Một vài kinh nghiệm dạy học sinh ôn thi tốt nghiệp thpt qg chủ đề đồ thị hàm số

Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiƯm S¸ng kiÕn A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý thực đề tài Cơ sở lý luận Trong chương trình giáo dục tốn học trường phổ thơng trung học, phương pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phương pháp toạ độ, người thường hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị toán hình học giải tích Tuy nhiên khơng có nhiều người nghĩ phương pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán sơ cấp: Giải phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Thậm chí phương pháp toạ độ cịn giúp ta giải tốn số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học tuý, mà đối tượng “xa vời” với phương pháp toạ độ Cơ sở thực tiễn Cùng với phương pháp khác, phương pháp toạ độ phương pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải tốn chứa “Cái hồn hình học” mà nhiên ta chưa nhìn thấy Do nên đưa phương pháp toạ độ vào giải tốn sơ cấp chương trình phổ thơng trung học, nhằm trang bị thêm phương pháp giải tập ứng dụng phương pháp toạ độ Đó nhận thức ý tưởng tơi chọn đề tài “sử dụng phương pháp toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số” II Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III Đối tượng nghiên cứu Các tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số IV Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa toán THPT Sách tập toán THPT Báo toán học tuổi trẻ V Ứng dụng Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc dạy học tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Do điều kiện thời gian, đề tài đưa ra: Phương pháp toạ độ với tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số - thơng qua vài ví dụ Hy vọng rằng: Phương pháp toạ độ đem lại cho bạn thoải mái sáng - lý thú Sáng kiến Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết T¹o kinh nghiƯm Dĩ nhiên, q trình nghiên cứu không tránh khỏi khuyết điểm Mong bạn đồng nghiệp góp ý bổ sung NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI Để giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp toạ độ, người ta thường sử dụng tính chất sau: - Trong tất đường gấp khúc nối hai điểm A B cho trước đường thẳng nối AB đường thẳng có độ dài ngắn - Cho điểm M đường thẳng d ( mặt phẳng (P)) cho trước Khi đó, độ dài đường vng góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (mặt phẳng) - Trong tam giác nội tiếp đường trịn, tam giác có chu vi diện tích lớn Nếu phép biến đổi đó, tốn quy kiện hình học nói trên, nên dùng phương pháp toạ độ để giải Người ta sử dụng hai bất đẳng thức sau: r r r r u + v ≤ u + v rr r r uv ≤ u v r r (Chú ý điều kiện xảy dấu u, v véc tơ phương, chiều có hai vectơ vectơ khơng) Ngồi cịn ý số kết sau (tự chứng minh) : Cho đoạn AB, M0 ngồi đoạn AB Ta có: MaxM0M = Max{M0A,M0B} M∈AB Cho f(x) liên tục tập D tồn Max f (x) Min f (x) D D  f (x) = α f (x) ≤ α ≤ Max f (x) Phương trình  có nghiệm ⇔ Min D D x ∈ D   f (x) ≥ α f (x) ≥ α Bất phương trình  có nghiệm ⇔ Max x∈D x ∈ D   f (x) ≤ α f (x) ≤ α Bất phương trình  có nghiệm ⇔ Min x∈D x ∈ D  M A M B S¸ng kiÕn Tỉ To¸n - Tin Trêng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm SAU Y L MT VÀI VÍ DỤ MINH HOẠ 1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f(x,y) = cos2x + cos2y Trên miền D = {(x, y: sinx + siny = } Lời giải: Đặt u = sinx; v = siny Khi ta có: cos2x + cos2y = - 2(u2 + v2) Xét tốn mới: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: F(u,v) = u + v2 v miền D1 = {(u, v): u ≤ 1; v ≤ 1;u + v = } A Lúc ta có mối liên hệ: (u,v) (1) Max f (x, y) = - MinF 1/2 D D H Min f (x, y) = - MaxF (u, v) (2) D1 D Vẽ hệ trục Ouv -1 -1/2 1/2 -1/2 Tập D1 đoạn thẳng AB (phần đường thẳng u + v = 1 vuông) Dễ thấy A(- ; 1) & B(1; - ) 2 2 Nếu M(u; v) ∈ D1 u + v = OM u B nằm hình (u, v) = MaxOM = OA2(= OB2 ) = 1+ = Vậy MaxF D M∈AB 4 MinF (u, v) = MinOM = OH = D M∈AB f (x, y) = ; Min f (x, y) = - Theo (1) ta có: Max D D 1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN hàm số: f(x, y) = x2 + y2 miền:  x − 2y + ≥ x  D = x + y+ 2≥ C 2x − y + ≤  B Lời giải: 1 Vẽ hệ trục Oxy - A- O 2 x Sáng kiến Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết T¹o kinh nghiƯm Dễ thấy điểm (x; y) thoả mãn hệ tồn tam giác ABC Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gọi D miền dàng buộc hệ) Ta có: Max f (x, y) = MaxOM = Max {OA2, OB2, OC2} = 20 D M∈D Min f (x, y) = MinOM = MinOH2 = 16 (vì = + = + = ) D M∈D OH OA2 OC2 16 16 f (x, y) = 20 Tóm lại: Max D Min f (x, y) = 16 D 1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN hàm số: f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z Trên miền D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + = 0} Lời giải: Với (x, y, z, t) ∈ D, ta có: f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - =(x - z)2 + (y - t)2 - (1) Khi (x, y, z, t) ∈ D điểm M(x; y) nằm đường trịn đơn vị; điểm N(z, t) nằm Parabol: v = u2 + Ta có: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2 Rõ ràng: MinMN2 = M0N02 = Trong M0(0; 1) N0(0; 3) Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) ≥ ∀(x, y, z, t) ∈ D Mặt khác, x = 0, y = 1, z = 0, t = f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, )∈D f (x, y, z,t) = Vậy Min D v N(z,t) 3N M1 O M(x, y) u 1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x2 − x + + x2 − 3x + với x ∈ R S¸ng kiÕn Tỉ To¸n - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm Li gii: 2 2  1     1  Ta viết lại f(x) dạng: f(x) =  x − ÷ +  ÷ +  x− ÷ +  ÷ (1) 2       2 3 Xét hệ trục Oxy với điểm A( ; ); B( ; ); C(x ; 0) 2 2 Khi từ (1) ta có: f(x) = CA + CB ≥ AB 2  1  3 Trong AB =  − ÷ +− − ÷ = 2 2     Do đó: f(x) ≥ Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại C0 Ta có: C0A + C0B = AB Như vậy, đặt x0 = OC0 f(x0) = y A Min f ( x ) Vậy : x∈R = 2 C x − 2 C0 x B 1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN hàm số: f(x, y) = 4x + 3y 2 Trên miền: D = {(x, y): x + y + 16 = 8x + 6y} Lời giải: Nếu (x, y) ∈ D, ta có: x2 + y2 = 8x + 6y ⇔ (x - 4)2 + (y - 3)2 = Nghĩa là: D đường tròn tâm O1(4; 3) bán kính R = (x, y) ∈ D, ta có: x2 + y2 + 16 1 f(x, y) = 4x + 3y = = 8+ (x2 + y2 ) = 8+ OM 2 2 y với M(x; y) nằm đường tròn M(x,y Nối OO1 cắt đường tròn D điểm M1, M2, ta được: ) MinOM = OM1 = OO1 - M1O1 = - = .M2 M∈D MaxOM = OM2= OO1 +O1M2 =5 + = M∈D O f (x, y) = + 82 = 40, Vậy: Max D M Min f (x, y) = + 22 = 10 D x O Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm Sáng kiến 1.6 Vớ d 6: Tỡm GTLN & GTNN hàm số: f(x) = sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x với x ∈ R Lời giải: Gọi m giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Điều có nghĩa phương trình sau (ẩn x) có nghiệm: sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x = m (1) Đặt u = − sin2 x ; v = sinx y = m (2) u + v + uv  2 (3) u + v = (1) ⇔  B (4) −1≤ v ≤ 1≤ u ≤ (5)  Xét hệ trục Ouv: x O » nhỏ, Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung AB A(1; -1); B(1; 1) A (u + v) − Từ (2) ta có: u + v + = m ⇔ (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - = ⇔ u + v = -1 + 2m+ » ) (u + v) = -1 - 2m+ loại (vì khơng cắt cung AB Từ nhận thấy (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng : » u + v = -1 + 2m+ cắt cung AB tức ≤ -1 + 2m+ ≤ ⇔ ≤ 2m+ ≤ ⇔ - ≤ m ≤ f (x) = Min f (x) = -1 Vậy Max x∈R x∈R 1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN hàm số x f(x) = x + 1− đoạn [0; 2] Lời giải: Viết f(x) dạng: f(x) = x + 2 − x (1) Xét phương trình tham số: x + 2 − x = m (2) v Đặt x = u; − x = v Khi đó: B u + 2v = m (3)  2 (4) (2) ⇔u + v = O u ≥ 0; v ≥ (5)  Xét hệ trục Ouv: - A u S¸ng kiến Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiƯm Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng u + 2v = m cắt cung phần tư thứ AB đường tròn tâm O bán kính Đường thẳng u + 2v = m qua A( ; 0) có dạng: u + 2v = » có dạng: u + 2v = OC , Đường thẳng u + 2v = m tiếp tuyến cung AB 2 =3 OC = sinα = 1 : +2 Từ thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng u + 2v = m nằm hai đường thẳng nói ⇔ ≤ m≤ Vậy Max f (x) = = Min f (x) = [ 0;2] [ 0;2] 1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x2 − 2px + 2p2 + x2 − 2qx + 2q2 (p, q hai số cho trước) Lời giải Xét p + q > : Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; p ) & B(x - q; q ) Khi đó: f(x) = 2 (x − p)2 + p + (x − q)2 + q = OA + OB Rõ ràng có: OA + OB ≥ AB Mà AB = (q − q)2 + ( p + q )2 không đổi với vị trí A B Vậy ta ln có f(x) ≥ (q − q)2 + ( p + q )2 (1)y = p Dấu = sxảy ⇔ A, O, B thẳng hàng y y=-q uuur uuu r Ta có: OA = (x − p; p ); BO = (q − x; q ) q p + pq x− p p = ⇔ x= mà A, O, B thẳng hàng ⇔ q− x q p+ q Do AB khơng đổi với vị trí A, B nên ta có: A x O B S¸ng kiến Tổ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiÖm  q p + pq  f  = AB = ( p − q)2 + ( p + q )2 (2) ÷ ÷  p+ q  Xét p + q = (⇔ p = q = 0) Lúc f(x) = 2|x| ⇒ Min f(x) = (3) Tóm lại, với trường hợp ta có: Min f (x) = ( p − q)2 + ( p + q )2 x∈R 1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN hàm số:f(x, y) = x - y (x − 6)2 + (y − 3)2 ≥ 25  2  x + (y − 4) ≤ 25 Trên miền: D =  −2x + y ≤  x ≥ 0, y ≥ Lời giải: Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhỏ hàm f(x, y) biểu y diễn miền gạch chéo sau: A -2O B C x Chú ý rằng: Đồ thị hàm số x - y = α suy từ đồ thị hàm số x - y = lượng (- α) theo trục Oy Gọi (α) giá trị tuỳ ý f(x, y) D Điều có nghĩa hệ sau ẩn (α, x, y) có nghiệm: x− y = α  2 −2x + y = (x − 6) + (y − 3) ≥ 25   2 Giải hệ ta có:  x + (y − 4) = 25  x + (y − 4) ≤ 25 −2x + y ≤  x ≥ 0, y ≥    x ≥ 0, y ≥ Suy toạ độ điểm A( 5; + 4) S¸ng kiÕn Tỉ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm Đường thẳng x - y = α qua A α = - - Đường tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành B(2; 0) & C(10; 0) Đường thẳng x - y = α qua B α = Khi đó: x - y = - - & x - y = hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x - y = α cắt miền D f (x, y) = 2, Min f (x, y) = −4 − Từ suy ra: Max D D 1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h bốn số dương cho trước; x, y, z ba số thực thay đổi cho ax + by + cz = k (1) ( k số cố định cho trước) Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x, y, z) = a h2 + x2 + b h2 + y2 + c h2 + z2 với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1) Lời giải: Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz) v C ax + by + cz =k a x O ax + by A ah (a+b) h B u (a+b+ c)h Ta có: OA = a h2 + x2 ; AB = b h2 + y2 ; BC = c h2 + z2 Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k) Ta có: OC = k2 + h2(a + b + c)2 Từ (2) suy ra: f(x, y, z) ≥ OC = k2 + h2(a + b + c)2 (3) Dấu = (3) sảy ⇔ O, A, B, C thẳng hàng ax ax + by ax + by + cz k ⇔ = = ⇔ x= y= z= ah ah + bh ah + bh + ch a+ b+ c k k k   2 , , Như vậy: f  ÷ = k + (a + b + c) h (4)  a + b+ c a + b+ c a + b+ c  Từ (3) (4) ta có: Minf(x, y, z) = k2 + (a + b + c)2 h2 S¸ng kiÕn Tỉ To¸n - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm 1.11 Vớ d 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) 2n số thực thoả mãn: y n n i =1 i =1 ∑ xi + ∑ yi = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = O x n ∑ i =1 xi2 + yi2 Lời giải: Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy: k  k  Gọi Mk điểm có toạ độ Mk  ∑ xi ; ∑ yi ÷, k= 1, 2, , n i =1  i =1  n n   Như điểm Mn  ∑ xi ; ∑ yi ÷ nằm đường thẳng x + y = (vì giả thiết x+ y i =1  i =1  =1) Dễ thấy: Mk−1Mk  k x − k−1 x  +  k y − k−1 y  = x2 + y2 (k = 1, 2, , n) ∑ i ∑ i ÷ ∑ i ∑ i ÷ k k i =1 i =1  i =1   i =1  Từ suy ra: A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, OH = 2 Rõ ràng: OM1 + M1M2 + + Mn-1Mn ≥ OH, hay A ≥ (1) Dấu sảy (1) ⇔ O, M1, M2, , Mn thẳng hàng & Mn ≡ H y y y ⇔ = = = n = tg45 = x1 x2 xn ⇔ x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = 2n Vậy MinA = 10 Tæ Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm S¸ng kiÕn KẾT LUẬN Bài tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số loại toán phức tạp chương trình THPT Cách giải phong phú - đa dạng Mặt khác, phương pháp toạ độ phương pháp học sinh - có phần trừu tượng Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có tư lơgic - khéo léo Vận dụng phương pháp giúp học sinh phát triển tư - ý thức rèn luyện kiến thức tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thơng qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy ý nghĩa phương pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phương pháp (kiến thức) toạ độ, mà có ví dụ với phương pháp sơ cấp đơn không giải phức tạp - Nhưng phương pháp toạ độ lời giải lại đơn giản, ngắn gọn dễ hiểu Trên nghiên cứu kinh nghiệm thân tơi Hy vọng đề tài góp phần để việc dạy học phương pháp toạ độ đạt hiệu cao Do điều kiện thời gian tinh thần học hỏi, đưa số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt số u cầu mà thơi Mong đóng góp chân tình bạn đồng nghiệp, nhằm hồn thiện, thường xun có tư tưởng suy nghĩ đến phương pháp mà trước ta nghĩ tới XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN tơi nghiên cứu thực hiện, không copy người khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Thịnh Thị Hồng 11 ... -2O B C x Chú ý rằng: Đồ thị hàm số x - y = α suy từ đồ thị hàm số x - y = lượng (- α) theo trục Oy Gọi (α) giá trị tuỳ ý f(x, y) D Điều có nghĩa hệ sau ẩn (α, x, y) có nghiệm: x− y = α  2... Toán - Tin Trờng THPT Lê Viết Tạo kinh nghiệm Sáng kiến 1.6 Vớ d 6: Tỡm GTLN & GTNN hàm số: f(x) = sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x với x ∈ R Lời giải: Gọi m giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Điều có... thức rèn luyện kiến thức tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thơng qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy ý nghĩa phương pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phương pháp