TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA MƠN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Mục đích Tài liệu nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập làm kiểm tra hết môn hiệu Tài liệu cần sử dụng với tài liệu học tập môn học giảng giảng viên ơn tập tập trung theo chương trình đào tạo Nội dung hướng dẫn Nội dung tài liệu bao gồm nội dung sau: • Phần 1: Các nội dung trọng tâm môn học Bao gồm nội dung trọng tâm môn học xác định dựa mục tiêu học tập, nghĩa kiến thức kỹ cốt lõi mà người học cần có hồn thành mơn học • Phần 2: Cách thức ôn tập Mô tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức luyện tập kỹ để đạt nội dung trọng tâm • Phần 3: Hướng dẫn làm kiểm tra Mơ tả hình thức kiểm tra đề thi, hướng dẫn cách làm trình bày làm lưu ý sai sót thường gặp, nỗ lực đánh giá cao làm • Phần 4: Đề thi mẫu đáp án Cung cấp đề thi mẫu đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra cách thức làm thi (Bảng chi tiết đính kèm) PHỤ TRÁCH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN PGS.TS Trần Tuấn Anh -1- PHẦN CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Chương 1: Sai Số • Các khái niệm số gần đúng, sai số tương đối, sai số tuyệt đối, cách xác định sai số hàm • Khái niệm số đáng tin, cách xác định số đáng tin Chương 2: Giải gần phương trình • Chứng minh phương trìnhcó nghiệm đoạn [a; b] • Tính tốn Sai số nghiệm gần theo cơng thức tổng qt • Cách tìm nghiệm gần phương trình theo phương pháp : chia đơi, tiếp tuyến, lặp đơn dây cung Chương 3: Giải gần hệ phương trình tuyến tính • Giải tìm nghiệm hệ theo phương pháp nhân tử LU • Khái niệm chuẩn ma trận • Giải gần nghiệm hệ theo phương pháp lặp đơn (Jacobi) phương pháp lặp Gauss Seidel Chương 4: Đa thức nội suy xấp xỉ • Xây dựng tìm giá trị nội suy theo Lagrange Newton • Xây dựng hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương cực tiểu Chương 5: Tính gần đạo hàm tích phân • Tính gần đạo hàm bậc • Tính gần tích phân theo phương pháp : hình thang, Simpson Gauss Chương 6: Giải gần phương trình vi phân thường Giải gần phương trình vi phân thường theo phương pháp • Euler • Euler cải tiến • Runge-Kutta -2- PHẦN CÁCH THỨC ÔN TẬP Chương 1: Sai số • Xem khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối tập giảng Làm lại ví dụ mục • Xác định sai số hàm : o Nắm vững cách lấy đạo hàm theo biến, sử dụng cơng thức tập giảng để tìm sai số hàm o Thực lại tập mục • Số đáng tin : o Xem định nghĩa số đáng tin gì, cách xác định số đáng tin o Xem hiểu ví dụ làm tập phần tập giảng Chương 2: Giải gần phương trình f(x) = • Chứng minh phương trình có nghiệm đoạn [a,b] : xem lại định lý mục 2.1 Xem hiểu ví dụ mục • Tính tốn Sai số nghiệm gần theo công thức tổng quát : xem mục 2.1 làm lại ví dụ mục • Cách tìm nghiệm gần phương trình theo phương pháp : chia đôi, tiếp tuyến, lặp đơn dây cung o Phương pháp chia đôi : xem mục 2.2.1, làm lại ví dụ mục o Phương pháp lặp đơn : xem mục 2.2.2, làm lại ví dụ mục o Phương pháp tiếp tuyến : xem mục 2.2.3, làm lại ví dụ mục o Phương pháp dây cung : xem mục 2.2.2, làm lại ví dụ mục Chương 3: Giải gần phương trình tuyến tính • Phương pháp LU o Xem lại cách biến đổi từ ma trận A ma trận LU nào? Các ma trận L U có đặc điểm o Từ ma trậ LU tìm nghiệm x hệ nào? o Xem hiểu ví dụ tập giảng làm thêm tập cuối mục • Chuẩn ma trận : xem lại cách xác định chuẩn ma trận mục 3.4 tập giảng, xem hiểu ví dụ mục • Giải gần nghiệm hệ phương pháp lặp Jacobi Gauss – Seidel: xem mục 3.4 3.5, làm lại ví dụ mục tập giảng ví dụ lớp -3- Chương 4: Đa thức nội suy xấp xỉ • Xây dựng tìm giá trị nội suy theo Lagrange Newton o Lagrange : xem lại cách xác định hàm nội suy Lagrange tập giảng Xe hiểu ví dụ nội dung này, làm lại tập giảng lớp o Newton : xem lại cách xác định hàm nội suy theo Newton tập giảng Xe hiểu ví dụ nội dung này, làm lại tập giảng lớp • Xây dựng hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương cực tiểu : tùy thuộc vào yêu cầu hàm xấp xỉ f(x) dạng nào, xem công thức thiết lập ứng với dạng hàm f(x) tập giảng o f(x) = A + Bx : xem mục 2.1 tập giảng Làm lại ví dụ mục o f(x) = A + Bx : xem mục 2.4 tập giảng Làm lại ví dụ mục Chương 5: Tính gần đạo hàm tích phân • Tính gần đạo hàm bậc : xem công thức mục 5.1 tập giảng Làm lại ví dụ mục • Tính gần tích phân theo phương pháp : o Hình thang : xem mục 5.2.1 tập giảng Làm lại ví dụ mục o Simpson : xem mục 5.2.2 tập giảng Làm lại ví dụ mục o Gauss : xem mục 5.2.3 tập giảng Làm lại ví dụ mục Chương 6: Tính gần đạo hàm tích phân Giải gần phương trình vi phân thường theo phương pháp • Euler : xem mục 6.1 tập giảng Làm lại ví dụ mục • Euler cải tiến: xem mục 6.2 tập giảng Làm lại ví dụ mục • Runge-Kutta : : xem mục 6.3 tập giảng Làm lại ví dụ mục -4- PHẦN HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA a/ Hình thức kiểm tra kết cấu đề Đề kiểm tra bao gồm mười tập: phân bổ chương sau o Chương 1: 1-2 câu o Chương 2: 2-4câu o Chương 3: 1-2 câu o Chương 4: 1-2 câu o Chương 5: 1-2 câu o Chương 6: 0-1 câu b/ Hướng dẫn làm phần trả lời câu hỏi tập Sinh viên làm trực tiếp đề thi, gởi ngắn gọn tập cột bên phải tương ứng với câu đề Sinh viên xem hướng dẫn phần đề thi mẫu đáp án -5- PHẦN ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN Mã Đề : PPT1 ĐỀ (LẦN ………) MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH HỌC KỲ ………………NĂM HỌC :…………… HỌ VÀ TÊN: ……………………………….MSSV : ……………LỚP: … …Thời gian: 75 phút Điểm số Sinh viên sử dụng tài liệu làm trực tiếp đề thi Lưu ý : sinh viên làm ngắn gọn câu hỏi theo gợi ý Điểm chữ GV chấm Cán coi thi Cán gác coi Câu hỏi : (mỗi câu điểm) Kết quả: Biết a có giá trị gần a = 3.1416 Biết tất chữ số có nghĩa a số đáng tin Tìm sai số tương đối a ? ………………… Phương trình f ( x ) = x − sin(1 − x ) = Lập bảng c=(a+b)/2 b fa fc fb có nghiệm đoạn [0, 1] Tìm nghiệm n a x2 theo phương pháp chia đôi : …………………………………… Các giá trị fa, fb, fc cần xét dấu Phương trình f ( x ) = x − sin(1 − x ) = Gợi ý: có nghiệm đoạn [0, 1] Tìm nghiệm Xác định hệ số co x2 sai số theo phương pháp lặp đơn, biết f ( x ) đưa dạng tương Chọn x0 = 0, tính nghiệm x1 = đương với x = g ( x ) = sin(1 − x ) x2 = g ( x ) hàm co Sai số nghiệm x2 : Giải hệ phương trình sau theo phương Phân tích ma trận A thành ma trận tam giác pháp nhân tử L.U theo phương pháp Dolittle 3x1 + 5x =14 L= ;U= 9x1 − x =13 Nghiệm y = Cho hệ phương trình Lập bảng tính kết quả: n 10x1 − 1.4x + 3x = − n x1 −2.09x1 + 20x =3 1.29x − 0.02x + 21x =4 x 2n 0 x3n với x = , tìm nghiệm x (lấy số lẻ) theo phương pháp Gauss – Seidel -6- Nghiệm x = Cho bảng nội suy x 0.2 0.3 0.4 y 0.15 0.25 0.6 Tính giá trị : L03 = L13 = Giá trị xấp xỉ ( làm tròn đến chữ số lẻ ) L33 = bảng x = 0.25 theo công thức nội y(0.25) = suy Lagange : …………………………………… Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng Theo PP BPCT, ta hệ phương trình theo A,B : kết thực nghiệm sau theo phương pháp bình phương cực tiểu x 0.1 0.18 0.26 0.34 0.42 0.5 y 1.226 1.04 0.86 0.68 0.5 0.33 Kết : A = …………… ; B = …………………… Hàm f(x) = ………………………… Tính gần f ' (1) hàm số x = 0.1 → f ' (1) = f ( x ) = x ln( x ) chọn x = 0.1 x = 0.001 Tính gần tích phân x = 0.001 → f ' (1) = I= sin2 x dx theo phương pháp Gauss với n =2 10 Tìm nghiệm gần y ( 0.6 ) Bảng tính nghiệm k1 phương trình vi phân sau theo phương xk -pháp Euler cải tiến 0.2 y( x ) = − x − y / , y(0) = , 0.4 chọn bước h = 0.2 0.6 k2 - yk Giáo viên đề XÁC NHẬN CỦA BCN KHOA -7- ĐÁP ÁN ĐỀ (LẦN ………) MƠN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH HỌC KỲ ………………NĂM HỌC :…………… HỌ VÀ TÊN: ……………………………….MSSV : ……………LỚP: … …Thời gian: 75 phút Sinh viên sử dụng tài liệu làm trực tiếp đề thi Lưu ý : sinh viên làm ngắn gọn câu hỏi theo gợi ý Điểm số Điểm chữ GV chấm Câu hỏi : (mỗi câu điểm) Biết a có giá trị gần a = 3.1416 Biết tất chữ số có nghĩa a số đáng tin Tìm sai số tương đối a ? ……………………………… Phương trình f ( x ) = x − sin(1 − x ) = có nghiệm đoạn [0, 1] Tìm nghiệm x2 theo phương pháp chia đơi : …………………………………… Phương trình f ( x ) = x − sin(1 − x ) = có nghiệm Cán coi thi Cán gác coi Kết quả: a 0.5*10n n=-4, suy a = 0.5 * 10−4 Vậy a = a / a = (0.5 * 10−4 ) / 3.1416 = 1.5915 * 10−5 Lập bảng n a c=(a+b)/2 b fa 0 0.5 1 0.25 0.5 0.25 0.375 0.5 Các giá trị fa, fb, fc cần xét dấu Gợi ý: Xác định hệ số co q = 1/2 = 0.5 fc + + fb + + + đoạn [0, 1] Tìm nghiệm x2 sai số theo phương pháp lặp đơn, biết f ( x ) Chọn x0 = 0, tính nghiệm x1 = sin(1-0)/2 = 0.4207 đưa dạng tương đương x2 = sin(1-0.4207)/2 = 0.2737 x = g ( x ) = sin(1 − x ) với g ( x ) hàm Sai số : 0.5/(1-0.5)*abs(0.4207-0.2737) = 0.147 co Giải hệ phương trình sau theo phương Phân tích ma trận A thành ma trận tam giác pháp nhân tử L.U theo phương pháp Dolittle 1 3 3x1 + 5x =14 L= ;U= 3 −16 9x1 − x =13 14 Nghiệm y = −29 -8- 1.6458 Nghiệm x = 1.8125 Cho hệ phương trình 10x1 − 1.4x + 3x = − −2.09x1 + 20x =3 1.29x − 0.02x + 21x =4 Lập bảng tính kết quả: N n x1 x 2n -0.2000 -0.2428 0.1291 0.1246 0.2029 0.2055 0 x3n với x0 = , tìm nghiệm x2 (lấy số lẻ) theo phương pháp Gauss – Seidel Cho bảng nội suy Tính giá trị : x 0.2 0.3 0.4 L03 = -0.0156 y 0.15 0.25 0.6 L13 = 0.4688 Giá trị xấp xỉ ( làm tròn đến chữ số lẻ ) L33 = -0.0781 bảng x = 0.25 theo công thức nội y(0.25) = 0.1797 suy Lagange : …………………………………… Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng Theo PP BPCT ta hệ phương trình theo A,B : kết thực nghiệm sau theo phương 6x1 + 1.8x = 4.636 pháp bình phương cực tiểu 1.8x1 +0.652x =1.1396 x 0.1 0.18 0.26 0.34 0.42 0.5 Kết : A = …1.4455 ; B = …-2.2429… y 1.226 1.04 0.86 0.68 0.5 0.33 f(x)= 1.4455 - 2.2429x Hàm f(x) = ………………………… x = 0.1 → Tính gần f ' (1) hàm số f ( x ) = x ln( x ) chọn x = 0.1 x = 0.001 Tính gần tích phân I= sin2 x dx (1 + 0.1)2 ln (1 + 0.1) − (1)2 ln (1) = 1.1533 f ' (1) = 0.1 x = 0.001 → f ' (1) = 1.0015 I= 1 sin2 x dx = sin (t / + / 2) / 2dt −1 3 + ) + sin (− + ) Theo phương pháp Gauss với n =2 4 4 I = 0.9148 10 Tìm nghiệm gần y ( 0.6 ) k1 = 0.2*( − xk − yk / ) ; I = sin ( phương trình vi phân sau theo phương k2 = 0.2* [4 − ( xk + 0.2) − ( yk + k1 ) / 2] pháp Euler cải tiến xk k1 k2 y( x ) = − x − y / , y(0) = , -0 0.7 0.59 chọn bước h = 0.2 0.2 0.5955 0.496 0.4 0.5009 0.4108 0.6 yk 1.645 2.1907 2.6466 Giáo viên đề XÁC NHẬN CỦA BCN KHOA -9- ... Newton • Xây dựng hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương cực tiểu Chương 5: Tính gần đạo hàm tích phân • Tính gần đạo hàm bậc • Tính gần tích phân theo phương pháp : hình thang, Simpson Gauss Chương... Làm lại ví dụ mục Chương 5: Tính gần đạo hàm tích phân • Tính gần đạo hàm bậc : xem công thức mục 5.1 tập giảng Làm lại ví dụ mục • Tính gần tích phân theo phương pháp : o Hình thang : xem mục... 0.001 Tính gần tích phân x = 0.001 → f ' (1) = I= sin2 x dx theo phương pháp Gauss với n =2 10 Tìm nghiệm gần y ( 0.6 ) Bảng tính nghiệm k1 phương trình vi phân sau theo phương xk -pháp