PHĂ‚N TÍCH bät

Nguyễn Thế Duy – Tư duy, phân tích bất đẳng thức “ Đơn giản BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG “ Bài 28 Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  ab  b  c Tìm giá trị lớn biểu thức P 3ab  2 2c  36 1   a2  b2  ab2c  3 Phân tích ý tưởng: Bài tốn có biểu thức P chứa phân số cuối cồng kềnh, nên việc dự đoán điểm rơi ban đầu gặp nhiều khó khăn cho dù có đối xứng a , b Quan sát phân thức cuối, vừa chứa căn, vừa chứa đa thức bậc cao với biến c nên ta nghĩ đến chuyện giảm biến giảm biến triệt tiêu tử số cho mẫu số Ở 2c  36 đa thức bậc nên ta đánh giá thông qua đại lượng đồng bậc 2c  đồng thời yêu cầu tìm max P nên đánh giá Xét đánh giá 2c  36 k 2c  2c  36  k  2c  36  k 2c  3 Bình phương hai vế ta 2c  bất phương trình 4 k  2 c  12 k c  k  36  Để bất phương trình có nghiệm với c dương khi: 4 k   4 k   2    k   2 36 k  4 k  29 k  36  9 k   3   Và dĩ nhiên, ta chọn k lớn nên suy k  Hay nói cách khác là: 3 ab  2 2c  36 2c  36 ab    c  12     2c  3 ab2c  3 ab2c  3 Khi đó, ta có P  1 ab    Bây xét đến hai a  b  2 ab2c  3 phân số đầu, tổng làm ta nghĩ tới đánh giá 1 hay bất đẳng   x y xy thức Cauchy – Schwarz dạng phân số Tuy nhiên bị ngược dấu với u cầu tốn, giải pháp tối qua quy đồng sau: 1 a  b2  a  b2     a2  b2  a2  2b2  2 a b2  a2  b2   Nguyễn Thế Duy – Tư duy, phân tích bất đẳng thức Từ giả thiết đến biểu thức P ta thấy ba biến xuất a  b2 , ab , c ta đặt x  a2  b2 , y  ab , z  c Bài toán trở thành cho giả thiết x  y  z tìm giá trị lớn biểu thức P  y2 x4  y  x  y  z  3 Quan sát phân số thứ hai chứa y , z ta x  z  y vào phân số thứ để giảm biến ta y   z  y   y  y   z Có xuất đẳng thức y  y    y  1 nên ta có: y   z  y   y  y   z   y  1  z   z  Dấu đẳng thức xảy y  Nên biểu thức P lúc trở thành: P zy4 y2  1    z   y   2z  y  y 2 z  3 z   Mặt khác với điểm rơi y  nên ta tự tin đánh giá theo bất đẳng thức Cosi cho đại lượng y  1 y   y   z   y   z  y y y y z 2 z  3    1 2  Suy P  z   y      z   y  z  2z  ab  Dấu đẳng thức xảy  a  ab  b  c  12  Vậy giá trị lớn biểu thức P 13  13  ; b ; c  12 2 Nhận xét: Điểm mấu chốt toán nằm điểm sau: Chẳng hạn giá trị a   Đánh giá 2c  36  2c  3 Ngồi ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:    1  c   2 c   2  2c  36        4  2c  36  2c  36  2c  3  Tuy nhiên đánh giá làm vẻ tự nhiên toán Quy đồng hai phân thức đầu để đổi biến số:   Nguyễn Thế Duy – Tư duy, phân tích bất đẳng thức 1 a  b2  a  b2     a2  b2  a2  2b2  2 a b2  a2  b2   Sự xuất biến a  b2 , ab , c nên x  a2  b2 , y  ab , z  c Suy P   y2 x4  với giả thiết x  y  z y  x  y 2 z  3 Giảm biến số, đưa ba biến hai biến cách x  z  y Đồng thời quan sát đẳng thức y  y    y  1 Nên đánh giá biểu thức P