Bài dịch tín hiệu hệ thống trường ĐHBK TPHCM chương 6
CHƯƠNG 3: ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƯƠNG TỰ Nội dung 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC) 7.2 Giản đồ Bode 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 7.5 Mạch lọc Butterworth 7.6 Mạch lọc Chebyshev 7.7 Biến đổi tần số 7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 7.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ 0 đến ¥. Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB. Nhắc lại là với )(th , ta dùng ý niệm )( w H cho biến đổi Fourier và )(sH cho biến đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của )(sH đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của )(sH bao gồm trục jw, và ta có được biến đổi Fourier )( w H bằng cách thay s = jw vào biến đổi Laplace )(sH tương ứng. Do đó, )( w jH và )( w H biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm )( w jH thay cho )( w H . 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng st etf =)( là hàm mủ không dừng st esH )( . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là stst esHe )(Þ (7.1) Đặt w js ±= vào hệ thức trên, ta có: tjtj esHe ww )(Þ (7.2a) tjtj ejHe ww w -- -Þ )( (7.2b) Cộng hai hệ thức trên, có: ])(Re[2)()(cos2 tjtjtj ejHejHejHt www wwww =-+Þ - (7.3) Viết )( w jH theo dạng cực )( )()( w ww jHj ejHjH Ð = (7.4) Thì quan hệ (7.3) thành [ ] )](cos)(cos wwww jHtjHt Ð+Þ Nói khác đi, đáp ứng )(ty của hệ thống với ngõ vào coswt là )](cos[)()( www jHtjHty Ð+= (7.5a) Tương tự, đáp ứng với tín hiệu )cos( qw +t là )](cos[)()( wqww jHtjHty Ð++= (7.5b) Kết quả này có được khi cho w js = , chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ (7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của )(sH . Trường hợp hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo w js = . Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian w, thì đáp ứng cũng là sin với cùng tần số w. Ngõ ra có biên độ dạng sin là )( w jH nhân với biên độ ngõ vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc )( w jHÐ (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ thống có 3)10( =jH và 0 30)10( -=Ð jH , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số 10= w theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 0 30 . Đáp ứng với tín hiệu vào )5010cos(5 0 +t là )2010cos(15)305010cos(53 000 +=-+ ttx . Rõ ràng thì )( w jH là độ lợi hệ thống, và đồ thị )( w jH theo w là hàm của độ lợi hệ thống theo tần số w. Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, )( w jHÐ là đáp ứng pha và đồ thị của của )( w jHÐ theo w là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo w, còn gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Ta thấy )( w jH có chứa thông tin của )( w jH và )( w jHÐ . Do đó, )( w jH còn được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu diễn đặc tính lọc của hệ thống. ■ Thí dụ 7.1: Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền 5 1,0 )( + + = s s sH Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống )(ty khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 50 0 ). Trong trường hợp này 5 1,0 )( + + = w w w j j jH Viết theo dạng cực 25 01.0 )( 2 2 + + = w w w jH và ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ =Ð -- 5 tan 1,0 tan)( 11 ww w jH Các đáp ứng biên độ và pha theo w được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin. (a) Khi tín hiệu vào 2,2cos)( == w ttf và 372,0 25)2( 01,0)2( )2( 2 2 = + + =jH 00011 3,658,211,87 5 2 tan 1,0 2 tan)2( =-= ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ =Ð -- jH Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với w = 2. Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số w = 2, thì độ lợi biên độ của hệ thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,3 0 . Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,3 0 . Như thế, đáp ứng của hệ thống với ngõ vào cos 2t là )3,652cos(372,0)( 0 += tty Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b. (b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 50 0 ), thay vì tính các giá trị )( w jH và )( w jHÐ như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.1a khi w = 10. Các giá trị này là: 894,0)10( =jH và 0 26)10( =Ð jH Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số w = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 26 0 . Như vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 50 0 ) là )2410cos(894,0)265010cos(894,0)( 000 -=+-= ttty Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 50 0 ), đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 50 0 + 26 0 ) = 0,894sin (10t –24 0 ). ` Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao (w lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp hơn (w thấp hơn 5). ■ ¤ Thí dụ C7.1 dùng máy tính Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền 23 5 )( 2 ++ + = ss s sH num=[1 5]; den=[1 3 2]; w=.1:.01:100; axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) [mag, phase, w]=bode(num, den, w); subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) subplot(211),semilogx(w,phase) ¤ ■ Thí dụ 7.2: Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của (a) khâu trễ lý tưởng T giây (b) khâu vi phân lý tưởng (c) khâu tích phân lý tưởng (a) Khâu trễ lý tưởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54) TjsT ejHesH w w -- =Þ= )()( nên TjHjH www -=Ð= )(1)( (7.6) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng (đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu coswt qua khâu trễ lý tưởng T giây, thì ngõ ra là cosw(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị của w. Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra )cos()(cos TtTt www -=- có độ dịch pha – wT so với ngõ vào coswt. Do đó, đáp ứng pha tỉ lệ tuyến tính với tần số w, và độ dốc – T (b) Khâu vi phân lý tưởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) 2/ )()( p www j ejjHssH ==Þ= , do đó 2/)()( pwww =Ð= jHjH (7.7) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng (p/2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích từ nhận xét là nếu tín hiệu coswt qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là ( ) 2/cossin pwwww +=- tt . Do đó, biên độ sóng ra là w lần biên độ tín hiệu vào, tức là biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số w. Hơn nữa, sóng ra có dịch pha p/2 so với sóng vào coswt. Do đó, đáp ứng pha là hằng (p/2) với tần số. Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ ww =)( jH ], nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng. (c) Bộ tích phân lý tưởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56)) 2/ 11 )( 1 )( p www w j e j j jH s sH - = - ==Þ= , do đó 2 )( 1 )( p w w w -=Ð= jHjH Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với tần số, còn độ dịch pha là hằng (–p/2) theo tần số. Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu coswt qua khâu tích phân lý tưởng, ngõ ra là ÷ ø ö ç è æ -= 2 cos 1 sin 1 p w w w w tt . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với w, và đáp ứng pha là hằng số (–p/2) theo tần số. Do có độ lợi là 1/w, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng lại tăng cường các thành phần tần số thấp có w < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■ D Bài tập E 7.1 Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi )(5)(23 2 2 tf dt df ty dt dy dt yd ==++ khi ngõ vào là sóng )353sin(20 0 +t Đáp số )91,613sin(23,10 0 -t . Ñ 7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào là tín hiệu sin nhân quả Từ trước, ta chỉ mới bàn về đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin không dừng (bắt đầu từ -¥=t ). Trong thực tế, ta cần quan tâm đến các ngõ vào là sóng sin nhân quả (sóng sin bắt đầu từ 0=t ). Xét ngõ vào )(tue tj w , bắt đầu từ 0=t , thay vì -¥=t . Trường hợp này )/(1)( w jssF ++ . Hơn nữa, phương trình (6.51) cho )(/)()( sQsPsH = trong đó )(sQ là đa thức đặc tính cho bởi )())(()( 21 n ssssQ lll ---= L . Do đó ))(())(( )( )()()( 21 wlll jssss sP sHsFsY n ---- =+ L Khai triển đa thức cho vế phải, gọi các hệ số tương ứng với n thừa số )())(( 21 n sss lll --- L là 1 k , 2 k , . . ., n k . Hệ số tương ứng thừa số cuối )( w js - là )()(/)( w w jHsQsP js = = . Do đó, å = - + - = n i i i js jH s k sY 1 )( )( w w l , Và )()()()( 1 tuejHtuekty tj n i t i i w l w += å = (7.9) = thành phần quá độ )(ty tr + thành phần xác lập )(ty ss Đối với hệ ổn định tiệm cận, các thừa số chế độ t i e l giảm theo thời gian, do đó, gồm thành phần thường được gọi là thành phần quá độ. Thừa số cuối tj ejH w w )( tồn tại mãi mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi: )()()( tuejHty tj ss w w = Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả t w cos , đáp ứng xác lập được cho bởi: )()](cos[)()( tujHtjHty ss www Ð+= (7.10) Tóm lại, )()](cos[)( tujHtjH www Ð+ là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không dừng t w cos , và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại 0=t . 7.2 Giản đồ Bode Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng hơn khi dùng tỉ lệ logarithm. Đồ thị đáp ứng biên độ và pha là hàm theo w theo trục logarithm được gọi là giản đồ Bode. Từ tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha, ta vẽ được các giản đồ này dễ dàng hơn, hay cả với hàm truyền bậc cao. Xét hệ thống có hàm truyền ))(( ))(( )( 32 2 1 21 bsbsbss asas K sH +++ ++ = (7.11a) Trong đó thừa số bậc hai )( 32 2 bsbs ++ được giả sử là nghiệm phức liên hợp. Sắp xếp lại (7.11a) theo dạng: ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 11 11 )( 3 2 3 2 1 21 31 21 s b b b s b s s a s a s bb aa K sH (7.11b) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 3 2 3 2 1 21 31 21 )( 11 11 )( b j b jb b j j a j a j bb aa K jH www w ww w (7.11b) Phương trình cho thấy là )( w jH là hàm phức theo w. Đáp ứng biên độ )( w jH và đáp ứng pha )( w jHÐ là: 3 2 3 2 1 21 31 21 )( 11 11 )( b j b jb b j j a j a j bb aa K jH www w ww w +++ ++ = (7.12a) Và ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++Ð- ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +Ð-Ð- ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +Ð+ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +Ð=Ð 3 2 3 2 121 )( 1111)( b j b jb b j j a j a j jH www w ww w (7.12b) Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc pha của jw, lệch pha 90 0 với mọi giá trị của w. (ii) pha của thừa số bậc một a j w +1 , và (iii) pha của các thừa số bậc hai. ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ 3 2 3 2 )( 1 b j b jb ww Ta có thể vẽ đồ thị ba hàm pha cơ bản của w trong tầm từ 0 đến ¥, rồi dùng các đồ thị, ta dựng được hàm pha của bất kỳ hàm truyền nào từ phép cộng các đáp ứng cơ bản. Chú ý là nếu thừa số nằm ở tử số, thì góc pha mang dấu cộng, còn khi nằm ở mẫu số thì góc pha mang dấu trừ. Điều này cho phép vẽ dễ dàng hàm pha )( w jHÐ theo w. Phép tính )( w jH bao gồm các phép tính nhân và chia nhiều thừa số khác nhau. Khi chuyển việc vẽ )( w jH sang vẽ log )( w jH , ta chuyển được các phép nhân, chia thành các phép tính cộng và trừ. Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị là decibel (dB), thí dụ giá trị log của biên độ là )(log20 10 w jH (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là: w ww w j a j a j bb aa K jH log201log201log20log20)(log20 2131 21 -++++= 3 2 3 2 1 )( 1log201log20 b j b jb b j www ++-+- (7.13) Thừa số )/log(20 3121 bbaKa là hằng số. Ta thấy biên độ log là tổng của bốn dạng thừa số cơ bản là (i) hằng số, (ii) cực hay zêrô ở gốc ( w jlog20 ), (iii) cực hay zêrô bậc một ( ) ]/1log[20 aj w + , và (iv) cực hay zêrô ở dạng phức ( ) ]/)(/1log[20 3 2 32 bjbbj ww ++ . Ta vẽ được bốn dạng cơ bản này theo w rồi dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log của hàm truyền bất kỳ. Hảy thảo luận với từng thừa số: 1. Hằng số 3121 / bbaka Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, )/log(20 3121 bbaKa . Góc pha trong trường hợp này là zêrô 2. Cực (hay zêrô) ở gốc Biên độ theo log Cực dạng này tăng theo thừa số w jlog20- , có thể viết thành ww log20log20 -=- j Hàm này được vẽ theo w. Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến w. Định nghĩa biến mới u theo w log=u (7.14) Vậy u20log20 -=- w (7.15a) Hàm biên độ log u20- được vẽ theo u trong hình 7.3a. Đây là đường thẳng có độ dốc 20- và qua trục u tại u = 0. Tỉ lệ của w (u = log w ) cũng xuất hiện trong hình 7.3a. Đồ thị dạng semilog được dùng để vẽ, nên ta có thể vẽ trực tiếp w trên giấy semilog. Tỉ lệ 10 được gọi là decade và tỉ lệ 2 gọi là octave. Ta thấy là tỉ lệ 2 (octave) theo tỉ lệ w là bằng 0,3010 (là 2log 10 ) theo tỉ lệ của u. Chú ý là khi u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng đều tỉ lệ w. Do đó, một đơn vị theo trục u tương đương với một decade trong tỉ lệ w. Tức là đồ thị biên độ có độ dốc decadedB /20- hay octavedB /02,6)3010,0(20 -=- (thường gọi là 6dB/octave). Tuy nhiên, đồ thị biên độ qua trục w tại w = 1, do 0log 10 == w u khi w = 1. Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20logw. Đây là đường thẳng qua 1= w và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản chiếu qua trục w của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a. Pha Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là w jÐ- (xem phương trình 7.12b). Do đó: 0 90)( -=-Ð=Ð ww jjH (7.15b) Pha là hằng số (- 90 0 ) với mọi w, vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là 0 90=Ð w j . Đây là ảnh phản chiếu của giản đồ pha khi có cực ở gốc và vẽ thành đườn gián đoạn trong hình 7.3b. 3. Cực (hay zêrô) bậc một Biên độ log Biên độ log do có cực bậc một tại – a là a j w +- 1log20 . Ta hảy tìm hiểu về tác động tiệm cận của hàm này với các giá trị cực trị của w (w<<a và w>>a). (a) Khi w<<a. 01log201log20 =-»+- a j w (7.16) Do đó, hàm biên độ log tiệm cận ®0 khi w<<a (hình 7.4a) (b) Với w>>a, ta có ÷ ø ö ç è æ -»+- aa j ww log201log20 (7.17a) alog20log20 +-= w (7.17b) au log2020 +-= Đây là đường thẳng (khi vẽ theo u, là log của w) với độ dốc là decadedB /20- (hay octavedB /6- ). Khi a= w , biên độ log là zêrô (phương trình 7.17b). Do đó, đường thẳng đi qua trục w tại a= w , vẽ trong hình 7.4a. Chú ý là các đường tiệm cận trong (a) và (b) gặp nhau tại a= w . Biên độ log chính xác của cực này là ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +-= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +-=+- 2 2 2 1 2 2 1log101log201log20 aaa j www (7.18) . =jH và 0 26) 10( =Ð jH Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số w = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời. pha tín hiệu vào là 26 0 . Như vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 50 0 ) là )2410cos(894,0) 265 010cos(894,0)( 000 -=+-= ttty Trường hợp tín hiệu