
khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.
Câu 9: (2điểm) Cho n + 2 số dơng a1,a2, ,a n+2 thoả mãn a1=a n+1,a2 =a n+2,
n
a
n
≥
∑
= 1
Chứng minh rằng: ∑
≥ +
n
a a
a
2
2.
Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm
≤ + + +
=
+
m y x
y x
3 5
3
Trang 2-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh : .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM kì thi học sinh giỏi lớp 10
Năm học 2008 - 2009
Hớng dẫn chấm môn toán
1 Điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
2 0
) 3 ( ) 1 (
' = + 2 − 2 − > ⇔ > −
∆ m m m x13+x1x22 − 4x1=x23+x2x12 − 4x2 0,5
2 1 2
3 2 1
2 2 1
3
1 x x 4x x x x 4x
2 2 1 2
−
=
−
=
⇔
=
−
−
− +
⇒
=
−
− +
⇒
(loại)
1 0
4 )3 (2 )]
1 (2 [ 0 4 2 )
2 1
2 2 1
m
m m
m x
x x
2
=++
=+
⇔
=++
=+
4 2
3)2
( 4
2
3)2
(
2
2 2
yx x
yxx yx
x
xxy
0,5
=
=
⇔
= +
−
3
1 0
3 4
2
X
X X
Suy ra
=
=
+
3
1 2
2
y
x
x
hoặc
=
=
+
1
3 2
2
y
x
x
0,5
Hệ phơng trình có 4 nghiệm
=
±
−=
3
2 1
y
x
;
=
−=
1
3
y
x
;
=
= 1
1
y
x
0,5
3 Do
3 cot tana+ a= >2 nên a tồn tại
cos sin
cos sin
) cot 1 (
a a
a a
a a
a a a
a a
a tan (tan cot ) cot cot
18 3 3 3 ) cot (tan
cot tan 3 ) cot
Đặt t= 2x2 + 4x+ 4 ,t≥ 0 ta có bất phơng trình 5 0
2
4
2
≥
− +
−
t
+
−≥
−
−≤
⇔
≥
−
+
⇔
15 1
(loại) 15 1 0 14 2
2
t
t t
t
0,5
Trang 3+ Với
− +
−
−
−
−
⇔ +
− + +
⇒ +
−
15 7 1
15 7 1 15
1 4 4 2 15
x
x x
x
Vậy bất phơng trình có tập nghiệm
)
; 15 7 1 [ ] 15 7 1
;
=
5
a c b
a c
− +
−
0 2
2 2
60 2
1 cos 2
1
+
bc
a c
c b c
b ab
c b a b a C b
2 2 cos
6
9 25 : )
Do tam giác F1MF2 vuông tại M nên OM= F F = 2c=c
2
1 2
1
2
Gọi M(x0;y0) Ta có
=+
=+
⇒
∈
=
225 25 9
16
0
2 0
2 0
2 0
2 2
y x
yx EM
c
OM
0,5
±=
±=
⇔
=
=
⇔
4 9 4 75
16
81
16
175
0
0
2
0
2
0
y
x
y
x
0,5
Vậy có 4 điểm cần tìm =± 4
9
; 4
7 5
7 (C1) có tâm I1(0; 2), bán kính R1 = 3; (C2) có tâm I2(3; 4), bán kính R2 = 3; 0,25
Ta có I1I2 = 13 ⇒R1 −R2 <I1I2 <R1 +R2
(C1) và (C2) là hai đờng tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có
đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đờng thẳng đi qua I1
và I2
0,5
) 2
; 3 (
2
9 4
6 0 )
;
+
+
−
⇔
=
I
Vậy phơng trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) là 2x+ 3x+ 6 ± 13 = 0 0,25
Trang 48 Đờng thẳng AB có phơng trình 4 3 7 0
1 3
1 1
4
1
=
− +
⇔
−
−
−
=
−
x
0,25
Do C thuộc đờng thẳng x – 2y – 1= 0 nên C = (2c + 1; c) 0,25
−=
=
⇔
=
−
⇔
= +
− +
+
⇔
=
11 / 27
3 30
3 11
6 3
4
7 3 )1 2(
4 6 )
;
(
2
c c
c
c AB
C
+ Với c= 3 ⇒C= ( 7 ; 3 )
− −
=
⇒
−
=
11
27
; 11
43 11
/
=
11
27
; 11
43
k k k k k
k k
k k
k
a a
a a
a a
a
a
=
+ +
≥
+ +
2 1
2 1
2 2
1
2 1
2
với k = 1 ;2 ; ; n 0,5
≥
+ +
+
n
k k n
k
k k n
k k k
k a a a a
a
a
1 1
2 1
2
∑
≥ + +
+ + + +
k k
n n n
k k k
k a a a a a a
a
a
1
2 1 3
2
2
4
2
2
0,5
2 2
1
1
2
n a a
a
k k
n
k k k
k ≥ = +
+ +
0,25
10
Đặt u= x,v= y , điều kiện 0 ≤u, v ≤ 3 Ta có hệ
≤ + + +
= +
m v
u
v u
3 5
3
2
áp dụng bất đẳng thức a +b ≥a+b ta đợc
15 2 17 )
3 5 ( ) ( 3
Đẳng thức xảy xa khi a, b cùng hớng,
tức là
+
=
+
=
⇔
=
=+
53 33
5 3 53
3 5
3
v
u v u
vu
Khi đó
+
=
+
=
15 2 8 9
15 2 8 45
y
x
Hệ bất phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị
nhỏ nhất của biểu thức u2 + 5 + v2 + 3 với điều kiện
≤
≤
=
+
3 , 0
3
v u
v u
0,25
Trang 5Vậy các giá trị m cần tìm là m≥ 17 + 2 15 0,25
- Hớng dẫn chấm có 03 trang
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
bboy1345@yahoo.com.vn