Tổng hợp các bài số học hay

Chứng minh rằng luôn tồn tại ? không nguyên sao cho mọi số nguyên ? ta có ?|[??]... −1? Chứng minh rằng nếu ?? là số nguyên tố thì ? phải có dạng lũy thừa cơ số 3.. Tìm tất cả số nguyên

Tổng hợp các bài số học hay

Đoàn Thành Đạt

1 Tìm tất cả số thực 𝑥 > 1, sao cho √[𝑥]𝑛 𝑛

là số nguyên với ∀𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ 2

(Romani 2004)

2 Cho 𝑝 là số nguyên tố và 𝛼 là số thực dương sao cho 𝑝𝛼2 < 1

4 Chứng minh rằng

[𝑛√𝑝 −𝛼

𝑛] = [𝑛√𝑝 +𝛼

𝑛] Với tất cả số nguyên 𝑛 ≥ [𝛼 √1 − 2𝛼√𝑝⁄ ] + 1

3 Cho số nguyên 𝑎, 𝑏 là số nguyên không âm sao cho 2𝑛 · 𝑎 + 𝑏 là số chính phương với mọi 𝑛 Chứng minh rằng 𝑎 = 0

(2001 Polish MO)

4 Cho 𝑝, 𝑞 là số nguyên lớn hơn 1 Thỏa mãn 𝑝|𝑞3− 1, 𝑞|𝑝 − 1 Chứng minh rằng 𝑝 = 𝑞3 2⁄ + 1, 𝑝 = 𝑞2+ 𝑞 + 1

5 Tìm tất cả các cặp (𝑥, 𝑦) không âm sao cho :

𝑚2+ 2 3𝑛 = 𝑚(2𝑛+1− 1)

6 Chứng minh rằng vô số số nguyên dương 𝑛 thỏa mãn 𝑛|1𝑛+ 2𝑛 + 3𝑛+ 6𝑛

7 Tìm tất cả số nguyên dương 𝑛 thỏa mãn 7𝑛|9𝑛− 1

8 Cho 𝑝 là số nguyên tố dạng 4𝑘 + 3 Cho phương trình sau :

(𝑝 + 2)𝑥2− (𝑝 + 1)𝑦2+ 𝑝𝑥 + (𝑝 + 2)𝑦 = 0 Chứng minh rằng phương trình vô số nghiệm và nếu (x0, y0) là nghiệm của phương trình thì 𝑝|𝑥0

9 Cho số 𝑛 = 𝑑1𝑑2‾… 𝑑𝑟 biểu diễn dạng cơ số 10 với 𝑛 > 9 Chứng minh rằng

𝑛 − ∏ 𝑑𝑖

𝑟

𝑖=1

≥ 10𝑟−1

10 Cho số nguyên tố 𝑝 và 𝑚, 𝑛 là 2 số thỏa mãn 𝑝𝑚||𝑛 Chứng minh rằng :

𝑝𝑚 ≡ (−1)𝑚∏ ([𝑛

𝑝𝑘] − 𝑝 [ 𝑛

𝑝𝑘+1]) !

[log𝑛log𝑝]

𝑘=0

(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

11 Cho số nguyên dương 𝑘 bất kỳ Chứng minh rằng luôn tồn tại 𝑟 không nguyên sao cho mọi số nguyên 𝑛 ta có 𝑘|[𝑟𝑛]

12 Chứng minh rằng 𝑥𝑝−1+ 𝑦𝑝−1 = 𝑧𝑝 luôn có nghiệm nguyên dương với

∀𝑝 ≥ 3 là số nguyên tố

13 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑎𝑖 < 𝑝 − 1, ∀𝑖 = 1, 𝑟‾ Chứng minh rằng 𝑛𝑝 =

∑𝑟 𝑥𝑖𝑎𝑖

𝑖=1 luôn có nghiệm nguyên dương 𝑥𝑖1∀𝑖 = 1, 𝑟‾

14 Cho phương trình Diophantine

∑ 1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ ∏1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 1

Luôn có cặp nghiêm 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛‾ với ∀𝑛 ≥ 2

15 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và a1, a2, … , 𝑎𝑝 lập thành cấp số cộng công sai 𝑑, (𝑑, 𝑝) = 1 Chứng minh rằng ∏𝑝𝑖=1(𝑎𝑖+ ∏𝑝𝑖=1𝑎𝑖)⋮ 𝑝2

16 Cho hai dãy số nguyên {𝑥𝑛},{𝐴𝑛} thỏa mãn :

{𝐴𝑛 = ∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑛+1 > 𝐴𝑛

, ∀𝑛 ≥ 1

Chứng minh rằng có ít nhất một số nguyên tố trong khoảng [[√𝐴𝑛], [√𝐴𝑛+1]] với ∀𝑛 ≥ 2018

17 Cho 𝑎𝑘∈ 𝑅+, sao cho ∑𝑛𝑖=1𝑎𝑘 = 1 Và 𝑆 = ∑𝑛 √2𝑘 + 1 + 𝑎𝑘2

𝑘=1 Tìm tất cả

số 𝑛 sao cho 𝑆min∈ 𝑍

18 Chứng minh rằng vô số 𝑛 sao cho

2𝑛− 1

2[√𝑛+1+1]− 1,

2𝑛+ 1

2[√𝑛+1+1]+ 1 Đều là số nguyên với vô số nguyên dương 𝑛

19 Tìm tất cả bộ số nguyên (𝑎, 𝑏) sao (𝑎 + 1)(𝑎2+ 1) = 𝑏2

20 Tìm tất cả các bộ số nguyên (𝑎, 𝑏, 𝑛) sao cho :

∏(𝑎𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑏𝑛

21 Cho 𝑝 > 1, 𝑑 > 0

Chứng minh rằng (𝑝, 𝑝 + 𝑑) là 2 số nguyên tố khi và chỉ khi

(𝑝 − 1)! (1

𝑝+

(−1)𝑑 𝑑!

𝑝 + 𝑑 ) +

1

𝑑+

1

𝑝 + 𝑑 ∈ 𝑍

22 Cho 𝑝 là số nguyên tố thỏa mãn tồn tại 𝑚 sao cho 𝑝|𝑚4− 𝑚2+ 1 Chứng minh rằng 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 12)

23 Chứng minh rằng (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑎′, 𝑏′, 𝑐′) là 2 bộ số Pytago với 𝑎 > 𝑏 > 𝑐, 𝑎′ > 𝑏′ > 𝑐′ thì (𝑎𝑎′± (𝑏𝑏′− 𝑐c′)) hoặc (𝑎𝑎′ ± (𝑐𝑏′ − 𝑐′ 𝑏)) là số chính phương

24 Chứng minh rằng 𝑛|2𝑛−1− 1 khi 𝑛 = 𝑝𝑞 với 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố và 𝑝 = 2𝑞 + 1, 4|𝑞 − 1

25 Cho 0 < 𝛼 < 1 Chứng minh rằng tồn tại số thực dương 𝑥, 0 < 𝑥 < 1 sao cho 𝛼𝑛 < {𝑛𝑥}

26 Tìm tất cả các bộ (𝑥, 𝑦, 𝑝) với 𝑝 là số nguyên tố thỏa mãn 𝑝𝑥− 𝑦𝑝 = 1

27 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và số tự nhiên lẻ 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑝|𝑎 + 𝑏, 𝑝 − 1|𝑎 −

𝑏 Chứng minh rằng 2𝑝|𝑎𝑏+ 𝑏𝑎, 2𝑝|𝑎𝑎+ 𝑏𝑏

28 Cho dãy số 𝑈1 = 5, 𝑈𝑛+1= 𝑈𝑛3− 2𝑈𝑛+ 2 Tìm số nguyên tố 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4)

và 𝑝|𝑈2011+ 1

29 Tìm tất cả số nguyên dương 𝑛 sao cho luôn tồn tại 𝑚 sao cho 2𝑛− 1|𝑚2+

9

30 Cho hai dãy số (𝑥𝑛),(𝑦𝑛) thỏa mãn 𝑥1 = 𝑦1 = 1 và

{𝑥𝑛+1 = −3𝑥𝑛

2− 2𝑥𝑛 𝑦𝑛 + 8𝑦𝑛2

𝑦𝑛+1 = 2𝑥𝑛2+ 3𝑥𝑛 𝑦𝑛− 2𝑦𝑛2 Tìm tất cả số nguyên tố 𝑝 sao cho 𝑝 ∤ 𝑥𝑝+ 𝑦𝑝

31 Cho dãy số thực (𝑎𝑛) thỏa mãn :

{

𝑎1 ∈ (1,2)

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑛

𝑎𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁

Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp (𝑎𝑖, 𝑎𝑗) với 𝑖 ≠ 𝑗 sao cho 𝑎𝑖+

𝑎𝑗 ∈ 𝑍

32 Cho dãy số nguyên (𝑎𝑛) xác định bởi :

{ 𝑎1 = 1

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ [√𝑎𝑛]

Chứng minh rằng 𝑎𝑛 là số chính phương khi và chỉ khi 𝑛 = 2𝑘+ 𝑘 − 2 với 𝑘 ∈

𝑁

33 Cho dãy số (𝐾𝑛) xác định bởi :

{ 𝐾1 = 2, 𝐾2 = 8

𝐾𝑛+2 = 3𝐾𝑛+1− 𝐾𝑛+ 5 (−1)𝑛 Chứng minh rằng nếu 𝐾𝑛 là số nguyên tố thì 𝑛 phải có dạng lũy thừa cơ số 3

34 Tìm tất cả số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝑛2+ 3𝑛 là số chính phương

35 Cho dãy số {𝑥𝑛} không có cặp số nào liên tiếp, 𝑥1 > 1 Chứng minh rằng trong khoảng (∑𝑚𝑖=1𝑥𝑖, ∑𝑚+2𝑖=1 𝑥𝑖) có ít nhất số chính phương

36 Cho dãy số {𝑎𝑛} nguyên dương thỏa mãn 𝑎𝑖+1− 𝑎𝑖 ≥ 8, ∀𝑖 ∈ 𝑁 Đặt 𝑆𝑛 =

∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖 Chứng minh rằng có ít nhất 2 số chính phương nằm trong nữa khoảng (𝑆𝑛, 𝑆𝑛+1]

(T10/488-THTT)

37 Tìm tất cả số nguyên tố 𝑝 sao cho 𝑝2+ 11 có đúng 6 ước số

(Rumani 1995)

38 Gọi 𝑝𝑖 là số nguyên tố thứ 𝑖 Chứng minh rằng

{

∏ 𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

> 𝑝𝑛+12 ( Định lý Bonse)

∏ 𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

> 𝑝𝑛+1𝑝𝑛+2

39 Cho số nguyên dương 𝑛 và 𝜀𝑖 ∈ {−1,1}, ∀𝑖 = 1, 𝑛‾ sao cho 𝜀𝑖𝜀2+ 𝜀2𝜀3+ ⋯ +

𝜀𝑛𝜀1 = 0 Chứng minh rằng 4|𝑛

(Kvant)

40 Tìm tất cả bộ nghiệm(𝑥 + 2)𝑛− 𝑥𝑛 = 1 + 7𝑛

41 Tìm tất cả số 𝑛 sao cho 𝜑(𝑛)|𝑛2+ 3

42 Cho 𝜆 là một nghiệm dương của phương trình 𝑡2− 1998𝑡 − 1 = 0 Cho dãy số như sau :

{𝑥 𝑥𝑢=1

𝑛+1 = [λxn], 𝑛 ≥ 0 Tìm phần dư của 𝑥1998 khi chia hết cho 1998

(Inberoamerican MO 1998)

43 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑞 là số tự nhiên không chia hết cho 𝑝 Nếu có một hàm 𝑓: 𝑍+∗ → R thỏa mãn hệ thức sau :

𝑝 ∉ 𝑍, ∀𝑘 = 1, 𝑝 − 1

‾

𝑓(𝑘) + 𝑓(𝑝 − 𝑘)

𝑝 ∈ 𝑍, ∀𝑘 = 1, 𝑝 − 1

‾

Chứng minh rằng

∑ [𝑓(𝑘) ·𝑞

𝑝] =

𝑞

𝑝∑ 𝑓(𝑘) −

𝑝 − 1 2

𝑃−1

𝑘=1 𝑝−1

𝑘=1

44 Tìm tất cả số 𝑛 sao cho có số không âm 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑆(𝑎) = 𝑆(𝑏) =

𝑆(𝑎 + 𝑏) = 𝑛

(Romani 1999)

45 Cho 𝑦 > 𝑥 sao cho 𝑦 = 10^(2𝑏) 𝑥 + 𝑐 với 𝑏, 𝑐 là số nguyên dương thỏa mãn 𝑐 < 102𝑏 Thì 𝑑(𝑦) − 1 ≥ 2(𝑑(𝑥) − 1)

46 Cho 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎106 là các số tự nhiên từ 1 đến 9 Chứng minh rằng có nhiều nhất 40 số sao cho 𝑎1𝑎2‾… 𝑎𝑘(1 ≦ 𝑘 ≤ 106) là số chính phương

(Romani 2001)

47 Tìm tất cả số nguyên dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 thỏa mãn :

𝑎 + 2𝑏+ 3𝑐 = 3𝑑! + 1, Biết rằng tồn tại 𝑝, 𝑞 sao cho 𝑎 = (𝑝 + 1)(2𝑝 + 1) = (𝑞 + 1)(𝑞 − 1)2

(Trường THPT chuyên ĐH Vinh )

48 Tìm tất cả số nguyên tố 𝑝 sao cho 2𝑝2− 1 là lũy thừa của 7

49 Giải phương trình nghiệm nguyên với 𝑝 là số nguyên tố

𝑎2(𝑎2+ 1) = 5𝑛(5𝑛+1 − 𝑝3)

50 Mỗi số nguyên dương 𝑛 lớn hơn 1, số 1

𝑛 được biểu dang thập phân

0, 𝑎1𝑎2….Tìm tất cả số 𝑛 thỏa mãn 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2+ ⋯

51 Chứng minh rằng mỗi số 𝑚 luôn tồn tại vô số 𝑛 sao cho 𝑚|3 · 2𝑛+ 1

52 Tìm tất cả số 𝑛 sao cho tồn tại 𝑎, 𝑏 với không có ước chung nào và là ước của 𝑛 thỏa mãn 𝑎 + 𝑏 − 1|𝑛

53 Cho số 𝑎 không chính phương Chứng minh số :

∑{𝑎}𝑖

𝑛

𝑖=1

∉ 𝑄

54 Cho 𝑝 là số nguyên tố và 𝑎, 𝑏 là 2 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn :

√𝑝𝑎− 𝑝𝑏+ 1 ∈ 𝑍

 Nếu 𝑝 là số nguyên tố lẻ thì không thể xảy ra

 Nếu 𝑝 = 2 chứng minh rằng có vô số (𝑎, 𝑏) thỏa mãn bài toán

55 Chứng minh rằng có vô số cặp (𝑝, 𝑞) thõa mãn 𝑝|2𝑞−1− 1, 𝑞|2𝑝−1− 1

56 Cho 𝑚, 𝑛 là hai số tự nhiên thỏa mãn

𝐴 =(𝑚 + 3)𝑛+ 1

3𝑚 ∈ 𝑍 Chứng minh rằng 𝐴 lẻ

57 Cho 𝑝 là số nguyên tố và 𝑥 là số nguyên cố định Tồn tại dãy 𝑦 ∈

{1,2, … , 𝑝𝑛− 1} sao cho 𝑝|𝑦 − 𝑥 và 𝑝𝑛|𝑦𝑝− 𝑦

58 Tìm số nguyên 𝑛 sao cho tồn tại hai số nguyên tố (𝑝, 𝑞) thỏa mãn :

 𝑞 = 𝑝 + 2

 2𝑛+ 𝑝, 2𝑛+ 𝑞 là hai số nguyên tố

(Balkan TST 2016)

59 Cho dãy số {𝑎𝑛}𝑛∈𝑁 xác định bởi :

{ 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 3

𝑎𝜈 = max{𝑎𝑝+ 𝑎𝑝−𝑣: 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑣 − 1}, ∀𝑣 ≤ 3

 Chứng minh dãy số được xác định lại như sau :

{ 𝑎𝑣 = 3𝑘 𝑛ế𝑢 𝑣 = 2𝑘

𝑎𝑣 = 3𝑘 + 1 𝑛ế𝑢 𝑣 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 1

 Chứng minh rằng 𝑎𝑣+𝑛 = 𝑎𝑣+ 𝑎𝑛 khi và chỉ khi 𝑣, 𝑛 ít nhất có một số chẵn

60 Cho 𝛼, 𝛽 là hai nghiệm của phương trình 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 Cho dãy số

𝑎𝑛 = 𝛼

𝑛 − 𝛽𝑛

𝛼 − 𝛽 , 𝑛 = 1,2, … Tìm số nguyên 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑏|𝑎𝑛− 2𝑛 𝑎𝑛, ∀𝑛 = 1.2, …

61 Cho dãy số 𝑎𝑛 sao cho 𝑎𝑛 là ước lẻ lớn nhất của 𝑛 Và 𝑏𝑛 = 𝑎1+ 𝑎2+ ⋯ 𝑎𝑛 Chứng mỉnh rằng :

𝑏𝑛 ≥𝑛

2+ 2

3 , ∀𝑛 ∈ 𝑁

62 Tìm tất cả bộ ba số (𝑎, 𝑚, 𝑛) thỏa mãn 𝑎, 𝑚 ≥ 2 và 𝑎𝑚+ 1|𝑎𝑛+ 203

63 Cho 𝑙 > 𝑚 > 𝑛 là độ dài nguyên của ba cạnh tam giác thỏa mãn

{ 3

𝑙

104} = {3

𝑚

104} = {3

𝑛

104} Tìm chu vi nhỏ nhất của tam giác đó

64 Cho 𝑚, 𝑛, 𝑘 là các số nguyên thỏa mãn 𝑚𝑛 = 𝑘2+ 𝑘 + 3 Chứng minh rằng

có ít nhất một trong hai phương trình sau có một bô nghiệm (𝑥, 𝑦) và cả hai nghiệm đều là số lẻ :

𝑥2+ 11𝑦2 = 4𝑚, 𝑥2+ 11𝑦2 = 4𝑛

65 Cho 𝑚, 𝑛 là số nguyên dương 𝑚 > 𝑛 ≥ 2 Cho tập hợp 𝑆 = {1,2 … , 𝑚} và

𝑇 = {a1, a2, … an} là tâp hợp con của 𝑆 sao cho mọi số trong 𝑆 không chia hết quá hai số trong 𝑇 Chứng minh rằng :

∑ 1

𝑎𝑖

𝜂

𝑖=1

< 𝑚 + 𝑛 𝑚

66 Cho 𝑛 là số nguyên dương và 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘(𝑘 ≥ 2) là các số phân biệt nằm trong {1,2, … , 𝑛} sao cho 𝑛|𝑎𝑖(𝑎𝑖+1− 1), ∀𝑖 = 1, 𝑘 − 1‾ ‾ Chứng minh rằng

𝑎𝑘(𝑎1− 1) không chia hết cho 𝑛

67 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ Tìm tất cả số nguyên 𝑚, 𝑛 sao cho (𝑝 − 1)(𝑝𝑛+ 1) = 4𝑚(𝑚 + 1)

68 Tìm tất cả bộ bốn số (𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛) sao cho 𝑎𝑚𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏)2+ 1

69 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ Mỗi số 𝑖 = 1,2, 𝑝 − 1 thì 𝑟𝑖 là phần dư của 𝑖𝑝 khi chia cho 𝑝2

Tính 𝑆 = ∑𝑝−1𝑖=1 𝑟𝑖

70 Cho 𝑛 là số nguyên dương lớn hơn 1 Điều kiện cần để 𝑛|1 + ∑𝑛−1𝑖𝑛−1

𝑖=1 là

𝑛 là số nguyên tố

(Bổ đề Giuga)

71 Cho dãy số α1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 thỏa mãn :

∑{𝑘𝑎𝑖}

𝑛

𝑖=1

< 𝑛

2, ∀𝑘 ∈ 𝑁

 Trong dãy số {𝛼𝑛} có ít nhất một số nguyên

 Có tồn tại hay không {𝛼𝑛} không có số nào nguyên với ∀𝑘 thỏa mãn

∑{𝑘𝑎𝑖}

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑛 2

(Belarus MO 2002)

72 Chứng minh rằng với ∀𝑘 ≥ 2 thì phương trình :

1

10𝑛 = ∑ 1

𝑛𝑖!

𝑘

𝑖=1

Không có nghiệm nguyên với 1 ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘

(Tuymaada Olympiad)

73 Chứng minh rằng 𝑛! | ∏𝑛−1𝑖=1(2𝑛 − 2𝑖), ∀𝑛 ∈ 𝑁

74 Chứng minh rằng phương trình 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍) có nghiệm hữu

tỷ khi và chỉ khi phương trình đó có nghiệm nguyên

(Định lý Davenport và Cassel)

75 Cho 𝑚, 𝑛 > 1 là số nguyên Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥𝑛+ 𝑦𝑛 =

2𝑚

(Romani MO 2003)

76 Cho hàm số 𝐹, 𝐺: 𝑍++ 𝑍+ thỏa mãn :

 𝐺 toàn ánh

 2𝑓2(𝑛) = 𝑔2(𝑛) + 𝑛2 ∀𝑛 ∈ 𝑁

 Nếu |𝑓(𝑛) − 𝑛| ≤ 𝑘√𝑛 (∀𝑛 ∈ 𝑁), 𝑘 là số nguyên bất kỳ Chứng minh rằng hàm 𝐹 có vô số điểm bất động

(Moldavian MOTST 2005)

77 Cho dãy số nguyên không âm 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎1997 thỏa mãn

𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 ≤ 𝑎𝑖+𝑗 ≤ 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗+ 1, ∀𝑖, 𝑗 ≤ 1997, 𝑖 + 𝑗 ≤ 1997 Chứng minh rằng tồn tại một 𝜆 số thực sao cho 𝑎𝑛 = [𝜆𝑛], ∀𝑛 = 1,2, … ,1997

78 (USA MO 1997)

79 Với mỗi số nguyên 𝑛 ≥ 2 Đặt

𝑃(𝑛) = ∏ (1 −1

𝑝)

𝑝|𝑛

p>𝑙𝑜𝑔𝑛

Chứng minh rằng lim

𝑛→+∞𝑃(𝑛) = 1

80 Cho 𝑝 là số nguyên tố dang 4𝑛 + 1 Chứng minh rằng ((2𝑛)!)2 ≡

−1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) Và 𝑚 là số nguyên thỏa 𝑚 + 𝑛 = 𝑝 − 1; 𝑚, 𝑛 ≥ 0 thì 𝑚! 𝑛! ≡ (−1)(𝑚+1)(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

81 Tìm tất cả số nguyên tố 𝑝 sao cho 𝑝|7𝑝−1− 1 là số chính phương, nếu thay

số 7 thành số 11 thì có thể tìm được số nguyên tố thỏa mãn không ?

82 Chỉ tồn tại bốn số (𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏) = (3,2,2,3), 𝑎, 𝑏 > 1; 𝑥, 𝑦 > 0 nguyên sao cho

𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 = 1 mà thôi

(Bổ đề Calatan) Ứng dụng tìm bộ bốn số (𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑡) không âm sao cho (1 + 𝑚𝑛)𝑠 = 1 + 𝑚𝑡

83 Cho 𝑚 ≥ 𝑛 là số nguyên dương sao cho 𝑎𝑚− 1, 𝑎𝑛− 1 có cũng ước chung

là các số nguyên tố Chứng minh rằng 𝑚/𝑛 là lũy thừa cơ số 2

84 Tìm tất cả các cặp nguyên tố (𝑝, 𝑞) sao cho

𝑝2|𝑞3+ 1, 𝑞2|𝑝6 − 1

85 Cho 𝑛 là số tự nhiên có đúng 𝑘 ước nguyên tố Chứng minh rằng tồn tại một số trong khoảng 1 < 𝑎 < 𝑛/𝑘 + 1 sao cho 𝑛|𝑎2− 𝑎

86 Tìm số nguyên 𝑥, 𝑦 và 𝑝 là số nguyên tố sao cho

𝑥2− 3𝑥𝑦 + 𝑝2𝑦2 = 48𝑝

87 Cho a1, a2… , 𝑎𝑛 là các số nguyên , và không bằng nhau Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố 𝑝 sao cho tồn tại 𝑘 thỏa mãn :

𝑝| ∑ 𝑎𝑖𝑘 𝑛

𝑖=1

88 Tìm tất số nguyên 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ 𝑟 sao cho

𝑝𝑞 + 𝑟, 𝑝𝑞 + 𝑟2, 𝑞𝑟 + 𝑝, 𝑞𝑟 + 𝑝2, 𝑟𝑝 + 𝑞, 𝑟𝑝 + 𝑞2 Đều là số nguyên tố

89 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝, 𝑞 là số nguyên dương thỏa mãn 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1 và

𝑎

𝑏 >

𝑝

𝑞>

𝑐 𝑑 Chứng minh rằng 𝑞 ≥ 𝑏 + 𝑑 và dấu bằng xảy ra khi 𝑝 = 𝑎 + 𝑐

90 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và xét đa thức

𝑄(𝑥) = (𝑝 − 1)𝑥𝑝− 𝑥 − 1 Chứng minh rằng tồn tại vô số 𝑎 sao cho 𝑄(𝑎) chia hết cho 𝑝𝑝

91 Chứng minh rằng 𝑛! |2𝑛− 1 khi và chỉ khi 𝑛 ở dạng lũy thừa cơ số 2

92 Cho 𝑛 ∈ 𝑁 và 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑛2− 𝑛 không chia hết cho 𝑝 Cho dãy

số 𝑎𝑘 : 𝑎1 = 𝑝𝑛 + 1, 𝑎𝑘+1= 𝑛 𝑎𝑘+ 1, ∀𝑘 ∈ 𝑁 Chứng minh vô số số hang trong dãy chia hết cho 𝑝

93 Cho 𝑎 ≥ 2 và 𝑛 ≥ 25 là các số nguyên Chứng minh rằng có ít nhất một số trong dãy số 𝑎𝑛+ 1, 𝑎𝑛+1+ 1, … , 𝑎[1,2𝑛]+ 1 không có cùng số nguyên tố nào với số còn lại

94 Cho 𝑝 ≥ 3 là số nguyên tố lẻ Cho {𝑎𝑛} thỏa mãn :

𝑎𝑛 = 𝑛, ∀𝑛 ∈ {1,2, … , 𝑝 − 1}

Và

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑎𝑛−𝑝, ∀𝑛 ≥ 𝑝 Tìm đồng dư 𝑎𝑝3 khi chia chi 𝑝

95 Tìm tất cả số 𝑛 sao cho 𝜑(𝑛)2|𝑛2− 1

96 Chứng minh rằng có ít nhất một số nguyên tố nằm trong khoảng

(𝑛, 2𝑛 − 2)

Mở rộng : tính chất Nagura tồn tại ít nhất một số nguyên tố 𝑝 sao cho :

𝑎𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑝 < (1 +1

𝑛) 𝑥, {

𝑛 = 1,2,3,4,5, …

𝑎𝑛 = 2,8,9,24,25, …

97 Cho đa thức 𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥], 𝑓(𝑎) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝), 𝑓′(𝑎) ≢ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝) khi 𝑎 ∈

𝑍, 𝑝 ∈ 𝑃 Thì ta có nghiệm theo module 𝑝𝑛+1, ∀𝑛 ∈ 𝑁∗ thỏa mãn :

𝑓(𝑎𝑛) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑛+1), 𝑝𝑛+1|𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛

Và dãy số {𝑎𝑛} được gọi dãy số 𝑝 − 𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟

(Hensel Lema)

98 Cho hàm nguyên 𝑓(𝑛), ∀𝑛 ∈ 𝑁 Ta có lim 𝑓(𝑛)

𝑛 = 0 thì có vô số 𝑛 sao cho 𝑓(𝑛) là ước của 𝑛

Áp dụng tồn tại vô số 𝑛 sao cho [√1 + 2018𝑛 + √2018 + 𝑛] là ước của 𝑛

99 Tìm tất cả số nguyên 𝑛, 𝑘 sao cho {𝑥𝑛} = {𝑥} có đúng 2010 nghiệm trong khoảng [𝑘, 𝑘 + 1)

100 Cho 𝑎, 𝑏 là các số nguyên 1 < 𝑎 < 𝑏, và 𝑏 không chia hết cho 𝑎 Chứng minh rằng tồn tại 𝑥 nguyên 1 < 𝑥 ≤ 𝑎 sao cho cả 𝑎, 𝑏 là ước của 𝑥𝜙(𝑏)+1− 𝑥

101 Tìm tất cả số nguyên 𝑚, 𝑛 sao cho 𝑛! + 1 = (𝑚! − 1)2

102 Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑎2, 𝑏2) + (𝑎, 𝑏𝑐) + (𝑏, 𝑎𝑐) + (𝑐, 𝑎𝑏) =

199

103 Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥− (𝑥 + 𝑦)

104 Giải phương trình nghiệm nguyên 2𝑛− 7 = 𝑥2

105 Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥𝑦2 = 𝑧3+ 1 với 𝑥 không có bất kỳ

số nguyên tố nào dạng 6𝑘 + 1

106 Cho dãy số (𝑎𝑛), (𝑏𝑛) sao cho 𝑎0 = 1, 𝑏0 = 4 :

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2001+ 𝑏𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛2001+ 𝑎𝑛 Chứng minh rằng không có số nào trong hai dãy chia hết cho 2003

107 Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑥 − 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑦

108 Cho 𝑥 là số hửu tỷ Và dãy số 𝑥1, 𝑥2, … xác định như sau :

𝑥0 = 𝑥

𝑥𝑛 = 2𝑥𝑛−1 𝑜𝑟 𝑥𝑛 = 2𝑥𝑛−1+1

𝑛 Chứng minh rằng 𝑥𝑛 là số nguyên ở vài số 𝑛

109 Tìm tất cả số nguyên tố (𝑝, 𝑞) sao cho

a 𝑝|𝑞2− 1, 𝑞|𝑝4+ 4

b 𝑝|𝑞𝑝+ 1 và 𝑞 + 𝑝|𝑞𝑞+𝑝− 𝑝𝑝

110 Tìm tất cả số nguyên tố 𝑝, 𝑞 sao cho 3𝑝𝑞−1+ 1|11𝑝+ 17𝑝

(Balkan 2018)

111 Cho 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎25 là các số nguyên không âm và 𝑘 = min {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎25} Chứng minh rằng ∑ [√𝑎𝑖] ≥ √∑25𝑖=1𝑎𝑖+ 200𝑘

25

𝑖=1

(Russia 2018)

112 Gọi 𝜙(𝑛) là hàm Euler của 𝑛.Tìm giá trị lớn nhất của 𝑓(𝑛) = 𝜙(𝑛2+ 2𝑛) − 𝜙(𝑛2) với 1 ≤ 𝑛 ≤ 100

113 Có bao nhiêu số nguyên 𝑎 (1 ≤ 𝑎 ≤ 2018) sao cho tồn tại các số nguyên {𝑥, 𝑦, 𝑧} thỏa mãn 𝑥2(𝑥2+ 2𝑧) − 𝑦2(𝑦2+ 2𝑧) = 𝑎

114 Tìm số dư của

𝛴𝑘=1216 (2𝑘

𝑘) (3.2

14+ 1)𝑘(𝑘 − 1)216−1

Cho 216+ 1

115 Tìm số nguyên tố 𝑝 lớn nhất sao cho 2012! được viết dưới cơ số 𝑝 là

𝑎1𝑎2… 𝑎𝑟 mà 𝑟 ≥ 𝑝

116 Tìm tất cả số 𝑛 sao cho tồn tại 𝑛 số liên tiếp mà tổng của chúng là số chính phương

117 Cho 𝑥, 𝑦 là hai số nguyên dương thỏa mãn :

𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 2, 𝑦 + 2) − 𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) = 𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) − 𝑙𝑐𝑑(𝑥, 𝑦) Chứng minh rằng một trong hai số 𝑥, 𝑦 chia hết cho nhau

118 Nếu 𝑚, 𝑚1, 𝑛, 𝑛1 là các số nguyên dương thỏa mãn

(𝑚 + 𝑛)(𝑚 + 𝑛 − 1) + 2𝑚 = (𝑚1+ 𝑛1)(𝑚1+ 𝑛1− 1) + 2𝑚1

Thì 𝑚 = 𝑚1, 𝑛 = 𝑛1

119 Cho 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑟𝑖 là số dư của (𝑖𝑃−1− 1)/𝑝 khi chia cho

𝑝, ∀𝑖 = 1, 𝑝 − 1‾ Chứng minh rằng :

∑ 𝑖𝑟𝑖 ≡𝑝 + 1

2 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)

𝑝−1

𝑖=1

120 Cho số hữu tỉ 𝑟 = 𝑎/𝑏 với (𝑎, 𝑏) = 1, được gọi là số tốt khi tồn tại 𝑁, 𝑐 sao cho mọi 𝑛 ≥ 𝑁 thì |{𝑟𝑛} − 𝑐| ≤ 1

2(𝑎+𝑏) Chứng minh rằng 𝑟 là số tốt khi 𝑟 là số nguyên

(China TST 2007)

121