PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN LỚP Ngày thi: 07/4/2019 (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải (6,0 điểm) Với x �1 ta có � � x2 x2 x x2 A� �: 2 �x ( x x 1)( x x 1) ( x 1)( x 3) � x 1a (2,0 điểm) 0,5 � x2 1 � � �: �x x x x 1� x 0,5 x2 x x2 x 1 : ( x 1)( x x 1) x 1 0,25 x2 ( x 1) ( x 1)( x x 1) 0,25 x2 x2 x 0,25 Vậy A x2 với x �1 x2 x 0,25 � � 1� x x �x � 0x � x2 �0 (1) Ta có: �� A � 2� x x 1 � x �0 � Xét 1b (1,0 điểm 4 x2 � A 3 x x 1 ( x 2) 3( x x 1) A (2) Từ (1) (2) ta có: �A � mà A có giá trị nguyên nên A� 0;1 +/Xét A tìm x ( thỏa mãn ĐK) +/ Xét A � x2 � x � x 1 ( thỏa mãn ĐK) x2 x Vậy x � 0; 1 biểu thức A có giá trị nguyên (2,0 điểm) 0,5 B 0,25 0,25 (a 1)2 (b 1) (c 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) (a 1)(b 1) Từ GT ta có: a b c � (a 1) (b 1) (c 1) Đặt x a 1; y b 1; z c ta có: x y z x �0; y �0; z �0 Khi B 0,75 x y z x3 y z yz zx xy xyz Vì x y z � x y z � x y 3xy ( x y ) z 0,75 x y 3xy ( z ) z ( x y z ) � x y z 3xyz Page of Thay x y z xyz vào biểu thức B ta có : B xyz 3 xyz Vậy a, b, c a b c B Câu 0,25 0,25 (4,0 điểm) ( x x 2) 4( x 2)(5 x 4) (1) �x a � a b x x PT (1) trở thành: Đặt � x b � (2,0 điểm) (a b)2 4ab � (a b)2 � a b Với a b x x � x x � ( x 2)( x 3) 0,75 x20 � �� � x 3 � 0,25 x2 � � x 3 � Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 2;3 Ta có x y � 19( x y ) 5( x xy y ) (1) x xy y 19 0,25 Từ (1) ta có 19( x y )M5 mà (19;5) x y M5 � x y 5m ( m ��) thay vào (1) tính x xy y 19m x y 5m � x xy y 25m ta có xy ( x xy y ) ( x xy y ) 25m 19m (2,0 điểm) 0,75 Xét: ( x y ) xy ( x y) �0 � 25m2 4(25m2 19m) �0 � 75m2 76m �0 ۣ �0 m 76 mà m ��� m � 0;1 75 �x y �x �� +/ Nếu : m ta có � �xy �y �x y +/ Nếu: m ta có � tìm ( x; y ) (2;3);(3; 2) �xy Vậy ( x; y ) (0;0);(2;3);(3; 2) Câu 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4,0 điểm) Vì P ( x ) cho x dư 1, chia cho x dư nên theo định lí Be’zout ta có: P (1) P (3) 0,5 Vì đa thức chia x x bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b ta có: (2,0 điểm) P ( x) ( x x 3)( x x 1) ax b � P( x) ( x 1)( x 3)( x x 1) ax b �P (1) �a b �� Ta có: � tìm a 2; b 3a b �P (3) � 0,5 P( x ) ( x x 3)( x x 1) x x 3x 3x 0,25 Vậy P ( x) x x 3x Ta có: 2n 3n số phương nên ta có: 2n a ( với a ��) (1) 3n b ( với b ��) (2) (2,0 điểm) 0,5 0,25 0,25 Page of Từ (1) (2) ta có: 3a 2b (3) 0,25 Ta có: 2n (2n 1) a 8(3a 2b ) 25a 16b (5a 4b)(5a 4b) (4) 0,25 Do 2n số nguyên tố , mà 5a 4b �5a 4b nên từ (4) ta có 4b 4b 5a 4b � a thay a vào (3) 5 0,5 b 1 � �4b � 2 3� � 2b � b 12b 11 � (b 1)(b 11) � � b 11 � � � +/ Nếu b � a n 2n (loại) 0,25 +/ Nếu b 11 � a n 40 2n 89 (thỏa mãn) 0,25 Vậy n 40 giá trị cần tìm 0,25 Câu (6,0 điểm) BE, CF đường cao ABC ( GT) 1.(2,0 điểm) �BE AC �� �� AEB � AFC 900 (đ/n) CF AB � Xét AEB AFC có: 0,5 � AEB � AFC 900 (c / mt ) �� � AEB AFC (g – g) � � chung �EAB AE AB � ( định nghĩa) � AE AC AF AB (tính chất) (1) AF AC �ABC ca� n ta� i C (GT) AB � CF đường trung tuyến ( t/chất) AF FB (2) � ���� ng cao (GT) �CF la� 0,5 Từ (1) (2) ta có: AE AC AB 2 CM CD ( định lí Ta-let) (3) CF CB Chứng minh DK // BE ( vng góc với AC) Xét CFB có: MD // BF (c/m trên) Xét CFB có: DK// BE (c/m trên) CD CK ( định lí Ta-let) (4) CB CE CM CK CF CE CM CK Xét CFE có: (c/m trên) MK//FE ( định lí Ta-let đảo) CF CE Từ (3) (4) 0,5 0,25 Chứng minh MD // BF ( vng góc với CF) 2.(2,0 điểm) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Page of HD S HBC HE S HAC HF S HAB ; ; AD S ABC BE S ABC CF S ABC HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 Tính AD BE CF S ABC S ABC S ABC S ABC Chỉ 3.(1,0 điểm)` � HD � � HE � � HF � AH BH CH 1 1 1 2 � � � � � � � AD BE CF � AD � � BE � � CF � � FCE � Trên tia đối tia FC lấy điểm Q cho FNQ Chứng minh CEF NQF ( g-g) … � EF FN FQ.CF (5) � FCE � Chỉ CF đường phân giác ABC FCN 4.(1,0 điểm)` Chứng minh CNQ CFE ( g-g) … � CE.CN CQ.CF (6) Từ (5) (6) ta có CE.CN FE.FN CQ.CF FQ.CF CF (CQ FQ) CF CF CF � CE CN FE FN CF 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) � 1 � Q �2 (4ab ) 2012 � 4ab 4ab �a b 2ab � 1 � (*); ( x y ) �4 xy (**) x y x y Với x 0; y , dấu “=” xảy x y Với a, b hai số thực dương , a b �1 Chứng minh bất đẳng thức: 0,25 Áp dụng bất đẳng thức (*) (**) ta có: (1,0 điểm) 1 4 �2 � C (1) 2 a b 2ab a b 2ab (a b) 2 � 1 � 4ab � 4ab �2 (2) � ��4.4ab 4ab � 4ab 4ab � 4 (a b� ) 2 � 4ab (3) 2 ab (a b) 4ab 0,5 Từ (1); (2) (3) Q �4 2012 2019 Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ 2019 a b Dấu xảy a b Điểm toàn 0,25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Điểm tồn làm tròn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm chứng minh Page of ... điểm) 0,5 0,25 0,25 Page of Từ (1) (2) ta có: 3a 2b (3) 0,25 Ta có: 2n (2n 1) a 8( 3a 2b ) 25a 16b (5a 4b)(5a 4b) (4) 0,25 Do 2n số nguyên tố , mà 5a 4b �5a 4b... 11) � � b 11 � � � +/ Nếu b � a n 2n (loại) 0,25 +/ Nếu b 11 � a n 40 2n 89 (thỏa mãn) 0,25 Vậy n 40 giá trị cần tìm 0,25 Câu (6,0 điểm) BE, CF đường cao ABC ( GT) 1.(2,0