01 chuong 1 so hoc dong du

An tồn bảo mật thơng tin SỐ HỌC ĐỒNG DƯ Biên soạn: ThS Lê Nhật Tùng www.lenhattung.com Định nghĩa đồng dư phép tốn • 𝐺𝑖ả 𝑠ử 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑑ươ𝑛𝑔, 𝑎 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛, 𝑛ế𝑢: 𝑎 = 𝑞 𝑛 + 𝑟 • 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó: 𝑟 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑑ư 𝑑ươ𝑛𝑔, ≤ 𝑟 < 𝑛 𝑞 = 𝑎/𝑛 (𝑘ý ℎ𝑖ệ𝑢 𝑥 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑙ớ𝑛 𝑛ℎấ𝑡 𝑛ℎỏ ℎơ𝑛 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥) www.lenhattung.com Định nghĩa đồng dư phép tốn • 𝑇𝑎 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑘ý ℎ𝑖ệ𝑢 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑟 = 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛 Hoặc dạng 𝑎 = 𝑎/𝑛 𝑛 + 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛 Ví dụ 1: 25 mod = 4, 25 = 3.7 + (-25) mod = 3, -25 = -4.7+ www.lenhattung.com Định nghĩa đồng dư phép tốn • Định nghĩa quan hệ tương đương tập số nguyên, • Nếu: a mod n = b mod n, ta viết a ≡ b mod n • Khi ta gọi a b có quan hệ đồng dư theo n, tức chia cho n, a b có phần dư • Số b gọi đại diện a theo mod n, a ≡ b mod n (tức a = qn + b) ≤ b ≤ n – hay nói cách khác: b = a mod n đại diện a theo mod n www.lenhattung.com Định nghĩa đồng dư phép tốn • Ví dụ 2: 100 ≡ 34 mod 11, 21 ≡ (-9) mod 10 • Ví dụ 3: 10 đại diện 100 theo mod 15, 100 mod 15 = 10 đại diện -10 theo mod 15, (-10) mod 15 = -12 mod ≡ -5 mod ≡ mod ≡ mod Do đại diện –12, -5, www.lenhattung.com Các phép tốn số học modulo • Ta muốn thực phép toán theo modulo n, thực phép tốn số nguyên phép cộng, nhân số nguyên thơng thường sau rút gọn lại phép lấy modulo vừa tính tốn, kết hợp với rút gọn theo modulo thời điểm www.lenhattung.com Các phép toán số học modulo Tính chất: • (a+b) mod n = [a mod n + b mod n] mod n • (a.b) mod n = [a mod n b mod n] mod n www.lenhattung.com (1) (2) Các phép toán số học modulo Ví dụ 5: (áp dụng tính chất 1) (144 + 215) mod = (144 mod + 215 mod 7) mod = (4 + ) mod =2 www.lenhattung.com Các phép toán số học modulo Ví dụ 6: (áp dụng tính chất 2) (144 315) mod 150 = (144 mod 150 315 mod 150) mod 150 = ((-6) mod 150 15 mod 150) mod 150 = (-6 15 ) mod 150 = (-90) mod 150 = 60 www.lenhattung.com Các phép tốn số học modulo Ví dụ 7: Áp dụng tính chất modulo, ta thay số lớn số tương đương đồng dư: (11.19 + 1017) mod = = ((11.19) mod + 1017 mod 7) mod = ((11 mod 19 mod 7) mod + (10 mod 7)17 mod 7) mod = ((4.(-2)) mod + (((32)2)2)2 mod 7) mod = ((-1) mod + ((22)2)2 mod 7) mod = (-1 + 5) mod = = (-1 + 5) mod = www.lenhattung.com Một số định lý số học a, Định lý Ferma nhỏ: www.lenhattung.com Một số định lý số học b, Định lý Euler: Định lý Euler tổng quát hoá Định lý Ferma, khẳng định sau: (n) Ф a mod n=1 với cặp số nguyên dương nguyên tố a n: gcd(a,n)=1 www.lenhattung.com Một số định lý số học b, Định lý Euler: www.lenhattung.com Một số định lý số học b, Định lý Euler: www.lenhattung.com Một số định lý số học c, Định lý phần dư trung hoa: www.lenhattung.com Một số định lý số học c, Định lý phần dư trung hoa: www.lenhattung.com Một số định lý số học c, Định lý phần dư trung hoa: www.lenhattung.com Một số định lý số học d, Thuật tốn bình phương nhân liên tiếp: Trong toán mã hố cơng khai, sử dụng nhiều phép tốn lũy thừa với số mũ lớn  Trước hết ta phân tích số mũ theo số  Xét biểu diễn nhị phân số mũ, sử dụng thuật tốn bình phương nhân liên tiếp  Khái niệm dựa phép lặp sở bình phương nhân liên tiếp để nhận kết mong muốn  Độ phức tạp thuật toán O(log2 n) phép nhân số mũ n www.lenhattung.com Một số định lý số học d, Thuật toán bình phương nhân liên tiếp: www.lenhattung.com www.lenhattung.com Một số định lý số học d, Căn nguyên thủy: www.lenhattung.com d, Căn nguyên thủy: www.lenhattung.com d, Căn nguyên thủy: www.lenhattung.com d, Căn nguyên thủy: www.lenhattung.com d, Căn nguyên thủy: www.lenhattung.com ... Ví dụ 2: 10 0 ≡ 34 mod 11 , 21 ≡ (-9) mod 10 • Ví dụ 3: 10 đại diện 10 0 theo mod 15 , 10 0 mod 15 = 10 đại diện -10 theo mod 15 , ( -10 ) mod 15 = -12 mod ≡ -5 mod ≡ mod ≡ mod Do đại diện 12 , -5, www.lenhattung.com... (11 .19 + 10 17 ) mod = = ( (11 .19 ) mod + 10 17 mod 7) mod = ( (11 mod 19 mod 7) mod + (10 mod 7 )17 mod 7) mod = ((4.(-2)) mod + (((32)2)2)2 mod 7) mod = (( -1) mod + ((22)2)2 mod 7) mod = ( -1 + 5)... 15 0 15 mod 15 0) mod 15 0 = (-6 15 ) mod 15 0 = (-90) mod 15 0 = 60 www.lenhattung.com Các phép tốn số học modulo Ví dụ 7: Áp dụng tính chất modulo, ta thay số lớn số tương đương đồng dư: (11 .19