Điện tử viễn thông appendix DRT NVD 1 khotailieu

CÁC THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 1... Vi phân Lấy vi phân tín hiệu trong miền thời gian dẫn đến nhân j2 π f với phổ tần của tín hiệu đó trong miền tần số.. Tính tích chập và nhân

Phụ lục 1

HÀM Q VÀ ERFC

Công thức hàm lỗi bù và hàm Q(u):

( ) ( )

2

2

2

2 e

1 e 2

z u z

u

π π

∞

−

−

∞

=

=

∫

∫

Quan hệ giữa hàm lỗi bù và hàm Q(u) được cho như sau:











=

=

2 2

1

2 2

u erfc u

Q

u Q u erfc

Bảng PL Bảng Q(u)

0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414

0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465

0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591

0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827

0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207

0.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760

0.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510

0.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476

0.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673

0.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109

1.0 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786

1.1 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702

1.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853

1.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08692 0.08534 0.08379 0.08226

1.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811

1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592

1.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551

1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673

1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03363 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938

1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330

2.0 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831

2.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426

2.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101

2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842

2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639

2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480

2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264

2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193

2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139

3.0 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100

3.1 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071

3.2 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.00050

3.3 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.00042 0.00040 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035

3.4 0.00034 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028 0.00027 0.00026 0.00025 0.00024

3.5 0.00023 0.00022 0.00022 0.00021 0.00020 0.00019 0.00019 0.00018 0.00017 0.00017

3.6 1.59E-04 1.53E-04 1.47E-04 1.42E-04 1.36E-04 1.31E-04 1.26E-04 1.21E-04 1.17E-04 1.12E-04

3.7 1.08E-04 1.04E-04 9.96E-05 9.57E-05 9.20E-05 8.84E-05 8.50E-05 8.16E-05 7.84E-05 7.53E-05

3.8 7.23E-05 6.95E-05 6.67E-05 6.41E-05 6.15E-05 5.91E-05 5.67E-05 5.44E-05 5.22E-05 5.01E-05

3.9 4.81E-05 4.61E-05 4.43E-05 4.25E-05 4.07E-05 3.91E-05 3.75E-05 3.59E-05 3.45E-05 3.30E-05

4.0 3.17E-05 3.04E-05 2.91E-05 2.79E-05 2.67E-05 2.56E-05 2.45E-05 2.35E-05 2.25E-05 2.16E-05

4.1 2.07E-05 1.98E-05 1.89E-05 1.81E-05 1.74E-05 1.66E-05 1.59E-05 1.52E-05 1.46E-05 1.39E-05

4.2 1.33E-05 1.28E-05 1.22E-05 1.17E-05 1.12E-05 1.07E-05 1.02E-05 9.77E-06 9.34E-06 8.93E-06

4.3 8.54E-06 8.16E-06 7.80E-06 7.46E-06 7.12E-06 6.81E-06 6.50E-06 6.21E-06 5.93E-06 5.67E-06

4.4 5.41E-06 5.17E-06 4.94E-06 4.71E-06 4.50E-06 4.29E-06 4.10E-06 3.91E-06 3.73E-06 3.56E-06

4.5 3.40E-06 3.24E-06 3.09E-06 2.95E-06 2.81E-06 2.68E-06 2.56E-06 2.44E-06 2.32E-06 2.22E-06

4.6 2.11E-06 2.01E-06 1.92E-06 1.83E-06 1.74E-06 1.66E-06 1.58E-06 1.51E-06 1.43E-06 1.37E-06

4.7 1.30E-06 1.24E-06 1.18E-06 1.12E-06 1.07E-06 1.02E-06 9.68E-07 9.21E-07 8.76E-07 8.34E-07

4.8 7.93E-07 7.55E-07 7.18E-07 6.83E-07 6.49E-07 6.17E-07 5.87E-07 5.58E-07 5.30E-07 5.04E-07

Phụ lục 2

CÁC HÀM TÍN HIỆU VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

2.1 MỘT SỐ HÀM THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

Hàm chữ nhật đơn vị

P t

0,

0<

nÕu kh¸c

<



= 



1 1,

0,

t nÕu kh¸c



<



∏ = 



Hàm xung chữ nhật đơn vị độ rộng T

P t

0,

T

0<

nÕu kh¸c

<



= 



T 1,

t

2 T

0,

t nÕu kh¸c



<



 

∏   = 

   

Dãy xung chữ nhật đơn vị chu kỳ T

t

T

=  −  = −

Sóng vuông đối xứng chu kỳ T biên độ ±±±± A

t

T

Hàm tam giác đơn vị

t 0,

nÕu kh¸c

 − <



Λ = 



Hàm tam giác đơn vị đáy 2T

( ) T

t

0,

khi nÕu kh¸c



− <



Λ = 



Hàm Dirac hay xung kim đơn vị

sè thùc

+ε





δ λ λ = ∀ ε >

 ∫

Hàm lấy mẫu lý tưởng chu kỳ T

T

k

δ = ∑ δ −

tương tự hàm δf(f)

f

k

δ = ∑ δ −

Hàm bậc thang đơn vị

( ) 1, t 0

U t

0, t 0

>



= 

<



Xung hàm mũ tắt dần

t

t

e , t 0

x t e U t 1/ 2 , t 0

0 , t 0

−

−

 >



 <



Xung hàm mũ tăng dần

t

2

e , t 0

x t e U t , t 0

0, t 0

 >



 <



Hàm dấu

( ) 1 , t 0 sgn t

1, t 0

>



= 

− <



Hàm Sinc đơn vị

( ) sin ( ) x Sinc x

x

π

= π

Hàm sinh xg(t), để biểu diễn một chu kỳ T của hàm tuần hoàn xp(t)

g

x t

nÕu kh¸c



= 



có thể biểu diễn hàm tuần hoàn xP(t) theo hàm sinh xg(t) như sau:

n

x t = ∑ x t − nT = x t ⊗ δ t

Hàm tuần hoàn cắt ngắn:

1

t

mT os 2 ft

 

=   π

 

là tích của hàm sin chu kỳ T với hàm chữ nhật đơn vị có độ rộng mT

Hàm cosin tăng:

1

x t = Π t 1 cos 2 t + π

là tích của hàm cosin đơn vị chu kỳ 1 đơn vị thời gian cộng 1 với hàm chữ

nhật đơn vị 2.2 BIẾN ĐỔI FOURIER

1 Đối với các hàm tuần hoàn xp(t) chu kỳ T0, nghĩa là xp(t) = xp(t+T0)

Chuỗi Fourier lượng giác:

Chỉ áp dụng cho các tín hiệu tuần hoàn giá trị thực

∞

=

= +  π  +  π 

∑

trong đó:

n là số nguyên dương ;

A = x (t)

0

n

A 2 x (t) cos 2 t

T

0

n

B 2 x (t) sin 2 t

T

0

0

T

0 T

1

T

α+

= ∫ , α là hằng số tùy ý

Chuỗi Fourier cosin

Chỉ áp dụng đối với các tín hiệu tuần hoàn giá trị thực

n

T

∞

=

= +  π + θ 

∑

trong đó:

n là số nguyên dương ;

C = A = x (t)

n

n

B tan A

−  

θ =  

 

Chuỗi Fourier hàm mũ:

Áp dụng cho cả tín hệu tuần hoàn giá trị thực và giá trị phức

n j2 t

∞ π ∞

π

=−∞ =−∞

trong đó:

n là số nguyên bất kỳ

1

f = là tần số cơn bản;

x là hệ số chuỗi Fourier phức của x(t), và

x = x (t) exp( j2 nf t) − π (phõn tớch)

2.2.2 Đối với cỏc hàm khụng tuần hoàn

Nếu tớn hiệu x(t) thoả mó cỏc điều kiện Dirichlet, thỡ tồn tại cặp biến đổi Fourier

j2 ft

x(t) IFT X(t) X(f ) X(f )e df ,

Biến đổi Fourier thuận

Biến đổi Fourier ng−ợc

∞

− π

−∞

∞

−∞

∫

∫

Nếu x(t) là tớn hiệu thực, thỡ X(f) thoả món đối xứng Hermitran

*

X( f ) − = X (f )

2.3 CÁC THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

1 Tuyến tớnh

Nếu X (f )1 = ℑ [ x (t) ,1 ] và X (f )2 = ℑ [ x (t)2 ]

thỡ ℑ [ a.x (t) bx (t)1 + 2 ] = a.X (f ) b.X (f ), với a,b1 + 2 ∀

2 Đối ngẫu

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t) thỡ ℑ [ X(t) ] = − x( f )

3 Dịch thời gian

Dịch thời trong miền thời gian dẫn đến dịch pha trong miền tần số

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t)

0

x(t t ) e− π .X(f )

4 Tỉ lệ

Dón trong miền thời gian dẫn đến co trong miền tần số và ngược lại, nghĩa là

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t)

a   a

 

5 Dịch tần và điều chế

Nhõn tớn hiệu với hàm mũ trong miền thời gian dẫn đến dịch tần của tớn hiệu đú trong miền tần số

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t)

0

e π .x(t) X f f

( 0 ) ( 0) ( 0)

1

2

ℑ  π  =  + + − 

6 Vi phân

Lấy vi phân tín hiệu trong miền thời gian dẫn đến nhân j2 π f với phổ tần của tín hiệu

đó trong miền tần số

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t)

j2 f X(f )

dt

ℑ   = π

n

n n

d x(t) j2 f X(f )

ℑ   = π

7 Tích phân

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t) thì

t

−∞

ℑ  λ λ  = + δ

π

 ∫ 

8 Tính tích chập và nhân

Tích chập của hai tín hiệu trong miền thời gian dẫn đến phép nhân phổ tần của hai tín hiệu đó trong miền tần số và ngược lại

[ ]

X(f ) x(t) Y(f ) y(t)

= ℑ

= ℑ

thì ℑ [ x(t) y(t) ∗ ] = X(f ).Y(f )

[ x(t).y(t) ] X(f ) Y(f )

9 Hàm phức liên hợp

x(t) = ℑ− X(f )

x * (t) = ℑ−   X * − f  

10 Nhân với n

t

Nếu X(f ) = ℑ [ ] x(t)

n

d X(f )

df −

ℑ   = − π

11 Quan hệ Parserval

[ ]

X(f ) x(t) Y(f ) y(t)

 = ℑ





= ℑ



thì 2 2.

x(t).y (t)dt X(f ).Y (f )df

quan hÖ Rayleigh



=







=







12 Một số lưu ý về tích chập

Hàm h(x) là tích chập của hai hàm f(x) và g(x) được định là:

∞

−

∞

∞

−

−

=

− u ) du ( x u ) g ( x ) du x

( g ) u ( hay viết tắt là: h(x) = f(x) ⊗ g(x) Các thuộc tính của tích chập:

√ hoán vị: f ⊗ = ⊗ g g h

√ liên hết: f ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ ( g h ) ( f g ) h

√ phân phối: f ⊗ + ( g h ) ( = ⊗ + ⊗ f g ) ( f h )

2.4 MỘT SỐ CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER THƯỜNG GẬP

Hàm xung khi Dirac, và dịch thời và dịch tần đối với hàm xung kim Dirac

(t)

0

(t t )

e− π

0

j2 ft

Hàm sin

1

2

θ − θ

 δ − + δ + 

1

2 j

 δ − − δ + 

Hàm chữ nhật, và hàm chữ nhật độ rộng T

( ) t

( )

T

t

P , hay P (t) T

 

 

 

( )

Tsinc f

Hàm tam giác đơn vị và hàm tam giác đơn vị đáy 2T

(t)

sin c f

( ) 2

t T

 

Λ  

  hay ΛT(t) T sin c2( ) fT

Hàm mũ

at 1

e u (t), a− − > 0 1

a + π j2 f

at 1

t.e u (t), a− − > 0

1

a + π j2 f

a t

e− , a > 0

2

2a

a + π 2 f 2

t

Sinc

 

∏  

 

2

 

Λ  

 

Hàm dấu Sign

( )

j f π

1 t

Hàm bậc thang

f

π

Đạ o hàm của hàm Dirac

( )

' t

( ) n

t

j2 f π

Lấy mẫu

n

t nT

lÊy mÉu

∞

=−∞

δ −

∑

n

n

f

lÊy mÉu

∞

=−∞

∞

=−∞

δ −  

∑

∑

2.5 MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG 2.5.1 Các tích phân không xác định

x dx = x + / n 1 +

∫

e

1

dx log x

∫

exp ax dx exp ax

a

=

∫

cos ax dx sin ax

a

=

∫

a

= −

∫

1

x exp ax dx ax 1 exp ax

a

∫

x exp ax dx exp ax

2a

=

∫

2.5.2 Các tích phân xác định

( ) 0

sin c x dx 1/ 2

∞

=

∫ ( ) 2

0

sin c x dx 1/ 2

∞

=

∫ ( ) 0

exp ax dx 1/ a

∞

∫

0

x exp x dx 1/ 2

∞

∫

0

1

2

∞

− = π >

∫

0

1

4a a

∞ − = π >

∫