Giai thuat va lap trinh(rat hay)

Giai thuat va lap trinh

LÊ MINH HOÀNG

Bài gi ng chuyên đ

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002

L i c m n

Tôi mu n bày t lòng bi t n đ i v i nh ng ng i th y đã ch d y t n tình trong nh ng n m tháng

đ y khó kh n khi tôi m i b c vào h c tin h c và l p trình S hi u bi t và lòng nhi t tình c a các

th y không nh ng đã cung c p cho tôi nh ng ki n th c quý báu mà còn là t m g ng sáng cho tôi noi theo khi tôi đ ng trên b c gi ng c ng v i t cách là m t ng i th y

Cu n tài li u này đ c vi t d a trên nh ng tài li u thu th p đ c t nhi u ngu n khác nhau, b i công s c c a nhi u th h th y trò đã t ng gi ng d y và h c t p t i Kh i Ph thông chuyên Toán- Tin, i h c S ph m Hà N i, còn tôi ch là ng i t ng h p l i Qua đây, tôi mu n g i l i c m n

t i các đ ng nghi p đã đ c và đóng góp nh ng ý ki n quí báu, c m n các b n h c sinh - nh ng con ng i đã tr c ti p làm nên cu n sách này

Do th i gian h n h p, m t s chuyên đ tuy đã có nh ng ch a k p ch nh s a và đ a vào tài li u

B n đ c có th tham kh o thêm trong ph n tra c u R t mong nh n đ c nh ng l i nh n xét và góp

ý c a các b n đ hoàn thi n cu n sách này

Tokyo, 28 tháng 4 n m 2003

Lê Minh Hoàng

i

M C L C

PH N 1 BÀI TOÁN LI T KÊ 1

§1 NH C L I M T S KI N TH C I S T H P 2

1.1 CH NH H P L P 2

1.2 CH NH H P KHÔNG L P 2

1.3 HOÁN V 2

1.4 T H P 3

§2 PH NG PHÁP SINH (GENERATION) 4

2.1 SINH CÁC DÃY NH PHÂN DÀI N 5

2.2 LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T 6

2.3 LI T KÊ CÁC HOÁN V 8

§3 THU T TOÁN QUAY LUI 12

3.1 LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN DÀI N 12

3.2 LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T 13

3.3 LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K 15

3.4 BÀI TOÁN PHÂN TÍCH S 16

3.5 BÀI TOÁN X P H U 18

§4 K THU T NHÁNH C N 24

4.1 BÀI TOÁN T I U 24

4.2 S BÙNG N T H P 24

4.3 MÔ HÌNH K THU T NHÁNH C N 24

4.4 BÀI TOÁN NG I DU L CH 25

4.5 DÃY ABC 28

PH N 2 C U TRÚC D LI U VÀ GI I THU T 33

§1 CÁC B C C B N KHI TI N HÀNH GI I CÁC BÀI TOÁN TIN H C 34

1.1 XÁC NH BÀI TOÁN 34

1.2 TÌM C U TRÚC D LI U BI U DI N BÀI TOÁN 34

1.3 TÌM THU T TOÁN 35

1.4 L P TRÌNH 37

1.5 KI M TH 37

1.6 T I U CH NG TRÌNH 38

§2 PHÂN TÍCH TH I GIAN TH C HI N GI I THU T 40

2.1 PH C T P TÍNH TOÁN C A GI I THU T 40

2.2 XÁC NH PH C T P TÍNH TOÁN C A GI I THU T 40

2.3 PH C T P TÍNH TOÁN V I TÌNH TR NG D LI U VÀO 43

2.4 CHI PHÍ TH C HI N THU T TOÁN 43

ii

§3 QUY VÀ GI I THU T QUY 45

3.1 KHÁI NI M V QUY 45

3.2 GI I THU T QUY 45

3.3 VÍ D V GI I THU T QUY 46

3.4 HI U L C C A QUY 50

§4 C U TRÚC D LI U BI U DI N DANH SÁCH 52

4.1 KHÁI NI M DANH SÁCH 52

4.2 BI U DI N DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH 52

§5 NG N X P VÀ HÀNG I 58

5.1 NG N X P (STACK) 58

5.2 HÀNG I (QUEUE) 60

§6 CÂY (TREE) 64

6.1 NH NGH A 64

6.2 CÂY NH PHÂN (BINARY TREE) 65

6.3 BI U DI N CÂY NH PHÂN 67

6.4 PHÉP DUY T CÂY NH PHÂN 69

6.5 CÂY K_PHÂN 70

6.6 CÂY T NG QUÁT 71

§7 KÝ PHÁP TI N T , TRUNG T VÀ H U T 74

7.1 BI U TH C D I D NG CÂY NH PHÂN 74

7.2 CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG M T BI U TH C 74

7.3 CÁCH TÍNH GIÁ TR BI U TH C 75

7.4 CHUY N T D NG TRUNG T SANG D NG H U T 78

7.5 XÂY D NG CÂY NH PHÂN BI U DI N BI U TH C 80

§8 S P X P (SORTING) 82

8.1 BÀI TOÁN S P X P 82

8.2 THU T TOÁN S P X P KI U CH N (SELECTIONSORT) 84

8.3 THU T TOÁN S P X P N I B T (BUBBLESORT) 85

8.4 THU T TOÁN S P X P KI U CHÈN 85

8.5 SHELLSORT 87

8.6 THU T TOÁN S P X P KI U PHÂN O N (QUICKSORT) 88

8.7 THU T TOÁN S P X P KI U VUN NG (HEAPSORT) 92

8.8 S P X P B NG PHÉP M PHÂN PH I (DISTRIBUTION COUNTING) 95

8.9 TÍNH N NH C A THU T TOÁN S P X P (STABILITY) 96

8.10 THU T TOÁN S P X P B NG C S (RADIXSORT) 97

8.11 THU T TOÁN S P X P TR N (MERGESORT) 102

8.12 CÀI T 105

8.13 ÁNH GIÁ, NH N XÉT 112

§9 TÌM KI M (SEARCHING) 116

iii

9.1 BÀI TOÁN TÌM KI M 116

9.2 TÌM KI M TU N T (SEQUENTIAL SEARCH) 116

9.3 TÌM KI M NH PHÂN (BINARY SEARCH) 116

9.4 CÂY NH PHÂN TÌM KI M (BINARY SEARCH TREE - BST) 117

9.5 PHÉP B M (HASH) 122

9.6 KHOÁ S V I BÀI TOÁN TÌM KI M 122

9.7 CÂY TÌM KI M S H C (DIGITAL SEARCH TREE - DST) 123

9.8 CÂY TÌM KI M C S (RADIX SEARCH TREE - RST) 126

9.9 NH NG NH N XÉT CU I CÙNG 131

PH N 3 QUY HO CH NG 133

§1 CÔNG TH C TRUY H I 134

1.1 VÍ D 134

1.2 C I TI N TH NH T 135

1.3 C I TI N TH HAI 137

1.4 CÀI T QUY 137

§2 PH NG PHÁP QUY HO CH NG 139

2.1 BÀI TOÁN QUY HO CH 139

2.2 PH NG PHÁP QUY HO CH NG 139

§3 M T S BÀI TOÁN QUY HO CH NG 143

3.1 DÃY CON N I U T NG DÀI NH T 143

3.2 BÀI TOÁN CÁI TÚI 148

3.3 BI N I XÂU 150

3.4 DÃY CON CÓ T NG CHIA H T CHO K 154

3.5 PHÉP NHÂN T H P DÃY MA TR N 159

3.6 BÀI T P LUY N T P 163

PH N 4 CÁC THU T TOÁN TRÊN TH 169

§1 CÁC KHÁI NI M C B N 170

1.1 NH NGH A TH (GRAPH) 170

1.2 CÁC KHÁI NI M 171

§2 BI U DI N TH TRÊN MÁY TÍNH 173

2.1 MA TR N LI N K (MA TR N K ) 173

2.2 DANH SÁCH C NH 174

2.3 DANH SÁCH K 175

2.4 NH N XÉT 176

§3 CÁC THU T TOÁN TÌM KI M TRÊN TH 177

3.1 BÀI TOÁN 177

3.2 THU T TOÁN TÌM KI M THEO CHI U SÂU (DEPTH FIRST SEARCH) 178

3.3 THU T TOÁN TÌM KI M THEO CHI U R NG (BREADTH FIRST SEARCH) 184

iv

3.4 PH C T P TÍNH TOÁN C A BFS VÀ DFS 189

§4 TÍNH LIÊN THÔNG C A TH 190

4.1 NH NGH A 190

4.2 TÍNH LIÊN THÔNG TRONG TH VÔ H NG 191

4.3 TH Y VÀ THU T TOÁN WARSHALL 191

4.4 CÁC THÀNH PH N LIÊN THÔNG M NH 195

§5 VÀI NG D NG C A CÁC THU T TOÁN TÌM KI M TRÊN TH 205

5.1 XÂY D NG CÂY KHUNG C A TH 205

5.2 T P CÁC CHU TRÌNH C B N C A TH 208

5.3 NH CHI U TH VÀ BÀI TOÁN LI T KÊ C U 208

5.4 LI T KÊ KH P 214

§6 CHU TRÌNH EULER, NG I EULER, TH EULER 218

6.1 BÀI TOÁN 7 CÁI C U 218

6.2 NH NGH A 218

6.3 NH LÝ 218

6.4 THU T TOÁN FLEURY TÌM CHU TRÌNH EULER 219

6.5 CÀI T 220

6.6 THU T TOÁN T T H N 222

§7 CHU TRÌNH HAMILTON, NG I HAMILTON, TH HAMILTON 225

7.1 NH NGH A 225

7.2 NH LÝ 225

7.3 CÀI T 226

§8 BÀI TOÁN NG I NG N NH T 230

8.1 TH CÓ TR NG S 230

8.2 BÀI TOÁN NG I NG N NH T 230

8.3 TR NG H P TH KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM - THU T TOÁN FORD BELLMAN 232

8.4 TR NG H P TR NG S TRÊN CÁC CUNG KHÔNG ÂM - THU T TOÁN DIJKSTRA 234

8.5 THU T TOÁN DIJKSTRA VÀ C U TRÚC HEAP 237

8.6 TR NG H P TH KHÔNG CÓ CHU TRÌNH - TH T TÔ PÔ 240

8.7 NG I NG N NH T GI A M I C P NH - THU T TOÁN FLOYD 242

8.8 NH N XÉT 245

§9 BÀI TOÁN CÂY KHUNG NH NH T 247

9.1 BÀI TOÁN CÂY KHUNG NH NH T 247

9.2 THU T TOÁN KRUSKAL (JOSEPH KRUSKAL - 1956) 247

9.3 THU T TOÁN PRIM (ROBERT PRIM - 1957) 252

§10 BÀI TOÁN LU NG C C I TRÊN M NG 256

10.1 BÀI TOÁN 256

10.2 LÁT C T, NG T NG LU NG, NH LÝ FORD - FULKERSON 256

10.3 CÀI T 258

v

10.4 THU T TOÁN FORD - FULKERSON (L.R.FORD & D.R.FULKERSON - 1962) 262

§11 BÀI TOÁN TÌM B GHÉP C C I TRÊN TH HAI PHÍA 266

11.1 TH HAI PHÍA (BIPARTITE GRAPH) 266

11.2 BÀI TOÁN GHÉP ÔI KHÔNG TR NG VÀ CÁC KHÁI NI M 266

11.3 THU T TOÁN NG M 267

11.4 CÀI T 268

§12 BÀI TOÁN TÌM B GHÉP C C I V I TR NG S C C TI U TRÊN TH HAI PHÍA - THU T TOÁN HUNGARI 273

12.1 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG 273

12.2 PHÂN TÍCH 273

12.3 THU T TOÁN 274

12.4 CÀI T 278

12.5 BÀI TOÁN TÌM B GHÉP C C I V I TR NG S C C I TRÊN TH HAI PHÍA 284

12.6 NÂNG C P 284

§13 BÀI TOÁN TÌM B GHÉP C C I TRÊN TH 290

13.1 CÁC KHÁI NI M 290

13.2 THU T TOÁN EDMONDS (1965) 291

13.3 PH NG PHÁP LAWLER (1973) 293

13.4 CÀI T 295

13.5 PH C T P TÍNH TOÁN 299

TÀI LI U C THÊM 301

vi

HÌNH V

Hình 1: Cây tìm ki m quay lui trong bài toán li t kê dãy nh phân 13

Hình 2: X p 8 quân h u trên bàn c 8x8 19

Hình 3: ng chéo B-TN mang ch s 10 và đ ng chéo N-TB mang ch s 0 19

Hình 4: L u đ thu t gi i (Flowchart) 36

Hình 5: Tháp Hà N i 49

Hình 6: C u trúc nút c a danh sách n i đ n 53

Hình 7: Danh sách n i đ n 53

Hình 8: C u trúc nút c a danh sách n i kép 55

Hình 9: Danh sách n i kép 55

Hình 10: Danh sách n i vòng m t h ng 55

Hình 11: Danh sách n i vòng hai h ng 56

Hình 12: Dùng danh sách vòng mô t Queue 61

Hình 13: Di chuy n toa tàu 63

Hình 14: Di chuy n toa tàu (2) 63

Hình 15: Cây 64

Hình 16: M c c a các nút trên cây 65

Hình 17: Cây bi u di n bi u th c 65

Hình 18: Các d ng cây nh phân suy bi n 66

Hình 19: Cây nh phân hoàn ch nh và cây nh phân đ y đ 66

Hình 20: ánh s các nút c a cây nh phân đ y đ đ bi u di n b ng m ng 67

Hình 21: Nh c đi m c a ph ng pháp bi u di n cây b ng m ng 68

Hình 22: C u trúc nút c a cây nh phân 68

Hình 23: Bi u di n cây b ng c u trúc liên k t 69

Hình 24: ánh s các nút c a cây 3_phân đ bi u di n b ng m ng 71

Hình 25: Bi u di n cây t ng quát b ng m ng 72

Hình 26: C u trúc nút c a cây t ng quát 73

Hình 27: Bi u th c d i d ng cây nh phân 74

Hình 28: Vòng l p trong c a QuickSort 89

Hình 29: Tr ng thái tr c khi g i đ quy 90

Hình 30: Heap 92

Hình 31: Vun đ ng 93

Hình 32: o giá tr k 1 cho k n và xét ph n còn l i 93

Hình 33: Vun ph n còn l i thành đ ng r i l i đ o tr k 1 cho k n-1 94

Hình 34: ánh s các bit 97

Hình 35: Thu t toán s p x p tr n 102

Hình 36: Cài đ t các thu t toán s p x p v i d li u l n 114

Hình 37: Cây nh phân tìm ki m 118

Hình 38: Xóa nút lá cây BST 119

Hình 39 Xóa nút ch có m t nhánh con trên cây BST 120

vii

Hình 40: Xóa nút có c hai nhánh con trên cây BST thay b ng nút c c ph i c a cây con trái 120

Hình 41: Xóa nút có c hai nhánh con trên cây BST thay b ng nút c c trái c a cây con ph i 120

Hình 42: ánh s các bit 123

Hình 43: Cây tìm ki m s h c 124

Hình 44: Cây tìm ki m c s 126

Hình 45: V i đ dài dãy bit z = 3, cây tìm ki m c s g m các khoá 2, 4, 5 và sau khi thêm giá tr 7 127

Hình 46: RST ch a các khoá 2, 4, 5, 7 và RST sau khi lo i b giá tr 7 128

Hình 47: Cây tìm ki m c s a) và Trie tìm ki m c s b) 130

Hình 48: Hàm đ quy tính s Fibonacci 141

Hình 49: Tính toán và truy v t 144

Hình 50: Truy v t 153

Hình 51: Ví d v mô hình đ th 170

Hình 52: Phân lo i đ th 171

Hình 53 174

Hình 54 175

Hình 55: th và đ ng đi 177

Hình 56: Cây DFS 180

Hình 57: Cây BFS 184

Hình 58: Thu t toán loang 187

Hình 59: th G và các thành ph n liên thông G1, G2, G3 c a nó 190

Hình 60: Kh p và c u 190

Hình 61: Liên thông m nh và liên thông y u 191

Hình 62: th đ y đ 192

Hình 63: n đ th vô h ng và bao đóng c a nó 192

Hình 64: Ba d ng cung ngoài cây DFS 196

Hình 65: Thu t toán Tarjan "b " cây DFS 198

Hình 66: ánh s l i, đ o chi u các cung và duy t BFS v i cách ch n các đ nh xu t phát ng c l i v i th t duy t xong (th t 11, 10… 3, 2, 1) 204

Hình 67: th G và m t s ví d cây khung T1, T2, T3 c a nó 207

Hình 68: Cây khung DFS (a) và cây khung BFS (b) (M i tên ch chi u đi th m các đ nh) 207

Hình 69: Phép đ nh chi u DFS 210

Hình 70: Phép đánh s và ghi nh n cung ng c lên cao nh t 212

Hình 71 Duy t DFS, xác đ nh cây DFS và các cung ng c 215

Hình 72: Mô hình đ th c a bài toán b y cái c u 218

Hình 73 219

Hình 74 219

Hình 75 225

Hình 76: Phép đánh l i ch s theo th t tôpô 240

Hình 77: Hai cây g c r 1 và r 2 và cây m i khi h p nh t chúng 248

Hình 78: M ng v i các kh n ng thông qua (1 phát, 6 thu) và m t lu ng c a nó v i giá tr 7 256

Hình 79: M ng G, lu ng trên các cung (1 phát, 6 thu) và đ th t ng lu ng t ng ng 257

Hình 80: Lu ng trên m ng G tr c và sau khi t ng 258

viii

Hình 81: th hai phía 266

Hình 82: th hai phía và b ghép M 267

Hình 83: Mô hình lu ng c a bài toán tìm b ghép c c đ i trên đ th hai phía 271

Hình 84: Phép xoay tr ng s c nh 274

Hình 85: Thu t toán Hungari 277

Hình 86: Cây pha "m c" l n h n sau m i l n xoay tr ng s c nh và tìm đ ng 285

Hình 87: th G và m t b ghép M 290

Hình 88: Phép ch p Blossom 292

Hình 89: N Blossom đ dò đ ng xuyên qua Blossom 292

ix

P_1_02_1.PAS * Thu t toán sinh li t kê các dãy nh phân đ dài n 6

P_1_02_2.PAS * Thu t toán sinh li t kê các t p con k ph n t 8

P_1_02_3.PAS * Thu t toán sinh li t kê hoán v 9

P_1_03_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các dãy nh phân đ dài n 12

P_1_03_2.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các t p con k ph n t 14

P_1_03_3.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các ch nh h p không l p ch p k 15

P_1_03_4.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các cách phân tích s 17

P_1_03_5.PAS * Thu t toán quay lui gi i bài toán x p h u 21

P_1_04_1.PAS * K thu t nhánh c n dùng cho bài toán ng i du l ch 26

P_1_04_2.PAS * Dãy ABC 28

P_2_07_1.PAS * Tính giá tr bi u th c RPN 76

P_2_07_2.PAS * Chuy n bi u th c trung t sang d ng RPN 79

P_2_08_1.PAS * Các thu t toán s p x p 105

P_3_01_1.PAS * m s cách phân tích s n 135

P_3_01_2.PAS * m s cách phân tích s n 136

P_3_01_3.PAS * m s cách phân tích s n 136

P_3_01_4.PAS * m s cách phân tích s n 137

P_3_01_5.PAS * m s cách phân tích s n dùng đ quy 137

P_3_01_6.PAS * m s cách phân tích s n dùng đ quy 138

P_3_03_1.PAS * Tìm dãy con đ n đi u t ng dài nh t 144

P_3_03_2.PAS * C i ti n thu t toán tìm dãy con đ n đi u t ng dài nh t 146

P_3_03_3.PAS * Bài toán cái túi 149

P_3_03_4.PAS * Bi n đ i xâu 153

P_3_03_5.PAS * Dãy con có t ng chia h t cho k 156

P_3_03_6.PAS * Dãy con có t ng chia h t cho k 158

P_3_03_7.PAS * Nhân t i u dãy ma tr n 162

P_4_03_1.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu 178

P_4_03_2.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu không đ quy 181

P_4_03_3.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng dùng hàng đ i 185

P_4_03_4.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng dùng ph ng pháp loang 187

P_4_04_1.PAS * Thu t toán Warshall li t kê các thành ph n liên thông 194

P_4_04_2.PAS * Thu t toán Tarjan li t kê các thành ph n liên thông m nh 201

P_4_05_1.PAS * Phép đ nh chi u DFS và li t kê c u 213

P_4_05_2.PAS * Li t kê các kh p c a đ th 216

P_4_06_1.PAS * Thu t toán Fleury tìm chu trình Euler 220

P_4_06_2.PAS * Thu t toán hi u qu tìm chu trình Euler 223

P_4_07_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê chu trình Hamilton 226

P_4_08_1.PAS * Thu t toán Ford-Bellman 233

P_4_08_2.PAS * Thu t toán Dijkstra 235

P_4_08_3.PAS * Thu t toán Dijkstra và c u trúc Heap 237

x

P_4_08_4.PAS * ng đi ng n nh t trên đ th không có chu trình 241

P_4_08_5.PAS * Thu t toán Floyd 243

P_4_09_1.PAS * Thu t toán Kruskal 249

P_4_09_2.PAS * Thu t toán Prim 252

P_4_10_1.PAS * Thu t toán tìm lu ng c c đ i trên m ng 259

P_4_10_2.PAS * Thu t toán Ford-Fulkerson 262

P_4_11_1.PAS * Thu t toán đ ng m tìm b ghép c c đ i 269

P_4_12_1.PAS * Thu t toán Hungari 280

P_4_12_2.PAS * Cài đ t ph ng pháp Kuhn-Munkres O(n 3 ) 286

P_4_13_1.PAS * Ph ng pháp Lawler áp d ng cho thu t toán Edmonds 296

PH N 1 BÀI TOÁN LI T KÊ

Có m t s bài toán trên th c t yêu c u ch rõ: trong m t t p các đ i

nh t đ nh Bài toán đó g i là bài toán đ m

Trong l p các bài toán đ m, có nh ng bài toán còn yêu c u ch rõ

nh ng c u hình tìm đ c tho mãn đi u ki n đã cho là nh ng c u hình nào Bài toán yêu c u đ a ra danh sách các c u hình có th có g i là

bài toán li t kê

gi i bài toán li t kê, c n ph i xác đ nh đ c m t thu t toán đ có

th theo đó l n l t xây d ng đ c t t c các c u hình đang quan tâm

tri n c a máy tính đi n t , b ng ph ng pháp li t kê, nhi u bài toán t

h p đã tìm th y l i gi i Qua đó, ta c ng nên bi t r ng ch nên dùng

ph ng pháp li t kê khi không còn m t ph ng pháp nào khác

tìm ra l i gi i Chính nh ng n l c gi i quy t các bài toán th c t

ngành toán h c

V y có th đ ng nh t f v i dãy giá tr (f(1), f(2), …, f(k)) và coi dãy giá tr này c ng là m t ch nh

h p l p ch p k c a S Nh ví d trên (E, C, E) là m t ch nh h p l p ch p 3 c a S D dàng ch ng

S ch nh h p l p ch p k c a t p g m n ph n t :

k k

1.2 CH NH H P KHÔNG L P

Khi f là đ n ánh có ngh a là v i ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j Nói m t cách d hi u, khi dãy giá

tr f(1), f(2), …, f(k) g m các ph n t thu c S khác nhau đôi m t thì f đ c g i là m t ch nh h p không l p ch p k c a S Ví d m t ch nh h p không l p (C, A, E):

i 1 2 3 f(i) C A E

S ch nh h p không l p ch p k c a t p g m n ph n t :

)!

kn(

!n)1kn) (

2n)(

1n(n

Akn

−

=+

Khi k = n M t ch nh h p không l p ch p n c a S đ c g i là m t hoán v các ph n t c a S

Ví d : m t hoán v : (A, D, C, E, B, F) c a S = {A, B, C, D, E, F}

i 1 2 3 4 5 6 f(i) A D C E B F

ý r ng khi k = n thì s ph n t c a t p X = {1, 2, …, n} đúng b ng s ph n t c a S Do tính

ch t đôi m t khác nhau nên dãy f(1), f(2), …, f(n) s li t kê đ c h t các ph n t trong S Nh v y f

là toàn ánh M t khác do gi thi t f là ch nh h p không l p nên f là đ n ánh Ta có t ng ng 1-1

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

Pn =

1.4 T H P

L y m t t p con k ph n t c a S, xét t t c k! hoán v c a t p con này D th y r ng các hoán v đó

là các ch nh h p không l p ch p k c a S Ví d l y t p {A, B, C} là t p con c a t p S trong ví d trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), … là các ch nh h p không l p ch p 3 c a S i u đó t c là khi li t kê t t c các ch nh h p không l p ch p k thì m i t h p ch p k s đ c tính k! l n V y:

S t h p ch p k c a t p g m n ph n t :

)!

kn(k

!n

!k

AC

k n k

S t p con c a t p n ph n t :

n n n 1

n 0

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

Th t đó g i là th t t đi n trên các dãy đ dài n

thêm vào cu i dãy a ho c dãy b nh ng ph n t đ c bi t g i là ph n t ∅ đ đ dài c a a và b b ng nhau, và coi nh ng ph n t ∅ này nh h n t t c các ph n t khác, ta l i đ a v xác đ nh th t t

đi n c a hai dãy cùng đ dài Ví d :

(1, 2, 3, 4) < (5, 6)

(a, b, c) < (a, b, c, d)

'calculator' < 'computer'

M t dãy nh phân đ dài n là m t dãy x = x1x2…xn trong đó xi ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n)

D th y: m t dãy nh phân x đ dài n là bi u di n nh phân c a m t giá tr nguyên p(x) nào đó n m trong đo n [0, 2n

- 1] S các dãy nh phân đ dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2n

x2, …, xn) là dãy đang có và không ph i dãy cu i cùng thì dãy k ti p s nh n đ c b ng cách c ng thêm 1 ( theo c s 2 có nh ) vào dãy hi n t i

K t qu ra (Output): ghi ra file v n b n BSTR.OUT các dãy nh phân đ dài n

Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);

FillChar(x, SizeOf(x), 0); {C u hình ban đ u x 1 = x 2 = … = x n := 0}

repeat {Thu t toán sinh}

for i := 1 to n do Write(f, x[i]); {In ra c u hình hi n t i}

WriteLn(f);

i := n; {xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p s 0 ho c khi i = 0 thì d ng}

while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

7

C th : gi i h n trên c a x i = n - k + i;

Còn t t nhiên, gi i h n d i c a x i (giá tr nh nh t x i có th nh n) là x i-1 + 1

Nh v y n u ta đang có m t dãy x đ i di n cho m t t p con, n u x là c u hình k t thúc có ngh a là

t t c các ph n t trong x đ u đã đ t t i gi i h n trên thì quá trình sinh k t thúc, n u không thì ta

con k ph n t nào chen gi a chúng khi s p th t t đi n

V y k thu t sinh t p con k ti p t t p đã có x có th xây d ng nh sau:

Tìm t cu i dãy lên đ u cho t i khi g p m t ph n t xi ch a đ t gi i h n trên n - k + i

Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);

for i := 1 to k do x[i] := i; {x1 := 1; x 2 := 2; … ; x 3 := k (C u hình kh i t o)}

i := k; {xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p m t x i ch a đ t gi i h n trên n - k + i}

while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i);

Nh v y hoán v đ u tiên s là (1, 2, …, n) Hoán v cu i cùng là (n, n-1, … , 1)

Hoán v s sinh ra ph i l n h n hoán v hi n t i, h n th n a ph i là hoán v v a đ l n h n hoán v

hi n t i theo ngh a không th có m t hoán v nào khác chen gi a chúng khi s p th t

Gi s hoán v hi n t i là x = (3, 2, 6, 5, 4, 1), xét 4 ph n t cu i cùng, ta th y chúng đ c x p gi m

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

9

h n hoán v hi n t i! Nh v y ta ph i xét đ n x2 = 2, thay nó b ng m t giá tr khác Ta s thay

b ng giá tr nào?, không th là 1 b i n u v y s đ c hoán v nh h n, không th là 3 vì đã có x1 =

3 r i (ph n t sau không đ c ch n vào nh ng giá tr mà ph n t tr c đã ch n) Còn l i các giá tr

4, 5, 6 Vì c n m t hoán v v a đ l n h n hi n t i nên ta ch n x2 = 4 Còn các giá tr (x3, x4, x5, x6)

s l y trong t p {2, 6, 5, 1} C ng vì tính v a đ l n nên ta s tìm bi u di n nh nh t c a 4 s này gán cho x3, x4, x5, x6 t c là (1, 2, 5, 6) V y hoán v m i s là (3, 4, 1, 2, 5, 6)

(3, 2, 6, 5, 4, 1) → (3, 4, 1, 2, 5, 6)

Ta có nh n xét gì qua ví d này: o n cu i c a hoán v đ c x p gi m d n, s x5 = 4 là s nh nh t trong đo n cu i gi m d n tho mãn đi u ki n l n h n x2 = 2 N u đ i ch x5 cho x2 thì ta s đ c x2

trong đo n cu i thì ta ch c n đ o ng c đo n cu i

Trong tr ng h p hoán v hi n t i là (2, 1, 3, 4) thì hoán v k ti p s là (2, 1, 4, 3) Ta c ng có th coi hoán v (2, 1, 3, 4) có đo n cu i gi m d n, đo n cu i này ch g m 1 ph n t (4)

V y k thu t sinh hoán v k ti p t hoán v hi n t i có th xây d ng nh sau:

• Xác đ nh đo n cu i gi m d n dài nh t, tìm ch s i c a ph n t x i đ ng li n tr c đo n cu i

đó i u này đ ng ngh a v i vi c tìm t v trí sát cu i dãy lên đ u, g p ch s i đ u tiên th a mãn x i < x i+1 N u toàn dãy đã là gi m d n, thì đó là c u hình cu i

i := n - 1;

while (i > 0) and (x i > x i+1 ) do i := i - 1;

• Trong đo n cu i gi m d n, tìm ph n t x k nh nh t tho mãn đi u ki n x k > x i Do đo n

cu i gi m d n, đi u này th c hi n b ng cách tìm t cu i dãy lên đ u g p ch s k đ u tiên tho mãn x k > x i (có th dùng tìm ki m nh phân)

k := n;

while x k < x i do k := k - 1;

• i ch x k và x i , l t ng c th t đo n cu i gi m d n (t x i+1 đ n x k ) tr thành t ng d n

Input: file v n b n PERMUTE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 12

Output: file v n b n PERMUTE.OUT các hoán v c a dãy (1, 2, …, n)

ch ng trình li t kê dãy nh phân c ng nh trong ch ng trình li t kê hoán v , tr ng h p k = 0 đ i

v i ch ng trình li t kê t h p, hãy kh c ph c đi u đó

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

11

Tên: Tên[1] := 'Nguy n v n A'; Tên[2] := 'Tr n th B';… sau đó li t kê t t c các t p con k ph n t

c a t p {1, 2, …, n} Ch có đi u khi in t p con, ta không in giá tr s {1, 3, 5} mà thay vào đó s in

ra {Tên[1], Tên [3], Tên[5]} T c là in ra nh c a các giá tr tìm đ c qua ánh x

Bài 5

m t ph n t đ c ch n trong t p Ví d v i t p {1, 2, 3, 4} thì dãy nh phân 1010 s t ng ng v i

t p con {1, 3} Hãy l p ch ng trình in ra t t c các t p con c a {1, 2, …, n} theo hai ph ng pháp Bài 6

Nh p vào danh sách tên n ng i, in ra t t c các cách x p n ng i đó vào m t bàn

Bài 7

Nh p vào danh sách n b n nam và n b n n , in ra t t c các cách x p 2n ng i đó vào m t bàn tròn,

m i b n nam ti p đ n m t b n n

Bài 8

m t cách khác là li t kê t t c các t p con k ph n t c a t p h p, sau đó in ra đ k! hoán v c a nó Hãy vi t ch ng trình li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a {1, 2, …, n} theo c hai cách Bài 9

Li t kê t t c các hoán v ch cái trong t MISSISSIPPI theo th t t đi n

Bài 10

tích là hoán v c a nhau ch tính là m t cách

p n u nh ch a có c u hình th p - 1, ch ng t r ng ph ng pháp sinh t ra u đi m trong tr ng

lúc nào c ng d tìm đ c, không ph i k thu t sinh c u hình k ti p cho m i bài toán đ u đ n gi n

nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t đi n ch ng h n) Ta sang m t chuyên

ph c t p h n đó là: Thu t toán quay lui (Back tracking)

Chuyên đ

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002

12

§3 THU T TOÁN QUAY LUI

Thu t toán quay lui dùng đ gi i bài toán li t kê các c u hình M i c u hình đ c xây d ng

(x1, x2, , xn) b ng cách th cho x1 nh n l n l t các giá tr có th V i m i giá tr th gán cho x1 l i

li t kê ti p c u hình n - 1 ph n t (x2, x3, …, xn)

Mô hình c a thu t toán quay lui có th mô t nh sau:

{Th t c này th cho x i nh n l n l t các giá tr mà nó có th nh n}

procedure Try(i: Integer);

<Ghi nh n vi c cho x i nh n giá tr V (N u c n)>;

Try(i + 1); {G i đ quy đ ch n ti p x i+1 }

<N u c n, b ghi nh n vi c th x i := V, đ th giá tr khác>;

end;

end;

end;

Thu t toán quay lui s b t đ u b ng l i g i Try(1)

Input/Output v i khuôn d ng nh trong P_1_02_1.PAS

Bi u di n dãy nh phân đ dài N d i d ng (x1, x2, …, xn) Ta s li t kê các dãy này b ng cách th dùng các giá tr {0, 1} gán cho xi V i m i giá tr th gán cho xi l i th các giá tr có th gán cho

xi+1.Ch ng trình li t kê b ng thu t toán quay lui có th vi t:

P_1_03_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các dãy nh phân đ dài n program BinaryStrings;

const

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

P_1_03_2.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các t p con k ph n t program Combination;

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

15

N u đ ý ch ng trình trên và ch ng trình li t kê dãy nh phân đ dài n, ta th y v c b n chúng

ch khác nhau th t c Try(i) - ch n th các giá tr cho x i , ch ng trình li t kê dãy nh phân ta

th ch n các giá tr 0 ho c 1 còn ch ng trình li t kê các t p con k ph n t ta th ch n x i là m t trong các giá tr nguyên t x i-1 + 1 đ n n - k + i Qua đó ta có th th y tính ph d ng c a thu t toán quay lui: mô hình cài đ t có th thích h p cho nhi u bài toán, khác v i ph ng pháp sinh tu n t ,

v i m i bài toán l i ph i có m t thu t toán sinh k ti p riêng làm cho vi c cài đ t m i bài m t khác, bên c nh đó, không ph i thu t toán sinh k ti p nào c ng d cài đ t

3.3 LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K

li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a t p S = {1, 2, …, n} ta có th đ a v li t kê các c u hình (x1, x2, …, xk) đây các xi ∈ S và khác nhau đôi m t

Nh v y th t c Try(i) - xét t t c các kh n ng ch n xi - s th h t các giá tr t 1 đ n n, mà các giá

Sau khi g i đ quy tìm xi+1: có ngh a là s p t i ta s th gán m t giá tr khác cho xi thì ta s đ t giá

tr j v a th đó thành t do (cj := TRUE), b i khi xi đã nh n m t giá tr khác r i thì các ph n t

đ ng sau: xi+1, xi+2 … hoàn toàn có th nh n l i giá tr j đó i u này hoàn toàn h p lý trong phép xây d ng ch nh h p không l p: x1 có n cách ch n, x2 có n - 1 cách ch n, …L u ý r ng khi th t c Try(i) có i = k thì ta không c n ph i đánh d u gì c vì ti p theo ch có in k t qu ch không c n ph i

Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);

FillChar(c, SizeOf(c), True); {T t c các s đ u ch a b ch n}

Try(1); {Th các cách ch n giá tr c a x1 }

Close(f);

end

Nh n xét: khi k = n thì đây là ch ng trình li t kê hoán v

3.4 BÀI TOÁN PHÂN TÍCH S

3.4.1 Bài toán

nguyên d ng, các cách phân tích là hoán v c a nhau ch tính là 1 cách

3.4.2 Cách làm:

Ta s l u nghi m trong m ng x, ngoài ra có m t m ng t M ng t xây d ng nh sau: ti s là t ng các

ph n t trong m ng x t x1 đ n xi: ti := x1 + x2 + … + xi

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

17

Khi li t kê các dãy x có t ng các ph n t đúng b ng n, đ tránh s trùng l p ta đ a thêm ràng bu c

xi-1 ≤ xi

phân tích ph i có thêm tham s cho bi t s in ra bao nhiêu ph n t

Th t c đ quy Try(i) s th các giá tr có th nh n c a xi (xi ≥ xi - 1)

Khi nào thì in k t qu và khi nào thì g i đ quy tìm ti p ?

L u ý r ng ti - 1 là t ng c a t t c các ph n t t x1đ n xi-1 do đó

Khi ti = n t c là (xi = n - ti - 1) thì in k t qu

Khi tìm ti p, xi+1 s ph i l n h n ho c b ng xi M t khác ti+1 là t ng c a các s t x1 t i xi+1 không

đ c v t quá n V y ta có ti+1 ≤ n ⇔ ti-1 + xi + xi+1 ≤ n ⇔ xi + xi + 1 ≤ n - ti - 1 t c là xi ≤ (n - ti - 1)/2

Ví d đ n gi n khi n = 10 thì ch n x1 = 6, 7, 8, 9 là vi c làm vô ngh a vì nh v y c ng không ra

M t cách d hi u ta g i đ quy tìm ti p khi giá tr x i đ c ch n còn cho phép ch n thêm m t

ph n t khác l n h n ho c b ng nó mà không làm t ng v t quá n Còn ta in k t qu ch khi

x i mang giá tr đúng b ng s thi u h t c a t ng i-1 ph n t đ u so v i n

V y th t c Try(i) th các giá tr cho xi có th mô t nh sau: (đ t ng quát cho i = 1, ta đ t x0 = 1

và t0 = 0)

Xét các giá tr c a xi t xi - 1đ n (n - ti-1) div 2, c p nh t ti := ti - 1 + xi và g i đ quy tìm ti p

Cu i cùng xét giá tr xi = n - ti-1 và in k t qu t x1đ n xi

Input: file v n b n ANALYSE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 30

Output: file v n b n ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích s n

cho không quân nào n quân nào

Ví d m t cách x p v i n = 8:

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

19

Hình 2: X p 8 quân h u trên bàn c 8x8

3.5.2 Phân tích

hàng 1 là quân h u 1, quân h u hàng 2 là quân h u 2… quân h u hàng n là quân h u n V y m t nghi m c a bài toán s đ c bi t khi ta tìm ra đ c v trí c t c a nh ng quân h u

N u ta đ nh h ng ông (Ph i), Tây (Trái), Nam (D i), B c (Trên) thì ta nh n th y r ng:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2 3

4

5 6 7 8

Thu t toán quay lui:

• Xét t t c các c t, th đ t quân h u 1 vào m t c t, v i m i cách đ t nh v y, xét t t c các cách đ t quân h u 2 không b quân h u 1 n, l i th 1 cách đ t và xét ti p các cách đ t quân

• Khi ch n v trí c t j cho quân h u th i, thì ta ph i ch n ô(i, j) không b các quân h u đ t

chéo N-TB(i-j) còn t do i u này có th ki m tra (aj = bi+j = ci-j = TRUE)

• Khi th đ t đ c quân h u th i vào c t j, n u đó là quân h u cu i cùng (i = n) thì ta có m t nghi m N u không:

chéo b quân h u v a đ t kh ng ch (aj = bi+j = ci-j := FALSE) đ các l n g i đ quy

ti p sau ch n cách đ t các quân h u k ti p s không ch n vào nh ng ô n m trên c t

o Sau khi g i đ quy tìm cách đ t quân h u th i + 1, có ngh a là s p t i ta l i th m t

v a th đ t kh ng ch (aj = bi+j = ci-j := TRUE) t c là c t và 2 đ ng chéo đó l i thành t do, b i khi đã đ t quân h u i sang v trí khác r i thì c t và 2 đ ng chéo đó hoàn toàn có th gán cho m t quân h u khác

Hãy xem l i trong các ch ng trình li t kê ch nh h p không l p và hoán v v k thu t đánh d u đây ch khác v i li t kê hoán v là: li t kê hoán v ch c n m t m ng đánh d u xem giá tr có t do không, còn bài toán x p h u thì c n ph i đánh d u c 3 thành ph n: C t, đ ng chéo B-TN,

đ ng chéo N- TB Tr ng h p đ n gi n h n: Yêu c u li t kê các cách đ t n quân xe lên bàn c nxn sao cho không quân nào n quân nào chính là bài toán li t kê hoán v

• Input: file v n b n QUEENS.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 12

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

21

QUEENS.INP

5

QUEENS.OUT (1, 1); (2, 3); (3, 5); (4, 2); (5, 4);

b: array[2 2 * max] of Boolean;

c: array[1 - max max - 1] of Boolean;

FillChar(a, SizeOf(a), True); {M i c t đ u t do}

FillChar(b, SizeOf(b), True); {M i đ ng chéo ông B c - Tây Nam đ u t do}

FillChar(c, SizeOf(c), True); {M i đ ng chéo ông Nam - Tây B c đ u t do}

th ch n xi nó s g i đ quy đ tìm ti p xi+1 có ngh a là quá trình s duy t ti n sâu xu ng phía d i

đ n t n nút lá, sau khi đã duy t h t các nhánh, ti n trình lùi l i th áp đ t m t giá tr khác cho xi, đó chính là ngu n g c c a tên g i "thu t toán quay lui"

Bài 8

S a l i th t c in k t qu (PrintResult) trong bài x p h u đ có th v hình bàn c và các cách đ t

h u ra màn hình

Bài 9

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

23

quân Mã xu t phát t ô đang đ ng đi qua t t c các ô còn l i c a bàn c , m i ô đúng 1 l n

Bài 10

Chuy n t t c các bài t p trong bài tr c đang vi t b ng sinh tu n t sang quay lui

Bài 11

đ ng n i 2 nút giao thông Hãy nh p d li u v m ng l i giao thông đó, nh p s hi u hai nút giao thông s và d Hãy in ra t t c các cách đi t s t i d mà m i cách đi không đ c qua nút giao thông nào quá m t l n

M t trong nh ng bài toán đ t ra trong th c t là vi c tìm ra m t nghi m tho mãn m t s đi u ki n

nào đó, và nghi m đó là t t nh t theo m t ch tiêu c th , nghiên c u l i gi i các l p bài toán t i u

giá, tìm ra c u hình t t nh t Vi c li t kê c u hình có th cài đ t b ng các ph ng pháp li t kê: Sinh

tu n t và tìm ki m quay lui D i đây ta s tìm hi u ph ng pháp li t kê b ng thu t toán quay lui

đ tìm nghi m c a bài toán t i u

4.2 S BÙNG N T H P

Mô hình thu t toán quay lui là tìm ki m trên 1 cây phân c p N u gi thi t r ng ng v i m i nút

t ng ng v i m t giá tr đ c ch n cho xi s ng v i ch 2 nút t ng ng v i 2 giá tr mà xi+1 có

th nh n thì cây n c p s có t i 2n nút lá, con s này l n h n r t nhi u l n so v i d li u đ u vào n Chính vì v y mà n u nh ta có thao tác th a trong vi c ch n xi thì s ph i tr giá r t l n v chi phí

th c thi thu t toán b i quá trình tìm ki m lòng vòng vô ngh a trong các b c ch n k ti p xi+1,

xi+2, … Khi đó, m t v n đ đ t ra là trong quá trình li t kê l i gi i ta c n t n d ng nh ng thông tin

đã tìm đ c đ lo i b s m nh ng ph ng án ch c ch n không ph i t i u K thu t đó g i là k thu t đánh giá nhánh c n trong ti n trình quay lui

{Th t c này th ch n cho x i t t c các giá tr nó có th nh n}

procedure Try(i: Integer);

Bài toán li t kê

Lê Minh Hoàng

BESTCONFIG - t t nhiên), ta không in k t qu ngay mà s c p nh t BESTCONFIG b ng c u hình

4.4.1 Bài toán

giao thông này đ c cho b i b ng C c p nxn, đây Cij = Cji = Chi phí đi đo n đ ng tr c ti p t thành ph i đ n thành ph j Gi thi t r ng Cii = 0 v i ∀i, Cij = +∞ n u không có đ ng tr c ti p t thành ph i đ n thành ph j

ph đúng 1 l n và cu i cùng quay l i thành ph 1 Hãy ch ra cho ng i đó hành trình v i chi phí ít

(Traveling Salesman)

4.4.2 Cách gi i

Hành trình c n tìm có d ng (x1 = 1, x2, …, xn, xn+1 = 1) đây gi a xi và xi+1: hai thành ph liên ti p trong hành trình ph i có đ ng đi tr c ti p (Cij ≠ +∞) và ngo i tr thành ph 1, không thành ph nào đ c l p l i hai l n Có ngh a là dãy (x1, x2, …, xn) l p thành 1 hoán v c a (1, 2, …, n)

Duy t quay lui: x2 có th ch n m t trong các thành ph mà x1 có đ ng đi t i (tr c ti p), v i m i cách th ch n x2 nh v y thì x3 có th ch n m t trong các thành ph mà x2 có đ ng đi t i (ngoài

x1) T ng quát: xi có th ch n 1 trong các thành ph ch a đi qua mà t x i-1 có đ ng đi tr c ti p

t i (1 ≤ i ≤ n)

đ ng đi cho t i lúc đó có < Chi phí c a c u hình BestConfig?, n u không nh h n thì th giá tr khác ngay b i có đi ti p c ng ch t n thêm Khi th đ c m t giá tr xn ta ki m tra xem xn có đ ng

đi tr c ti p v 1 không ? N u có đánh giá chi phí đi t thành ph 1 đ n thành ph xn c ng v i chi

Sau th t c tìm ki m quay lui mà chi phí c a BestConfig v n b ng +∞ thì có ngh a là nó không tìm

th y m t hành trình nào tho mãn đi u ki n đ bài đ c p nh t BestConfig, bài toán không có l i

gi i, còn n u chi phí c a BestConfig < +∞ thì in ra c u hình BestConfig - đó là hành trình ít t n

Input: file v n b n TOURISM.INP

• m dòng ti p theo, m i dòng ghi s hi u hai thành ph có đ ng đi tr c ti p và chi phí đi trên

Output: file v n b n TOURISM.OUT, ghi hành trình tìm đ c

3 4

1 2 1 3

P_1_04_1.PAS * K thu t nhánh c n dùng cho bài toán ng i du l ch program TravellingSalesman;

C: array[1 max, 1 max] of Integer; {Ma tr n chi phí}

X, BestWay: array[1 max + 1] of Integer; {X đ th các kh n ng, BestWay đ ghi nh n nghi m}

T: array[1 max + 1] of Integer; {Ti đ l u chi phí đi t X 1 đ n X i }

Free: array[1 max] of Boolean; {Free đ đánh d u, Free i = True n u ch a đi qua tp i}