Điện tử viễn thông appendix DRT NVD 5 khotailieu

Phụ lục Phụ lục 5A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHO MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH VD PL5.1: Xét họ mã gọi mã Hamming có tham số sau Độ dài từ mã: n = 2m − Số bit tin: k = (2 m − 1) − m m=n−k Số bit chẵn lẻ: Trong m ≥ Cụ thể xét mã Hamming (7,4) có n=7; k=4 tương ứng có m= Ma trận tạo mã mã phải có cấu trúc phù hợp với (5.14) có dạng  1  G =   1  1 P 0:1 :0 :0 :0 0 0 Ik  0  0 0  1  Ma trận kiểm tra chẵn lẻ có dạng   1 0 : 1 1   H = 0 : 1 0 0 : 1 1   PT  In−k  Các từ mã tạo theo (5.15) C=mG cho bảng 5A1: Quan hệ dmin H Do c từ mã thuộc mã nên c.H T = mGH T = ⇒ Xét mã Hamming (7,4), tồn 16 từ mã thuộc mã làm cho s = c.H T = có Bẩy từ mã có lượng = Bẩy từ mã có trọng lượng = Một từ mã có trọng lượng = Một từ mã có trọng lượng = ⇒ dmin =3 ⇒ Mối quan hệ dmin H là: dmin số cột nhỏ ma trận kiểm tra chẵn lẻ H mà cộng chúng với Chẳng hạn cho từ mã c = 0110100 Sử dụng công thức c.H T = mGH T =   1 0 : 1    C.H T = [0 1 0 ]1×7 0 : 1 0 0 : 1    PT  In−k  -348- T Phụ lục sau loại bỏ cột H tương ứng vị trí có bit từ mã nhận tổng cột thứ thứ thứ H sau: 0 0 0 0 1  + 0 + 1 = 0         0 1 1 0 ⇒ Vậy Syndrome = [0 0] Nếu thực cho 14 từ mã khác khơng lại thuộc mã Syndrome Bảng 5A1 Các từ mã mã Hamming (7,4) Bản tin Từ mã Trọng Bản tin Từ mã Trọng lượng lượng 0000 0000000 1000 1101000 0001 1010001 1001 0111001 0010 1110010 1010 0011010 0011 0100011 1011 1001011 0100 0110100 1100 1011100 0101 1100101 1101 0001101 0110 1000110 1110 0101110 0111 0010111 1111 1111111 Cho thấy, trọng lượng nhỏ từ mã khác không ⇒ khoảng cách Hamming cực tiểu dmin =3 Tất nhiên mã Hamming có thuộc tính khoảng cách Hamming cực tiểu không phụ thuộc vào m Do dmin =3 nên theo (5.1) (5.2) mã sửa lỗi phát hai lỗi  C1×n = m 1× k G k× n =  b :  (n − k) bit kiÓm tra ⇒ C i = m i G , Chng hn: c1ì7 k bit bả n tin  m i = 0,1, ,2 k −  1  = [1 0 1]1×4   1   : 0 0  1 : 0   = 011 1001  1:0 m   b  : 0 1  4×7 P Ik Quan hệ Syndrome mẫu lỗi e Xét mã Hamming (7,4) Vì mã có dmin =3 nên sửa lỗi ⇒ nên với mẫu lỗi đơn, áp dụng thuộc tính (Syndrome tổng cột ma trận H tương ứng với nơi xẩy lỗi) ⇒ cho phép xác định quan hệ Syndrome mẫu lỗi Chẳng hạn Nếu truyền c = [1 1 1 1] qua kênh, phía thu nhận y = [1 1 1 1], xảy lỗi vị trí thứ c ⇒ theo thuộc tính Syndrome cột thứ ma trận H nghĩa -349- Phụ lục  1 0 : T S = y.H = [1 1 1 1] × 0 :  0 :  1 0 0 1  1 1 = 0 + 1 + 0 + 1  + 1 + 0 0 0 1 0 1 1 = 1 Note  1 0  1  T 0 1   1 Cét thø cđa H biết Syndrome biết vector mẫu lỗi e = [0 0 0] ⇒ sửa lỗi vị trí ycor = y + e = [1 1 1 1] + [0 0 0] = [1 1 1 1] Bảng 5A2 Bảng giải mã cho mã Hamming (7.4) Syndrome Mẫu lỗi 000 0000000 100 1000000 010 0100000 001 0010000 110 0001000 011 0000100 111 0000010 101 0000001 Nếu phát c = [0111001] qua kênh, phía thu nhận y = [1111001] ⇒ s = [1 0] hàng thứ HT (cột thứ H) ⇒ xác định e = [1 0 0 0] ⇒ sửa ycor = [0111001] Tương tự xét tất trường hợp lại ⇒ Quan hệ mã Hamming (7,4) cho bảng 5A2 ⇒ Từ mã sai từ mã khơng thuộc mã đó, S = y.HT ≠ c.HT =0 VD PL 5.2: Các mã Hamming Để minh hoạ việc trình bầy mã vòng dạng đa thức, ta khảo sát trình tạo mã vòng (7,4) cho mã Hamming Với độ dài từ mã n=7, thực khai triển đa thức + x vào ba đa thức thừa số tối giản sau ( )( x + = (1 + x ) + x + x + x + x ) Đa thức tối giản đa thức phân chia thành thừa số cách sử dụng đa thức có hệ số mã số hai Một đa thức tối giản bậc m gọi đa thức nguyên thuỷ tồn quan hệ n = m − , n bậc đa thức + x n chia hết cho đa thức ngun thuỷ Vậy ví dụ xét có hai đa thức nguyên thuỷ (1 + x + x ) vµ (1 + x + x ) Các đa thức g(x) h(x) Nếu chọn đa thức tạo mã g(x) với bậc số bit chẵn lẻ (n-k) -350- Phụ lục g(x) = + x + x đa thức kiểm tra chẵn lẻ h(x) ( h ( x ) = (1 + x ) + x + x ) =1 + x + x2 + x4 có bậc số bit tin (k bit) Quá trình tạo từ mã c(x) theo đa thức tạo mã g(x) Xét thủ tục tạo mã cho khối tin m = 1001 cách sử dụng đa thức tạo mã nói Viết khối tin sau: m( x ) = + x Nhân đa thức tin với x n − k = x nhận ( ) x m( x ) = x + x = x + x Chia đa thức cho đa thức tạo mã g(x) để nhận phần dư b(x), kết x n −k m ( x ) b(x) x3 + x6 x + x2 =x+x + + x + x3 + x + x3 a(x) g(x) g(x) Đa thức tạo mã c(x) xác định theo (5.39): c( x ) = b( x ) + x n −k m( x ) = x + x2 + x3 + x6 b(x ) x n − k m ( x ) 0.x +1.x1 +1.x +1.x + 0.x + 0.x +1.x Kết ta từ mã c = 1 0 từ mã có bảng 5A.1 ( n − k )=3 bit kiểm tra chẵn lẻ k = bit khối b¶ n tin cho mã Hamming (7,4) ⇒ Tổng quát hố: Mọi mã vòng tạo đa thức nguyên thuỷ mã Hamming có khoảng cách hamming cực tiểu dmin=3 Quan hệ g(x) với G h(x) với H Sẽ thấy rằng, đa thức tạo mã g(x) đa thức kiểm tra chẵn lẻ h(x) xác định đơn trị ma trận tạo mã G ma trận kiểm tra chẵn lẻ H từ ví dụ Xây dựng ma trận tạo mã G từ đa thức tạo mã g(x) Để xây dựng ma trận tạo mã G kích thước 4×7 ta bắt đầu việc khảo sát bốn đa thức gồm đa thức tạo mã g(x) ba đa thức dịch vòng đa thức tạo mã g(x) -351- Phụ lục g(x ) =1+ x + x3 x.g ( x ) = x + x + x x g(x ) = x + x + x x g(x ) = x + x + x Từ thuộc tính dịch vòng thấy rõ đa thức g(x); xg(x);x2g(x) x3g(x) đa thức từ mã mã Hanning (7,4) Nếu sử dụng hệ số đa thức nói cho hàng ma trận 4×7 nhận 1 0 G= 0  0 1 0 0 1 0 1 0  0 1 1 Để nhận dạng hệ thống, cộng hàng thứ vào hàng thứ cộng tổng hai hàng đầu với hàng thứ 4, ta 1 0 G= 1  1 1 0 0 1 0 1 0 0  0 1 ma trận giống hệt ma trận VDPL 5.1 Xây dựng ma trận kiểm tra chẵn lẻ H từ đa thức kiểm tra h(x) Trước hết, xét đa thức đảo h(x) định nghĩa x k h ( x −1 ) , đa thức đa thức thừa số + x n Trong trường hợp này, ma trận H có kích thước 3×7, cần phải thiết lập ba đa thức gồm đa thức x h ( x −1 ) hai đa thức dịch vòng sau x h ( x −1 ) =1+ x2 + x3 + x4 x h ( x −1 ) = x + x3 + x4 + x5 x h ( x −1 ) = x2 + x4 + x5 + x6 Nếu sử dụng hệ số đa thức cho hàng ma trận 3×7 nhận ma trận H sau: 1 1 0 H = 0 1 1 0 0 1 1 Biến đổi ma trận H vào dạng hệ thống Muốn vậy, cộng dòng thứ vào dòng thứ kết vào dòng thứ nhận H dạng hệ thống giống H VDPL5.1 sau: 1 0 : 1 1 H = 0 : 1 0 0 : 1 1 -352- Phụ lục VDPL 5.3: Bộ lập mã vòng Hamming (7,4) Sơ đồ lập mã vòng Hamming (7,4) có đa thức tạo mã g ( x ) = + x + x cho hình A1: CM1 C¸c bit kiĨm tra chẵn lẻ F-F F-F F-F CM2 Từ mã Các bit b¶n tin Hình 5A1 Bộ lập mã vòng (7,4) với g ( x ) = + x + x Để mô tả hoạt động lập mã xét chuỗi tin đầu vào (1001) Thay đổi nội dung ghi dịch sau lần dịch vào bit thông tin cho bảng 5A3 Sau bốn lần dịch nội dung ghi dịch bit chẵn lẻ tương ứng (0111) Vậy gắn bit vào bit tin nhận từ mã (0111001) kết giống hệt VDPL 5.1 Bảng 5A3 Nội dung nghi dịch cho VDPL5.3 tin vào (1001) Bit vào Nội dung ghi Dịch 1 110 011 111 011 VDPL 5.4: Bộ tính Syndrome cho mã vòng (7,4) Đối với mã Hamming vòng tạo tạo mã g(x)=1+x+x3 sơ đồ tính Syndrome cho hình A2 Giả sử từ mã phát (0111001) từ mã thu (0110001); nghĩa bít bị sai Nội dung ghi dịch tính Syndrome trường hợp cho bảng 5A4 CM1 C¸c bit thu F-F F-F F-F Syndrome Hình 5A2 Bộ tính Syndrome cho mã (7,4) tạo đa thức g(x)=1+x+x3 -353- Phụ lục Bảng 5A4 Nội dung tính Syndrome hình PL5A2, từ mã thu (0110001) Dịch Bit vào Nội dung ghi 000 (trạng thái đầu) 1 100 010 001 110 111 001 110 Sau bẩy lần dịch Syndrome xác định 110 Vì Syndrome khác khơng nên từ mã thu bị mắc lỗi Từ bảng 5A4 nhận mẫu lỗi tương ứng 0001000 nghĩa bit bị lỗi PHÁT HIỆN VÀ SỬA LỖI CỦA MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH Mã kiểm tra chẵn lẻ Nếu tất lỗi bit đồng khả độc lập thống kê, xác suất xảy j lỗi khối n là: p ( j, n ) Xác suất xảy j bit lỗi khối n bit m· = n   j p j (1 − p ) x¸c suÊt mét x¸c suÊt mét bit bit bị lỗi không bị lỗi Số trờng hợp j bits bị lỗi n bit mã n n j (5A.1) n! số trường hợp j bit mã đó: p xác suất ký hiệu kênh bị lỗi;   =  j  j!(n − j)! số n bit mã bị lỗi Do vậy, mã đơn phát lỗi kiểm tra chẵn lẻ, xác suất lỗi phát Pnd khối n bits tính sau: Pnodetect n/2  n  2j n −2 j ∑  p (1 − p) , j  j=1   = (n −1) /  n  2j  n −2 j  p (1 − p) ,  ∑ j  j=1   tr−êng hỵp n lẻ (5A.2) trờng hợp n chẵn Mó mó Mó khối gọi mã tích, hiểu cấu trúc mã song song Mã khối tạo cách: Tạo khối bit tin dạng hình chữ nhật gồm có M hàng N cột, sau đặt bit kiểm tra chẵn lẻ vào cột hàng theo chiều đứng ngang, kết nhận mảng (M+1)×(N+1), tỉ lệ mã k MN Khi hiệu = n (M + 1)(N + 1) tốt so với mã đơn kiểm tra chẵn lẻ Trường hợp có khả sửa lỗi (định vị xác lỗi khối liệu) Đối với mã khối sửa lỗi, ta tính xác suất sửa lỗi Từ xác suất xảy j lỗi khối n ký hiệu theo phương trình (5A.1), ta tính xác suất lỗi tin (hay xác suất lỗi khối, lỗi từ mã) mã sửa ≤ t lỗi là: -354- Phụ lục PM = n j n− j ∑   p (1 − p ) j= t +1  j  n (5A.3) P xác suất ký hiệu kênh bị lỗi Phát lỗi sửa lỗi Mã khối tuyến tính (n,k) sửa t lỗi có khả sửa 2n −k mẫu lỗi Nếu dùng mã khối sửa t lỗi để sửa lỗi kênh nhị phân đối xứng BSC có xác suất truyền p, xác suất lỗi tin PM mà giải mã giải mã sai, khối n bit bị lỗi tính theo (5A.3) làm giới hạn trên: n n− j  PM ≤ ∑   p j (1 − p ) j j= t +1   n (5A.4) Dấu “=” xảy giải mã sửa toàn tổ hợp lỗi ≤ t lỗi (nằm phạm vi, khả sửa lỗi mã) Xác suất lỗi bit giải mã PB, phụ thuộc vào mã giải mã dùng Tuy nhiên, ta thường lấy gần PB ≈ n n j n− j j   p (1 − p ) ∑ j n j= t +1   (5A.5) -355- Phụ lục Phụ lục 5B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHO MÃ XOẮN VD PL5.5: Trình bầy hoạt động lập mã cho hình 5B1 (là hình 5.11a) phương pháp ma trận tạo mã a) ci,1 D m i(1) ci,2 Vµo m (i ) D ci,3 M = 1, k = 2, n =3, K = Hình 5B1 Bộ lập mã xoắn Bước 1: Rút ma trận tạo mã từ sơ đồ lập mã Phương trình vào/ra sơ đồ lập mã c i ,1 = m i(1) + m (i 2) + m i(1−)1 + m i(−21) c i , = m i(1−)1 + m (i ) (5B.1) c i ,3 = m (i1) + m i( 2) + m i(−21) đó: mi(−q )p bit tin vào nhớ p từ đầu vào q=1, thời điểm (i-p), p số thứ tự nhớ (p =1, 2), c i, j bit đầu cộng modulo-2 thứ j (j =1, 2, 3) thời điểm i, dấu cộng biểu thị cộng Modul-2 Phương trình vào theo tốn tử trễ x Nếu coi x toán tử trễ phương trình (5.48) viết dạng c i ,1 = m i(1) (1 + x ) + m (i 2) (1 + x ) m i(1) + m i(1−)1 m i( ) + m (i −21) c i , = m i(1) x + m i( 2) m (i 1−)1 c i ,3 = m i(1) + (5B.2) m (i ) (1 + x ) m i( ) + m i( −21) = m i( ) + m i( ) x = m i( ) (1+ x ) Kích thước giá trị cụ thể cho phần tử ma trận tạo mã G Kích thước phương trình vào/ra theo phần tử G -356- Phụ lục Từ phương trình tổng quát tham số đặc trưng cho sơ đồ (k=2, n=3,M=1,K=2), nhận kích thước phần tử ma trận tạo mã G tương ứng phương trình vào viết theo phần tử ma trận G sau ( c i = m (i1) , m i( 2) ) 1×  g (p1,)1 ×  ( 2) g p ,1 = (c i ,1 , c i , , c i ,3 )1×3 g (p1,)3   g (p2,3)  2×3 g (p1,)2 g (p2, 2) (5B.3) c i,1 = m i(1) g (p1,)1 + m i( 2) g (p2,1) c i, = m i(1) g (p1,)2 + m i( 2) g (p2, 2) (5B.4) c i,3 = m i(1) g (p1,)3 + m i( 2) g (p2,3) Giá trị cụ thể cho phần tử ma trận tạo mã G: Bằng cách so sánh phương trình vào sơ đồ theo phần tử ma trận tạo mã G với phương trình vào theo toán tử trễ x rút giá trị cụ thể cho phần tử ma trận tạo mã cần tìm So sánh biểu thức (5B.2) với (5B.3) & (5B.4) ta c i,1 = m (i1) (1 + x ) + m i( 2) (1 + x ) m i(1) + m i(1−)1 ⇔ c i,1 = m i(1) g (p1,)1 + m i( 2) g (p2,1) m i( ) + m (i −21) c i, = m i(1) x + m (i ) m i(1−)1 c i,3 = m (i1) + ⇔ c i, = m i(1) g (p1,)2 + m i( 2) g (p2, 2) m i( 2) (1 + x ) (5B.5) ⇔ c i ,3 = m i(1) g (p1,)3 + m i( 2) g (p2,3) m i( ) + m i( −21) = m i( ) + m i( ) x = m i( ) (1+ x )  g (p1,)1 G =  ( 2) g p,1 g (p1,)2 g (p2, 2) g (p1,)3   g (p2,3)  2×3  1 + x x =  1 + x 1 + x  2×3 (5B.6) Bước 2: Ma trận kiểm tra chẵn lẻ H Do mối quan hệ ma trận kiểm tra chẵn lẻ H ma trận tạo mã G thông qua ma trận P sau Biến đổi G vào dạng hệ thống nhận 1 : G= 0 : (1 + x )−1 + x (1 + x )−2  = [I : P ]  2× 2×1 2×3 −1 x (1 + x )  2×3 (5B.7) Ma trận kiểm tra chẵn lẻ có dạng:     −1 T −2 −1    H = P2×1 : I1 = (1 + x ) + x (1 + x ) x (1 + x ) :   (n − k =1)× k (n − k )=1 I1  P2T×1 1×3   1×3 (5B.8) Loại bỏ mũ âm cách nhân ma trận với (1+x)2 ta được: H = 1 + x + x , x(1 + x),  (1 + x )   Bước 3: Dạng hồi tiếp sơ đồ lập mã -357- (5B.9) Phụ lục Bằng cách dùng phương trình c i H T = , tìm phương trình thiết kế sơ đồ hồi tiếp lập mã Từ phương trình c i H T = , nhận phương trình: c i ,1 + c i −1,1 + c i − ,1 + c i −1, + c i − , + c i ,3 + c i − ,3 = c i − p , j bit đầu j thời điểm i-p Từ phương trình ta thiết kế dạng hồi tiếp tạo mã hình 5B2 m i( ) Vµo ci,3 m (i1) ci,2 Ra D ci,1 D Hình 5B2 Dạng hồi tiếp lập mã xoắn Cả sơ đồ truyền thẳng hồi tiếp sử dụng để trình bày mã xoắn VDPL 5.6: Tìm chuỗi bit đầu tạo mã hình 5B3 Vµo mi ci,1 D0 D1 D2 ci,2 M = 3, k = 1, n = 2, K = Hình 5B3 Bộ lập mã xoắn chuỗi bit đầu vào có dạng: m = (m0, m1, m2, m3, m4) = (10011) m0 bit vào lập mã Trong thí dụ L = 5, M=3, K= 3, L+M-1 = 7, độn loại hai (K-1) bit "0" đoạn tin không ảnh hưởng lên nhau, r = 1/2 Vì vậy, sau độn bit "0", tin có độ dài bit xác định sau: m=(m0, m1, m2, m3, m4,m5,m6) = (1001100) Chuỗi tạo mã -358- Phụ lục Chuỗi tạo mã Từ phương trình (5.51), ta có: ( g (jq ) = g (0q, j) , g 1( ,qj) , , g (pq, j) , , g (Mq ,) j ) g (pq, j) đáp ứng đầu nhớ thứ p lên đầu vào q cộng j xác định 0, nÕu dÇu bé nhí p kh«ng nèi dÕn bé céng Modul2 thø j 1, nÕu dÇu bé nhí p d−ỵc nèi dÕn bé céng Modul2 thø j g (pq, j) =  Do k=1 ⇒ có đầu vào q=1 Do đầu vào lập mã không nối đến cộng Modul2 ⇒ p=1,2, ,M Vì vậy, áp dụng phương trình (5.51), trường hợp ta ( g (jq ) = g (0q, j) , g1( ,qj) , , g (pq, )j , , g (Mq ,) j ( ⇒ g j = g1, j , g 2, j , g 3, j , ( ) ) q =1, M = 3, n = n=2 ) g1 = g1,1 , g 2,1 , g 3,1 , = (1,0,1) Nhánh trê n g1 = g1, , g 2, , g 3, , = (1,1,1)  Nh¸nh d−íi ( ) Các chuỗi bit nhánh cộng modul thứ j chuỗi bit Chuỗi bit nhánh cộng Molul2 thứ j xác định theo (5.55)   c j =  c0, j , c1, j , , ci , j , , c L + M −1, j  =7   = (c1, j , , ci , j , , c 7, j ) Do dầu vào không dợc nối dến céng Modul2 nª n i =1,2, ,7 ci,j bit thứ i nhánh thứ j xác định M ci , j = ∑ g p , j , m i − p , i = 1,2, ,7; p =1 j = 1,2 p = 1,2, , M m i − p = i - p < ⇔ i < p + Đối với nhánh (j=1) c1 = (c1,1 , c 2,1 , c3,1 , c 4,1 , c5,1 , c 6,1 , c7 ,1 ) + Đối với nhánh (j=2) c1 = (c1, , c 2, , c3, , c 4, , c5, , c 6, , c7 , ) Chuỗi bit đầu lập mã c ghép xen chuỗi bit n nhánh cộng modul2, trường hợp   c =  c1,1c1, , c 2,1 , c 2, , c3,1 , c3, , , c7 ,1 , c 7,      Tính giá trị ci , j -359- Phụ lục Đối với nhánh (j=1), ta Triển khai (5.56) cho nhánh trường hợp (lưu ý p đầu vào nhớ thứ không đựơc nối đến nhánh cộng) nhận được: c1,1 = ∑ g p,1 m1− p = g 1,1 m1−1 + g 2,1 m 1− + g 3,1 m 1−3 = 1.1 + 0.0 + 1.0 = p =1 =0 =0 c 2,1 = ∑ g p ,1 m 2− p = g 1,1 m 2−1 + g 2,1 m 2− + g 3,1 m 2−3 = 1.0 + 0.1 + 1.0 = p =1 =0 c 3,1 = ∑ g p,1 m 3− p = g 1,1m 3−1 + g 2,1 m 3− + g 3,1 m 3−3 = 1.0 + 0.0 + 1.1 = p =1 c 4,1 = ∑ g p ,1 m 4− p = g 1,1m 4−1 + g 2,1 m 4− + g 3,1 m 4−3 = 1.1 + 0.0 + 1.0 = p =1 c 5,1 = ∑ g p,1 m 5− p = g 1,1 m 5−1 + g 2,1 m 5− + g 3,1 m 5−3 = × + × + × = p =1 c 6,1 = ∑ g p ,1 m 6− p = g 1,1 m 6−1 + g 2,1 m 6− + g 3,1 m 6−3 = × + × + × = p =1 bit chÌn c ,1 = ∑ g p ,1 m 7− p = g 1,1 m −1 + g 2,1 m − + g 3,1 m −3 = × + × + × = p =1 bit chÌn bit chÌn Vậy chuỗi bit đầu nhánh (j=1) là: c1 = (1011111) Tương tự nhánh j=2, ta c1, = ∑ g p ,1 m1− p = g 1, m1−1 + g 2, m1− + g 3, m1−3 = × + × + × = p =1 = i-p