lovetoan wordpress com bät weitzenbock, bät hadwinger finsler vă những má»ÿ rá»™ng

BẤT ĐẲNG THỨC WEITZENBOCK, BẤT ĐẲNG THỨC HADWINGER-FINSLER VÀ NHỮNG MỞ RỘNG Cao Đình Huy, 10T THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai Ngày 30 tháng năm 2014 Bài viết tham dự Cuộc thi viết kỉ niệm 10 năm Diễn đàn Tốn học (2004-2014) Xét tam giác có góc A, B, C a, b, c ba cạnh tương ứng ; S diện tích tam giác ; p nửa chu vi tam giác ; R , r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ; , rb , rc bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ; ,b ,c , la ,b ,c , ma ,b,c theo thứ tự độ dài đường cao, đường phân giác đường trung tuyến tam giác Trước hết, ta nhắc lại nội dung cách chứng minh hai Bất đẳng thức quen thuộc Hình học : Bất đẳng thức Weitzenbock Bất đẳng thức Hadwinger-Finsler Bất đẳng thức Weitzenbock a2  b2  c2  3S Chứng minh : Sử dụng hệ thức Herons : S  p( p  a)( p  b)( p  c)  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Để ý hai BĐT quen thuộc : abc  (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) a  b2  c  ab  bc  ca Ta chứng minh kết mạnh : ab  bc  ca  3abc(a  b  c)   ab  bc  ca  3abc(a  b  c)   ab  bc  bc  ca   ca  ab  2 Đây điều hiển nhiên Như BĐT Weitzenbock chứng minh Mạnh Weitzenbock, ta có BĐT Hadwinger-Finsler Bất đẳng thức Hadwinger - Finsler a  b  c  3S  (a  b)  (b  c)  (c  a ) Chứng minh : (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Ta biến đổi BĐT cho thành : Chý hệ thức Herons S  a2  (b  c)2   b2  (c  a)2   c2  (a  b)2   3(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)   a  b  c  (c  a  b)   b  c  a  (a  b  c)   c  a  b  (b  c  a)  3(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Sử dụng phép Ravi : b  c  a  x, c  a  b  y, a  b  c  z Chú ý a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x, y , z  Khi ta cần chứng minh : xy  yz  zx  3xyz(x  y  z)   xy  yz    yz  zx    zx  xy   Kết hiển nhiên Như vậy, BĐT Hadwinger – Finsler chứng minh 2 Tiếp theo, ta xét đến mở rộng hai bất đẳng thức Bài toán : Cho số thực dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức : xa2  xb2  xc2  xy  yz  zxS Rõ ràng trường hợp tổng quát BĐT Weitzenbock (Khi x  y  z  ta thu BĐT Weitzenbock) cách chứng minh phép Ravi biến đổi đại số thông thường không đem lại hiệu quả, ta xem xét lời giải sau Lời giải : Theo BĐT AM  GM : xa2  yb2  cz2  x(a2  b2  c2 )  (x  y)b2  (z  x)c2  2bc.cos A  (x  y)b2  (z  x)c2  2bc.cos A  2bc ( x  y)( z  x) Như xa2  yb2  zc2  2bc  ( x  y)( z  x)  x.cos A  Ta : ( x  y )( z  x)  x.cos A  xy  yz  zx sin A  ( x  y )( z  x)  x cos A  x.cos A ( x  y )( z  x)  ( xy  yz  zx).sin A  ( xy  yz  zx)  x  x cos A  x.cos A ( x  y )( z  x)  ( xy  yz  zx) 1  cos A   ( x  y )( z  x).cos A  x.cos A ( x  y )( z  x)  x    ( x  y )( z  x).cos A  x  0 Điều ln Từ ta có xa  yb2  zc2  2bc.sin A xy  yz  zx  4S xy  yz  zx Đây điều phải chứng minh Nhận xét : Với x, y , z  , ta có bất đẳng thức “chặt” : zab  ybc  xab  xy  yz  zxS Lời giải xin dành cho bạn đọc ! Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức : (b  c  a)a (c  a  b)b (a  b  c)c    3S bc ca ab Lời giải : Bổ đề : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có diện tích S Khi với số thực dương x, y, z ta có bất đẳng thức : x y z a2  b  c  3S yz zx x y Chứng minh bổ đề : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :  a2 b2 c2  a  b  c        x  y  z  yz zx x y 2x 2 y 2z  a  b  c  2(ab  bc  ca)  (a  b  c ) yz zx x y Lại áp dụng BĐT Hadwinger – Finsler, ta có : a  b  c  3S  (a  b)  (b  c)  (c  a )  2(ab  bc  ca )  (a  b  c )  3S x y z a2  b  c  3S Bổ đề chứng minh hoàn tất Như yz zx x y Trở lại toán : Gọi A1, B1, C1 tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C S A1B1C1  S ' Đặt BC 1  x, C1 A1  y, A1B1  z Dễ dàng thấy A1BC ~ A1B1C1  BC  a ara a (b  c  a)a ax ( p  a)ra S ax          S A1B1C1  B1C1  x2 2S ' x bc bc 2S ' S ' bc Hoàn toàn tương tự, ta : S A1BC (c  a  b)b2 S by (a  b  c)c S cz  ,  ca S' ca a b S ' a b (b  c  a)a (c  a  b)b2 (a  b  c)c S  ax by cz  Từ :       bc ca ab S '  b  c c  a a  b  Áp dụng bổ đề, ta có : ax by cz    3S ' bc ca ab Dẫn đến : (b  c  a)a (c  a  b)b (a  b  c)c S    3S '  3S bc ca a b S' Và điều cần chứng minh Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức : l l l  ab  bc  ca  3S max  a , b , c   hb hc  Lời giải : l l l  l Khơng tính tổng quát, ta giả sử a  max  a , b , c   hb hc  Ta cần chứng minh : l ab  bc  ca  3S a  3.ala Theo cơng thức phân giác, ta có la  pbc( p  a) bc Do vậy, ta chứng minh : 4a ab  bc  ca  pbc( p  a) (*) bc Đây bất đẳng thức bậc hai nên ta chuẩn hóa ab  bc  ca  3(b  c) 3(b  c) (b  c  a)(a  b  c)  pbc( p  a)   *  4a 2abc bc (b  c)   (b  c  a)(a  b  c)  a 2bc  b  c  a  (a  b  c)  (b  c)2 a bc Bất đẳng thức cuối ln theo AM  GM : (b  c) (ab  bc  ca) a b  c  a   3 abc  a  b  c   Bài toán kết thúc Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức :  OG2  a2  b2  c2     S  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 R   Trong O , G theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác Lời giải : Ta có hệ thức quen thuộc sau : OG  R2  2 a  b  c  16 S  a  b  c  OG a  b2  c2  1  1 Suy : R2 9R2 9a b c Đặt x  p  a, y  p  b, z  p  c a  y  z, b  z  x, c  x  y S  xyz( x  y  z ) Ta cần chứng minh :  16 S a  b  c  2 S  ab  bc  ca   a  b  c       9a 2b c   2  ( x  y )( y  z )   ( x  y ) 16 S (a  b  c ) x, y, z x, y,z    1 S 9a 2b c  2  ( x  y )( y  z )   ( x  y ) 16 xyz ( x  y  z )   ( x  y )  x, y, z x, y,z  x, y,z   1   2 S 9( x  y ) ( y  z ) ( z  x)    xy  yz  zx  xyz ( x  y  z )    32 xyz ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx )   (*) 9( x  y ) ( y  z ) ( z  x) Mặt khác, theo AM  GM : 3( xy  yz  zx) 32 xyz ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx)   9( x  y )2 ( y  z ) ( z  x) xyz ( x  y  z )   x( y  z ) xyz ( x  y  z ) y ( z  x) z( x  y) x( y  z ) y ( z  x) z( x  y)     xyz ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) 32 xyz ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx) 3( x y  z  xy  yz  zx)  7  (**) 9( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 2( x  y  z ) xy  yz  zx Và  xy  yz  zx   3xyz( x  y  z)   xyz( x  y  z) xy  yz  zx  42  6  (***) xyz( x  y  z ) Cộng vế theo vế (**) (***) ta thu (*) Bài toán kết thúc   Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c   4( R  2r ) S  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 4R  r Lời giải : Bất đẳng thức cho viết lại thành : 2(ab  bc  ca)  (a2  b2  c2 ) 4(R  2r )  3 4S 4R  r Để ý đẳng thức quen thuộc ab  bc  ca  p2  r  4Rr a2  b2  c2  p2  2r  8Rr Thì ta cần chứng minh :  4R  r  Rr  r 4( R  2r ) 4Rr  r 4R  r 4( R  2r ) 4( R  2r )  3    3    3 S 4R  r pr p 4R  r 4R  r  p  Áp dụng BĐT Schur : ABC  2( AB  BC  CA)   A2  B2  C  A B C Thay A  1 , B  , C  ta : x y z 2( x  y  z) x2 y  y z  z x2 xy yz zx 9xyz        2( x  y  z) 2 xy  yz  zx xyz x y z z x y xy  yz  zx Ta thay x  p  a, y  p  b, z  p  c ta : ( p  a ) ( p  b)  ( p  a)( p  b) 9( p  a)( p  b)( p  c) 9( p  a)( p  b)( p  c)   p  a ,b , c   2p  pc ( p  a)( p  b)( p  c) a ,b , c  ( p  a)( p  b)  ( p  a)( p  b) a ,b , c a ,b , c Ta có khai triển sau : S2  pr p  ( p  a)( p  b)  r(4R  r) ( p  a)( p  b)( p  c)  a ,b,c  ( p  a) ( p  b) 2  r (4R  r )2  p2r a ,b,c Do ta :  4R  r  r (4 R  r )2  p r pr 4( R  2r )   2p     3 pr r (4 R  r ) 4R  r  p  Đây điều cần chứng minh Bài tốn hồn tất Bài tốn : Chứng minh bất đẳng thức : a  b  c  3S  2r (4 R  r )  (a  b)  (b  c)  (c  a ) Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh viết dạng : 2(ab  bc  ca)  (a  b  c )  pr  2r (4 R  r ) Để ý đẳng thức quen thuộc ab  bc  ca  p2  r  4Rr a2  b2  c2  p2  2r  8Rr Ta cần chứng minh : 2( p2  r  4Rr)  (2 p2  2r  8Rr)  pr  2r(4R  r)  4R  r  p (*) Ta có x ra , rb , rc  nghiệm phương trình  x2  p2   x  r   4Rx2 Thật vậy, ta có : A   A A A   p    r   Rra  p  tan  1  p.tan  ( p  a).tan   R p tan 2   2  A  A A A 4R A A    tan  1 a  R.tan  tan  cot    sin A  2sin cos  2 a sin A 2  Điều hiển nhiên Như x  nghiệm phương trình x2  p2  x  r   4Rx2 hay x  nghiệm r a   phương trình x3  (4R  r) x2  p2 x  p2r  Tương tự x  rb , x  rc nghiệm phương trình Theo định lí Viete, ta có :  rb  rc  4R  r rb  rb rc  rc  p Từ BĐT quen thuộc (ra  rb  rc )  3(ra rb  rb rc  rc ) Ta (4 R  r )  p  R  r  p Do (*) chứng minh Bất đẳng thức cho chứng minh hồn tất Bài tốn : Chứng minh bất đẳng thức sau với số nguyên dương n  1: n  4S  2n 2n 2n a  b  c  3   (a  b)  (b  c)  (c  a)  3 2n 2n 2n Lời giải : Bổ đề : Với số thực x  y  số nguyên dương n  ta có : xn  yn  (x  y)m Chứng minh bổ đề : Ta có n 1 x n  ( x  y)  y   ( x  y)n  y n   Cnk ( x  y)k y nk  ( x  y)n  y n n k 1 Do xn  yn  (x  y)m Bổ đề chứng minh Bổ đề : Với số thực x, y, z số nguyên dương n  ta có bất đẳng thức  x yz x  y  z  3    n n n n Chứng minh bổ đề : Áp dụng BĐT Holder, ta có : n n 1   1 1   1 ( xn  y n  z n )   x  y  z   3n1 ( xn  y n  z n )   x  y  z  n 1 Dẫn đến  x yz x  y  z  3    n n n n Bổ đề chứng minh Trở lại toán : Theo bổ đề 1, ta có : n n a2n  (b  c)2n  a2  (b  c)2  , b2n  (c  a)2n  b2  (c  a)2  , c 2n  (a  b)2n  c  (a  b)2  Do ta viết BĐT cần chứng minh thành ;  4S  a  (b  c)  b  (c  a)  c  (a  b)     3 2n 2n 2n 2n 2n n 2n Ta chứng minh kết mạnh : n n n  4S  a2  (b  c)2   b2  (c  a)2   c  (a  b)2      3 n n Điều theo bổ đề BĐT Hadwinger – Finsler :  a  b  c  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2   a  (b  c)   b  (c  a)   c  (a  b)       2 n n 2 n n  3S   4S         3   Bài toán chứng minh hoàn toàn n Nhận xét : Ta có bất đẳng thức “chặt” sau : Với số nguyên dương n  : n  4S  2n 2n 2n n a  b  c  3   (a  b)  (b  c)  (c  a)  (b  c  a) b  c  3 (c  a  b)n c  a  (a  b  c)n a  b 2n 2n 2n LỜI KẾT Bất đẳng thức Hình học – Một đề tài vơ tận toán học – Một kết nối tuyệt vời Hình học Đại số Hi vọng qua viết này, bạn đọc cảm nhận vẻ đẹp Tuy cố gắng nhiều kiến thức hạn hẹp, viết khó tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc bỏ qua Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ qua địa Email : nichkhunhuy@yahoo.com TÀI LIỆU THAM KHẢO - Hệ thức lượng tam giác – Th.s Võ Giang Giai Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Một số tư liệu trang web : tuanhoangminh.wordpress.com diendantoanhoc.net/forum n ... BĐT Cauchy-Schwarz :  a2 b2 c2  a  b  c        x  y  z  yz zx x y 2x 2 y 2z  a  b  c  2(ab  bc  ca)  (a  b  c ) yz zx x y Lại áp dụng BĐT Hadwinger – Finsler, ta...  3xyz(x  y  z)   xy  yz    yz  zx    zx  xy   Kết hiển nhiên Như vậy, BĐT Hadwinger – Finsler chứng minh 2 Tiếp theo, ta xét đến mở rộng hai bất đẳng thức Bài toán : Cho số thực...  (b  c)2   b2  (c  a)2   c  (a  b)2      3 n n Điều theo bổ đề BĐT Hadwinger – Finsler :  a  b  c  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2   a  (b  c)   b  (c  a)