Đại số đều trong giải tích phức

MƯC LƯC Mưc lưc Líi nâi ƒu Chữỡng 1: Cỡ s lỵ thuyt 1.1 Ideal 1.2 Khæng gian tæpæ 1.3 Khæng gian ành chu'n v khæng gian Banach 1.4 BŒ • Zorn 1.5 nh lỵ Stone - Weiesstrass 1.6 nh lỵ Hanh - Banach Ch÷ìng 2: ⁄i sŁ Banach giao ho¡n 14 2.1 PhŒ v gi£i thøc 14 2.2 Khæng gian c¡c Ideal cüc⁄i 16 2.3 C¡c v‰ dö 23 2.4 Bi¶n Shilov 25 2.5 Hai nh lỵ cỡ bÊn 28 2.6 Bao v h⁄t nh¥n 30 2.7 B - ⁄i sŁ giao ho¡n 35 Chữỡng 3: i s u 38 3.1 C¡c ⁄i sŁ tr¶n c¡c t“p cıa m°t phflng phøc 38 3.2 º o bi”u di„n 47 K‚t lu“n 52 T i li»u tham kh£o 53 L˝I N´I U Lun vôn bữợc u tm hiu v i s Banach v ⁄i sŁ •u gi£i t ‰ch phøc, mưc ‰ch cıa lu“n v«n l khflng ành tƒm quan trång cıa vi»c nghi¶n cøu ⁄i sŁ Banach giao ho¡n còng vợi i s u, m rng l m rê hỡn nhng g m  ữổc hồc v tm hi”u bº mæn Gi£i t‰ch h m v Nh“n thĐy tm quan trồng ứng dửng i s u v ữổc sỹ nh hữợng ca thy giĂo Th.S Lữỡng Quc Tuyn, tĂc giÊ Â quyt nh chồn nghiản cứu • t i: " ⁄i sŁ •u gi£i t‰ch phức." Vợi mửc ch nghiản cứu nhữ trản, t i ữổc chia l m chữỡng vợi cĂc ni dung chnh nhữ sau: Chữỡng Cỡ s lỵ thuyt Trong ch÷ìng n y, chóng ta tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v ành ngh¾a cì b£n cıa tỉpỉ ⁄i c÷ìng ” phưc vư cho vi»c chøng minh cĂc nh lỵ, b , mằnh , cĂc ch÷ìng sau Ch÷ìng ⁄i sŁ Banach giao ho¡n Ch÷ìng n y ÷a mºt sŁ kh¡i ni»m cì b£n cıa ⁄i sŁ Banach giao ho¡n l phŒ, gi£i thøc, khỉng gian c¡c ideal cüc ⁄i, c¡c v‰ dư v• ⁄i sŁ Banach C¡c kh¡i ni»m ÷ỉc ÷a kh¡ tng quĂt nhữ nh lỵ cỡ bÊn v ph ( nh lỵ 1.1) li ữổc chứng minh khĂ ỡn giÊn Ngo i ra, chữỡng n y cặn tip tửc xem xt mt s khĂi niằm i s Banach gỗm biản Shilov, bao ca ideal Chữỡng i s u Trồng tƠm ca chữỡng l nghiản cứu cĂc i s •u - mºt lỵp ⁄i sŁ Banach °c bi»t v c¡c h m x¡c ành tr¶n ⁄i sŁ compact phflng (tøc l c¡c t“p compact m°t phflng phøc C) Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n lu“n v«n t¡c gi£ ¢ thu th“p, åc c¡c t i li»u câ li¶n quan v trnh b y cĂc vĐn li theo t i m lun vôn  xĂc nh õng gõp khiảm tn ca tĂc giÊ l  vit bÊn lun vôn mt cĂch ho n chnh nhữ mt nhp mỉn v• ⁄i sŁ Banach v ⁄i sŁ •u theo hữợng giÊi t ch phức  chứng minh mt cĂch chi tit phn lợn cĂc nh lỵ m ữổc trnh b y rĐt cổ ng v tt  xƠy dỹng mt s v dử v nản ữổc ỵ nghắa cıa c¡c k‚t qu£ lu“n v«n ” ho n th nh t i n y tĂc giÊ Â ữổc sỹ giúp ù ca rĐt nhiu thy cổ v bn b u tiản cho php tĂc giÊ ữổc b y tọ lới cÊm ỡn sƠu sc nhĐt tợi thy Lữỡng Quc Tuyn, thy  hữợng dÔn tn tnh suŁt qu¡ tr…nh l m • t i T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chı nhi»m khoa To¡n, c¡c thƒy cæ gi¡o TŒ Gi£i t‰ch, Khoa To¡n, ¢ nhi»t t…nh gi£ng d⁄y CuŁi còng t¡c gi£ xin chƠn th nh cÊm ỡn tĐt cÊ cĂc bn b, c biằt l cĂc bn lợp 08CTT2  ng viản giúp ù v to mồi iu kiằn thun læi cho t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghiản cứu Mc dũ  cõ nhiu c gng b i vit vÔn khổng th trĂnh khọi nhng thiu sõt cÊ v ni dung lÔn hnh thức V vy, tĂc giÊ rĐt mong nhn ữổc nhng lới ch bÊo quỵ bĂu ca cĂc thy cổ giĂo v nhng gõp ỵ ca bn ồc, tĂc giÊ xin chƠn th nh c£m ìn! Nfing, ng y 20 th¡ng n«m 2012 TĂc giÊ Chữỡng Cè S Lị THUY T 1.1 Ideal 1.1.1 ành ngh¾a Ideal T“p J cıa ⁄i sŁ giao ho¡n A (a) J l khæng gian vectì cıa A: (b) xy J; x A; y J: ÷ỉc gåi l ideal n‚u: + N‚u ideal J 6= A th… J ÷æc gåi l ideal thüc sü Mºt ideal thüc sü m khæng bà chøa mºt ideal thüc sü n o lợn hỡn ữổc gồi l ideal cỹc i + 1.1.2 (a) M»nh • [3] Khỉng mºt ideal thüc sü n o cıa ⁄i sŁ A l⁄i chøa phƒn tß kh£ nghàch cıa ⁄i sŁ n y (b) N‚u J l mºt ideal ⁄i sŁ Banach A th… J còng l ideal 1.2 Khỉng gian tỉpỉ 1.2.1 ành ngh¾a Cho X l mºt t“p hỉp v l hå c¡c t“p n o â cıa X: Khi â ta nâi l mºt tỉpỉ tr¶n X n‚u nâ thäa mÂn iu kiằn sau: 1) ;;X2 : 2) Hổp tũy ỵ cĂc phn tò ca l mt phn tò ca , nghắa l : nu S nhữ fF g 3) N‚u A v B th… F 2: th… A \ B : Khi â, ta nâi c°p (X; ) l mºt khỉng gian tỉpỉ Hìn nœa, mØi phn tò ca ữổc gồi l mt m 1.2.2 L¥n c“n Cho A l mºt t“p cıa khỉng gian tỉpỉ X Khi â, t“p U X ÷ỉc gåi l lƠn cn ca A nu tỗn ti m V (V ) cho: AVU: °c bi»t, n‚u U l t“p mð th… ta nâi U l l¥n c“n mð cıa A: 1.2.3 Cì sð Gi£ sß l mºt tỉpỉ tr¶n X, B Ta nâi B l cì sð cıa (ho°c cıa X) n‚u mØi phƒn tß cıa l hỉp n o â c¡c phƒn tß cıa B, ngh¾a S l : n‚u U 1.2.4 th… U = B ; â: B B; : Cỡ s lƠn cn GiÊ sò x thuc X v U(x) l hồ tĐt cÊ cĂc lƠn c“n t⁄i x: Ta nâi B(x) U(x) l cì sð lƠn cn ti im x nu vợi mồi U U(x); tỗn ti B B(x) cho x B U: 1.2.5 CĂc tiản tĂch T1 - khỉng gian X ÷ỉc gåi l T1 - khỉng gian n‚u vỵi x; y X v x 6= y th tỗn ti lƠn cn U ca x cho y 2= U: T2 - khæng gian (khæng gian Hausdorff) X ÷ỉc gåi l T2 - khỉng gian (hay l khỉng gian Hausdorff ) n‚u vỵi måi x; y X; x 6= y; tỗn ti cĂc lƠn cn (m) U cıa x, V cıa y cho: U\V =;: Khỉng gian ch‰nh quy X ÷ỉc gåi l khỉng gian ch‰nh quy n‚u vỵi måi x X, måi t“p õng F X cho x 2= F; luổn tỗn t⁄i c¡c l¥n c“n mð U cıa x v V cıa F cho: U \ V = ;: 1.3 Khæng gian ành chu'n v k 1.3.1 Chu'n Cho E l khổng gian vectỡ trản trữớng K (K = C ho°c K = R) Mºt chu'n tr¶n E l h m x 7! xkk tł E v o R thäa mÂn cĂc iu kiằn sau vợi mồi x; y E, måi K : 1) kxk 0; kxk = , x = 0; 2) k xk = j j : kxk ; 3) kx + yk kxk + kyk : 1.3.2 i) ành ngh¾a Khỉng gian vectì E ÷ỉc gåi l khỉng gian ành chu'n n‚u tr¶n E câ chu'n k k Khi â ta k‰ hi»u (E; k k): ii) Khæng gian ành chu'n (E; k k) l khổng gian Banach nu E vợi mảtric sinh bði chu'n l khỉng gian m¶tric ƒy ı 1.3.3 Tp lỗi, b chn GiÊ sò A l cıa khỉng gian ành chu'n E: (1) A ÷ỉc gồi l lỗi nu vợi mồi x; y A; Ta câ: x + (1 )y A: K‰ hi»u: f x + (1 f x + (1 (2) [0; 1]: )y : (0; 1)g ÷ỉc gåi l kho£ng nŁi giœa i”m x; y: )y : [0; 1]g ÷ỉc gåi l o⁄n nŁi giœa i”m x; y: A ÷ỉc gåi l t“p bà ch°n nu vợi mồi lƠn cn U ca E, tỗn ti r > cho: A rU = frx : x Ug: 1.3.4 nh lỵ tĂch lỗi Cho f l phim h m tuyn tnh trản khỉng gian ành chu'n E Khi â vỵi måi R ta gåi : H = fx : f(x) = g l si¶u phflng thüc E X†t bŁn t“p lỗi: F = fx : f(x) g; F = fx : f(x) g; G = fx : f(x) > G = fx : f(x) < g: g: N‚u f li¶n tưc (hay mºt c¡ch t÷ìng øng H âng) th… F ; F l c¡c t“p âng; G ; G l c¡c t“p mð Hai t“p A; B gåi l ÷ỉc tĂch (tĂch thỹc sỹ) nu tỗn ti siảu phflng H cho A F ; B F (A G ; B G ) nh lỵ tĂch lỗi thứ nhĐt A l lỗi khổng gian nh chu'n E cho int(A) 6= ; v B l mºt t“p lỗi khĂc rỉng E khổng giao vợi int(A) Khi õ tỗn ti mt siảu phflng thỹc õng H tĂch A v B N‚u c£ A v B •u mð th nõ tĂch thỹc sỹ nh lỵ tĂch lỗi thứ hai Nu A v B l cĂc lỗi kh¡c rØng khæng giao nhau, A âng, B compact Khi õ tỗn ti mt siảu phflng õng H tĂch thüc sü A v B 1.3.5 ành l‰ [1] N‚u F l khỉng gian vectì âng v G l khỉng gian hœu h⁄n chi•u cıa khỉng gian ành chu'n E th… F + G l khæng gian âng cıa E: Chøng minh B‹ng qui n⁄p ta ch¿ cn chứng minh trữớng hổp G mt chiu, tức l G = Ka: N‚u a F th… F + Ka = F l âng E: N‚u a 2= F th mồi x F + Ka u ữổc vit mt cĂch nhĐt dữợi dng x = f(x)a + y: V… f l phi‚m h m tuy‚n t‰nh v f (0) = F l âng n¶n f l phi‚m h m li¶n tưc tr¶n F + Ka: GiÊ sò fxng l mt dÂy F + Ka; xn ! x: Ta ch¿ cƒn chøng tä x F + Ka: Ta vi‚t xn = f(xn)a + yn: V… f li¶n tưc n¶n: jf(xm) f(xn)j = jf(xm xn)j kfk : kxm x nk Theo b§t flng thøc n y, v dÂy fx ng hi tử nản dÂy ff(xn)g l Cauchy K: Tł â f(xn) ! K v â: yn = xn f(xn)a ! x a: Bði v… f âng n¶n x a F v x F + Ka: V“y F + G l khỉng gian âng cıa E: 1.4 BŒ • Zorn Gi£ sß X l mºt t“p hỉp v l mºt thứ tỹ (b phn) trản X, tức l vợi mồi x; y; z X ta câ x x; n‚u x y v y x th… x = y v n‚u x y; y z th… x z (ph£n x⁄, Łi xøng, b›c cƒu) Mºt t“p A thuºc X ÷æc gåi l s›p tuy‚n t‰nh n‚u måi x; y A th… x y ho°c y x Phƒn tß a X ữổc gồi l mt biản (cn) trản cıa A n‚u: x a vỵi måi x A Phn tò a X ữổc gồi l phn tß cüc ⁄i n‚u måi x X m a x th… a = x Ph¡t bi”u bŒ • Zorn Cho t“p X 6= ; v l mºt thø tü trản X: Nu mồi ữổc sp tuyn tnh ca X u cõ cn trản th X cõ phn tò cỹc i 1.5 nh lỵ Stone - Weiesstrass Gi£ sß A l m»t t“p c¡c h m x¡c + nh trản E: Khi õ ta nõi: A phƠn bi»t c¡c i”m cıa E n‚u måi x1; x2 E; x1 6= x2 u tỗn ti f A ” f(x2) 6= f(x2): + A chøa c¡c h‹ng sŁ nu cĂc h m hng u thuc A: GiÊ sò E l khỉng gian m¶tric compact v CR(E) (hay CC(E)) l khỉng gian Banach c¡c h m thüc (phøc) li¶n tửc trản E vợi chu'n sup PhĂt biu nh lỵ Stone - Weiesstrass N‚u ⁄i sŁ A CR(E) ph¥n bi»t c¡c i”m cıa E v chøa c¡c h‹ng sŁ th… A trò m“t CR(E) N‚u ⁄i sŁ A CC(E) ph¥n bi»t c¡c i”m cıa E, chøa c¡c h‹ng sŁ v f A k†o theo f A th… A trò m“t CC(E) 1.6 ành l‰ Hahn - Banach Cho E l mºt khỉng gian vectì v p : E ! R l mºt h m thüc Khi â: + p ÷ỉc gåi l mºt chu'n n‚u p( x) = p(x) vỵi måi > 0; x E v p(x + y) p(x) + p(y) vợi mồi x; y E + p ữổc gồi l mºt chu'n n‚u p(x) 0; vỵi måi x E; p( x) = j j p(x) vỵi måi vổ hữợng (R hoc C); x E; p(x + y) p(x) + p(y) vỵi måi x; y E Nhữ vy chu'n l nòa chu'n v nòa chu'n l chu'n 1.6.1 ành l‰ Hahn - Banach cho khỉng gian vectì thüc Gi£ sß E l mºt khỉng gian vectì thüc, F l khỉng gian cıa E v p : E ! R l mºt chu'n x¡c ành tr¶n E: Khi â, n‚u f : F ! R l mºt phi‚m h m tuy‚n t‰nh xĂc nh F thọa mÂn f(x) p(x) vợi mồi x F th tỗn ti phim h m tuyn tnh f : E ! R x¡c ành tr¶n E cho: 1.6.2 BŒ • H m f : E ! C l phi‚m h m tuy‚n t‰nh tr¶n E n‚u v ch nu tỗn ti mt phim h m tuyn t‰nh thüc f1 tr¶n E cho: f(x) = f1(x) 1.6.3 if1(ix); x E: ành l‰ Hahn - Banach cho khỉng gian vectì phøc Gi£ sß E l mºt khỉng gian vectì phøc, F l khỉng gian ca E v p l nòa chu'n trản E: Khi â, n‚u f : F ! K l mºt phi‚m h m tuyn tnh thọa mÂn: jf(x)j p(x); vợi mồi x F; th tỗn ti phim h m tuyn t‰nh fe: E ! K thäa m¢n: >f < e =f F > fe(x) : p(x); x E: 10 V“y x0 bK \ b(CnKb): Do â bKb bK \ b(CnKb): - Ngữổc li, v bKbbK nản bK \ b(CnKb) bK:b V… v“y ta câ bKb = bK \ b(CnKb): N‚u f l mºt a thøc th… kfkK = kfkKb : Th“y v“y, v… K Kb n¶n: b Mt khĂc theo nguyản lỵ mổ un cỹc i, ta câ: kfkK = max jf(z)j b Theo chøng minh trản: bK = bK Vy ta ữổc: PK Chú ỵ: Nu tỗn ti g Tht vy, g Vợi z K , ta câ: jg(z) b b "> Vợi Tữỡng tỹ: Do b k b P n P DÔn n kPn Chồn n0 = maxfn1; j b 43 gz () V“y ta câ gb = gb : P (K) C(K) ; P (K) - âng Gi£ sß ffng P (K); fn f C(K): Khi â, vỵi mØi n = 1; 2; : : : fPn;m(z)g - a thøc cho: Pn;m fn; m ! 1: Khi â vỵi mØi k = 1; 2; : : : fn f tr¶n K n¶n nk cho: jfn(z) f(z)j Vỵi mØi nk Pnk;m fnk n¶n: mk : jPnk;m(z) fnk (z)j °t Pk(z) = Pnk;mk : Khi jPk(z) â: f(z)j = jPnk;mk (z) f(z)j jPnk;mk (z) fnk (z)j + jfnk (z) 1 k+2 k=k ;8z2K Do â Pk f tr¶n K: Suy f P (K): V… v“y P (K) - õng 3.1.4 nh lỵ 1.4 Nu K compact thuºc C th…: (1) Khæng gian ideal cüc ⁄i cıa P (K) b‹ng Kb: MP (K) = K:b (2) Bi¶n Shilov cıa P (K) l bi¶n ngo i cıa K v l bi¶n tỉpỉ cıa Kb: @P (K) = bK:b Chứng minh Theo nh lỵ 3.1.3, ta cõ P (K) = P (Kb); MR(Kb) = K:b (1) Ta s‡ chøng minh: P (Kb) = R(Kb): Ta cƒn chøng minh: 2= Kb ) z P (Kb): Câ th” thay K bði Kb n¶n câ th” gi£ thi‚t CnK liản thổng 44 f(z)j + LĐy f ng U; n ! CnK suy Do CnK: z n Khi j j ı lỵn th… + Xj (z ) = hi tử u trản K V bĂn k‰nh hºi tư cıa chi (1) b‹ng j j n¶n ta câ (z ) P (K) suy U ) U 6= ;: Gi£ sß Khi ı gƒn U: Khi â, th… ( z0)n P (K); n = 1; 2; : : : chuỉi: hi tử u trản K (theo dĐu hi»u Weierstrass) tr¶n K: ( n V… gƒn (z k=0 P ( : V… v“y, U = CnK: Ta câ: P (K) = R(K) suy MP (K) chøng (2) minh) Theo nh lỵ 1.3, bKb = @R(Kb) = @P (Kb) = @P (K): 3.1.5 H» qu£ (Runge) 2P Gi£ sß K l t“p compact thuºc C cho CnK li¶n thỉng Khi â måi h m f gi£i tch trản mt lƠn cn ca K u tỗn ti {pn(z)} - a thøc cho: pn f tr¶n K 45 Chøng minh Ta ¢ câ K = K:b Theo H» qu£ 1.2, f R(K) = R(Kb) = P (Kb) = P (K): 3.2 º o bi”n di„n ành nghắa GiÊ sò A l i s u trản X v M A: Nu tỗn ti mt o trản X cho dữỡng v (f) = (f); f A ( j A = ) th… ta gåi l º o bi”u di„n cıa : Ta k‰ hi»u, M l t“p t§t c£ c¡c º o bi”u di„n cıa Nh“n x†t 1) Vỵi måi M , ta câ k k = 1: 2) M l lỗi, compact yu* Chứng minh 1) Ta cõ j (f)j (jfj): Th“t v“y, C; j j = : j (f)j = (f) = ( f): V… ( f) R n¶n ( f) = (Re( f)): (chú ỵ l o thỹc) Do Re( f) j fj = jfj v l mºt º o d÷ìng n¶n: (Re( f)) Tł (jfj) ) j (f)j (jfj): â suy vỵi f C(X); kfk = max jf(x)j = th…: jfj 1: x2X Suy (jfj) (1) = kh¡c: jA = Do â j (f)j (1) = 1: (V… A chøa c¡c h‹ng n¶n A, m°t ) (1) = (1):) 1; f C(X); kfk = V“y k k Do j (1)j = j (1)j = ) k k 1: V… v“y k k = 1: 2) L§y ; M ; t [0; 1]: Khi â, f A ta câ: [(1 t) +t ](f) = (1 t) (f)+t (f) = (1 t) (f)+t (f) = (1 t) + t tuy‚n t‰nh, li¶n töc 46 [(1 t) + t (f): ) (1 t) + t M ) M - lỗi M°t kh¡c, theo chøng ninh tr¶n, k k = 1; B(0; 1): Trong â, B(0; 1) = ff (C(X)) : kf k M suy M 1g: Theo ành l‰ Banach - Alaoglu, B(0; 1)compact y‚u* - T2 - khæng gian Do â ” chøng minh M compact ta chøng minh M âng y‚u* Th“t v“y, gi£ sß y‚u*) f Suy Do â: + f A : (f) = (f): + f : (f) 0: V… v“y °t B = M ) M l lỗi v compact yu* (Chú ỵ: MC(X) X) e - mð rºng cıa tł A l¶n C(X), e kk Khi â: B = M : Th“t v“y: M ; jA = ; k k = = k k ; tuy‚n t‰nh, li¶n tưc trản C(X) nản B: Ngữổc li, giÊ sò B suy Ta câ: k k = d j j = k k = = R l º o, jA = : (1) = (1) suy > n¶n 2M: ReA : x¡c ành tr¶n ReA; f A; (Ref) = Re (f): l º o bi”n di„n cıa : + - li¶n tưc tr¶n ReA; (u) 0; u ReA; u 0: Nh“n x†t + N‚u L l mð rºng d÷ìng (t÷ìng ÷ìng ìn i»u tông) ca t ReA lản CR(X) th: L(v) L(kvkX ) = kvkX L(kvkX ) = L(kvkX :e) = kvkX :L(e) = kvkX (vỵi e CR(X); L(e) = 1): Suy L liản tửc, kLk = 1: L ữổc bi”u di„n bði M : 47 Tł â suy ra: M = ft§t c£ c¡c mð rºng + ìn iằu tông ca t ReA lản CR(X)g: GiÊ sò V CR(X); B l khæng gian sinh bði V v ReA Ta câ th” mð rºng l¶n B b‹ng cĂch lĐy: (v) := c: Vợi sup{ (u) : u ReA; v Cø ti‚p tưc nh÷ v“y c inff (u) : u ReA; v Dòng BŒ • Zorn, ta câ th” mð rºng l¶n to n bº CR(X): Khi õ tỗn ti 3.2.1 M : (v) = ug R ug: vd = c: nh lỵ 2.1 GiÊ sò A l i s u trản X, 1) supf (u) : u ReA; u MA; v CR(X): Khi â: R vg = inff vd : M g: 2) inff (u) : u ReA; u vg = supf Chøng minh 1) Theo nh“n x†t tr¶n , R vd : M g: (v) = M°t ) inf Z R vd : Mvd = c: kh¡c, R (u) = (u) (v) = vd 0; M : ) (u) inf vd : M ; u Re A; u v: R V… v“y c = supf (u) : u Re(A); u Tł (1) v (2) suy ra: inf V“y supf (u) : u Re(A); u vg = inf 2) Tữỡng tỹ 1), ta thĐy Vợi mỉi R ) sup 48 vg inf R vd : M g: (2) R (u) = ) (u) R (v) = vd : (Do l º o d÷ìng) (u) sup vd : M ; u Re A; u v: Do â c = inff (u) : u Re A; u R Tł (3) v (4) suy ra: sup vg sup R vd : 2M : (4) ành nghắa GiÊ sò Vy inff (u) : u Re(A); u vg = sup di„n phøc cıa n‚u: jA = : º o bi”u di„n phøc cıa tròng vợi m rng tuyn t nh liản tửc t A lản C(X) 3.2.2 GiÊ sò A l phức ca th tỗn ti o biu din ca Chứng minh °t A = Ker ; H L2(j j): N‚u f A th…: 2 2 k1 fk = j1 fj d(1 f) d = (1 2f + f )d = d : Suy = H 2 V… A l I ¶an cıa A n¶n A H 2 H Chån F H cho V…F ?H suy fF °t: (f) = tł (1)) M°t kh¡c: Ker = Ker jA n¶n = jA: nh nghắa Mt o ữổc gồi l log j (f)j n‚u: (B§t flng thøc Nh“n x†t g g p döng (1) cho e ; e ; g A, ta câ: Re (g) = g Re g Th“t v“y: je j = e V… l g ; je j = e Re( g) g =e Re g ỗng cĐu, liản tửc nản: (e ) = e (g) : R Regd ; 8g A: 49 g Re (g) j (e )j = e j g ; j (e )j = e j Re (g) : log (e g ) g log (e ) j j = R Suy Re( (g)) = Re g d : Im (g) = Re( Suy ( g R Jensen l mºt º o bi”u di„n) ( i•u ph£i chứng minh) 3.2.3 nh lỵ 2.3 GiÊ sò A l i s u trản X, M Khi õ tỗn ti o Jensen ca : Chứng minh t: Q := fu CR(X) : c > 0; f A : (f) = 1; u > c: log jfjg: + N‚u U Q; b > th… bU Q: + g CR(X); g > suy g Q (l§y f = 1) + Gi£ sß u1; u2 Q ) c1; c2 - h‹ng sŁ, f1; f2 A cho: Câ th” gi£ th‚t c1; c2 Q; cj = Khi â ta câ: u1 + u2 > Ta thĐy V vy Q lỗi V = j (f)j k k : kfk ) x0 X : jf(x0)j = kfk log jf(x0)j ) Khæng tỗn ti c > 0; f A; > c: log jfj ) 2= Q: V… v“y theo nh lỵ tĂch cĂc lỗi, tỗn ti V f 1: (f) = cho: º o 6= x¡c ành tr¶n CR(X);R CC(X) cho: 50 Vy ta cõ thit R dữỡng Nu cn th nhƠn v o h‹ng sŁ d÷ìng, ta câ th” gi£ d = 1: Gi£ sß f A : Tł (2) suy Khi " ! th… (f) = ) " > 0, ta câ: log (jfj + ") Q (l§y c = 1) R R log(jfj + ") d log jfj d 0: 0; 8f A : (f) = (3) g 8g A, ta câ: Tł (3) suy ra: (g) = q (vỵi (g) =6 0) log (g) R DÔn n (1) 51 KTLUN Sau mºt thíi gian t…m hi”u v nghi¶n cứu t i, tĂc giÊ Â thu ữổc nhng kt quÊ sau: CĂc kt quÊ Ăng ỵ l nh lỵ 2.4.3 v sỹ tỗn ti ca biản Shilov v mi liản hằ gia biản Shilov vợi biản tổ pổ + + Hai nh lỵ cỡ bÊn ca i s Banach giao hoĂn l nh lỵ 2.5.1 v nh lỵ 2.5.2 Trong chữỡng cặn cp n B - i s v chứng minh nh lỵ Gelfand - Naimark ( nh lỵ 2.7.1) + Trong chữỡng 3, tĂc giÊ Â tm hiu nh lỵ 3.1.1, nh lỵ cho cĂc v ‰ dư nâi v• sü kh¡c giœa c¡c i s n y Trồng tƠm ca chữỡng l quĂ trnh phĂt biu v chứng minh nh lỵ Arens ( nh lỵ 3.1.3), t nh lỵ n y suy mºt k‚t qu£ quan trång â l K = M Mt kt quÊ quan trồng khĂc l nh lỵ 3.1.4 chøng tä Kb = M P (K); bKb = @R(Kb) = @P (Kb) = @P (K) Tł k‚t qu£ n y nhn ữổc nh lỵ Runge c in v x§p x¿ h m gi£i t‰ch bði c¡c a thøc Ngo i ra, chữỡng cặn nõi v o biu din ca phin h m Trong chữỡng cặn cp n cĂc tnh chĐt v sỹ tỗn ti ca nh lỵ Jensen ( nh lỵ 3.2.3) 52 T i li»u tham kh£o [1] “u Th‚ C§p, Gi£i t‰ch h m, Nh xuĐt bÊn giĂo dửc, 1999 [2] Nguyn Vôn Phóc, Cì sð l‰ thuy‚t h m v gi£i t‰ch h m, Nh xu§t b£n gi¡o dưc,1969 [3] Theodore W Gamelin, Preface to the socond edition, Santa Monica, California, 1959 [4] A.P Robertson, W.J Robertson, Khỉng gian vectì tỉpỉ, Nh xuĐt bÊn i hồc v Trung cĐp chuyản nghiằp, 1977 [5] Nguyn XuƠn Liảm, Tổpổ i cữỡng - o v tch phƠn, Nh xuĐt bÊn giĂo dửc,1994 [6] PGS.PTS ỉ Vôn Lữu, GiÊi tch h m, Nh xuĐt bÊn Khoa håc v Kÿ thu“t H Nºi, 1999 53 ... chồn nghiản cứu t i: " i s u giÊi tch phức. " Vợi mửc ch nghiản cứu nhữ trản, t i ữổc chia l m chữỡng vợi cĂc ni dung chnh nhữ sau: Chữỡng Cỡ s lỵ thuyt Trong chữỡng n y, trnh b y l⁄i mºt sŁ... Nu f l mºt h m ch¿nh h…nh tr¶n to n m°t phflng phức v b chn (tức l tỗn ti M < cho jf(z)j M vỵi måi z C) th f =const 13 Chữỡng I Să BANACH GIAO HO N Trong ch÷ìng n y, chóng ta s‡ ph¡t trin nhng... vi‚t b£n lu“n v«n mºt c¡ch ho n ch¿nh nhữ mt nhp mổn v i s Banach v i s u theo hữợng giÊi t ch phức  chứng minh mt cĂch chi tit phn lợn cĂc nh lỵ m ữổc trnh b y rĐt cổ ng v tt  xƠy dỹng mt