bat dang thuc hay

A PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ BẬC 2: Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (1).Dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình bậc ta ứng dụng để giải số bất đẳng thức mang lại hiệu cao Ví dụ 1:Cho số thực x,y thỏa mãn x2+2xy+2y2=6 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số :P=x2+3xy+8y2 Hướngdẫn: - Nếu y=0=> x2=6=>P=6 - Nếu y  , ta có: x x  y  2 y 3 2 P x  xy  y t  2t  x    2  (t  ) x  3xy  y t  3t  y x x  y  3 y 8    ( P  6)t  (3P  12)t  (8P  18)  (1) Tới ta tìm điều kiện tồn t phương trình (1) Nếu P=6, phương trình có nghiệm t Nếu P khác 6, phương trình (1) phương trình bậc nên (1) có nghiệm   (3P  12)  4( P  6)(8P  18)  23P  192 P  288   192  10368 192  10368 P 46 46 Tới ta tìm giá trị lớn nhỏ P Ví dụ 2: Cho số thực x,y thỏa x2+2xy+y2=2x+4y Tìm giá trị nhỏ của: P=-2x+y Hướngdẫn:Ta có: y=P+2x Điều kiện đề thành x2  x( P  x)  ( P  x)2  x  4( P  x)  x  (6P  10) x  P  4P  (2) Phương trình (2) hàm số bậc nên điều kiện tồn x  '  (3P  5)  9( P  P)   P  25   P   25 Tới ta tìm phương giá trị nhỏ biểu thức Vídụ 3:Cho số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị lớn P=9xy+10yz+11zx Hướngdẫn: Thay z=1-x-y vào P ta có: P  11x2  10 y  12 xy  11x  10 y  11x  (12 y  11) x  10 y  10 y  P  (1) Phương trình (1) phương trình bậc ẩn nên điều kiện tồn x   (12 y  11)2  44(10 y  10 y  P)   P  296 y  176 y  21 495  44 148 Vậy giá trị lớn P =495/148 x=11/37,y=25/74,z=27/74 a  b  c  Ví dụ 4:Cho số thực a,b,c thỏa hệ  2 a  2b  3c  Tìm giá trị lớn a Hướng dẫn: c=3-a-b  a  2b  3(3  a  b)   2a  3b  6ab  18a  18b    3b  2(3a  9)b  2a  18a   (1) Có (2) pt bậc theo b nên điều kiện có nghiệm b hay điều kiện tồn b  '  (3a  9)  12(2a  18a  3)   15a  162a  45   27  201 27  201 x 5 Vậy ta tìm điều mong muốn Ví dụ 5:Cho số a,b,c số thực dương thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng: a  ab  abc  Hướng dẫn: Ta có: b=3-a-c BĐT thành a  a(3  a  c)  ac(3  a  c)   f (a)  (2c  1)a  (2c  5c  4)a  0 f(a) hàm bậc theo a có hệ số a2 2c+1>0   (2c2  5c  4)2  18(2c  1)  (2c1)2 (c2  4c  2)  c [0;3]  Đpcm Ví dụ 6: Cho số a,b,c không âm thỏa điều kiện a2+b2+c2=2 Chứng minh rằng: ab  bc  ac   2abc Hướng dẫn: Giả sử c=max{a;b;c}=> c  S  c2  đặt S=a+b ;P=ab, ta có: S +c =2+2P P  BĐT thành: 2Pc   Sc  P  2Pc   Sc  P  S  c2   ( S  c  2) x    Sc    f ( S )  (2c  1) S  2cS  2c3  c  4c   2 Có f(S) hàm bậc theo S , ta có: 2c    2  '  c  (2c  4c  c  4)(2c  1)  4(c 1) (c  c  1)   f(S)   đpcm B PHƢƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN: Trong đồ thị hàm số, tiếp tuyến đường cong bất kì, tiếp tuyến chúng nằm nằm đồ thị hệ trục Oxy Lợi dụng tính chất ta áp dụng chứng minh BĐT dạngf(a1)+f(a2)+ f(an) Cácvídụ minh họa: Ví dụ 1:Cho số a,b,c dương thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c   1 a 2 b 2 c 2 Hướngdẫn: Đây phương trình dạng f(a)+f(b)+f(c) nên ta suy nghĩ tới phương pháp tiếp tuyến Ta thấy hàm cần xét f ( x)  x , VT =f(a)+f(b)+f(c) cộng với việc x 2 dấu xảy biến nên ta có ý tưởng chứng minh hàm số f(x) lớn tiếp tuyến x=1.Cụ thể sau: Ta chứng minh: f ( x)  x 1  ( x  1)  x 2 x  (0;3]  ( x  4)( x  1)  Vậy ta đạt điều cần ,việc lại đơn giản: f  a   f  b   f  c   (a  b  c  3)   Vậy BĐT chứng minh Vídụ 2:Cho số a,b,c dương thỏa a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 2  a   b2   c 2 a b c Hướng dẫn: hàm số dạng f(a)+f(b)+f(c) với f ( x)  x  đẳng x2 thức xảy biên nên ta có ý tường chứng minh f(x)nằmphíatrêntiếptuyếncủanótạix=1tứclà P lớnhơnbằng 3 Ta cần chứng minh:  ( x  1)  x (1)  ( x  1) (2 x  12 x  6)  f ( x)  x  x (0;3](1) BĐT phụ chứng minh việc lại áp dụng cho a,b,c cộng kết lại f  a   f b   f  c   (a  b  c  3)  3  P  3  Ta gặp lại phương pháp hình học Vídụ 3: Cho số thực x,y,z0 thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng: a(b  c)  b(a  c)  c(a  b)  2abc bc ab ac    (1) 2bc 2ab 2ac 1 1 Có: VT(1)  2(   )  2( f (a)  f (b)  f (c)) f ( x)  ; x  (0;3) 3 a 3b 3c 3 x x3 Ta chứng minh: f ( x)  (*)  ( x  1) ( x  5)  x  (0;3) (1) Hướng dẫn: BĐT (1) Đúng nên (*) Ta có: f (a)  f (b)  f (c)   VT(1)  abc9   (dpcm) Ví dụ 6:Cho số thực không âma,b,c thỏa a4  b4  c4  Chứng minh rằng: 1   1  ab  bc  ac Hướng dẫn:Có: 1 1       2  ab  a  b   a  b2  1  VT    2  a  b  c2 Đặt x=a4;y=b4;z=c4, ta có: x+y+z=3 VT  1 1    f ( x)  f ( y )  f ( z ) f (t )  ; t  (0;3) 4 x 4 y 4 z 4 t Ta chứng minh t 5  ( t  1) (2  t )  dung t  (0;3) 18 t 5  f (t )  18 x5   f ( x)  18  y5 x  y  z  15    f ( y )   f ( x)  f ( y )  f ( z )  1 18 18  z 5   f ( z )  18   VT  f (t )  Vậy BĐT chứng minh: C PHƢƠNG PHÁP CHUẨN HÓA: I Bất đẳng thức nhất: Là bất đẳng thức mà: - Mỗi hạng tử có bậc thành phần: hạng tử mẫu có bậc nhau, hạng tử tử có bậc nhau: - Bậc vế nhau: - Các biến không phụ thuộc vào điều kiện điều kiện dấu biến - Ví dụ: a b c    a, b, c  ( BDT Nesbit ) bc a c a b a2 b2 c2 a bc 2/    a, b, c  ab bc ca / a  b  c  ab  bc  ac 1/ / a  b3  c3  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c) ( BDT Schur ) Phƣơng pháp chuẩn hóa:  Lưu ý: phương pháp dành cho bất đẳng - Là phương pháp mà ta gán cho biểu thức số Thường ta hay gán cho giá trị sau : II 1/ x  y  z  k / x2  y  z  k / xy  yz  zx  k / xyz  k III Một số ví dụ minh họa: Vídụ 1:Cho số a,b,c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: 2a 2b 2c (a  b)2  (b  c)  (c  a)    3 bc ac a b (a  b  c ) Hướngdẫn:Đây bất đẳng thức nhất, nên ta chuẩn hóaa+b+c=1, t ta có:  a2 2a 2b 2c b2 c2  (a  b  c) 1  1    2       t  ab  bc  ac    bc ac a b ab  ac ab  bc ac  bc 2( ab  bc  ac ) ab  bc  ac t 3    (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 2a  2b  2c  2ab  2ac  2bc      6t   6t ( a  b  c) 1 Ta cần chứng minh:   6t (1) t 1 Có : (1)  (t  )(t  )  ( BDT dung t  ) 3 3  Đpcm Vídụ 2: Cho số thực a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1 (a  b  c )      a  b  c  a  b  c 3 a b c Hướngdẫn:Đây bất đẳng thức nhất, nên ta suy nghĩ tới phép chuẩn hóa Ta thấy BĐT có thành phần thức phức tạp nên ta suy nghĩ chuẩn hóa cho thành phần Vậy ta chuẩn hóa cho a2+b2+c2=1, ta có BĐT thành: 1  1  1 (ab  bc  ac)  abc(a  b  c)  abc      a  b  c   3 a b c 3 (ab  bc  ac) t ) abc(a  b  c)   (t  ab  bc  ac  1) 3 ) (abc)  ab.bc.ac  )VT  (ab  bc  ac)3 t3  abc  27 27 1 t 3 Ta cần chứng minh: 1 t2 t3 t  (2) 27 3 (2)  ( t  1)( t  3 )0 Vậy BĐT chứng minh Vídụ 3: Cho số dươnga,b,c.Chứng minh rằng: 1 1 1 1   2 2       2 a b c (a  b  c) 25  a b c a  b  c  Hướngdẫn: Ta chuẩn hóa cho a+b+c=1, BĐT thành: 1 1 1          1 a b c 25  a b c  Đặt ẩn phụ x=1/a;y=1/b ;z=1/c, ta có: 1/x+1/y+1/z=1 => x  y  z  Có: 1 ( x  y  z)2 t2 2     x  y  z      (t  x  y  z  9) a b2 c 3 VP  (t  1) 25 t2 Ta chứng minh :   (t  1)2  (t  9)(2t  3)  25 Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 4:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng: bc a c a b b c   a    4    a b c  bc a c a b  1 1 1  Hướng dẫn:BĐT  (a  b  c)           a b c a b a c bc     Chuẩn hóa cho a+b+c=3, ta có: BĐT thành 3 12 12 12   9   a b c 3 a 3b 3c 12   12   12  3       3     3 0 3 a   b 3b   c 3c  a Tới ta sử dụng BĐT tiếp tuyến quen thuộc Ví dụ 5: Cho sốa,b,c dương Chứng minh rằng: a b c    2 (b  c) (a  c) (a  b) 4(a  b  c) Hướng dẫn: Ta chuẩn hóa choa+b+c=3.Khi ta có BĐT dạng f(a)+f(b)+f(c)  9/4 với f ( x)  x dùng phương pháp tiếptuyến (3  x) Ví dụ 6:Cho số thực a,b,c không âm, Chứng minh rằng: abc(a  b  c)  (a  b2  c )2  4abc 3(a  b2  c ) Hướng dẫn: Chuẩn hóa: a2+b2+c2=3.BĐT thành: abc(a  b  c)   12abc (2) VT(2)  3( abc )  Ta cm :3( abc )   12abc  3t  12t   0  t  abc   (t  1)(3t  9t  9t  9)  (3) (3 ) với t thuộc [0;1]  Đpcm Ví dụ 7:Cho số thực a,b,c,k dương Tìm giá trị nhỏ của: k (a  b )  c A ab  bc  ac Hướng dẫn: Chuẩn hóa ab+bc+ac=1 Bài tốn trở thành tìm GTNN A=k(a2+b2)+c2 Có: la  lb  2lab (k  l )a  c  2(k  l )ac (k  l )b  c  2(k  l )bc Chọn l cho: 2l  2k  2l  l  1   8k  A  1   8k Dấu “=” xảy  a  b  c 2(k  l ) Ví dụ 8:Cho số a,b,c dương Tìm giá trị nhỏ của: a3  b3  16c3 A ( a  b  c )3 Hướng dẫn:Ta chuẩn hóa cho a+b+c=1.Bài tốn thành tìm giá trị nhỏ A=a3+b3+16c3 Có: a      3 a b3      3 2b 16c3      3 16b  A  3 a  3 2b  3 16c  2  4 Chọn hệ số cho: a  b     c              16   a  b  c   A  16 81 Ví dụ 9:Cho số a,b,c dương Tìm giá trị lớn của: A  4ab  6ac  8bc ( a  b  c )3 Hướng dẫn:Ta chuẩn hóa cho a+b+c=1.Bài tốn thành tìm giá trị lớn A=4ab+ac+8bc Ta có: c=1-a-b  A=-10ab-6a2-8b2+6a+8b  -6a2+2(3-5b)a-8b2+8b-A=0 (1) (1 ) phương trình bậc theo a nên điều kiện có có nghiệm a hay điều kiện tồn a  a '  (3  5b)2  6(8b2  8b  A)   23b2  18b   A  (2) Để có b thỏa (2) :  'b  81  23(9  A)  48 23  a   23   "  " b  23   10 c  23   A  D BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC: a) Bất đẳng thức vector: Cho n vector ui (i  n) ta ln có: n n  | u |  u i 1 i i 1 (Tổng độ dài vector lớn độ i dài tổng vector đó) Cho hai vector n; v bất kì, ta ln có: | u.v || u | | v | cos(u, v) | u | | v | - Bằng cách áp dụng bất đẳng thức cho vector hệ trục tọa độ Oxy, ta cóthể chứng minh mộtsốbấtđẳngthứcrâthiệuquả Vídụ 1: Cho số a,b,c dương thỏa a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 2  a   b2   c 2 a b c Hướng dẫn: Ta gặp phương pháp tiếp tuyến Nếu quan sát tốt ta thấy có dạng module mộtvector,nên ta có ý tưởngkhácngồiphươngpháptiếptuyếnđóchínhlàbấtđẳngthức vector Ta có ý tưởng sau:   u       Ý tưởng 1:Trong hệ trục Oxy, ta đặt vector sau: v       w       Ta có:  ; a  a   ; b  b   ; c  c   2 2 VT | u |  | v |  | w | u  v  w       (a  b  c) b c   a 2 1 1         (a  b  c)     (a  b  c )  3 a b c  abc  "  "  a  b  c   1  u   a ; a ; a      1 Ý tưởng 2:Trong hệ trục Oxyz, ta đặtcác vector sau: v   ; ; b   b b   1  w   ; ; c  c c   Ta có: 2 1 1 1 1 VT | u |  | v |  | w | u  v  w            (a  b  c) a b c a b c 2 1 1         (a  b  c)     (a  b  c)  3 a b c  a bc  "  "  a  b  c  Vídụ 2: Cho sơ thực a,b,c dương Chứng minh rằng: 3 Hướngdẫn:Ta đặt vector sau: u  (a;1  b) ; v  (b;1  c) ; y  (c;1  a) , ta có: a  (1  b)2  b2  (1  c)2  c  (1  a)2  VT | u |  | v |  | w | u  v  w  (a  b  c)  (3  a  b  c)  t  (3  t ) (t  a  b  c) 3  2t  6t   2(t  )   2 "  "  a  b  c  Vídụ 3:Cho số a,b,c dương thỏa mãn a+2b+3c=6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x2  1  y2   z2  x y z a a a Hướng dẫn: Đặt vector sau: u  (a; ) ; v  (2a; ) ; z  (3a; ) ĐS: Ví dụ 4:Cho số a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ac=1.Chứng minh rằng:  a   b2   c  Hướng dẫn: Đặt u  (1; a) ; v  (1; b) ; y  (1; c ) , ta có: u  v  y  u  v  y VT  32  (a  b  c)2   3(ab  bc  ac)  b) Bất đẳng thức hình tròn, đƣờng thẳng:  Các kiến thức cần biết: - Cho đường tròn tâm (O) đường thẳng (d) khơng cắt đường tròn (O) Trên (O) lấy M, (d) lấy N Xác định vị trí M,N cho MN có độ dài nhỏ lớn M2 Qua O dựng đường kình vng góc với (d) cắt (O) M1;M2và cắt (d) No hình vẽ Ta có: minMN=N0M1 M O (O) M1 N N0 (d) - Cho hai đường tròn (O1) (O2) nằm Trên (O1) lấy M, (O2) lấy N Xác định vị trí M,N cho M,N có độ dài nhỏ lớn  Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho số thực a,b,c,d thỏa điều kiện sau: (a-3)2+(b-3)2=1 c+d+2=0 Tìm giá trị nhỏ P=a2-2ad+b2-2bc+19-2cd Hướng dẫn:gọi N(a;b) M(c;d) ta có:N thuộc đường tròn (C): (x-3)2+(y3)2=1, M thuộc đường thẳng (d)x+y+2=0 Ta có: P=(a2-2ad+d2)+(b2-2bc+c2)+15=MN2+15 Pmin MN2 min MN Qua tâm I(3;3) (C) dựng (d’) vng góc với (d) ta có: (d’):y=x (d’) cắt (C) A(2;2) B(4;4); (d’) cắt (d) C(-1;-1) Có: BC  AC   MN  AC   MN  18  P  33 a  2; b  "  "   c  1; d  1 Ví dụ 2:Cho số a,b,c,d số thực thỏa điều kiện: a2+b2=1;(c-4)2+(d4)2=4.Tìm giá trị nhỏ lớn của P=ac+bd-17 Hướng dẫn:2P=25-(-2ac-2bd)=34-(a-c)2-(b-d)2 2 Đặt N(a;b) M(c;d) ta có: N thuộc đường tròn (C1):x +y =1; M thuộc đường tròn(C2): (x-4)2+(y-4)2=4 P=25-MN2 Đường thẳng qua tâm hai đường tròn cắt (C1) A(-1;-1) B(1;1) cắt (C2) C(2;2) D(6;6) Ta có: BC  MN  AD   MN    MN  98  23  P  73 Tới ta tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức E BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƢƠNG PHÁP CHUẨN HÓA Q,P,R: Bất đẳng thức Schur: Cho số thực a,b,c không âm k số ngun dương Ta ln có: ak (a  b)(a  c)  bk (b  c)(b  a)  c k (c  a)(c  b)  Chứng minh:Khơng tính tổng qt, ta giả sử: a  b  c  ,ta có: BĐT ck (a  c)(b  c)  (a  b)[a k (a  c)  bk (b  c)]  (1) (1) Đúng nên ta có điều phải chứng minh Khi k=1, ta có bất đẳng thức Schur dạng: a(a  b)(a  c)  b(b  a)(b  c)  c(c  a )(c  b)   a  b3  c3  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c)  a  b3  c3  6abc  (a  b  c)(ab  bc  ac)  abc  (a  b  c)(b  c  a )(a  c  b) 9abc  2(ab  bc  ac) abc  (a  b  c)3  9abc  4(a  b  c)(ab  bc  ac)  a  b  c   a b c 4abc    2 b  c a  c a  b (a  b)(b  c)(c  a ) Khi k=2, ta có BĐT Schur dạng: a  b4  c  abc(a  b  c)  ab(a  b )  bc(b  c )  ca(c  a )  6abc(a  b  c)   2(ab  bc  ca)  (a  b  c )  a  b  c  ab  bc  ca  Kĩ thuật đổi biến p,q,r: Khi đặt p=x+y+z ; q=xy+yz+zx ; ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a )  pq  3r r=xyz (a  b)(b  c)(c  a )  pq  r ab(a  b )  bc(b  c )  ca (c  a )  p q  2q  pr (a  b)(a  c)  (a  c)(b  c)  (b  c)(a  b)  p  q a  b  c  p  2q a  b3  c3  p  pq  3r a  b  c  p  p q  2q  pr a 2b  b c  c a  q  pr a 3b3  b3c3  c 3a  q  pqr  3r Mối liên hệ ba biến p,q,r: 1/ p  3q 2/ p  27 r / q  pr / pq  9r 5/ p  9r  pq 6/ p q  pr  4q 7/ p  4q  pr  p q Bất đẳng thức Schur dƣới dạng p,q,r : ta có: p(4q  p ) (4q  p )( p  q) r 6p r 3) Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho số a,b,c dương thỏa điều kiện a2+b2+c2=3 Chứng minh bất đẳng thức sau: 5(a  b  c)   18 abc Hướng dẫn: Đặt p=x+y+z ;q=xy+yz+zx ;r=xyz, ta có:p2-2q=3 BĐT thành : p   18 r Có: q  pr  r  q ( p  3) 12 p    3p 12 p r p  p2  Ta cần chứng minh: 5p  12 p  18  p  p  p2   p  18 p  30 p  108 p  81 p  162   ( p  3) (5 p  12 p  p  18)   p  12 p  p  18  (1) Có (1) =>đpcm Ví dụ 2: Cho số a,b,c dương thỏa điều kiện abc=1.Chứng minh bất đẳng thức: 1  a  b  c ab  bc  ca Hướng dẫn: Cho p  a  b  c ; q  xy  yz  zx ; r  xyz  p  p  36    p q p2 q 36 12 Mà q  pr  p   q p BDT   Ta chứng minh: p  p  12   p(p 3)  p2 p Vậy BĐT chứng minh Ví dụ 3: Cho số a,b,c dương Chứng minh rằng: (a  b  c)3  9abc  7(a  b  c)(ab  bc  ac) Hướng dẫn:Ta chuẩn hóa cho ab+bc+ac=3=q BĐT thành: ;p=a+b+c ;r=abc, ta có: p3  9r  21 p (1) Theo BĐT Schur , ta có: p(4q  p ) 12 p  p r  9  VT(1)  p  12 p  p  p  12 p Ta cm : p  12 p  21 p  p ( p  9)  (dung ) Do : p  3q  Vậy BĐT chứng minh Ví dụ 3:Cho số a,b,c không âm thỏa điều kiện a4  b4  c4  2(a2b2  b2c2  a2c2 ) Chứng minh rằng: a2  b2  c2  2(ab  bc  ac) Hướng dẫn:đặt p=a+b+c ;q=ab+bc+ac ;r=abc, ta có: p  p q  2q  pr  2(q  pr )  p  p q  8 pr   p ( p  4r )   p  4r  (a  b  c)  4(ab  bc  ca )  a  b  c  2(ab  bc  ac) Ví dụ 4: Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 3 12 1 1  5    abc a b c p  abc Hướng dẫn:Đặt: q  ab  bc  ac , ta có: r  abc  BĐT thành: 12 q   3r  12  5q r r Theo BDT Schur : 3 p (4q  p ) 12q  27  3r  12   12 r Ta chứng minh: 12q  27  12  p  p  (1) (1) Đúng  Điều phải chứng minh Ví dụ 5:( HCM- 2013) Cho số a,b,c số không âm thỏa điều kiện a2+b2+c2=3.Chứng minh : 1   3 2a 2b 2c Hướng dẫn:Ta gặp phương pháp tiếp tuyến Sau xin trình bày cách quy đổi p,q,r cho này: Có: BĐT 12  4(a  b  c)  ab  bc  ac  3[8  4(a  b  c)  2(ab  bc  ac)  abc]  8(a  b  c)  5(ab  bc  ac)  3abc  12  p  abc  p   2q  p   Đặt: q  ab  bc  ac , ta có: p  2q    p  q  r  abc   BĐT thành: p  5q  3r 12  (1) p(4q  p2 ) p(2 p   p ) p3  p   9 p  p p  15 VT(1)  p   3 p  p p  15 Ta cm : p    12 (1) (1)  (2 p  3)( p  3)  (2) Có: r  (2 ) => đpcm Ví dụ 6:Cho số khơng âm a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=8 Chứng minh rằng: 4(a  b  c  4)  abc p  abc  p2  q  Hướng dẫn: Đặt: q  ab  bc  ac , ta có: p  2q     p   2q   p  2 r  abc   BĐT thành: r  p 16  r  p  16  (4q  p )( p  q) ( p  16)( p  8)  Theo BĐT Schur ta có: r  6p 12 p Ta chứng minh: ( p  16)( p  8)  p  16  12 p  ( p  4) ( p  p  8)  (1) 12 p (1 )  Đpcm Ví dụ 7: Cho số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng: 1     ab  bc  ac p  abc Hướng dẫn: Đặt: q  ab  bc  ac , ta có: r  abc  BĐT thành: 108  48q  13 pr  3r   4(9  4q  3r )  r (1  r )  (1) Có:  p  3 r  r   r (1  r )  Theo BDT Schur : r  p(4q  p )  3r  4q    4q  3r   (1)  Đpcm Ví dụ 8:Cho số a,b,c khơng âm có tồng Chứng rằng: 5(a  b2  c2 )  6(a3  b3  c3 )  Hướng dẫn:BĐT  5(a  b  c)2 10(ab  bc  ac)  6(a  b  c)3  18(a  b)(b  c)(a  c)  (1) Quy đổi p,q,r ta có:(1) thành  10q  6(1  3q  3r )   18r  8q   ( BDT Schur )  Dpcm Ví dụ 9:Cho số a,b,c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng: a  b3  c  a b c    bc ac ac Hướng dẫn:Có: 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1     a     b     c     ( AM  GM ) bc ac a b b c a c a b  ab(a  b)  ac(a  c)  bc(b  c)   a  b3  c  9abc  4(a  b3  c )  dpcm a  b  c  Ví dụ 10:Cho số a,b,c thỏa  Chứng minh rằng: a, b, c  3abc  a3  b3  c3  3abc  p  abc p2 1 Hướng dẫn: : Đặt: q  ab  bc  ac ,ta có: q  r  abc  BĐT thành: 3r  p  pq  3r  3r  p2 1 1  p  3( AM  GM )   p  p Xét f ( p)  p3  p 3 p  2 f '( p )   p  p2 1 p3    p p  [0; 3] có: 2 f '( p )  f (1)  f (0)  f ( 3)    f ( p )  =>dpcm F BẤT ĐẲNG THỨC TẠI BIÊN: a) Các lý thuyết cần nắm: Cho số a,b,c thuộc [ ;  ] , ta có bất đẳng thức sau: a ; b ; c     a;   b;   c  Bằng phương pháp cộng trừ nhân số hạng ta có BĐT để áp dụng giải tốn Những tốn thường có dẩu xảy có hay nhiều biến có giá trị giá trị đầu mút b) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (THPTQG-2015)Cho số thực a,b,c thuộc [1;3] thỏa điều kiện a+b+c=6.Tìm giá trị lớn biểu thức: a 2b2  b2c  a 2c  12abc  72 P  abc ab  bc  ac Hướng dẫn:Bằng cách thử ta nhận thấy dấu BĐT xảy a=1;b=2;c=3 Ta thấy có biến nằm biên nên ta suy nghĩ giải theo phương pháp này.Ý tưởng sau: (ab  bc  ac)2  72  abc ab  bc  ac a; b; c  [1;3]  (a  1)(b  1)(c  1)  Có: P   abc  (ab  bc  ac)  a  b  c    abc  ab  bc  ac  5  (ab  bc  ac)   abc  2 Đặt t=ab+bc+ac, ta có: (3  a)(3  b)(3  c)  (a  1)(b  1)(c  1)   ab  bc  ac  11 ab  bc  ac  (a  b  c)  12  t  [11;12] t  72 2t  144  5t  t t  5t  144 P  (5  t )   t 2t 2t Ta chứng minh: t  5t  144 160  t  [11;12] (1) 2t 11 (1)  11t  55t  1584   (t  11)(11t  144)  (2) (2) Đúng => (1) => P  160 11 Dấu “=” a=1;b=2;c=3 hốn vị Ví dụ 2: (D-2014)Cho số x,y thỏa diều kiện  x  2;1  y  Tìm giá trị nhỏ của: C  A B   A B   A B  sin A  sin B  2sin   cos    2sin    2cos       x  2y y  2x P   x  y  y  3x  4( x  y  1) Hướng dẫn:Theo cách nhẫm dấu quen thuộc, ta đoán dấu xảy x=1;y=2 hay ngược lại Nên ta có ý tưởng sau: Có: x  [1; 2]  ( x  1)( x  2)   x  3x  y  [1; 2]  (y 1)(y 2)   y  y  3( x  y ) 3t P     f (t ) 2  t  x  y  3( x  y  1) 4( x  y  1) 3t  4t  Ta cm : f (t )  t  [2; 4] ( x  3)  0 8( x  1) BĐT cuối nên , ta có: P  Ta tìm giá trị nhỏ BĐT Đây toán dễ, phán đốn dấu biên, khơng khó để nảy ý tưởng Ví dụ 3:Cho số a,b,c không âm Chứng minh biểu thức sau: ( a  b  c )  ( a  b3  c ) Hướng dẫn:Đây BĐT nhất, nên ta dùng phương pháp chuẩn hóa Chuẩn hóa cho a3+b3+c3=1 Ta có: BĐT thành chứng minh: a2  b2  c2  Ta có: a (a  1)   a, b, c  [0;1]  b (b  1)  c (c  1)   3  a  b  c  a  b  c  BĐT chứng minh Ví dụ 4:Cho số x,y,z thuộc đoạn[0;2] có tổng Chứng minh rằng: x2  y  z  Hướng dẫn:Có: x, y, z  [0; 2]  xyz  (2  x)(2  y )(2  z )   2( xy  yz  zx)  4( x  y  z )    ( x  y  z )  4( x  y  z )   x  y  z   x  y  z Ví dụ 5: Cho số a,b,c thuộc (0;1) Chứng minh rằng: abc  (1  a)(1  b)(1  c)  Hướng dẫn:Ta chứng minh VT  abc  (1  a)(1  b)(1  c)  G PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HÓA: Các định lý cần biết: a) Cho số x,y thỏa mãn x2+y2=1, ta có: tồn góc x  sin  ; y  cos   cho: b) Cho số x,y,z dƣơng thỏa mãn x2+y2+z2+2xyz=1, ta có: tồn tam giác ABC cho: x=cosA ;y=cosB ;z=cosC c) Cho số x,y,z dƣơng thỏa mãn xy+yz+zx=1, ta có: tồn tam giác ABC cho x=cotA Hay x  tan A ;y=cotB ; y  tan ;z=cotC B ; z  tan C d) Cho số x,y,z dƣơng thỏa mãn x+y+z=xyz, ta có: tồn tam giác ABC cho x=tanA ;y=tanB ;z=tanC Hay x  cot A; ; y  cot B ; z  cot C 2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Cho số a,b,c thuộc (0;1) Chứng minh rằng: abc  (1  a)(1  b)(1  c)  Hướng dẫn:Ta chứng minh toán phương pháp dồn biên Nhưng để ý, ta thấy: ( a )2  (  a )2   a  sin   Nên theo bổ đề a) ta có:  b  sin    c  sin  BĐT thành: sin  sin  sin   cos  cos  cos   sin  sin   cos  cos   cos(   )  Ví dụ 2:Cho số a,b,c dương thỏa điều kiện a+b+c=abc Chứng minh rằng: 1 x  1 y  1 z  Hướng dẫn:Theo bổ đề d) ta đặt sau: tồn tam giác ABC cho: x  tan A; y  tanB; z  tanC BĐT thành: cos A  cos B  cos C  Có:  A B   A B   C  cos A  cos B  cos C  cos   cos    cos C  cos    cosC       C C C 3  2sin   2sin  2(sin  )   2 2 2  BĐT chứng minh Ví dụ 2:Cho sốx,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=1.Chứng minh rằng: 2x 2y 2z 1      2 1 x 1 y 1 z  x2 1 y2 1 z2 A B C Hướng dẫn: Đặt x  tan ; y  tan ; z  tan (A,B,C góc tam 2 giác),BĐT thành: sin A  sin B  sin C  cos A B C  cos  cos 2 Có: C  A B   A B   A B  sin A  sin B  2sin   cos    2sin    cos       B t / t :sin A  sin C  cos A sin B  sin C  cos  Dpcm Ví dụ 3:Cho số a,b,c dương thỏa mãn: ab+ac+bc=1.Chứng minh rằng: x y z 3    2 1 x 1 y 1 z A B C Hướng dẫn: Tồn tam giác ABC cho: x  tan ; y  tan ; z  tan BĐT 2 thành: tanA tanB tanC  3 Có:  tan A  tan B  tan C  tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C       tan A  tan B  tan C  3 Vậy BĐT chứng minh Ví dụ 4:Cho số x,y,z dương thỏa x+y+z=1 Chứng minh rằng: x y z    x  yz y  zx z  xy Hướng dẫn: 1    (1) yz zx xy 1 1 1 x y z BĐT  A   a  tan  yz xz xy B  Cho a  ; b  ; c   ab  bc  ac    b  tan x y z  C   c  tan  1 (1)     A B C  tan  tan  tan 2 2 A B C  cos  cos  cos  2  cos A  cos B  cos C  BĐT cuối quen thuộc  Đpcm Ví dụ 5:Cho số a,b,c dương thỏa ab+bc+ac=1.Chứng minh rằng: a b 3c    10 2 1 a 1 b  c2 A   a  tan  B Hướng dẫn:Đặt b  tan , ta có:  C  c  tan  C BĐT thành: sin A  sin B  6sin  10 Có: sin A  sin B  6sin C C  A B   2sin    6sin 2   C C C C   cos  3sin   10 sin  cos  10 2 2  Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5:Cho số x,y,z số dương thỏa mãn x4  y  z  x2 y z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  Hướng dẫn:Có: x4  y  z  x2 y z  2  x2   y   z  x2 y z           1 2  2    2  x  cos A  Ta có: ABC :  y  cos B  z  cos C  Có: xy  yz  zx  x2  y  z  2(cos A  cos B  cos C ) Ta chứng minh: 2(cos A  cos B  cos C)  Đây BĐT quen thuộc Vậy ta có điều cần chứng minh Ví dụ 6:Cho số dương a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2+2abc=1.Chứng minh rằng: 1 x 1 y 1 z    1 x 1 y 1 z Hướng dẫn:Tồn tam giác ABC cho x=cosA ;y=cosB;z=cosC A B C  tan  tan  (1) 2 A B A C B C Có: tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 BĐT thành tan Mà: (tan A B C A B A C B C  tan  tan )2  3(tan tan  tan tan  tan tan )  2 2 2 2  (1)  Bất đẳng thức chứng minh H ĐẶT ẨN PHỤ ĐẶC BIỆT: I PHƢƠNG PHÁP DỒN BIẾN: J MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ: ... tam giác ABC cho x=cotA Hay x  tan A ;y=cotB ; y  tan ;z=cotC B ; z  tan C d) Cho số x,y,z dƣơng thỏa mãn x+y+z=xyz, ta có: tồn tam giác ABC cho x=tanA ;y=tanB ;z=tanC Hay x  cot A; ; y  cot...  18b    3b  2(3a  9)b  2a  18a   (1) Có (2) pt bậc theo b nên điều kiện có nghiệm b hay điều kiện tồn b  '  (3a  9)  12(2a  18a  3)   15a  162a  45   27  201 27 ... hóa:  Lưu ý: phương pháp dành cho bất đẳng - Là phương pháp mà ta gán cho biểu thức số Thường ta hay gán cho giá trị sau : II 1/ x  y  z  k / x2  y  z  k / xy  yz  zx  k / xyz  k III