(trường chuyên) 49 câu nhị thức 2018

Câu1: (Chuyên ( − 2x + x ) Đại Học Vinh) Cho khai triển = a x18 + a1x17 + a x16 + + a18 Giá trị a15 A −804816 C −174960 B 218700 D 489888 Đáp án A Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( a + b ) n n = ∑ Ckn a n − k b k k =0 Hệ số a15 hệ số số hạng chứa x Tìm hệ số số hạng chứa x Cách giải: k 9− k Ta có: ( − 2x + x ) = ∑ C9 ( x − 2x ) k k =0 Hệ số a15 thuộc số hạng a15 x nên với k ≥ khơng thỏa mãn Với k = ⇒ C9k 39 − k ( x − 2x ) = 78732 ( x − 2x ) = 78732 ( x − 4x + 4x ) k Với ( k = ⇒ C9k 39 − k ( x − 2k ) = 61236 ( x − 2x ) = 61236 x − 3x 2x + 3x ( 2x ) − 8x k ) Do a15 = 78732 ( −4 ) + 61236 ( −8 ) = −804816 Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử a, b số thực cho x + y3 = a.103z + b.102z với số thực dương x, y, z thỏa mãn log ( x + y ) = z 2 log ( x + y ) = z + Giá trị a + b A − 31 B − 25 31 C 2 D 29 Đáp án D Phương pháp: z log ( x + y ) = z  x + y = 10 ⇔ ⇒ x + y = 10 ( x + y )   2 2 z +1 z log ( x + y ) = z +  x + y = 10 = 10.10 Thay 10z = x + y vào x + y3 = a.103x + b.10 2x , biến đổi, đồng hệ số Cách giải: z log ( x + y ) = z  x + y = 10 ⇔ ⇒ x + y = 10 ( x + y ) Ta có  2 z +1 z log x + y = z + )  x + y = 10 = 10.10  ( Khi x + y3 = a.103z + b.102z ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) = a ( 10 z ) + b ( 10 z ) ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) = a ( x + y ) + b ( x + y ) ⇔ x − xy + y = a ( x + y ) + b ( x + y ) ⇔ x − xy + y = a ( x + 2xy + y ) + 2 b b  ( x + y ) ⇔ x + y − xy =  a + ÷ ( x + y ) + 2a.xy 10  10  b   29  a + = a = − ⇒ Vậy a + b = Đồng hệ số, ta  10  2a = −1 b = 15 Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho k, n ( k < n ) số nguyên dương Mệnh đề sau sai? k A C n = n! k! ( n − k ) ! k k B A n = n!.Cn k k C A n = k!.Cn k n −k D Cn = Cn Đáp án D 10  x +1 x −1  Câu 4: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho biểu thức P =  − ÷  x − x +1 x − x  với x > 0, x ≠ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton P A 200 B 100 C 210 D 160 Đáp án C Ta có: x +1 x −1 = x2 − x +1 x − x − 10 ( )   x + − 1 + ÷= x − x x  10 − k 1 10 −   k   Suy P =  x − x ÷ = ∑ C10 x  ÷ k =0     k 20 −5k 10  −1  k ( −1)  x ÷ = ∑ C10k ( −1) x k =0   k Số hạng không chứa x ⇔ 20 − 5k = ⇔ k = ⇒ a = C10 ( −1) = 210 Câu 5:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm hệ số x khai triển nhị thức n   Newton  x x + ÷ , biết tổng hệ số khai triển 128 x  A 37 B 36 C 35 D 38 Đáp án C n ( n   Ta có  x x + ÷ = ∑ Ckn x x x  k =0 ) n −k k 9n −11k n   k = C x 3 ÷ ∑ n  x  k =0 n Suy tổng hệ số khai triển ∑C k =0 n n k n = 128 n k n Mặt khác ( + 1) = ∑ C 1 = ∑ C ⇒ ∑ C n = = 128 ⇒ n = n k =0 k n −k n k k =0 k n k =0 9n − 11k 5.7 − 11k =5⇔ = ⇔ k = ⇒ a = C37 x = 35x 6 Suy Câu 6: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tổng n số hạng dãy số ( a n ) , n ≥ Sn = 2n + 3n Khi A ( a n ) cấp số cộng với công sai B ( a n ) cấp số cộng với công sai C ( a n ) cấp số nhân với công bội D ( a n ) cấp số nhân với công bội Đáp án B Dễ thấy u n phải cấp số cộng: n  2a1 + ( n − 1) d  u1 + u n n ⇔  = 2n + 3n ⇔ n ( nd + 2a1 − d ) = n ( 4n + ) 2 d = d = ⇔ ⇔ 2a1 − d = a1 = Ta có: Sn = Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho dãy số ( U n ) xác định U1 = U n +1 = A U U n +1 U U n Tổng S = U1 + + + + 10 3n 10 3280 6561 B 29524 59049 C 25942 59049 D 243 Đáp án B  V = Vn n + 10  U n +1 V = ⇒ S = Đặt n +1 suy  ∑1 Vn Vn cấp số nhân với công sai n +1  V =  q= 10 1 1−  ÷ 29524 Do S =   = 1− 59049 Câu 8: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho n số nguyên dương thỏa mãn: A 2n = C 2n + C1n + 4n + Hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức n 3  P ( x ) =  x + ÷ bằng: x  A 18564 B 64152 C 192456 D 194265 Đáp án C Do A 2n = C2n + C1n + 4n + ⇒ n ( n − 1) = n ( n − 1) + n + 4n + ⇔ n ( n − 1) = 10n + 12 ⇒ n = 12 12 3  Số hạng tổng quát khai triển P ( x ) =  x + ÷ là: x  12 − k k k C12 ( x )  x3 ÷ k k = C12 x 2k 312−k.x k −12 = C12 x 3k −12 312 −k Số hạng chứa x tương ứng với 3k − 12 = ⇔ k = ⇒ hệ số số hạng chứa x : C12 35 = 192456 Câu 9: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính tổng S = + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2018.22017 A S = 2017.22018 + B S = 2017.22018 C S = 2018.22018 D 2018 S = 2019.2 + Đáp án A Ta có 2S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + + 2018.22018 2018 Khi 2S − S = 2018.2 + ( − ) + ( − ) + ( − ) + − = 2018.22018 − ( 20 + 21 + 22 + 23 + + 2017 ) = 2018.22018 − 20 ( − 22018 ) = 2018.22017 + 1− Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm hệ số số hạng chứa x khai 11 triển nhị thức Newton ( + 2x ) ( + x ) A 4620 : Đáp án C B 1380 C 9405 11 D 2890 11 11 k =0 k =0 k 11− k k k 11− k k k 11− k k +1 Ta cos ( + 2x ) ( + x ) = ( + 2x ) ∑ C11 x = ∑ C11 x + 2∑ C113 x 11 k =0 11 Số hạng chứa x C x + 2C x = 9405x Câu 11: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm hệ số x khai triển 11 9 9   biểu thức  2x − ÷ x   A −96 B −216 Đáp án A C 96 D 216 4 4− k k  k k  Ta có  2x − ÷ = ∑ C k4 ( 2x ) ( −3) ( x −3 ) =∑ C 4k 4− k ( −3 ) x16−7k x  k =0  k =0 −1 9 Số hạng chứa x ⇔ 16 − 7k = ⇒ k = ⇒ a1 = C x = −96x Câu 12: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Gọi S tập hợp tất số tự k k +1 k+2 nhiên k cho C14 , C14 , C14 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tích tất phần tử S A 16 B 20 C 32 D 40 Đáp án C k +1 k k+2 2C14 = C14 + C14 ⇔ ⇔ 14! 14! 14! = + ( k + 1) ! ( 13 − k ) ! k! ( 14 − k ) ! ( k + ) ! ( 12 − k ) ! ( 14 − k ) ( 13 − k ) ( 14 − k ) k +1 = + ( k + 1) ! ( 14 − k ) ! ( k + 1) ! ( 14 − k ) ! ( k + ) ( k + 1) ! ( 14 − k ) ! ⇔ ( 14 − k ) = k + + ( 13 − k ) ( 14 − k ) k+2 ⇔ ( 28 − 2k ) ( k + ) = ( k + 1) ( k + ) + ( 13 − k ) ( 14 − k ) k = ⇔ −2k + 24k + 56 = k + 3k + + k − 27k + 182 ⇔ 4k − 48k + 128 = ⇔  ⇒ 4.8 = 32 k = Câu 13:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Tìm hệ số x khai triển nhị thức n   Newton  x + ÷ với x > , biết n số tự nhiên lớn thỏa mãn An ≤ 18 An− x  A 8064 B 3360 C 13440 D 15360 Đáp án A Điều kiện: n ≥ Ta có An ≤ 18 An − ⇔ ( n − ) ! ⇔ n ( n − 1) ≤ 18 n! ≤ 18 n−5 ( n − 5) ! ( n − 6) ! ⇔ n − n≤ 18 ( n − ) ⇔ n − 19n + 90 ≤ ⇔ ≤ n ≤ 10 → n = 10 10 k 6k 10 10 10 −   10 − k   k k 10 − k  ÷ = ∑ C10 x Với n = 10 , xét khai triển  x + ÷ = ∑ C10 ( x ) x  k =0  x k =0 6k = ⇒ k = Vậy hệ số cần tìm C105 25 = 8064 Hệ số x ứng với 10 − 21 Câu 14: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong khai triển biểu thức ( x + y ) , hệ số số hạng chứa x13 y8 A 116280 B 293930 C 203490 D 1287 Đáp án C x 21− k k Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk+1 = C21x y ( ≤ k ≤ 21;k ∈ ¥ ) ứng với số hạng chứa x13y8 k = Vậy hệ số số hạng chứa x13y8 a8 = C821 = 203490 Câu 15 (Chuyên Thái Bình- 2018)Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức 21   Newton  x − ÷ , ( x ≠ 0, n ∈ N *) x   7 A C21 8 C −2 C21 8 B C21 7 D −2 C21 Đáp án D Ta có: Error: Reference source not found Số hạng không chứa x  k – 2(21 – k) =  k = 14 14 21−14 = C217 (−2)7 (theo tính chất Error: Reference source not found) Số cần tìm C21 ( −2) Câu 16: (Chuyên Thái Bình- 2018) Biết hệ số x khai triển nhị thức Newton ( − x ) , ( n ∈ N *) n A n = 60 Tìm n B n = C n = D n = Đáp án B ( − x) n , (n ∈ N * ) Số hạng tổng quát khai triển ( −1) Cnk 2n − k ( x ) , ( n ∈ N * ) k Theo u cầu tốn ta có k = k Vậy hệ số x4 khai triển ( −1) Cn4 2n − = 60 n −4 Giải phương trình Cn = 60 ⇔ n = Câu 17: (Chuyên Vĩnh Phúc–lần 2) Tìm tất số a khai triển ( + ax ) ( + x ) A a = có chứa số hạng 22x B a = C a = −3 D a = Đáp án A n k k n −k Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( a + b ) = ∑ Cn a b , tìm hệ số n k =0 x khai triển cho hệ số 22 4 k =0 k =0 k k k k +1 Cách giải: ( + ax ) ( + x ) = ( + ax ) ∑ C x + a ∑ C x Hệ số có chứa x khai triển C + aC = + 6a = 22 ⇔ a = Câu 18: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm hệ số x khai triển 12 P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) A 1715 Đáp án A B 1711 C 1287 D 1716 Phương pháp k Hệ số x khai triển ( x + 1) ( k ≥ ) Ck Lấy tổng hệ số lại để kết Lời giải chi tiết k Hệ số x khai triển ( x + 1) ( k ≥ ) Ck Do hệ số x khai triển 5 5 5 p ( x ) C6 + C7 + C8 + C9 + C10 + C11 + C12 = 1715 Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức 10 11 12 p ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) ( + x ) Khai triển rút gọn ta đa 12 thức: P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x Tìm hệ số a8 A 720 B 700 C 715 Đáp án C Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát: ( a + b ) D 730 n n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 n k n−k k Đối với toán ta áp dụng công thức ( + x ) = ∑ Cn x Sau dựa vào khai n k =0 12 triền toán cho P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a2 x ta tìm hệ số a8 (đi theo x8 ) Cách giải: +) ( + x ) = ∑ C8k 18− k x k ⇒ a8 = C88 k =0 +) ( + x ) = ∑ C9k 19− k x k ⇒ a8 = C98 k =0 +) ( + x ) 10 10 = ∑ C10k 110− k.x k ⇒ a8 = C108 k =0 11 +) ( + x ) = ∑ C11k 111− k x k ⇒ a8 = C118 11 k =0 +) ( + x ) 12 12 = ∑ C12k 112− k.x k ⇒ a8 = C128 k =0 8 8 Vậy Hệ số cần tìm là: a8 = C8 + C9 + C10 + C11 + C12 = + + 45 + 165 + 495 = 715 Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức 10 11 12 p ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) ( + x ) Khai triển rút gọn ta đa 12 thức: P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x Tính tổng hệ số , i = 0,1, 2, ,12 A B 7936 C D 7920 Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức tổng n số hạng cấp số nhân S n = u1 ( q n − 1) q −1 n k k n−k Áp dụng khai triển nhị thức Newton ( a + b ) = ∑ Cn a b k =0 n k n Sử dụng tổng ( + 1) = ∑ Cn = 2 k =0 Cách giải: 10 11 12 p ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) ( + x ) ( + 5) − 1 ( + x ) 13 − ( + x ) ( + x ) 13 ( + x ) = = − 1+ x −1 x x x = 13 = ∑C m =0 m 13 xm = x ∑C n =0 n xn x 13 = ∑ C13m x m −1 − ∑ C13n x n −1 m =0 n=0 ⇒ a0 + a1 + a2 + + a12 = ( C − C ) + ( C132 − C82 ) + + ( C138 − C88 ) + C139 + + C1313 13 13 8 ∑C − ∑C a =1 a 13 b =1 b n 13 k =0 a =1 k n a 8 Xét tổng ( + 1) = ∑ Cn = ⇒ ∑ C13 = − C8 = − ⇒ a0 + a1 + a2 + + a12 = 213 − − 28 + = 7936 Câu 21: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2)Tìm hệ số h số hạng chứa x5 khai triển  2 x + ÷ ? x  A h = 84 Đáp án D B h = 672 C h = 560 D h = 280 n k k n−k Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ Cn a b k =0 7 2  Cách giải: Ta có:  x + ÷ = ∑ C7k 2k x14 −3k x  k =0  Hệ số x ⇔ 14 − 3k = ⇔ k = 3 Vậy h = C7 = 280 Câu 22: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Biết n số nguyên dương thỏa mãn A 3n + 2A n2 = 100 Hệ số x khai triển ( − 3x ) 2n bằng: 5 A −3 C10 5 B −3 C12 5 C C10 5 D C10 Đáp án A Điều kiện: n ≥ Ta có A n + 2A n = 100 ⇔ n! n! + = 100 ( n − 3) ! ( n − ) ! ⇔ n ( n − 1) ( n − ) + 2n ( n − 1) = 100 ⇔ n − n − 100 = ⇔ n = (điều kiện : n ≥ ) Với n = 5, xét khai triển ( − 3x ) 10 10 10 k k = ∑ C10 110−k ( −3x ) = ∑ C10 ( −3) x k k =0 k k k =0 5 ( −3) = −35.C10 Hệ số x ứng với x k = x → k = Vậy hệ số cần tìm C10 2017 Câu 23: Cho tổng S = C 2017 + C 2017 + + C 2017 Giá trị tổng S bằng: A 22018 Đáp án C B 22017 C 22017 − D 22016 Xét khai triển ( + x ) = C0n + x.C1n + x C2n + + x n C nn n ( *) x = 2017 2017 = C02017 + C12017 + C 22017 + + C2017 − Thay  vào (*), ta 2017 ⇒ S = n = 2017  Câu 24: (Chun Hùng Vương-Bình Dương.) Tính tổng 1009 1010 1011 2018 k S = C 2018 + C2018 + C2018 + + C 2018 (trong tổng đó, số hạng có dạng C2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 ) 1009 1009 2018 1009 2017 2017 2017 1009 A S = − C 2018 B S = + C 2018 C S = − C 2018 D S = − C2018 2 Đáp án B Ta có: ( + x ) 2018 2018 2018 2018 = ∑ Ck2018 x k = C02018 +C12018 x + + C2018 x k =0 2018 = C02018 + C12018 + + C 2018 Chọn x = ⇒ 2018 k n −k 2018 1011 2018 1009 1009 2017 = ( C1010 + C1009 Vì C n = C n ⇒ 2018 + C 2018 + C 2018 ) + C 2018 = 2S + C 2018 ⇒ S = 2018 Câu 25: (Viên Khoa Học Thương Mại Quốc Tế) Hệ số x9 sau khai triển rút gọn 10 14 đa thức f ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) là: A 2901 B 3001 C 3010 D 3003 Đáp án D n k k Phương pháp: Sử dụng khai triển ( + x ) = ∑ Cn x n k =0 n k k Cách giải: Ta có : ( + x ) = ∑ Cn x n k =0 9 9 Do hệ số x khai triển C9 + C10 + C11 + + C14 = 3003 40 40 1  Câu 26: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho  x + ÷ = ∑ a k x k , với a k ∈ ¡ 2  k =0 Khẳng định sau đúng? 25 25 A a 25 = C 40 B a 25 = 25 C40 225 C a 25 = 25 C40 215 25 D a 25 = C 40 Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton ( a + b ) n n = ∑ C kn a n −k b k k =0 40 40 − k 40 40 1  1  1 Lời giải: Xét khai triển  x + ÷ =  + x ÷ = ∑ C k40  ÷ 2  2  2 k =0 x k 15 25  12  Hệ số x 25 ứng với x k = x 25 ⇒ k = 25 Vậy a 25 = C 25 40  ÷ = 15 C 40  2 Câu 27: (Cụm trường chuyên) Tìm hệ số x khai triển P ( x ) = ( x + 1) B A 20 A C 20 C A 2013 20 D P7 Đáp án A n k n n−k Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ C n a b n k =0 Cách giải: P ( x ) = ( x + 1) 20 20 = ∑ C k20 x k k =0 Để tìm hệ số x ta cho k = , hệ số x C 20 12   Câu 28: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong khai triển  + x ÷ với x ≠ Số hạng x  chứa x là: A 924x B 792 C 792x D 924 Đáp án C n k n −k k Phương pháp : Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ C n a b n k =0 12 k 12 12 − k   k   k k Cách giải :  + x ÷ = ∑ C12  ÷ ( x5 ) = ∑ C12 3k x 60−5k = ∑ C12 x 60−8k x x x     k =0 k =0 k =0 4 60 − 8k = ⇔ k = ⇔ Số hạng chứa x C12 x = 792x 12 12 k Câu 29: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Với n số nguyên dương thỏa mãn A n + 2A n = 100 ( A kn số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử) Số hạng chứa x khai triển biểu thức ( + 3x ) A 61236 2n là: B 256x C 252 D 61236x Đáp án D k Phương pháp: Chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử A n = Cách giải: n! ( n − k) ! A kn + 2A 2n = 100 ⇒ 2A 2n < 100 ⇔ A 2n < 50 ⇔ n! − 201 + 201 < 50 ⇔ n ( n − 1) < 50 ⇔ n − n − 50 < ⇔ k số lẻ, thuộc đoạn  ;1345 => có 673 số 3  nguyên k thỏa mãn Với số nguyên k xác định số nguyên n Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu toán Câu 36: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)v Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển biểu thức    3x − ÷ x   A -810 Đáp án A B 826 C 810 D 421 Phương pháp giải: n n Áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton ( a + b ) = ∑ Ckn a n −k bk k =0 k  k    k − ÷ = ∑C 5k 35−k ( −2 ) x15−5k 3x − ÷ =∑C5 ( 3x ) x    x  k =0 k =0 chứa x10 ứng với 15 − 5k = 10 ⇔ k = Lời giải: Xét khai triển Hệ số số hạng Vậy hệ số cần tìm −k C15 34 ( −2 ) =−810 Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong khai triển ( + 3x ) hệ số số hạng đứng 11 11 12 12 A C20 B C20 20 với số mũ tăng dần, 10 10 C C20 9 D C 20 Đáp án A Phương pháp giải: Khai triển với số mũ n số chẵn số hạng Lời giải: Xét khai triển ( + 3x ) 20 20 1+ n 20 = ∑ C k20.120− k ( 3x ) = ∑ C k20.3k.x k k =0 Số hạng đứng khai triển ứng với k = k k =0 + 21 = 11 11 11 Vậy hệ số số hạng cần tìm C20 Câu 38: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hệ số số hạng chứa x khai triển thành 10 đa thức biểu thức A = ( − x ) là: A 30 B -120 C 120 D -30 Đáp án B Phương pháp n k n −k k Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( a + b ) = ∑ Cn a b n k =0 Cách giải 10 10 k A = ( − x ) = ∑ C10 ( −x ) = ∑ C10k ( −1) ( x ) 10 k k =0 k k k =0 ⇒ Hệ số số hạng chứa x C10 ( −1) = −120 Câu 39: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Tìm hệ số x3 sau khai triển 1  rút gọn đơn thức đồng dạng  − x + x ÷ , x ≠ x  A −2940 B 3210 C 2940 Đáp án A D −3210 1− x + 2x3 ) (   Ta có  − x + 2x ÷ = x9 x  Ta cần tìm hệ số x12 khai triển P = ( 1− x + 2x3 ) 9 Ta có P = ∑ C k =0 k ( 2x − x ) k k = ⇒  k = thỏa mãn  k = +) Với k = ⇒ hệ số C96 ( −1) = 84 4 +) Với k = ⇒ hệ số C9 = 2016 k 10 10 k′ +) Với k = ⇒ C9 ( 2x − x ) = 126x ( 2x − 1) = 126x ∑ C5 ( 2x) ( −1) k k′ 5− k ′ k ′= k ′ = ⇒ hệ số 126.C ( −1) = −5040 Vậy hệ số cần tìm 84 + 2016 − 5040 = −2940 Câu 40: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Tìm hệ số số hạng chứa x khai   triển  2x + ÷ với x ≠ x   A 4608 B 128 C 164 D 36 Đáp án A 5− k 9  9−k    Ta có:  2x + ÷ = ∑ C9k ( 2x )  ÷ = ∑ C9k 29− k.x 9−3k x  k =0  x  k =0 Số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: − 3k = ⇒ k = 2 Hệ số x khai triển là: C9 = 4608 Câu 41: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị 21   thức Newton  x − ÷ , ( x ≠ ) x   7 8 A C 21 B C21 Đáp án D 8 C −2 C21 7 D −2 C21 21   −2 21  x − ÷ = ( x − 2x ) có SH tổng quát: x   C k21.x 21− k ( −2x −2 ) = C k21.x 21− k ( −2 ) x −2k = C k21 ( −2 ) x 21−3k k k k Số hạng không chứa x C k21 ( −2 ) x 21−3k cho k 21 − 3k = ⇔ k = ⇒ C 721 ( −2 ) = −27 C721 2 10 10 Câu 42: (Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2) Tính tổng S = C10 + 2.C10 + C10 + + C10 A S = 210 B S = 310 C S = 410 D S = 311 Đáp án B Phương pháp: Chọn khai triển phù hợp sau chọn x Cách giải: Xét khai triển ( + x ) 10 10 k 10 = ∑ C10 x k = C10 x + C110 x1 + C10 x 210 + + C10 10 x k =0 Chọn x = ta có: ( + ) 10 10 10 = 310 = C10 + C10 + C10 22 + + C10 Câu 43: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho P ( x ) = ( + 3x + x ) Khai 20 40 triển P(x) thành đa thức ta P ( x ) = a + a1x + a x + + a 40 x Tính S = a1 + 2a + + 40a 40 A S = −20.519 B S = 20.521 C S = 20.519 D S = 20.520 Đáp án Phương pháp: n n n −1 n n i n −i i Công thức nhị thức Newton ( x + y ) = C n x + C n x y + + C n y = ∑ C n x y n i =0 Cách giải: P ( x ) = a + a1x + a x + + a 40 x 40 P ' ( x ) = a1 + a x + + a 40 x 39 Ta có P ( x ) = ( + 3x + x ) 20 ⇒ P ' ( x ) = 20 ( + 3x + x ) 19 ( + 2x ) ⇒ 20 ( + 3x + x ) 19 ( + 2x ) = P ' ( x ) = a1 + a x + + a 40 x 39 Cho x = ⇒ 20 ( + + 1) 19 ( + 2.1) = a1 + a + + 40a 40 a1 + a + + a 40 = 20.520 ⇒ S = 20.520 S ∈ MN ⇒ S ( + t;1;1 − t ) S ∈ ( P ) ⇒ ( + t ) + − ( − t ) = ⇔ + 2t = ⇔ t = 3 1 ⇒ S  ;1; ÷ 2 2 3 1 Vậy, biểu thức A đạt GTNN  ;1; ÷ ⇒ x + y = 2 2 Câu 44: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Rút gọn tổng sau 2018 S = C 22018 + C52018 + C82018 + + C 2018 A S = 22018 − B S = 22019 + C S = 22019 − D S = 22018 + Đáp án A 2016 A 2018 = C02018 + C32018 + + C 2018 2017 B2018 = C12018 + C 2018 + + C2018 2018 C 2018 = C 2018 + C52018 + + C2018 Ta có kết sau A 2018 = C2018 = B2018 − (Có thể chứng minh phương pháp quy nạp toán học, tổng quát A 6k + = C 6k + = B6k + − 1; A 6k +5 = C 6k +5 = B6k + − 1) Mặt khác ta có 2018 A 2018 + B2018 + C 2018 = C02018 + C12018 + + C 2018 ( + 1) 2018 = 22018 22018 − Câu 45: (Cụm trường chuyên)Có số nguyên dương n cho S = + ( C10 + C 02 + + C0n ) + C11 + C12 + + C1n + + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn số có 1000 chữ số A B C D Đáp án A ⇒ S + ( S + 1) + S = 22018 ⇒ S = ( ) Phương pháp : +) Nhóm tổ hợp có số n k n n +) Sử dụng tổng ( + n ) = ∑ C n = C n + Cn + Cn + Cn = n k =0 +) Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân +) Để S số có 1000 chữ số 10999 ≤ S ≤ 101000 Cách giải: S = + ( C10 + C02 + + C 0n ) + ( C11 + C12 + + C1n ) + + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn S = + ( C 10 + C11 ) + ( C 20 + C12 + C 22 ) + ( C30 + C13 + C32 + C33 ) + + ( C n0 + C1n + C n2 + + C nn ) n k n n Xét tổng ( + n ) = ∑ C n = Cn + Cn + Cn + Cn = n k =0 Từ ta có: S = + 21 + 22 + 23 + + 2n = + ( − 2n ) = + ( 2n − 1) = 2n +1 1− Để S số có 1000 chữ số 10999 ≤ 2n +1 ≤ 101000 ⇔ log 10999 − ≤ n ≤ log 101000 − ⇔ 3317, ≤ n ≤ 3320,9 n số nguyên dương ⇒ n ∈ { 3318;3319;3320} Câu 46: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Giả sử ( + x ) ( + x + x ) ( + x + x + + x n ) = a + a1x + a x + + a m x m m Tính ∑a r =0 r m ∑a r =0 r C ( n + 1) ! B n A Đáp án C D n! = f ( 1) = 2.3 ( n + 1) = ( n + 1) ! Câu 47: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Tổng 2018 2017 S = 12.C2018 20 + 22.C2018 21 + 32.C2018 2 + + 20182.C2018 = 2018.3a ( 2.b + 1) , với a, b số nguyên dương ( 2.b + 1) khơng chia hết cho Tính a + b A 2017 B 4035 C 4034 Đáp án C Xét f ( x ) = ( + x ) = n (1) n n k =0 k =0 = ∑ Cnk x k ⇒ f ' ( x ) = ∑ k Cnk x k −1 Nhân x vào vế ta có: n x f ' ( x ) = ∑ k Cnk x k k =0 n ⇒ ( x f ' ( x ) ) ' = ∑ k Cnk x k −1 (2) k =0 Từ (1) (2) ⇒  x.n ( x + 1) n −1 ′ = ∑ k Cnk x k −1  k =0 n D 2018 ⇔ n ( x + 1) n −1 + n ( n − 1) x ( x + 1) n−2 n = ∑ k Cnk x k −1 k =0 x = Cho  ta được: n = 2018 2018 k 2018.32017 + 2.2018.2017.32016 = ∑ k C2018 2k −1 k =0 Theo bài: 2018.32016 ( + 2.2017 ) = 2018.3a ( 2b + 1) 2016 a Đồng thức: 2018.3 ( 2.2018 + 1) = 2018.3 ( 2b + 1) a = 2016 ⇒ ⇒ a + b = 4034 b = 2018 Tóm lại: +) Đạo hàm (1) +) Nhân với x (2) +) Lại đạo hàm (3) Câu 48: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Giả sử (1 − x + x )n = a0 + a1x + a2 x + + a n x 2n Đặt s = a0 + a2 + a4 + + a2 n , đó, s 3n + 3n − 3n A B C D 2n + 2 Đáp án A (lời giải câu 30) • Thay x = vào giả thiết cho, ta • a0 + a1 + a1 + + a2 n = (1) Thay x = −1 vào giả thiết cho, ta • a0 − a1 + a2 − + a2n = 3n Cộng (1) (2), ta có (2) 3n + = 2(a0 + a2 + a4 + + a n ) 3n + Câu 49: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển n ( − 2x ) = a + a1x + a x + + a n x n Tìm a biết a + a1 + a = 71 A −672 B 672 C 627 Đáp án A Hay s = n D −627 k k 2 n n Ta có ( − 2x ) = ∑ C n ( −2 ) x =1 + Cn ( −2 ) x + C n ( −2 ) x + + C n ( −2 ) x n k k =0 Suy a + a1 + a = 71 = − 2C n + 4Cn = 71 ⇒ n = n Suy a5 = C57 ( −2) = −672 ... 22019 − D S = 22018 + Đáp án A 2016 A 2018 = C 02018 + C 32018 + + C 2018 2017 B2018 = C 12018 + C 2018 + + C2018 2018 C 2018 = C 2018 + C 52018 + + C2018 Ta có kết sau A 2018 = C2018 = B2018 − (Có... C2018 x k =0 2018 = C 02018 + C 12018 + + C 2018 Chọn x = ⇒ 2018 k n −k 2018 1011 2018 1009 1009 2017 = ( C1010 + C1009 Vì C n = C n ⇒ 2018 + C 2018 + C 2018 ) + C 2018 = 2S + C 2018 ⇒ S = 2018. .. 1009 đến 2018 ) 1009 1009 2018 1009 2017 2017 2017 1009 A S = − C 2018 B S = + C 2018 C S = − C 2018 D S = − C2018 2 Đáp án B Ta có: ( + x ) 2018 2018 2018 2018 = ∑ Ck2018 x k = C 02018 +C 12018 x