Tổng hợp các bài số học hay

Tổng hợp số học hay Đoàn Thành Đạt 𝑛 Tìm tất số thực 𝑥 > 1, cho √[𝑥]𝑛 số nguyên với ∀𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ (Romani 2004) Cho 𝑝 số nguyên tố 𝛼 số thực dương cho 𝑝𝛼 < Chứng minh 𝛼 𝛼 [𝑛√𝑝 − ] = [𝑛√𝑝 + ] 𝑛 𝑛 Với tất số nguyên 𝑛 ≥ [𝛼 ⁄√1 − 2𝛼 √𝑝] + Cho số nguyên 𝑎, 𝑏 số nguyên không âm cho 2𝑛 · 𝑎 + 𝑏 số phương với 𝑛 Chứng minh 𝑎 = (2001 Polish MO) Cho 𝑝, 𝑞 số nguyên lớn Thỏa mãn 𝑝|𝑞 − 1, 𝑞|𝑝 − Chứng minh 𝑝 = 𝑞 3⁄2 + 1, 𝑝 = 𝑞 + 𝑞 + Tìm tất cặp (𝑥, 𝑦) không âm cho : 𝑚2 + 3𝑛 = 𝑚(2𝑛+1 − 1) Chứng minh vô số số nguyên dương 𝑛 thỏa mãn 𝑛|1𝑛 + 2𝑛 + 3𝑛 + 6𝑛 Tìm tất số nguyên dương 𝑛 thỏa mãn 7𝑛 |9𝑛 − Cho 𝑝 số nguyên tố dạng 4𝑘 + Cho phương trình sau : (𝑝 + 2)𝑥 − (𝑝 + 1)𝑦 + 𝑝𝑥 + (𝑝 + 2)𝑦 = Chứng minh phương trình vơ số nghiệm (x0 , y0 ) nghiệm phương trình 𝑝|𝑥0 ‾ Cho số 𝑛 = 𝑑1 𝑑2 … 𝑑𝑟 biểu diễn dạng số 10 với 𝑛 > Chứng minh 𝑟 𝑛 − ∏ 𝑑𝑖 ≥ 10𝑟−1 𝑖=1 10 Cho số nguyên tố 𝑝 𝑚, 𝑛 số thỏa mãn 𝑝𝑚 ||𝑛 Chứng minh : [ log𝑛 ] log𝑝 𝑛! 𝑛 𝑛 ≡ (−1)𝑚 ∏ ([ 𝑘 ] − 𝑝 [ 𝑘+1 ]) ! (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑚 𝑝 𝑝 𝑝 𝑘=0 11 Cho số nguyên dương 𝑘 Chứng minh tồn 𝑟 không nguyên cho số nguyên 𝑛 ta có 𝑘|[𝑟 𝑛 ] 12 Chứng minh 𝑥 𝑝−1 + 𝑦 𝑝−1 = 𝑧 𝑝 ln có nghiệm ngun dương với ∀𝑝 ≥ số nguyên tố ‾ 13 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑎𝑖 < 𝑝 − 1, ∀𝑖 = 1, 𝑟 Chứng minh 𝑛𝑝 = 𝑟 ‾ 𝑎 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 𝑖 ln có nghiệm ngun dương 𝑥𝑖1 ∀𝑖 = 1, 𝑟 14 Cho phương trình Diophantine 𝑛 ∑ 𝑛 1 +∏ =1 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑖=1 ‾ Ln có cặp nghiêm 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 với ∀𝑛 ≥ 15 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ a1 , a2 , … , 𝑎𝑝 lập thành cấp số cộng công sai 𝑑, 𝑝 (𝑑, 𝑝) = Chứng minh ∏𝑖=1(𝑎𝑖 + ∏𝑝𝑖=1 𝑎𝑖 ) ⋮ 𝑝2 16 Cho hai dãy số nguyên {𝑥𝑛 }, {𝐴𝑛 } thỏa mãn : 𝑛 𝐴 = ∑ 𝑥𝑖 { 𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑖=1 𝑥𝑛+1 > 𝐴𝑛 Chứng minh có số nguyên tố khoảng [[√𝐴𝑛 ], [√𝐴𝑛+1 ]] với ∀𝑛 ≥ 2018 17 Cho 𝑎𝑘 ∈ 𝑅 , cho ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑘 = Và 𝑆 = ∑ + 𝑛 𝑘=1 √2𝑘 + + 𝑎𝑘2 Tìm tất số 𝑛 cho 𝑆min ∈ 𝑍 18 Chứng minh vô số 𝑛 cho 2𝑛 − , 2𝑛 + 2[√𝑛+1+1] − 2[√𝑛+1+1] + Đều số nguyên với vô số nguyên dương 𝑛 19 Tìm tất số nguyên (𝑎, 𝑏) (𝑎 + 1)(𝑎2 + 1) = 𝑏 20 Tìm tất số nguyên (𝑎, 𝑏, 𝑛) cho : 𝑛 ∏(𝑎𝑖 + 1) = 𝑏 𝑛 𝑖=1 21 Cho 𝑝 > 1, 𝑑 > Chứng minh (𝑝, 𝑝 + 𝑑) số nguyên tố (−1)𝑑 𝑑! 1 (𝑝 − 1)! ( + )+ + ∈𝑍 𝑝 𝑝+𝑑 𝑑 𝑝+𝑑 22 Cho 𝑝 số nguyên tố thỏa mãn tồn 𝑚 cho 𝑝|𝑚4 − 𝑚2 + Chứng minh 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 12) 23 Chứng minh (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ ) số Pytago với 𝑎 > 𝑏 > 𝑐, 𝑎′ > 𝑏′ > 𝑐′ (𝑎𝑎′ ± (𝑏𝑏 ′ − 𝑐c ′ )) (𝑎𝑎′ ± (𝑐𝑏′ − 𝑐′ 𝑏)) số phương 24 Chứng minh 𝑛|2𝑛−1 − 𝑛 = 𝑝𝑞 với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 𝑝 = 2𝑞 + 1, 4|𝑞 − 25 Cho < 𝛼 < Chứng minh tồn số thực dương 𝑥, < 𝑥 < cho 𝛼 𝑛 < {𝑛𝑥} 26 Tìm tất (𝑥, 𝑦, 𝑝) với 𝑝 số nguyên tố thỏa mãn 𝑝 𝑥 − 𝑦 𝑝 = 27 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ số tự nhiên lẻ 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑝|𝑎 + 𝑏, 𝑝 − 1|𝑎 − 𝑏 Chứng minh 2𝑝|𝑎𝑏 + 𝑏 𝑎 , 2𝑝|𝑎𝑎 + 𝑏 𝑏 28 Cho dãy số 𝑈1 = 5, 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛3 − 2𝑈𝑛 + Tìm số nguyên tố 𝑝 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) 𝑝|𝑈2011 + 29 Tìm tất số nguyên dương 𝑛 cho tồn 𝑚 cho 2𝑛 − 1|𝑚2 + 30 Cho hai dãy số (𝑥𝑛 ), (𝑦𝑛 ) thỏa mãn 𝑥1 = 𝑦1 = 𝑥𝑛+1 = −3𝑥𝑛2 − 2𝑥𝑛 𝑦𝑛 + 8𝑦𝑛2 { 𝑦𝑛+1 = 2𝑥𝑛2 + 3𝑥𝑛 𝑦𝑛 − 2𝑦𝑛2 Tìm tất số nguyên tố 𝑝 cho 𝑝 ∤ 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 31 Cho dãy số thực (𝑎𝑛 ) thỏa mãn : 𝑎1 ∈ (1,2) 𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 { 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 Chứng minh tồn nhiều cặp (𝑎𝑖 , 𝑎𝑗 ) với 𝑖 ≠ 𝑗 cho 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 ∈ 𝑍 32 Cho dãy số nguyên (𝑎𝑛 ) xác định : { 𝑎𝑛+1 𝑎1 = = 𝑎𝑛 + [√𝑎𝑛 ] Chứng minh 𝑎𝑛 số phương 𝑛 = 2𝑘 + 𝑘 − với 𝑘 ∈ 𝑁 33 Cho dãy số (𝐾𝑛 ) xác định : { 𝐾𝑛+2 𝐾1 = 2, 𝐾2 = = 3𝐾𝑛+1 − 𝐾𝑛 + (−1)𝑛 Chứng minh 𝐾𝑛 số nguyên tố 𝑛 phải có dạng lũy thừa số 34 Tìm tất số nguyên dương 𝑛 cho 𝑛2 + 3𝑛 số phương 35 Cho dãy số {𝑥𝑛 } khơng có cặp số liên tiếp, 𝑥1 > Chứng minh 𝑚+2 khoảng (∑𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 , ∑𝑖=1 𝑥𝑖 ) có số phương 36 Cho dãy số {𝑎𝑛 } nguyên dương thỏa mãn 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ≥ 8, ∀𝑖 ∈ 𝑁 Đặt 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 Chứng minh có số phương nằm khoảng (𝑆𝑛 , 𝑆𝑛+1 ] (T10/488-THTT) 37 Tìm tất số nguyên tố 𝑝 cho 𝑝2 + 11 có ước số (Rumani 1995) 38 Gọi 𝑝𝑖 số nguyên tố thứ 𝑖 Chứng minh 𝑛 ∏ 𝑝𝑖 > 𝑝𝑛+1 ( Định lý Bonse) 𝑖=1 { 𝑛 ∏ 𝑝𝑖 > 𝑝𝑛+1 𝑝𝑛+2 𝑖=1 ‾ 39 Cho số nguyên dương 𝑛 𝜀𝑖 ∈ {−1,1}, ∀𝑖 = 1, 𝑛 cho 𝜀𝑖 𝜀2 + 𝜀2 𝜀3 + ⋯ + 𝜀𝑛 𝜀1 = Chứng minh 4|𝑛 (Kvant) 40 Tìm tất nghiệm(𝑥 + 2)𝑛 − 𝑥 𝑛 = + 7𝑛 41 Tìm tất số 𝑛 cho 𝜑(𝑛)|𝑛2 + 42 Cho 𝜆 nghiệm dương phương trình 𝑡 − 1998𝑡 − = Cho dãy số sau : 𝑥𝑢=1 {𝑥 ,𝑛 ≥ 𝑛+1 = [λxn ] Tìm phần dư 𝑥1998 chia hết cho 1998 (Inberoamerican MO 1998) 43 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑞 số tự nhiên không chia hết cho 𝑝 Nếu có hàm 𝑓: 𝑍+∗ → R thỏa mãn hệ thức sau : ‾ 𝑓(𝑘) ∉ 𝑍, ∀𝑘 = 1, 𝑝 − 𝑝 ‾ 𝑓(𝑘) + 𝑓(𝑝 − 𝑘) ∈ 𝑍, ∀𝑘 = 1, 𝑝 − 𝑝 Chứng minh 𝑝−1 𝑃−1 𝑞 𝑞 𝑝−1 ∑ [𝑓(𝑘) · ] = ∑ 𝑓(𝑘) − 𝑝 𝑝 𝑘=1 𝑘=1 44 Tìm tất số 𝑛 cho có số khơng âm 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑆(𝑎) = 𝑆(𝑏) = 𝑆(𝑎 + 𝑏) = 𝑛 (Romani 1999) 45 Cho 𝑦 > 𝑥 cho 𝑦 = 10^(2𝑏) 𝑥 + 𝑐 với 𝑏, 𝑐 số nguyên dương thỏa mãn 𝑐 < 102𝑏 Thì 𝑑(𝑦) − ≥ 2(𝑑(𝑥) − 1) 46 Cho 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎106 số tự nhiên từ đến Chứng minh có nhiều ‾ 40 số cho 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑘 (1 ≦ 𝑘 ≤ 106 ) số phương (Romani 2001) 47 Tìm tất số nguyên dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 thỏa mãn : 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 3𝑑! + 1, Biết tồn 𝑝, 𝑞 cho 𝑎 = (𝑝 + 1)(2𝑝 + 1) = (𝑞 + 1)(𝑞 − 1)2 (Trường THPT chuyên ĐH Vinh ) 48 Tìm tất số nguyên tố 𝑝 cho 2𝑝2 − lũy thừa 49 Giải phương trình nghiệm nguyên với 𝑝 số nguyên tố 𝑎2 (𝑎2 + 1) = 5𝑛 (5𝑛+1 − 𝑝3 ) 50 Mỗi số nguyên dương 𝑛 lớn 1, số biểu dang thập phân 𝑛 0, 𝑎1 𝑎2 ….Tìm tất số 𝑛 thỏa mãn 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ 51 Chứng minh số 𝑚 tồn vô số 𝑛 cho 𝑚|3 · 2𝑛 + 52 Tìm tất số 𝑛 cho tồn 𝑎, 𝑏 với khơng có ước chung ước 𝑛 thỏa mãn 𝑎 + 𝑏 − 1|𝑛 53 Cho số 𝑎 không phương Chứng minh số : 𝑛 ∑{𝑎}𝑖 ∉ 𝑄 𝑖=1 54 Cho 𝑝 số nguyên tố 𝑎, 𝑏 số nguyên dương khác thỏa mãn : √𝑝 𝑎 − 𝑝 𝑏 + ∈ 𝑍  Nếu 𝑝 số ngun tố lẻ khơng thể xảy  Nếu 𝑝 = chứng minh có vơ số (𝑎, 𝑏) thỏa mãn tốn 55 Chứng minh có vơ số cặp (𝑝, 𝑞) thõa mãn 𝑝|2𝑞−1 − 1, 𝑞|2𝑝−1 − 56 Cho 𝑚, 𝑛 hai số tự nhiên thỏa mãn 𝐴= (𝑚 + 3)𝑛 + ∈𝑍 3𝑚 Chứng minh 𝐴 lẻ 57 Cho 𝑝 số nguyên tố 𝑥 số nguyên cố định Tồn dãy 𝑦 ∈ {1,2, … , 𝑝𝑛 − 1} cho 𝑝|𝑦 − 𝑥 𝑝𝑛 |𝑦 𝑝 − 𝑦 58 Tìm số nguyên 𝑛 cho tồn hai số nguyên tố (𝑝, 𝑞) thỏa mãn :  𝑞 =𝑝+2  2𝑛 + 𝑝, 2𝑛 + 𝑞 hai số nguyên tố (Balkan TST 2016) 59 Cho dãy số {𝑎𝑛 }𝑛∈𝑁 xác định : {  𝑎1 = 1, 𝑎2 = 𝑎𝜈 = max{𝑎𝑝 + 𝑎𝑝−𝑣 : ≤ 𝑝 ≤ 𝑣 − 1}, ∀𝑣 ≤ Chứng minh dãy số xác định lại sau : 𝑎𝑣 = 3𝑘 𝑛ế𝑢 𝑣 = 2𝑘 { ,𝑘 ≥ 𝑎𝑣 = 3𝑘 + 𝑛ế𝑢 𝑣 = 2𝑘 +  Chứng minh 𝑎𝑣+𝑛 = 𝑎𝑣 + 𝑎𝑛 𝑣, 𝑛 có số chẵn 60 Cho 𝛼, 𝛽 hai nghiệm phương trình 𝑥 − 𝑥 − = Cho dãy số 𝑎𝑛 = 𝛼 𝑛 − 𝛽𝑛 , 𝑛 = 1,2, … 𝛼−𝛽 Tìm số nguyên 𝑎, 𝑏 cho 𝑏|𝑎𝑛 − 2𝑛 𝑎𝑛 , ∀𝑛 = 1.2, … 61 Cho dãy số 𝑎𝑛 cho 𝑎𝑛 ước lẻ lớn 𝑛 Và 𝑏𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ 𝑎𝑛 Chứng mỉnh : 𝑏𝑛 ≥ 𝑛2 + , ∀𝑛 ∈ 𝑁 62 Tìm tất ba số (𝑎, 𝑚, 𝑛) thỏa mãn 𝑎, 𝑚 ≥ 𝑎𝑚 + 1|𝑎𝑛 + 203 63 Cho 𝑙 > 𝑚 > 𝑛 độ dài nguyên ba cạnh tam giác thỏa mãn 3𝑙 3𝑚 3𝑛 { 4} = { 4} = { 4} 10 10 10 Tìm chu vi nhỏ tam giác 64 Cho 𝑚, 𝑛, 𝑘 số nguyên thỏa mãn 𝑚𝑛 = 𝑘 + 𝑘 + Chứng minh có hai phương trình sau có bơ nghiệm (𝑥, 𝑦) hai nghiệm số lẻ : 𝑥 + 11𝑦 = 4𝑚, 𝑥 + 11𝑦 = 4𝑛 65 Cho 𝑚, 𝑛 số nguyên dương 𝑚 > 𝑛 ≥ Cho tập hợp 𝑆 = {1,2 … , 𝑚} 𝑇 = {a1 , a2 , … an } tâp hợp 𝑆 cho số 𝑆 không chia hết hai số 𝑇 Chứng minh : 𝜂 ∑ 𝑚+𝑛 < 𝑎𝑖 𝑚 𝑖=1 66 Cho 𝑛 số nguyên dương 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 (𝑘 ≥ 2) số phân biệt nằm ‾ {1,2, … , 𝑛} cho 𝑛|𝑎𝑖 (𝑎𝑖+1 − 1), ∀𝑖 = 1, 𝑘 − 1‾ Chứng minh 𝑎𝑘 (𝑎1 − 1) không chia hết cho 𝑛 67 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ Tìm tất số nguyên 𝑚, 𝑛 cho (𝑝 − 1)(𝑝𝑛 + 1) = 4𝑚(𝑚 + 1) 68 Tìm tất bốn số (𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛) cho 𝑎𝑚 𝑏 𝑛 = (𝑎 + 𝑏)2 + 69 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ Mỗi số 𝑖 = 1,2, 𝑝 − 𝑟𝑖 phần dư 𝑖 𝑝 chia cho 𝑝2 Tính 𝑆 = ∑𝑝−1 𝑖=1 𝑟𝑖 𝑛−1 70 Cho 𝑛 số nguyên dương lớn Điều kiện cần để 𝑛|1 + ∑𝑖=1 𝑖 𝑛−1 𝑛 số nguyên tố (Bổ đề Giuga) 71 Cho dãy số α1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 thỏa mãn : 𝑛 ∑{𝑘𝑎𝑖 } < 𝑖=1   𝑛 , ∀𝑘 ∈ 𝑁 Trong dãy số {𝛼𝑛 } có số ngun Có tồn hay khơng {𝛼𝑛 } khơng có số ngun với ∀𝑘 thỏa mãn 𝑛 ∑{𝑘𝑎𝑖 } ≤ 𝑖=1 𝑛 (Belarus MO 2002) 72 Chứng minh với ∀𝑘 ≥ phương trình : 𝑘 1 = ∑ 10𝑛 𝑛𝑖 ! 𝑖=1 Khơng có nghiệm ngun với ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 (Tuymaada Olympiad) 𝑛−1 73 Chứng minh 𝑛! | ∏𝑖=1 (2𝑛 − 2𝑖 ) , ∀𝑛 ∈ 𝑁 74 Chứng minh phương trình 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍) có nghiệm hữu tỷ phương trình có nghiệm ngun (Định lý Davenport Cassel) 75 Cho 𝑚, 𝑛 > số nguyên Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 2𝑚 (Romani MO 2003) 76 Cho hàm số 𝐹, 𝐺: 𝑍 + + 𝑍 + thỏa mãn :  𝐺 toàn ánh  2𝑓 (𝑛) = 𝑔2 (𝑛) + 𝑛2 ∀𝑛 ∈ 𝑁  Nếu |𝑓(𝑛) − 𝑛| ≤ 𝑘√𝑛 (∀𝑛 ∈ 𝑁), 𝑘 số nguyên Chứng minh hàm 𝐹 có vơ số điểm bất động (Moldavian MOTST 2005) 77 Cho dãy số nguyên không âm 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎1997 thỏa mãn 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 ≤ 𝑎𝑖+𝑗 ≤ 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 1, ∀𝑖, 𝑗 ≤ 1997, 𝑖 + 𝑗 ≤ 1997 Chứng minh tồn 𝜆 số thực cho 𝑎𝑛 = [𝜆𝑛], ∀𝑛 = 1,2, … ,1997 78 (USA MO 1997) 79 Với số nguyên 𝑛 ≥ Đặt 𝑝|𝑛 𝑃(𝑛) = ∏ (1 − ) 𝑝 p>𝑙𝑜𝑔𝑛 Chứng minh lim 𝑃(𝑛) = 𝑛→+∞ 80 Cho 𝑝 số nguyên tố dang 4𝑛 + Chứng minh ((2𝑛)!) ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) Và 𝑚 số nguyên thỏa 𝑚 + 𝑛 = 𝑝 − 1; 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑚! 𝑛! ≡ (−1)(𝑚+1) (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 81 Tìm tất số nguyên tố 𝑝 cho 𝑝|7𝑝−1 − số phương, thay số thành số 11 tìm số ngun tố thỏa mãn khơng ? 82 Chỉ tồn bốn số (𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏) = (3,2,2,3), 𝑎, 𝑏 > 1; 𝑥, 𝑦 > nguyên cho 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 = mà thơi (Bổ đề Calatan) Ứng dụng tìm bốn số (𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑡) không âm cho (1 + 𝑚𝑛 )𝑠 = + 𝑚𝑡 83 Cho 𝑚 ≥ 𝑛 số nguyên dương cho 𝑎𝑚 − 1, 𝑎𝑛 − có ước chung số nguyên tố Chứng minh 𝑚/𝑛 lũy thừa số 84 Tìm tất cặp nguyên tố (𝑝, 𝑞) cho 𝑝2 |𝑞 + 1, 𝑞 |𝑝6 − 85 Cho 𝑛 số tự nhiên có 𝑘 ước nguyên tố Chứng minh tồn số khoảng < 𝑎 < 𝑛/𝑘 + cho 𝑛|𝑎2 − 𝑎 86 Tìm số nguyên 𝑥, 𝑦 𝑝 số nguyên tố cho 𝑥 − 3𝑥𝑦 + 𝑝2 𝑦 = 48𝑝 87 Cho a1 , a2 … , 𝑎𝑛 số nguyên , không Chứng minh tồn vô số số nguyên tố 𝑝 cho tồn 𝑘 thỏa mãn : 𝑛 𝑝| ∑ 𝑎𝑖 𝑘 𝑖=1 88 Tìm tất số nguyên 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ 𝑟 cho 𝑝𝑞 + 𝑟, 𝑝𝑞 + 𝑟 , 𝑞𝑟 + 𝑝, 𝑞𝑟 + 𝑝2 , 𝑟𝑝 + 𝑞, 𝑟𝑝 + 𝑞 Đều số nguyên tố 89 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝, 𝑞 số nguyên dương thỏa mãn 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎 𝑝 𝑐 > > 𝑏 𝑞 𝑑 Chứng minh 𝑞 ≥ 𝑏 + 𝑑 dấu xảy 𝑝 = 𝑎 + 𝑐 90 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ xét đa thức 𝑄(𝑥) = (𝑝 − 1)𝑥 𝑝 − 𝑥 − Chứng minh tồn vô số 𝑎 cho 𝑄(𝑎) chia hết cho 𝑝𝑝 91 Chứng minh 𝑛! |2𝑛 − 𝑛 dạng lũy thừa số 92 Cho 𝑛 ∈ 𝑁 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑛2 − 𝑛 không chia hết cho 𝑝 Cho dãy số 𝑎𝑘 : 𝑎1 = 𝑝𝑛 + 1, 𝑎𝑘+1 = 𝑛 𝑎𝑘 + 1, ∀𝑘 ∈ 𝑁 Chứng minh vô số số hang dãy chia hết cho 𝑝 93 Cho 𝑎 ≥ 𝑛 ≥ 25 số nguyên Chứng minh có số dãy số 𝑎𝑛 + 1, 𝑎𝑛+1 + 1, … , 𝑎[1,2𝑛] + khơng có số nguyên tố với số lại 94 Cho 𝑝 ≥ số nguyên tố lẻ Cho {𝑎𝑛 } thỏa mãn : 𝑎𝑛 = 𝑛, ∀𝑛 ∈ {1,2, … , 𝑝 − 1} Và 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−𝑝 , ∀𝑛 ≥ 𝑝 Tìm đồng dư 𝑎𝑝3 chia chi 𝑝 95 Tìm tất số 𝑛 cho 𝜑(𝑛)2 |𝑛2 − 96 Chứng minh có số ngun tố nằm khoảng (𝑛, 2𝑛 − 2) Mở rộng : tính chất Nagura tồn số nguyên tố 𝑝 cho : 𝑛 = 1,2,3,4,5, … 𝑎𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑝 < (1 + ) 𝑥, { 𝑎𝑛 = 2,8,9,24,25, … 𝑛 97 Cho đa thức 𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥], 𝑓(𝑎) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝), 𝑓 ′ (𝑎) ≢ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑎 ∈ 𝑍, 𝑝 ∈ 𝑃 Thì ta có nghiệm theo module 𝑝𝑛+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ thỏa mãn : 𝑓(𝑎𝑛 ) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑛+1 ), 𝑝𝑛+1 |𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 Và dãy số {𝑎𝑛 } gọi dãy số 𝑝 − 𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 (Hensel Lema) 98 Cho hàm nguyên 𝑓(𝑛), ∀𝑛 ∈ 𝑁 Ta có lim 𝑓(𝑛) 𝑛 = có vơ số 𝑛 cho 𝑓(𝑛) ước 𝑛 Áp dụng tồn vô số 𝑛 cho [√1 + 2018𝑛 + √2018 + 𝑛] ước 𝑛 99 Tìm tất số nguyên 𝑛, 𝑘 cho {𝑥 𝑛 } = {𝑥} có 2010 nghiệm khoảng [𝑘, 𝑘 + 1) 100 Cho 𝑎, 𝑏 số nguyên < 𝑎 < 𝑏, 𝑏 không chia hết cho 𝑎 Chứng minh tồn 𝑥 nguyên < 𝑥 ≤ 𝑎 cho 𝑎, 𝑏 ước 𝑥 𝜙(𝑏)+1 − 𝑥 101 Tìm tất số nguyên 𝑚, 𝑛 cho 𝑛! + = (𝑚! − 1)2 102 Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑎2 , 𝑏 ) + (𝑎, 𝑏𝑐) + (𝑏, 𝑎𝑐) + (𝑐, 𝑎𝑏) = 199 103 Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥 − (𝑥 + 𝑦) 104 Giải phương trình nghiệm nguyên 2𝑛 − = 𝑥 105 Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥𝑦 = 𝑧 + với 𝑥 khơng có số nguyên tố dạng 6𝑘 + 106 Cho dãy số (𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 ) cho 𝑎0 = 1, 𝑏0 = : 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2001 + 𝑏𝑛 , 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛2001 + 𝑎𝑛 Chứng minh số hai dãy chia hết cho 2003 Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑥 − 𝑦)𝑛 = 𝑥𝑦 Cho 𝑥 số hửu tỷ Và dãy số 𝑥1 , 𝑥2 , … xác định sau : 𝑥0 = 𝑥 𝑥𝑛 = 2𝑥𝑛−1 𝑜𝑟 𝑥𝑛 = 2𝑥𝑛−1 + 𝑛 Chứng minh 𝑥𝑛 số nguyên vài số 𝑛 109 Tìm tất số nguyên tố (𝑝, 𝑞) cho a 𝑝|𝑞 − 1, 𝑞|𝑝4 + b 𝑝|𝑞 𝑝 + 𝑞 + 𝑝|𝑞 𝑞+𝑝 − 𝑝𝑝 110 Tìm tất số nguyên tố 𝑝, 𝑞 cho 3𝑝𝑞−1 + 1|11𝑝 + 17𝑝 107 108 (Balkan 2018) 111 Cho 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎25 số nguyên không âm 𝑘 = min{𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎25 } 25 Chứng minh ∑ [√𝑎𝑖 ] ≥ √∑25 𝑖=1 𝑎𝑖 + 200𝑘 𝑖=1 (Russia 2018) 112 Gọi 𝜙(𝑛) hàm Euler 𝑛.Tìm giá trị lớn 𝑓(𝑛) = 𝜙(𝑛2 + 2𝑛) − 𝜙(𝑛2 ) với ≤ 𝑛 ≤ 100 113 Có số nguyên 𝑎 (1 ≤ 𝑎 ≤ 2018) cho tồn số nguyên {𝑥, 𝑦, 𝑧} thỏa mãn 𝑥 (𝑥 + 2𝑧) − 𝑦 (𝑦 + 2𝑧) = 𝑎 114 Tìm số dư 16 216 2𝑘 (3.214 𝛴𝑘=1 ( ) + 1)𝑘 (𝑘 − 1)2 −1 𝑘 Cho 216 + 115 Tìm số nguyên tố 𝑝 lớn cho 2012! viết số 𝑝 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑟 mà 𝑟 ≥ 𝑝 116 Tìm tất số 𝑛 cho tồn 𝑛 số liên tiếp mà tổng chúng số phương 117 Cho 𝑥, 𝑦 hai số nguyên dương thỏa mãn : 𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 2, 𝑦 + 2) − 𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) = 𝑙𝑐𝑑(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) − 𝑙𝑐𝑑(𝑥, 𝑦) Chứng minh hai số 𝑥, 𝑦 chia hết cho 118 Nếu 𝑚, 𝑚1 , 𝑛, 𝑛1 số nguyên dương thỏa mãn (𝑚 + 𝑛)(𝑚 + 𝑛 − 1) + 2𝑚 = (𝑚1 + 𝑛1 )(𝑚1 + 𝑛1 − 1) + 2𝑚1 Thì 𝑚 = 𝑚1 , 𝑛 = 𝑛1 119 Cho 𝑝 số nguyên tố lẻ 𝑟𝑖 số dư (𝑖 𝑃−1 − 1)/𝑝 chia cho ‾ 𝑝, ∀𝑖 = 1, 𝑝 − Chứng minh : 𝑝−1 ∑ 𝑖𝑟𝑖 ≡ 𝑝+1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 𝑖=1 Cho số hữu tỉ 𝑟 = 𝑎/𝑏 với (𝑎, 𝑏) = 1, gọi số tốt tồn 𝑁, 𝑐 cho 𝑛 ≥ 𝑁 |{𝑟 𝑛 } − 𝑐| ≤ Chứng minh 𝑟 số tốt 2(𝑎+𝑏) 𝑟 số nguyên (China TST 2007) 121 120  ... Và