Tai lieu mon toan vip1284

, ˜ HU ˜,U ÐIÊN NGUYÊN , , ´ P ÐIRICHLÊ PHUONG PHA , ´ ` VA UNG DUNG , ´ BAN KHOA HOC VA ` XUÂT ` KY ˜ THUÂT NHA ` NÔI HA 1999 , ` ` I NOI ´ ÐÂU LO , , ,, , ˜d Nguyên l´y nh˜ung c´ lô`ng v` a c´ ac ch´ u tho d ¯a ¯uo c biê´t d ¯ê´n t`u râ´t , , ,, , , ˜ l` lâu Ngay chuong tr`ınh phô thông co so ch´ ung ta c˜ ung d am ¯a , , , , , ´i phuong ph´ quen vo ap giai to´ an n` ay Thu c nguyên l´y n` ay mang ,`, ´, tên nh` a b´ ac hoc Legien Dirichlet (1805 nguoi Ð,uc Pête Gutxtap , , , 1859) Nguyên l´y ph´ at biêu râ´t d ung ta nhô´t tho v` ao ¯on gian: Nê´u ch´ , , , c´ ac lô`ng m` a sô´ lô`ng ´ıt hon sô´ tho, th`ı thê n` ao c˜ ung c´ o môt lô`ng nhô´t ´ıt , nhâ´t hai tho , , , , `˘ng nguyên l´y d ˜ Chı ba ang loat ac b` to´ an d ¯on gian nhu vây ¯a h` c´ , ,, d ¯uo c giai , ,, , Cuô´n s´ ach d lai theo t`ung chu d o liên quan d ¯uo c biên soan ¯ê` c´ ¯ê´n , , , , , ˜ c´ ´p dung nguyên l´y, môi ach giai v´ı du cua t`ung chuong l` aa , , ,´, ´ d tâp o liên quan d¯ên b` ¯iên h`ınh nguyên l´y Ðirichlê B` giai truoc c´ , , , ` ´ ´ giai sau nên cân luu ´y khia d ach Voi mong muôn c` ung ban ¯oc ¯oc s´ d , ,, , ´ thao luân ap chung minh to´ an hoc a hy vong cung môt phu,ong ph´ v` ´ ` câp môt liêu ac thây cô gi´ ao v` a c´ ac em hoc t` bô ´ıch cho c´ sinh ham , mê t`ım t` oi to´ an hoc, ac gia manh dan ach t´ biên soan cuô´n s´ , , ´˘n ´ ´ ´ ` ˘c cha n` ay Do kha n˘ ang v` a thoi gian c` on han ach cha chê, cuôn s´ , , , , ´ng g´ không tr´ anh khoi thiê´u s´ ot Ch´ ung mong d op ´y ¯uo c su d ¯o , , , ,, , ´ ` ´ kiên cua d op ´y xin gui vê Nh` a xuât ban Khoa hoc a K˜y ¯oc gia Thu g´ v` , ` thuât a Nôi - 70 Trân Hung Ðao, H` , L`oi n´ oi d¯â`u , , , ˜ Hô`ng Tân d ˜d T´ ac gia xin chân th` anh cam on PGS-TSKH Ðô ¯a ¯oc , , ` ´ ´ng g´ v` ad op nhiêu ´y kiên qu´ı b´ au qu´ a tr`ınh ho` an chınh ban ¯o , thao , T´ ac gia , , CHUONG ´ ÐIRICHLÊ VA ` V´I DU NGUYÊN LY 1.1 Nguyên l´ y Ðirichlê ,, , Nguyên l´y Ðirichlê nhiê`u ngu`oi ta goi a ăNguyờn ly nhung ,l` , c biờt ng an keoă éõy l` a mụt o nhiê`u ¯on gian, d ¯a nguyên l´y râ´t d c´ , , , ´ ng dung u c´ ac l˜ınh vu c kh´ ac cua to´ an hoc ung nguyên D` , , ,`, , ˜ ´ ng minh tô`n tai ´,i t´ınh ang chu l´y n` ay nguoi ta dê d` ¯ô´i tuo ng vo môt d , , , , , châ´t x´ ac d Dang o thê ph´ at biêu nhu sau: ¯inh ¯on gian nhâ´t c´ d Nê´u c´ o m vât ˘ t v` ao n c´ ng˘ an k´eo v` a m > n th`ı c´ o ´ıt nhâ´t môt d¯a , ´ ng˘ an k´eo chu´a ´ıt nhât hai vât , ,, ,, , , `˘ng vo ´,ng minh d ´i nguyên l´y n` Tuy ay ngu`oi ta chı chu ¯uo c su tô`n , , ,, ,, ,, , tai a không d¯ua d ap t`ım d cu thê, nhung ¯uo c phuong ph´ ¯uo c vât m` , , , , , thu c tê´ nhiê`u b` to´ an ta chı câ`n chı su tô`n tai ad ¯u rô`i l` , , , Nguyên l´y Ðirichlê l` a môt at biêu ¯inh l´y vê` tâp d ho p h˜uu han Ph´ , ch´ınh x´ ac nguyên l´y n` ay nhu sau: ,, , , ˜ Cho A v` a B l` a hai tâp o sô´ phâ`n tu h˜uu , h,o p không rông c´ , , ,, , ´,n ho,n sô´ lu,o.,ng phâ`n tu, cua han, a sô´ luo ng phâ`n tu cua A lo m` , , ˜ phâ`n tu, cua A cho tu,o,ng ´ ´,i môt ˘c n` B Nê´u vo ao d ¯â´y, môi qui ,ta , ,, , ´,ng vo ´,i môt u kh´ ac cua A phâ`n tu B, th`ı tô`n tai hai phâ`,n tu , , ´, , , ´,i c` m` a ch´ ung tuong u ng vo ung môt phâ`n tu cua B , , ,, , , `˘ng c´ ´, cho Ðê d˜ê hiêu ta cu ac phõ`n tu cua tõp a ăNhung ng an B l` ,, Chuong Nguyên l´y Ðirichlê v` a v du , ,, , ,, t v` keoă v` a c´ ac phâ`n tu cua A d ao c´ ac ng˘ an k´eo cua n´ o Trong ¯uo c d¯a , , ,, , , , `˘ng ` ph´ at biêu cua nguyên l´y c´ ac phân tu h˜uu han ¯uo c t´ınh ba d , , ´i tâp sô´ tu nhiên, v`ı vây c´ o liên quan mât Nguyên l´y Ðirichlê thiê´t to , , ´ , , ´ ´ ho p sô tu nhiên v` a c´ ac t´ınh chât cua tâp ay ho p sô n` 1.2 V´ı du , , , 1.1 Ðê ky niêm am ng` ay giai ph´ ong Miê`n Nam, tai anh , 20 n˘ ,môt th` , , , , , , , ˜ ˜ ng ngu`oi 20 tuôi Ng` ay 30 ˘p ma ˘ t nhu phô´ ngu`oi ta tô chu´c buôi lê ga , , ´ buôi ga th´ ang n˘ am d¯o ˘ p ma ˘ t c´ o 400 niên Chu´ng minh , ,, , , , ` ˘ng c´ o ´ıt nhâ´t hai ngu`oi sô´ ngu`oi t´ oi du c` ung chung môt ay ng` sinh , , ˜ ng` `,i giai N˘ Lo am 1995 c´ o 365 ng` ay Ch´ ung ta coi môi ay nhu môt , ´ ´ ´ ` ´ ng˘ an k´eo v` ad a nh sô t u d ê n 365 (ng˘ a n k´ e o cuô i c` u ng l` a ng` a y 31 ¯ ¯ , ˘ t nh˜ung niên c´ th´ ang 12 n˘ am 1995) Ch´ ung ta d o ng` ay sinh ¯a , , ´, , , ´,n ´ Nhung sô´ niên d tuong ung v` ao c´ ac ng˘ an k´eo d ¯o ¯ê´n du l˜ê lo ,, ,, , hon sô´ ng˘ an k´eo, theo nguyên l´y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai ngu`oi d ¯uo c ˘ t v` ´ c´ d ao c` ung môt an k´eo Ðiê`u d o ngh˜ıa l` a ho sinh c` ung môt ¯a ¯o ng˘ ng` ay , ,, ˜ ngu,`o,i 1.2 Trong sinh hoc ˘`ng sô´ t´ oc d¯â`u cua môi ngu`oi ta biê´t , , ,, không qu´ a 200.000 c´ Chu´ng minh ˘`ng sô´ ngu`oi cua th` anh , , , , phô´ H` a nôi, oi sô´ dân hon 2.000.000, c´ o ´ıt nhâ´t 11 ngu`oi c´ o c` ung sô´ v´ ❏ t´ oc , ,, , `,i giai Ch´ ´nh sô´ t`u d Lo ung ta x´et 200.000 ng˘ an k´eo d ¯uo c d ¯a ¯ê´n , , ˜ ngu`oi dân H` tă mụi 199.999 Ch ung ta ăd a nụi v` ao môt an k´eo ¯a ng˘ , , ,., , , ,, `˘ng sô´ thu ´ tu cua ng˘ m` a sô´ t´ oc ba an k´eo Gia su không c´ o 11 ngu`oi , ,, ˜ ng˘ c´ o c` ung sô´ t´ oc, nhu vây an c´ o nhiê`u nhâ´t l` a 10 ngu`oi c´ o c` ung môi ´ sô´ dân H` sô´ t´ oc, d a nơi a 200.000×10=2.000.000, ¯o nhiê`u nhâ´t l` 1.2 V´ı du , ´,i gia thiê´t l` ´,n ho,n triêu ´ ng vo d ay không d a sô´ dân H` a nôi ¯iê`u n` ¯u lo ❏ , ,, 1.3 Ba muoi hoc am b` viê´t ch´ınh ta Môt sinh l` sô´ hoc sinh , , ˜ ˜ ´ ´ bi 14 lôi, c` d¯o on c´ ac hoc ac ma ˘c lôi ´ıt hon Chu´ng minh ˘`ng sinh kh´ , , ˜ ba ˘´c sô´ lôi ˘`ng c´ o ´ıt nhâ´t ba ngu`oi ma , ,, , `,i giai Ch´ ´nh sô´ t`u d Lo ung ta x´et 15 ng˘ an k´eo d ung ¯uo c d ¯a ¯ê´n 14 Ch´ ˜ ` tă mụi hoc ng sụ lụi ng ba ta ăd ao mụt an keo mang sô d ¯a ¯u sinh v` ng˘ , ˜ ba `˘ng nhau, cua hoc ay Nê´u không c´ o ba hoc ao c´ o sô´ lôi sinh n` sinh n` , ˜ ng˘ th`ı môi an mang sô´ t`u 0,1,2, ,13 s˜e c´ o nhiê`u nhâ´t hai hoc , , , , ´ ` ´ ´ ´ sô luo ng cua nh˜ung hoc sinh Khi d ay nhiêu nhât l` a 28 Nêu ¯o sinh n` ˜ ´ ´ ˘c 14 lôi (trong ng˘ ´ hoc thêm v` ao d an k´eo sô 14) ch´ ung ta s˜e ¯o sinh ma , ,, ˜ d ` ´ ´ ` nhân ay dân ¯uo c nhiêu nhât 29 hoc ¯iêu n` ¯ê´n d sinh viêt ch´ınh ta, d , , ´i d ˜ cho su vô l´y vo ¯iê`u kiên ¯a d ❏ , ,, ˜ nh´ o ´ıt nhâ´t hai 1.4 Chu´ng minh ˘`ng môi om ban ngu`oi c´ , , , , , ,`, , , , ˜ a nhu ˜ ng ngu`oi nh´ o c` ung sô´ luo ng ngu`oi quen giu om d¯os nguoi c´ , ,, , , ` ´ Chu´ng minh ˘ng c` ung kêt luân oi nh´ om ban o sô´ luo ng nhu vây v´ c´ th` anh viên bâ´t k`y , , ˜ ngu,`o,i `,i giai Ch´ ´nh sô´ t`u d¯ê´n Môi Lo ung ta x´et n˘ am ng˘ an k´eo, d ¯a , ,, ´,i sô´ ngu,`o,i ˘ t v` tham du d ao ng˘ an k´eo mang sô´ tr` ung vo ¯uo c d ¯a ,, ´ quen nh´ om m` a ngu`oi d ¯o , ,, , ,, a) Nê´u c´ o môt ngu`oi không quen ca trong, sô´ nh˜ung ngu`oi ,, c` on lai, an sô´ l` a trô´ng (v`ı nguo c lai an v` a4 th`ı ng˘ th`ı ca hai ng˘ , , , ˜ d ˜ ngu`oi sô´ d ¯ê`u không trô´ng, dân ¯ê´n vô l´y) Nhu vây, môi ,`, , , ´,i sô´ lu,o.,ng ng˘ ˘ t v` nguoi d ao c´ ac ng˘ an mang sô´ 0,1,2,3 vo an ¯uo c d ¯a ,, , , , T`u nguyên l´y Ðirichlê suy ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu`oi o môt an, ng˘ , , , , hay l` a, ho c´ o chung sô´ luo ng ngu`oi quen ,, Chuong Nguyên l´y Ðirichlê v` a v´ı du ,, ,, ,, ˜ ngu,`o,i s˜e d b) Nê´u moi o ´ıt nhâ´t môt ¯uo c ngu`oi c´ ngu`oi quen, môi ´,i sô´ lu,o.,ng ng˘ ˘ t v` d ao c´ ac ng˘ an mang sô´ 1,2,3,4, vo an Phâ`n c` on lai ¯a ´p dung a nguyên l´y Ðirichlê ❏ , , , ˜ ca ´ tham du 16 d¯ôi 1.5 Trong môt ong d¯a ˘ p hai d¯ôi phai giai b´ ,Môi , , , , ˜ th`o,i d d¯â´u v´ oi Chu´ng minh ˘`ng tai o ´ıt nhâ´t ¯iêm cua giai c´ môi , ˜ d¯â´u nhu 2d o sô´ trân ¯ôi c´ d¯a , , `˘ng `,i giai Ch´ ´nh sô´ t`u d Lo ung ta x´et 16 ng˘ an k´eo d u ´y ¯a ¯ê´n 15 Ch´ , , , , , ˜ d ´n nhâ´t c´ 15 l` a sô´ luo ng lo ac trân b´ ong m` a môi c´ o thê d th`oi ¯ôi ¯â´u tai , ˜ d `˘ng ˘ t môi d ay d ong v` ao ng˘ an k´eo mang sô´ ba ¯iêm d ¯ang x´et H˜ ¯a ¯ôi b´ , , `˘ng ˜d ´ Ch´ sô´ c´ ac trân ad ung ta nhân ¯ôi ¯a ¯â´u d ¯ê´n th`oi d ¯iêm d ¯o m` d ra , , , , , c´ ac ng˘ an v` a 15 không thê d a nhu vây ¯ô`ng th`oi không trô´ng d ¯uo c v` , ´p dung c´ o thê a nguyên l´y Ðirichlê ❏ , ,, , ˘`ng không qu´ a 1% sô´ng 1.6 Trên tr´ d¯â´t sô´ng hon ty ngu`oi, biê´t , , , , ung môt am tuôi Chu´ng minh ˘`ng ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu`oi sinh c` tr˘ môt giây d¯ô`ng hô` , , `,i giai Theo du,o,ng lich Lo anh 100 n˘ am c´ o ´ıt hon 37000 ng` ay hiên h` , , , ˜ ˜ ´ 100 n˘ Môi ng` ay c´ o 24 gi`o, môi gi`o c´ o 3600 giây Khi d am c´ o ´ıt hon ¯o , , ` ,, , ,, 3,33 ty giây T`u d ch´ ung ta t`ım d ¯iêu kiên ¯uo c nh˜ung ngu`oi tr´ , , , , , ´ ´ d a 100 tuôi ´ıt nhât l` a 99% t`u ty ngu`oi ngh˜ıa l` a ´ıt nhâ´t ¯ât không qu´ , , ,, ˘ t 4,9 ty ngu`oi ´p dung c´ o 4,9 ty Viêc c` on lai a nguyên l´y Ðirichlê: d ¯a , an k´eo v` ao 3,33 ty ng˘ ❏ , , 1.7 Trong th`oi gian k´eo d` môt n˘ am hoc môt hoc sinh giai ´ıt nhâ´t , , , ˜ ng` môt tâp ay Ðê tr´ anh c˘ ang tha ˘ng hoc ang tuâ`n b` môi sinh giai h` , , không qu´ a 12 b` tâp ˘`ng th`oi gian k´eo d` liên Chu´ng minh , , ˜ ng` ´ng 20 b` tuc ay hoc ay phai giai d¯u tâp ay môt sô´ ng` sinh n` môi 1.2 V´ı du , , ,, `,i giai Ch´ ˜ giai ung ta k´y hiêu a sô´ luo ng b` Lo tâp ¯a a1 l` , hoc sinh d ,, ˜ giai hai ng` ng` ay d a sô´ luo ng b` tâp ay ¯â`u tiên, a2 l` ¯a d , ,, ` ´ ` ˜ giai ba ng` d a sô luo ng b` tâp d ay d a v.v a77 ¯âu, a3 l` ¯a ¯âu, v` , , ,, ´ ` ` ˜ giai 77 ng` l` a sô luo ng b` tâp ay d ¯a ¯âu (11 tuân) Theo gia d , , thiê´t a77 ≤ 11.12 = 132 Ch´ ung ta x´et tâp ac sô´ tu nhiên ho p c´ M = { a1 , a2 , a3 , , a77 , a1 + 20, a2 + 20, a3 + 20, , a77 + 20} N´ o ,, , , ´ ` ´ ´ ´ chua 154 phân tu v` a sô lon nhât ch´ ung l` a a77 + 20 ≤ 152 `˘ng Nhu,ng ´ ´ Theo nguyên l´y Ðirichlê M c´ o ´ıt nhât hai sô ba c´ ac sô´ a1 , a2 , a3 , , a77 l` a ho` an to` an kh´ ac suy tô`n tai a ak v` , ` al m` a ak = al + 20, l < k ≤ 77 Nhu vây ay ¯iêu n` ak − al = 20, d , , , , , ´ ` ´ ´ c´ o ngh˜ıa l` a tu ng` ay thu l + d ay thu k hoc ay phai giai ¯ên ng` sinh n` ´ ng 20 b` d ¯u , , , , ,, 1.8 Trong môt khu tâp thê sô´,ng 123 ngu`oi Tông sô´ tuôi cua ho , ,, , ,, l` a 3813 Chu´ng minh ˘`ng c´ o thê chon 100 ngu`oi sô´ng o khu tâp thê , , , , , ´ n` ay, m` a tông sô tuôi cua ho không nho hon 3100 ❏ , , , ,, ,, `,i giai Ch´ Lo ung ta h˜ ay chon 100 ngu`oi nhiê`u tuôi nhâ´t v` a gia su , , , , , ,, , ´ ngu`oi tre nhâ´t sô´ tông sô´ tuôi cua ho nho hon 3100 Khi d ¯o , ,, ,, ,, ˘ t kh´ ngu`oi d l` a 3100:100=31 tuôi Ma ac ngu`oi n` ay không ¯uo c chon , , , , , ,`, ´ tông sô´ tuôi cua 23 tre hon 23 nguoi c` on lai ach chon ¯o theo c´ Khi d , , , , ,, ´,n ho,n 23.31=713 Suy tông sô´ tuôi cua tâ´t ca ngu`oi n` ay không lo , , , ,, ˜ d moi ¯ê´n ngu`oi sô´ng tâp thê nho hon 3100+713=3813 dân vô l´y , , , , 1.9 N˘ am ca ˘ p vo chô`ng tô chu´c môt ˘ p ma ˘ t Khi ga ˘ p ho buôi ga , , , , ba ˘´t tay nhau, nhung không tu ba ˘´t tay ngu`oi gia d¯`ınh m`ınh ,`, , ˜ ba v` a nguoi m` a chô`ng m`ınh (hoa ˘ c vo m`ınh) d¯a ˘´t tay rô`i C˜ ung không , , , ` ng ban d¯â`u, ba ˘´t tay c` ung môt ˘ p ch´ uc mu ngu`oi hai lâ`n., Sau cu,ôc ga , , ,`, , , , ˜ ng ngu`oi c´ `n ông tên l` môt a H` ung hoi tâ´t ca nhu o ma ˘ t, kê ca nguoi d¯a ❏ 10 ,, Chuong Nguyên l´y Ðirichlê v` a v´ı du ,, , ˜ ba a ho d¯a ˘´t tay d¯uo c lâ`n Ho nhân vo m`ınh, l` ˘`ng ch´ın thâ´y , , , , ,`, , , , ` , nguoi d¯uo c hoi d ac sô´ kh´ ac Nhu vây ung ¯êu tra l`oi c´ vo cua H` ´ ` ˜ ba d¯a ˘t tay lân? , , , ,, ˜ môt ´˘t tay không qu´ `,i giai Môi Lo ngu`oi kh´ ach ba a lâ`n V`ı câu tra l`oi , , ,, ´ phai l` cua ngu`oi l` a c´ ac sô´ kh´ ac nên c´ ac sô´ d a 0,1,2,3,4,5,6,7 ¯o , , ,`, ´ ,, , ˘t tay lâ`n phai l` ˘ c chô`ng) cua ngu`oi không v` a Nguoi ba a vo (hoa ,, ,, ´˘t tay lâ`n m` ´˘t tay lâ`n n` ´ không ba a ba ao (nê´u nguo c lai ¯o th`ı ngu`oi d , , , , , , , ´˘t tay lâ`n nhiê`u nhâ´t chı l` a lâ`n thôi) Tuong tu nhu vây ngu`oi ba ,`, , , , ´˘t tay môt ´˘t tay lâ`n c´ ˘ c chô`ng) ba c´ o nguoi vo (hoa o lâ`n, ngu`oi ba ,`, , , , , , , ´˘t tay lâ`n, ngu`oi ba ´˘t tay lâ`n c´ ˘ c chô`ng) ba nguoi vo (hoa o ngu`oi vo , ,, ´˘t tay lâ`n Chı c` ´˘t tay ˘ c chô`ng) ba (hoa on lai môt ngu`oi nhâ´t ba , , , , ´ ch´ınh l` lâ`n, d¯o a ngu`oi vo cua H` ung , , ,, 1.10 Môt ˘`ng: Môt ung vuong câu chuyên cô t´ıch kê lai lâ`n vua H` , 18 c´ o m`oi c´ ac quan triê`u hop môt b` an tr` on Theo ngô`i quanh c´ , , ,, ˜ `n d ˜ viê´t tên cua môi quan b` lênh cua vua, môt an truo´c ¯a cân thâ , ,, ac quan triê`u không d¯uo c b´ ao chiê´c ghê´ m` a ông ta phai ngô`i C´ ,´, ˜ ´ ˜ ngô`i không theo sa ˜ d¯inh truoc nên ho d¯a ˘p xê´p d¯a a chiê´m chô môt ,m` , ` ´ ` c´ ach bât k`y Chu´ng minh ˘ng ông cân o thê quay chiê´c b` an thân c´ , ´ng vi tr´ı tên cua m`ınh ? cho ´ıt nhâ´t c´ o hai ông quan ngô`i d¯u ❏ , ,, `,i giai Ða ˘ t sô´ luo ng c´ ˘ t b` ´ ma Lo ac quan l` a n Khi d an c´ o n trang ai, ¯o th´ , , , ´i c´ ´i c´ ´ vo ac trang th´ n` ay d ac quan l` a biên d ao d ¯ô´i diên ¯ê` tên n` ¯o vo , , ˜ môt ´i môi Ngo` vo o môt trang th´ ai, m` a ngô`i ông quan chı c´ , , , ˜˘n ´i ch´ınh tên cua m`ınh biên d ´ ng th`ı ông â´y d d ¯u ¯ô´i diên ¯ê` sa vo , , , , ˜ trang Ngh˜ıa l` a, nê´u môi th´ cua b` an (v`ı b` an c´ o thê xoay d ¯uo c) ta , , ´, , , , `˘ng sô´ luo ng c´ ´i môt ´ ng vi tr´ı cho tuong ung vo sô´ ba ac quan ngô`i d ¯u , , , , , , tên m`ınh, th`ı tông cua tâ´t ca nh˜ung sô´ nhân ¯uo c (moi d trang , th´ , , , ´˘p b` an) s˜e không nho hon n Nhung môt th´ d¯â`u tiên cua sa trang , ,, , `,i giai v` Chuong 15 Lo a go i ´y , ,, , ,, ´,i toa d Thât ung ta c´ ok d ¯iêm vo ¯ô nguyên vây, Gia su nguo c lai ch´ , , , ´ ´ a ´ıt nhât n − k + d¯iêm A1 V`ı theo c´ ach du ng B1 chu ´,i toa d ´ vo a B1 ⊂ V1 , A1 ⊂ V1 , A1 ∩ B1 = ∅, Khi d ¯ô nguyên v` ¯o , , , ´ ` ´ a ´ıt nhât n + d ´i toa d h`ınh vuông V1 chu ay ¯iêm vo ¯ô nguyên, d ¯iêu n` , , ˜ ´ không thê xây ra, dân d ¯ên vô l´y 170 , , ´, , , 10.13 L`oi giai: C˜ ung nhu b` 10.5 t´ ac dung lên A ph´ep vi tu vo i , , , , ´i A tâm tai a sô´ , ch´ ung ta nhân ¯ô v` ¯uo c tâp gô´c ta d d ho p mo ,, V`ı S( A) > 4n nên S( A ) > n Theo nguyên l´y Ðirichlê mo rông , , ´ ´ ´ cho diên t´ ıch A ch u a ıt nhâ t n + d iê m kh´ a c ( x , y ) ( i = ¯ i i , 1, 2, , n + 1) m` a xi − x j v` a yi − y j l` a nh˜ung sô´ nguyên , , , ´,a tâ´t ca c´ Ch´ ung ta x´et d ac lô`i nho nhâ´t chu ac d ¯a gi´ ¯iêm D˜ê , , , ˜ d `˘ng môi d` ang thâ´y ac l` a môt c´ ac d ¯ınh cua d ¯a gi´ ¯iêm ( xi , yi ) , , , Nh˜ung d ac không thuôc ao m` a hai d¯â`u l` a ¯ınh cua d ¯a gi´ ¯oan d n` , , , , ` ´ ` ˘m d nh˜ung d ac V`ı thê nh˜ung d ¯iêm na ¯a gi´ ¯iêm ( xi , yi ) tôn , , , ` ´ ˘m d ˘ng nôi hai d tai a không na tha ¯iêm m` ¯oan ¯iêm môt d , , ,, , , ˜ chon ´ l` tâp Gia su d a ( x1 , y1 ) C˜ ung theo b` ¯iêm d ¯a ¯iêm d ¯o ho p d , , , ´ ´i toa d 10.5 cho ta n d ac v` a kh´ ac d ¯iêm kh´ ¯iêm gôc toa d ¯ô, ¯ô vo ` ` ˘m A V`ı nguyên ( xi − x1 , yi − y1 ), i = 2, 3, , n + 1, d ¯êu na , , ´ ´ ng nên c´ t´ınh d ac d ¯ô i x u ¯iêm ( x1 − xi , y1 − yi ), i = 2, 3, , n + 1, c˜ ung thuôc A , ´,ng minh nh˜u,ng d Ch´ ung ta s˜e chu ac d ach l` a ¯iêm x´ ¯inh theo c´ , ,, , , , kh´ ac t`ung d ung ta c´ o ¯ôi mô t Thât vây, gia su nguo c lai ch´ ( x i − x1 , y i − y1 ) = ( x1 − x j , y1 − y j ) , ´,i hai chı sô´ n` ´ i, j m` vo ao d a i, j = 2, 3, , n + V`ı vây ¯o x1 = ( x i + x j ) v` a y1 = (yi + y j ) Nê´u i = j th`ı ( x1 , y1 ) = ( x j , y j ), vô l´y v`ı , ,, , `,i giai v` 15.11 Lo a go i ´y chuong 11 171 , , , ˘ng nô´i hai = j Nê´u i = j, th`ı ( x1 , y1 ) l` a trung d tha ¯iêm cua d ¯oan , , ,, d a ( x j , y j ), d ay không thê d ach chon ¯iêm ( xi , yi ) v` ¯iê`u n` ¯uo c theo c´ , , , , `˘ng A chu ´ ng minh chı ra ´ a ´ıt nhâ´t 2n d Chu ac ¯iêm kh´ , , v` a kh´ ac gô´c toa d o toa d ung ¯ô, ¯ô nguyên Nhung d ¯iêm gô´c toa d ¯ô c˜ c´ , `˘m tâp na a c´ o toa d to´ an ¯ô nguyên, suy kê´t luân A v` cua b` , ´ dung 10.14 Go i ´y: Ap b` tâp 10.13 , ´,ng minh tu,o,ng tu., 10.9 10.15 Go i ´y: C´ ach chu , ,, , , ` go i y´ chuong 11 15.11 L`oi giai va , ´,c 11.11 a) T`u b` 11.3 suy = − (S12 + S23 + S13 ) + S123 , tu ´ môt l` a S12 + S23 + S13 = + S123 ≥ Do d ac sô´ S12 , S23 , S13 ¯o c´ , , không nho hon ,, , , , ´,c l` b) L`oi giai: T`u b` 11.3 suy ≥ − M2 , tu a M2 ≥ Boi v`ı , , ,, , ˘ p, diên t`u d ac c´ o thê tao t´ıch phâ`n chung cua ¯a gi´ ¯uo c = 36 ca d , , M2 ´ ˘ p d ´ không nho hon ≥ môt ac ca ¯o sô c´ 36 , , , ˜ ˜ cho Trong môi 11.12 L`oi giai: Goi a6d ¯iêm d ¯a M1 , M2 , , M6 l` , , , `˘ng mâ`u d ´n nhâ´t ba tam gi´ ac Mi M j Mk ta tô canh a ¯o Kê´t qua s˜e l` , lo , , , ˘ng Mr Ms l` môt ad on c´ ac canh ac s˜e không d ¯oan ¯o c` ¯o Chı câ`n d tha kh´ , , , `˘ng tô`n tai ´ ng minh ˜ cho v` chu ac c´ od a c´ ac d a ¯ınh l` ¯iêm d ¯a , môt tam gi´ , ,, , , ´n nhâ´t cua tam gi´ ba canh d lo ac nhu ¯uo c tô mâ`u d ¯o Thât vây, , canh , ,, , thê´ d a canh ac kh´ ac v`ı n´ od ¯ô`ng th`oi l` ¯uo c tô mâ`u nho nhâ´t cua tam gi´ , , , , , ˜ ´,i c´ ˘ng nô´i n´ ˜ cho xuâ´t ph´ o vo ac d d d at d ¯o T`u môi ¯iêm d ¯a ¯oan ¯iêm tha , , ,, ˘ c ´ıt nhâ´t c´ ˘ng n` c` on lai o nh˜ung d ay d ¯oan ¯uo c tô , Vây hoa tha , ,, ˜ không d ˘ c ´ıt nhâ´t c´ mâ`u d o3d ¯o, hoa ¯oan ¯uo c tô mâ`u d ¯o vân , ,, , `,i giai v` Chuong 15 Lo a go i ´y , , , , ,, ˘ng han Nê´u t`u d at d ¯iêm M1 xuâ´t ph´ ¯oan ¯uo c tô mâ`u d ¯o (cha d ´ ´,n M1 M2 , M1 M3 , M1 M4 ) th`ı ∆M2 M3 M4 ´ıt nhât c´ o môt canh (lo , , ,, ,, ´ l` nhâ´t) d a d¯oan ¯uo c tô mâ`u d ¯o, gia su d¯o M, M3 Thê´ th`ı , , , ∆M1 M2 M3 tâ´t ca c´ ac canh d ¯ê`u d ¯uo c tô mâ`u d¯o , , ,, Nê´u t`u d at ´ıt nhâ´t d ¯iêm M1 xuâ´t ph´ ¯oan không d¯uo c tô mâ`u , , ˘ng han d ac ¯o (cha ¯oan 3d M1 M2 , M1 M3 , M1 M4 ) th`ı ta x´et tam gi´ ˜ tam gi´ M1 M2 M3 , M1 M2 M4 , M1 M3 M4 Trong môi ac n` ay ´ıt nhâ´t c´ o , , ,, , , ´a d môt d không chu ¯uo c tô mâ`u d ¯o, nhung canh ¯ınh M1 Vây canh , , ,, , ` ´ d o an M M , M M , M M d u o c tô mâ u d o, t u c l` a c anh c ua ¯ ¯ 4 ¯ , ` ` ∆M2 M3 M4 d ê u mâ u d o ¯ ¯ 172 ,´, ´ , , , 11.13 L`oi giai: Truo c hêt ta nhân x´et c´ o ´ıt nhâ´t môt tam gi´ ac d ¯o n , , ,, , , , ´ ´˘c (B` ˘c, cha ˘ng han sa 5.4) Gia su P1 P2 P3 l` a tam gi´ ac d d ¯on sa ¯o Ðê , , ´ ˘c không riêng P1 ta c` on lai 6d a ta lai c´ o môt tam gi´ ac d ¯iêm v` ¯on sa , , ´ ´ a canh c´ o P1 l` ad 5.4) Nêu tam gi´ ac n` ay không chu P2 P3 th`ı ¯ınh (B` , , ,, ´ , , ´ ´ tu P1 cho P1 P2 P3 c˜ ta d o môt ung ¯uo c kêt qua, thê th`ı c´ ¯iêm thu d , ,, , , ` ,, l` a tam gi´ ac d a P3 ta d a P3 cho ¯o Tuong tu d ¯ê riên P2 v` ¯uo c P2 v` , P1 P2 P3 v` a P1 P2 P3 l` a tam gi´ ac d ¯o , , ,´, ´ Truoc hêt ta x´et kha n˘ angl` a3d a P3 không phân biêt ¯iêm P1 , P2 v` ,`, , , ´ Trong truong ho p n` ay môt ch´ u ng t ao th` a nh v o i P P P m ôt , , , , ´ diên h`ınh tu on lai d¯iêm Nê´u c´ ac canh ¯iêm C` , gi˜ua môt ba d , , , , , ´ diên ´ v` c` on lai d a2d ad ac ¯o ¯ınh cua h`ınh tu ¯o ta s˜e d ¯uo c hai tam gi´ l` , , , , , ´i canh ´i v` d r`oi nhau, môt ac c´ o môt a môt ¯o vo ¯ınh mo tam gi´ d canh , , , , ˜ ´ ´ diên ´ cua tu v` a tam gi´ a c t u di ên Nê u không, m ôi d iê m c´ o ´ıt ¯ , , , , , , ´ diên ´ diên nhâ´t canh tu o ´ıt nhâ´t môt ¯o thuôc ¯ınh cua tu , d Nhu thê´ c´ d , , ` ` ´ ´i ca d ˘ ˘ nô´i vo ınh c` o n l b a ng c anh mâ u d en Nê u c a p n` a o ¯ ¯ , `˘ng canh nô´i ba o môt tam gi´ ac d a môt ¯en th`ı ta c´ ¯en v` ¯o Nê´u không d d , , , ,, ta d ac d od ¯uo c hai tam gi´ ¯o c´ ¯ınh r`oi , ,, , `,i giai v` 15.12 Lo a go i ´y chuong 12 173 , , ,, , `˘ng ba d Vây ta c´ o thê gia su a P3 l` a phân biêt ¯iêm P1 , P2 v` Nê´u, , , ,, ´ ` ,, ˘ng canh 2d a P2 , d d ac d ¯iêm, P1 v` ¯uo c nôi ba ¯o th`ı ta d ¯uo c hai tam gi´ ¯o , ´ ´ tu., P1 P2 P3 v` a P1 P2 P3 Nêu không th`ı P1 P2 P3 v` a P1 P2 P3 cho theo thu , môt ac d a môt ac d ¯o v` ¯en tam gi´ tam gi´ , ,, , , , ´, hai cua 11.14 L`oi giai: Lâ´y 1998 d ¯˜ıa d ¯uo c tô giô´ng nhu d ¯˜ıa thu , ´, nhâ´t cho ch´ ˘ t chô`ng tâ´t ca ch´ ch´ ung ta v` a d¯a ung lên d ung ¯˜ıa thu , , , ˜ h`ınh quat ´ môi c´ o tâ´t ca c´ ac vi tr´ı c´ o thê (nhu quay) Khi d ¯o , , , , , , ´ ´ nhâ´t c´ ´ cua d o 200 h`ınh quat, d u o c tô, t u c l` a c´ o tâ t c a 200 ¯˜ıa thu ¯ , , , ,, , ´, ˘ p h`ınh quat ca ung Gia su c´ o n vi tr´ı cua d ¯˜ıa thu d¯uo c tô tr` ,, , ˘ p h`ınh quat ´ ung Khi d hai c´ o không ´ıt hon 21 ca ¯uo c tô tr` ¯o d , , , , ´ sô´ c´ ac h`ınh quat ung không nho hon 21n Do d ¯uo c tô tr` ¯o d ,, , ´ c l` 21n ≤ 200 , tu a n ≤ 1904, Boi v`ı n l` a sô´ nguyên, nên n ≤ 1904 ˘ p h`ınh Suy c´ o ´ıt nhâ´t 1998 − 1904 = 94 vi tr´ı c´ o không qu´ a 20 ca ,, quat ung ¯uo c tô tr` d , , ´,ng minh ho` 11.15 Go i ´y: Chu an to` an nhu b` 11.2 , ,, , , ` go i y´ chuong 12 15.12 L`oi giai va , , , , ´,ng qua ˘ t câ`u d 12.11 L`oi giai: Lâ´y A∗ l` a nh˜ung d ¯iêm ma ¯ô´i xu , , , , , , , , , tâm cua qua câ`u t`u nh˜ung d ho p A Theo gia thiê´t tông ¯iêm cua tâp , ´,n ho,n diên ˘ t câ`u Theo nguyên l´y diên a A∗ lo t´ıch cua A v` , t´ıch ma , ´ v` Ðirichlê cho diên t´ıch ch´ ung c´ od d a ¯iêm chung Vây ¯iêm chung d ¯o , , , , ,`, ´ ` ´ ˘ p d d o l` a ca ¯iêm d ¯ôi xung cua n´ ¯iêm d ¯êu thuôc ¯uong k´ınh A tao d , ` qua câu , , ˜ h`ınh ch˜u, thâp ´,i môi 12.12 L`oi giai: Vo on c´ o tâm tai ta x´et h`ınh tr` , , ` ` ´ ng minh ˘ng √ Ta chu ˘ng nê´u hai tâm ch˜u thâp a b´ an k´ınh ba v` 2 , ,, , `,i giai v` Chuong 15 Lo a go i ´y , ´˘t Khoang ´˘t th`ı hai ch˜u, thâp ´ ca c˜ ung s˜e ca h`ınh tr` on d¯o , , `˘ng v` ´˘t không lo ´,n c´ ach gi˜ua hai tâm cua h`ınh tr` on ba a ca , , , , , ´ khoang c´ hon hai lâ`n b´ an k´ınh cua ch´ ung, d ach gi˜ua tâm cua ¯o , , , ´, ´,i ch´ ´,n ho,n √ X´et h`ınh ch˜u, c´ ac ch˜u thâp ng vo ung không lo tuong u , , ,, , ´, nhâ´t v` nhât ac d ac c´ anh cua h`ınh ch˜u thâp thu a tâm cua ¯inh boi c´ x´ , , , ´, hai S˜e c´ ´, hai d ch˜u thâp o môt anh cua ch˜u thâp ¯i qua h`ınh thu c´ thu , ,, , , , ´ ´ ´ nhât, boi v`ı d ˘t ch˜u thâp ´, d ´ s˜e ca ch˜u nhât cua c´ anh ¯o ¯o ¯ô d` d thu 1 , , , , , `˘ng √ , c` ´n hon √ ba on d d ¯ô d` ¯u`ong ch´eo h`ınh ch˜u nhât không lo 2 , , ,, ˘ t d R˜ o r` ang h`ınh tr` on b´ an k´ınh 100 chı c´ o thê d ¯a ¯uo c môt , ´ ´ ˘t sô h˜uu han ac h`ınh tr` on b´ an k´ınh √ không ca c´ 2 174 , , ,, , , , 12.13 L`oi giai: C´ o thê Gia su O l` a tâm cua ng˜ u gi´ ac d ¯ê`u ABCDE ´ c´ Khi d ac h`ınh tr` on nôi ac g´ oc AOC, BOD, COE, DOA, ¯o tiê´p c´ ˜ nêu EOB c´ o t´ınh châ´t d ¯a , , , `˘ng Tâ´t ca 12.14 L`oi giai: X´et môt tam gi´ ac d o canh ba ¯ê`u c´ , , , ,, , `˘ng c´ ´ phai d o không thê d ac mâ`u kh´ ac nhau, d ¯ınh cua n´ ¯uo c tô ba ¯o , , , `˘ng c´ o hai d ung mâ`u, v` a khoang c´ ach gi˜u ch´ ung ba ¯iêm c` PHU LUC A , ` ANH ´ TÂP H O XA P VA ,, , , ` ´ A.1 Tâp h o p v a To an t u tâp ho p , , ,, `n tu, cua tâp ´ l` Khi ch´ ung ta coi môt ao d a môt ¯ô´i tuo ng a n` ¯o d phâ ,, , , ` ho p A, th`ı k´y hiêu l` a a ∈ A, c` o n a không l` a phâ n t u c ua A th` ı k´ y hiêu a a ∈ A l` , , , , Môt tâp ho p A goi l` a tâp ho p cua tâp ho p B, moi phâ`n ,, , ,, , , , ˘ c tu cua tâp a phâ`n tu cua tâp a A ⊂ B hoa ho p A l` ho p B, K´y hiêu l` , , ˘ c l` B ⊃ A Ngh˜ıa l` a t`u a ∈ A suy a ∈ B hoa a t`u a ∈ B suy a ∈ A ,, , ˜ ao, k´y hiêu a ∅ Moi Tâp o môt ¯ô´i l` d phâ`n tu n` ho p rông không c´ , , , ˜ x ∈ ∅ Tâp ˜ `˘m tâp tuo ng x d ¯ê`u không na ho p rông ho p rông , , `˘m moi ´i moi d¯ê`u na a ∅ ⊂ A, vo tâp ho p, ngh˜ıa l` A ,, , Hai tâp a B tr` ung ch´ ung c´ o c` ung c´ ac phâ`n tu ho p A v` , , ,, ,, , nhu nhau, k´y hiêu a chı t`u ¯uong , A = B v` A = B Tuong d , ˘ c A ⊂ B v` a ∈ A suy a ∈ B v` a t`u a ∈ B suy a ∈ A hoa a B ⊂ A , , , , , Cho A1 , A2 , , An l` a môt tâp ho p Ho p cua sô´ h˜uu han nh˜ung , ,, , , , nh˜ung tâp a môt ac phâ`n tu m` a n´ o ho p l` tâp ho p gô`m tâ´t ca c´ , , , thuôc ao môt ac tâp c´ ac tâp v` c´ ho p A1 , A2 , , An Ho p cua , , ho p A1 , A2 , , An , k´y hiêu l` a A ∪ A ∪ ∪ A C u thê , a ∈ A ∪ n 1 , A2 ∪ ∪ An ngh˜ıa l` a tô`n tai môt chı sô´ i {1, 2, , n} cho 175 176 ,, , ´ xa Chuong A Tâp a Anh ho p v` a ∈ Ai , , , Cho A1 , A2 , , An l` a môt sô´ h˜uu han nh˜ung tâp ho p Giao , ,, , , , cua nh˜ung tâp a môt ac phâ`n tu m` a ho p l` tâp ho p gô`m c´ , , , `˘m moi n´ o na ac tâp tâp ho p A1 , A2 , , An Giao c,ua c´ ho p A1 , A2 , , An k´y hiêu a A1 ∩ A2 ∩ ∩ An Cu thê, a ∈ A1 ∩ A2 ∩ l` , , ´i moi ∩ An ngh˜ıa l` a vo o a ∈ Ai chı sô´ i {1, 2, , n} ta c´ , , , Hiêu tâp a B l` a môt ho p A v` tâp ho p, k´y hiêu A\ B, gô`m cua hai , , , nh˜ung phâ`n tu a c´ o t´ınh châ´t a ∈ A v` a a ∈ B , , ´ hoc ` Bai ` toan ´ tô ho p A.2 Qui nap toan va , , ´,i nguyên l´y Ðirichlê c` Trong tâp ung vo on môt ho p sô´ tu nhiên, c` , , , ,, , nguyên l´y qui nap an hoc ung hay d Dang ¯uo c su dung ¯on gian to´ c˜ d , ,, , cua phuong ph´ ap qui nap an hoc to´ nhu sau: , , ˜ ng d¯iê`u kha Cho môt ay nhu ˘ng d¯inh d˜ K1 , K2 , , K n , (A.1) c´ o t´ınh châ´t sau: , ´ng a)K1 l` a kha ˘ng d¯inh d¯u , , ˜ ´ , b) V´ oi môi sô tu nhiên n,nê´u Kn l` a kha ˘ng d¯inh d¯us ng th`ı suy , ´ng Kn+1 c˜ ung l` a kha ˘ng d¯inh d¯u , , ´ tâ´t ca c´ ´ng Khi d¯o ac kha ˘ng d¯inh ay (A.1) d¯ê`u d¯u d˜ , , ´ ng, sau d ´a ´p dung ´: d Ch´ uy b) ¯iê`u kiên ¯am bao cho K1 d ¯u ¯o a) d ´ ´ ´ ng, tiêp tuc ´p dung ´ ng v` cho K2 c˜ ung d ung d a tiêp tuc ¯u ¯u ,a b) cho K3 c˜ , , ´ ´i moi ´ vo qu´ a tr`ınh d ung ta chung minh môt ¯o ¯inh n Ðê minh hoa ch´ d , , ` ´ ´ ´p dung l´y vê tô ho p m` a rât hay a cuôn s´ ach n` ay: ,, ,, , ˜, , , n ´ng tâp Moi oi n phâ`n tu c´ o d¯u tâp ho p huu han ,v´ ho p tao boi ,, c´ ac phâ`n tu kh´ ac cua n´ o , ´ xa tâp A.3 Anh ho p 177 , `˘ng Kn ´,i moi ˘ng d Vo ung ta k´y hiêu ba ¯iê`u kha ¯inh sô´ n ch´ d , , ,, , ´i n = kha ˘ng d Nhu vây ung ta s˜e nhân ay (A.1) Vo ¯uo c d˜ ¯inh ch´ d ,, , , ` ´ ng, v`ı moi ´ ng hai tâp ´ l` d o môt o d¯u a ¯u ¯o tâp ho p c´ phân tu c´ ho p con, d ,, ˜ ` ´ tâp a ch´ınh tâp o t´ınh chât ¯os Vây rông v` ( môt phân tu ) d (A.1) c´ a) , , ´,ng minh b) d ´ ng Ngh˜ıa l` Bây gi`o ch´ ung ta phai chu a cho n l` a ¯u , , , , ´ c l` ˘ng d ´ ng tu môt a kha a moi o ¯inh ¯u Kn d sô´ tu nhiên bâ´t k`y v` tâp ho p c´ , ,, , , n `˘ng Kn+1 ´ ng minh ´ ng tâp n phâ`n tu c´ od ¯u ho p Câ`n phai chu ,, , l` ad ung ta x´et S l` a tâp o n + phâ`n tu v` a s l` a môt ¯us ng Ch´ ho p c´ , ,, , , , , ´ phâ`n tu cua n´ o Ch´ ung ta chia nh˜ung tâp h o p c ua S l` a m hai l o p: , , , ´,a s Lo ´,p a1 gô`m tâ´t ca c´ ´,p a2 gô`m Lo ac tâp h o p c ua S không chu , , , , ´,a s Nh˜u,ng tâp ´,p a1 tâ´t ca c´ ac tâp ho p, cua S chu ho p thuôc lo , , , , , l` a tâp a n´ o nhân , ho p cua môt tâp ,ho p n phâ`n tu S1 , m` t`u S sau , ,, ,, , bo d ¯i phâ`n tu s Theo gia thiê´t qui nap ,sô´ luo ng tâp ho p cua , , ´, , ´,p a2 l` ˘ t kh´ ´ ng l` n´ od a n Ma ac c´ ac tâp a tuong u ng 1-1 ¯u ho p cua lo , , , , , ´,a s ´ i vo ´i c´ vo ac tâp ho p cua S1 Thât vây, moi ,tâp ho p Z chu , , , ´, , , `˘ng c´ ´,i tâp cua S ta cho tuong u ng vo ach t`u Z ho p Z1 cua S1, ba , ,, ,, , ´,p a2 ta bo d a sô´ luo ng tâp ¯i phâ`n tu s Ngh˜ıa l` ho p cua S lo , , , `˘ng 2n Do d ´,i sô´ lu,o.,ng tâp ´ tâ´t ca tâp tr` ung vo ho p cua S1 v` a ba ¯o , , , , ´ ˜ ho p cua S l` a 2n + 2n = 2n+1 Nhu vây ch´ u ng ta d a ch u ng minh, ¯ , ` ´,ng minh ´,i moi vo n, t u K d us ng suy K d us ng Ch´ ung ta chu ¯ ¯ n n +1 , , ,, ˘ng d¯inh ´ ng d o t´ınh châ´t b) Suy tâ´t ca c´ ac kha ¯uo c (A.1) c´ ¯ê`u d ¯u d ❏ , ´ A.3 Anh xa tâp ho p ,, , , , , ´,n ho,n sô´ T`u nh˜ung kh´ niêm sô´ phâ`n tu cua môt tâp ho p n` ay lo ,, , ,, , , ´nh xa phâ`n tu cua môt tâp ho p kia, ngu`oi ta xây du ng kh´ niêm a , , , ´ d a ch´ınh x´ ac h´ oa chung minh ¯ê giai th´ıch v` 178 ,, , ´ xa Chuong A Tâp a Anh ho p v` , , `˘ng cho môt ´nh xa f : A → B t`u tâp Ch´ ung ta n´ oi ao ho p A v` a ,, , , ´, , , ` ´i môt tâp ho p B, moi phân tu a thuôc A cho tuo,ng ung vo phâ`n ,, ,, ´,i phâ`n ´nh xa f vo tu f ( a) thuôc B Phâ`n tu f ( a) goi l` a gi´ a tri cua a , , , ,, , , ´nh xa sô´ tu nhiên v` ao sô´ tu a cua A C´ o thê chı nhiê`u v´ı du nhu a , , , , , ˜˘n, vo ´ ng vo ´i moi ´i 2n, cha n cho tuong u , ,`, , ´nh xa: ´nh xa Nguoi ta c` on d ¯ua môt sô´ t´ınh châ´t cua a Môt a , , ´nh, nê´u t`u f ( a1 ) = f ( a2 )( a1 , a2 ∈ A) suy f : A → B goi ad ¯on a l` , ,, , ´nh moi a1 = a2 N´ oi c´ ach kh´ ac f l` ad ac cua ¯o n a phâ`n, tu kh´ , , , ´, ´,i nh˜u,ng phâ`n tu, kh´ A cho tuong u ng vo ac cua B ,, ´,i moi ´nh xa f : A → B goi ´nh, nê´u vo Môt a l` a to` an a phâ`n tu , , ,, cua b cua B tô`n tai o nhiê`u v´ı phâ`n tu a thuôc A cho f ( a) = b., C´ , , ´nh xa loai du vê` a n` ay, nhu ph´ep chiê´u lên truc toa d d ¯ô cua moi ¯iêm , ˘ t pha ˘ng ma , , ´nh xa f : A → B goi ´nh, n´ Môt a song a od ad ¯ô`ng th`oi l` ¯o n a l` ,, ´,i moi ´nh v` ´nh Nê´u f : A → B l` ´nh, th`ı vo a a to` an a a song a phâ`n tu b , ,, cua B tô`n tai nhâ´t phâ`n tu a thuôc A cho f ( a) = b ˘ t g(b) = a d ´nh f : A → B Nê´u ch´ ˜ Cho song a ung ta d ¯a ¯a ,, ´nh xa g : B → A goi ´nh aa c´ o f ( a) = b, ch´ ung ta nhân ¯uo c a d l` ,, , , − − xa nguo c cua f v` a k´y hiêu a f = g Nhu vây a l` f ( f (b)) = b v` , − ´i moi f ( f ( a)) = a vo a b thuôc a thuôc A v` B , ´nh xa f : A → B v` ´nh xa Cho hai a a g : B → C, c´ o thê tao a , `˘ng công thu ´ c h( a) = f ( g( a)) K´y hiêu h : A → C ba h = g ◦ f , ` TAI LIÊU THAM KHAO , , , [1] Tuyên tâp am tap an hoc a Tuôi tre, NXBGD, 1997 30 n˘ ch´ı To´ v` [2] 255 b` to´ an sô´ hoc anh, N N chon loc, V.D Thuy, T C Th` ,, Ðam, So GD H` a tây, 1993 , , , [3] 10000 B` to´ an so câ´p - D˜ ay sô´ v` a gi´ oi han, Phan Huy Khai, NXB H` a nôi, 1997 ,, [4] C´ ac d¯ê` thi vô d¯ich an c´ ac nuo´c, Xv Cônhiagin, G.A.Tônôian, to´ , If Sarugin, NXB GD 1996 , , [5] C´ ac b` to´ an h`ınh hoc ˘ng, V.V Praxolov, Tâp pha II, NXB Hai ph` ong 1997 , [6] Zadatri Vsesaiunu´c matematitreskii olimpiada, N.B Vasilev, A.A Egorov, Maskova- Nauka 1988 [7] Matematichskii akvarium V A Uphnarovskii, Kishinev " shtiinsa" 1987.(Tiê´ng Nga) [8] Problem-Solving Through Problems, Loren C Larson, SpringVerlag, 1983 [9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia 1988 (Tiê´ng Bungari) 179 180 Muc luc , [10] Zadachi da idvunklasna Rabota po matematika, R.Rusev, K.Bankov, Sv Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia 1986 (Tiê´ng Bungari) [11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi, St Budurov, V Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966 (Tiê´ng Bungari) NÔI DUNG `,i n´ Lo oi d ¯â`u ,, Chuong Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı du 1.1 Nguyên l´y Ðirichlê 1.2 V´ı du 1.3 B` tâp ,, Chuong Sô´ hoc , 2.1 Ph´ep chia sô´ tu nhiên 13 2.2 V´ıdu 14 2.3 B` tâp ,, Chuong D˜ ay sô´ 20 23 3.1 Nguyên l´y Ðirichlê cho d˜ ay sô´ vô han 23 3.2 V´ı du 23 3.3 B` tâp ,, Chuong H`ınh hoc 31 33 4.1 V´ı du 33 4.2 B` tâp ,, ,, Chuong Mo rông nguyên l´ y Ðirichlê ,, 5.1 Nguyên l´y Ðirichlê mo rông 41 43 5.2 V´ı du 44 181 11 13 43 182 NÔI DUNG 5.3 B` tâp ,, tâp Chuong B` sô´ hoc nâng cao , , , 6.1 Ðinh l´y co ban cua sô´ hoc 52 55 6.2 V´ı du 55 6.3 B` tâp ,, ˜ Chuong B` tâp dây sô´ nâng cao 64 67 7.1 V´ı du 67 7.2 B` tâp ,, , ´, Chuong Sô´ thu c vo i tâp u mât tr` 78 79 8.1 Tâp u mât tr` 79 8.2 V´ı du 80 8.3 B` tâp , ,, ˜,ng u ´,ng dung kh´ ac cua nguyên l´ y Ðirichle Chuong Nhu , , 9.1 Xâ´p xı môt sô´ thu c 87 55 89 89 9.2 B` tâp 99 ,, Chuong 10 Nguyên l´ y Ðirichlê cho diên t´ıch 101 , 10.1 Ph´ at biêu nguyên l´y Ðirichlê cho diên t´ıch 101 10.2 V´ı du 105 10.3 B` tâp , , ,, Chuong 11 To´ an hoc tô ho p 117 119 11.1 V´ı du 119 11.2 B` tâp ,, Chuong 12 Môt tâp ac sô´ b` h`ınh hoc kh´ 127 129 12.1 V´ı du 129 Muc luc 183 12.2 B` tâp ,, Chuong 13 Môt ¯ê` thi vô d¯ich sô´ d , ,, , tâp Chuong 14 B` tu giai , ,, , `,i giai v` ´ Chuong 15 Lo a go i y , , , , , 15.1 L`oi giai v` a go i ´y chuong , ,, , , 15.2 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.3 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.4 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.5 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.6 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.7 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.8 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.9 L`oi giai v` a go i ´y chuong ,, , , , 15.10 L`oi giai v` a go i ´y chuong 10 ,, , , , 15.11 L`oi giai v` a go i ´y chuong 11 ,, , , , 15.12 L`oi giai v` a go i ´y chuong 12 , ´ nh xa Phu luc aA A Tâp ho p v` ,, , , A.1 Tâp a To´ an tu tâp ho p v` ho p , , A.2 Qui nap an hoc a B` to´ an tô ho p to´ v` , ´ xa tâp A.3 Anh ho p 134 Muc luc 135 151 155 155 156 158 158 160 161 162 166 168 169 171 173 175 175 176 177 180 , ˜ HU ˜,U ÐIÊN NGUYÊN , , ´,NG DUNG ´ P ÐIRICHLÊ VA `U PHUONG PHA , , , c Ebook 1.0 cua cuô´n s´ ach nguyên gô´c t`u ban in, c´ ac ban tham , , , ´ ` khao, cho ´y kiên sai s´ ot v` a loi khuyên t´ ban Moi liên , , , ˜ ˜ T´ ac gia: Nguyên Huu Ðiên Ðiên thoai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn Web: http://nhdien.wordpress.com , Chiu ach nhiêm tr´ xuâ´t ban: ,, , Biên tâp a sua ban in: v` , Tr`ınh bâ`y v` a chê´ ban: Tr`ınh bâ`y b`ıa: , ˘ NG HAI TÔ ÐA ˜ PHU ´ ÐÔ , , ˜ ` LINH HUU ÐIÊN, PHU , , HUONG LAN , ´ BAN KHOA HOC VA ` XUÂT ` KY ˜ THUÂT NHA , ` ` 70 TRÂN HUNG ÐAO - HA NÔI 6.6T7.3 290 - 4-98 KHKT − 98 , , In 1000 ban khô 14, × 20, tai an Viêt Công ty In Công Ðo` Nam , 191 Son Tây - Ðô´ng Ða - H` a Nôi Giâ´y ph´ep XB sô´: 290-22/4/98 , , In xong v` a nôp ang n˘ am 1999 luu chiêu th´ ... ¯uo c su tô`n , , ,, ,, ,, , tai a không d¯ua d ap t`ım d cu thê, nhung ¯uo c phuong ph´ ¯uo c vât m` , , , , , thu c tê´ nhiê`u b` to´ an ta chı câ`n chı su tô`n tai ad ¯u rô`i l` , , , Nguyên... ng k Theo nguyên l´y Ðirichlê suy , ,, , ´ ngh˜ıa l` tô`n tai ac cua A c´ o c` ung sô´ du Ðiê`u d a, ¯o hai phâ,`n tu kh´ , ` ´ ´ tôn tai ac s v` a t voi as = kcs + bs v` a at = kct + bs hai... 100 Chu´ng minh ˘`ng , , , ,, , tô`n tai a tông cua c´ ac phâ`n tu ch´ ung hai tâp ho p cua M m` ba ˘`ng 2.2 V´ıdu 19 , , , `,i giai C´ ´,ng minh nê´u tô`n tai o thê chu hai tâp thoa m˜ Lo an