KHOA SƯ PHẠM TOÁN TIN, Chuyên đỀ báo cáo môn EUCLID
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN – TIN Chuyên đề báo cáo môn EUCLID Họ tên: Thái Thị Thu Ngân Chuyên ngành: Sư phạm Toán – Tin Lớp: ĐHSPTOAN15A Khoá: 2015- 2019 Giảng viên hướng dẫn: thầy Trần Lê Nam Đồng tháp – 2017 PHẦN 1: Trả lời câu hỏi Chương 4: Bài 1: KHÔNG GIAN EUCLID Câu 1: Định nghĩa không gian Euclid? Không gian Euclid không gian Affine khác điểm nào? - Một không gian Affine thực gọi không gian Euclid n ếu không gian vector liên kết không gian vector Euclit - Không gian Euclid không gian Affine khác ch ỗ khơng gian Euclid có khơng gian vector trang bị thêm tích vơ hướng Câu 2: Định nghĩa mục tiêu trực chuẩn không gian Euclid? To đ ộ tr ực chuẩn? - Một mục tiêu Affine gọi mục tiêu trực chuẩn c s tương ứng sở trực chuẩn - Toạ độ điểm M E mục tiêu trực chuẩn gọi toạ độ trực chuẩn Câu 3: Giả sử M (xi), N (yi) mục tiêu trực chuẩn xác định công thức nào? Tại sao? - Trong En, xét công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn sang mục tiêu trực chuẩn Do A ma trận chuyển từ sở trực chuẩn sang sở trực chuẩn nên A ma trận trực giao Câu 4: Ma trận phép đổi mục tiêu trực chuẩn không gian Euclid ma trận gì? Tại sao? - Ma trận phép đổi mục tiêu trực chuẩn không gian Euclid ma trận trực giao Câu 5: Định nghĩa hai phẳng trực giao? Bù trực giao đối tr ực giao? - Hai phẳng không gian Euclid E gọi trực giao ph ương chúng không gian vector trực giao - Nếu phương , bù trực giao ta nói bù trực giao v ới - Hai phẳng gọi đối trực giao phẳng bù tr ực giao v ới chúng trực giao với Câu 6: Cho hình hộp đứng , phẳng trực giao , bù trực giao, đối trực giao? Hai mặt phẳng có trực giao với khơng? T ại sao? Câu 7: Hai phẳng trực giao không gian có nhiều điểm chung? Chứng minh? - Hai phẳng trực giao khơng gian có không ểm chung - Chứng minh: Giả sử: : Ta không trực giao Vậy khơng trực giao Nên có nhiều điểm chung Câu 8: Hai phẳng bù trực giao khơng gian có ểm chung? Chứng minh? - Hai phẳng bù trực giao có điểm chung - Chứng minh: Giả sử Dim = dim +dim +1 – dim = n+1 – =n +1 n (vơ lý ) Do Câu 9: Hai phẳng , bù trực giao với ph ẳng hai ph ẳng có quan hệ ? - Có thể đối song song Câu 10: Qua điểm M cho trước có (n – m)-ph ẳng bù tr ực giao với m-phẳng ? Tại sao? - Qua điểm M cho trước có (n – m)- phẳng bù trực giao với m-phẳng cho - Chứng minh: phần bù trực giao qua A có phương Khi (n – m)-ph ẳng bù vng góc v ới Giả sử (n – m)-phẳng bù trực giao với song song theo đ ịnh lí 1.2.4 Mà số chiều có điểm chung BÀI 2: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH Câu 1: Định nghĩa khoảng cách hai phẳng? Cho hai ph ẳng không gian Với điểm M N , hai giá trị có quan h ệ gì? - Khoảng cách hai điểm M, N , kí hiệu đ ộ dài vector - Khoảng cách phẳng kí hiệu số , , Nh vậy: Câu 2: Hai phẳng khơng gian Euclid có đ ường vng góc chung nào? Khi nào, đường vng góc chung nh ất? - Trong cho hai phẳng đường thẳng cắt Nếu vng góc c ả gọi đường vng góc chung Nếu đường vng góc chung Câu 3: Để xác định phương trình đường vng góc chung không gian Euclid , phải th ực bước nào? Cho ví dụ minh ho ạ? - Ta thực bước sau: B1: Tìm phương B2: Lấy điểm tổng quát A điểm tổng quát B B3: Dựa vào điều kiện tìm A B B4: Đường vng góc chung đường thẳng qua A (hoặc B) nhận vector làm vector phương - Ví dụ minh hoạ: Trong với mục tiêu trực chuẩn cho, cho m ặt ph ẳng qua ba điểm đường thẳng qua hai điểm Viết ph ương trình đường vng góc chung , tính độ dài đường vng góc chung Phương trình tham số mặt phẳng qua có vector ph ương là: Phương trình tham số đường thẳng nhận làm vector phương là: Gọi cho đường vng góc chung Khi ta có: Do đường thẳng đường vng góc chung mặt phẳng đ ường thẳng nên Thay vào toạ độ ta có Ta phương trình tham số : Khoảng cách Câu 4: Định nghĩa hình chiếu trực giao điểm lên -ph ẳng ? Nếu hình chiếu điểm nào? - Trong khơng gian Euclid , cho điểm -phẳng gọi ph ẳng c bù trực giao với Khi đó, cắt gọi hình chiếu tr ực giao c M lên - Nếu hình chiếu nó Câu 5: Để tính khoảng cách hai phẳng song song không gian Euclid , phải th ực bước nào? Khi có đường vng góc chung , với Gọi c s c Khi ta có Do nên Chú ý nên ta có Từ suy Câu 6: Trong khơng gian vector Euclid cho vector Hãy tính đ ịnh th ức Gram vector cho =0 Câu 7: Công thức tính khoảng cách điểm khoảng cách gi ữa hai phẳng không gian Euclid - Cơng thức tính khoảng cách điểm (tích vơ h ướng t ắc) - Cơng thức tính khoảng cách hai phẳng Câu 8: Chứng minh công thức xác định khoảng cách gi ữa hai phẳng khơng gian Euclid Khi có đường vng góc chung , với Gọi m ột c s b ất kỳ Khi ta có Do nên Chú ý nên ta có Từ suy Câu 9: Để tính khoảng cách hai phẳng không gian Euclid phải thực bước nào? - Ta thực bước sau: B1: Lấy điểm B2: Chọn sở B3: Tính hai định thức B4: Suy khoảng cách Câu 10: Công thức xác định khoảng cách từ điểm đến siêu ph ẳng Ch ứng minh công thức ? M gọi vector pháp tuyến siêu phẳng tr ực giao v ới m ọi vector phương : vector pháp tuyến : , , , ta được: Ta có Gọi hình chiếu lên Khi đó: Câu 11: Để tìm góc đường thẳng khơng gian , ph ải th ực bước nào? - Ta thực bước sau: B1: Tìm hai vector phương B2: áp dụng công thức: Câu 12: Để tìm góc siêu phẳng khơng gian , th ực hi ện bước nào? - Ta thực bước sau: B1: Tìm hai vector pháp tuyến B2: áp dụng công thức: Câu 13: Để tìm góc đường thẳng siêu phẳng không gian , thực bước nào? - Ta thực bước sau: B1: Tìm vector phương đường thẳng B2: Tìm vector pháp tuyến siêu phẳng B3: áp dụng công thức : Câu 14: Phát biểu công thức tính thể tích m- h ộp m- đ ơn hình? Cho ví dụ minh hoạ - Giả sử m- hộp m- đơn hình sinh b ởi m vector Ta định nghĩa: Chương 5: Bài 1: ÁNH XẠ ĐẲNG CỰ VÀ BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ Câu 1: Định nghĩa ánh xạ đẳng cự, đẳng cấu đẳng cự, phép bi ến đổi đẳng c ự - Cho hai không gian Euclid Ánh xạ Affine gọi ánh x đ ẳng c ự t vào ánh xạ tuyến tính trực giao - Nếu song ánh, tức là đẳng cấu tuyến tính tr ực giao, ta nói đẳng cấu đẳng cự Khi gọi hai không gian đ ẳng cấu đ ẳng c ự - Một tự đẳng cấu đẳng cự từ vào gọi biến đổi đẳng cự Câu 2: Điều kiện cần để có ánh xạ đẳng cự từ khơng gian Euclid gì? Hai khơng gian Euclid đẳng cấu với nào? - , gọi ánh xạ đẳng cự nếu: - Hai không gian Euclid đẳng cấu với đẳng cấu ến tính trực giao Câu 3: Tính chất hình học đặc trưng ánh xạ đẳng c ự gì? Ch ứng minh? - Một ánh xạ Affine không gian Euclid ánh xạ đẳng cự bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức là: - trực giao Chứng minh: Khi cho Câu 4: Biểu thức phép biến đổi đẳng cự mục tiêu tr ực chu ẩn có dạng nào? - Một biến đổi đẳng cự có phương trình: Câu 5: Có loại phép biến đổi đẳng cự? Đó nh ững loại nào? - Có loại phép biến đổi đẳng cự Nếu det ta nói phép d ời lo ại 1, hay phép dời thuận Nếu det ta nói phép dời loại 2, hay phép d ời ngh ịch Câu 6: Tích hai phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng c ự lo ại nào? - Tích hai phép biến đổi đẳng cự loại phép bi ến đ ổi đ ẳng cự loại Câu 7: Biểu thức toạ độ dạng tắc phép biến đổi đẳng c ự ? Câu 8: Nhắc lại định nghĩa điểm bất động? Phương bất động? Ch ứng minh định lý 5.1.3.2 - Cho phép biến đổi đẳng cự Điểm gọi điểm bất động Vector gọi vector bất động Ta kí hiệu - Chứng minh định lý 5.3.1.2: Nếu Inv tồn điểm I cho Gọi ph ẳng qua có phương Inv Khi đó: Vậy Inv 2 Giả sử biểu thức toạ độ mục tiêu có dạng điểm bất động Do Inv nên det Do đó, phương trình có nghiệm nh ất có điểm bất động Câu 9: Định nghĩa phép đối xứng qua m- phẳng? Chứng minh m ột phép biến đổi đẳng cự? Nó phép biến đổi đẳng cự loại mấy? Minh hoạ phép đồi xứng qua 1- phẳng không gian ? Khi phép biến đ ổi đ ẳng c ự tr thành phép đối xứng qua m- phẳng? - Trong không gian Euclid cho m- phẳng ,=n bù trực giao với Khi cắt điểm Gọi ểm cho Phép đ ặt tương ứng điểm M với điểm theo quy tắc gọi phép đối xứng theo quy tắc - Phép đối xứng qua M phép biến đổi đẳng cự Do m- phẳng nên ta chọn mục tiêu trực chuẩn cho mục tiêu có phương trình dạng: Giả sử Toạ độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: có ma trận trực giao Từ suy phép đối xứng qua H m- phẳng phép đẳng c ự - Trong , đối xứng qua điểm phép biến đổi đẳng c ự loại Đ ối x ứng qua đường thẳng phép biến đổi đẳng cự loại Trong , đối xứng qua đường thẳng loại Đối x ứng qua ểm qua mặt phẳng loại - Minh hoạ phép đối xứng qua 1- phẳng khơng gian Ta có định thức: Vậy phép biến đổi dẳng cự loại - Phép biền đổi đẳng cự giữ bất động điểm siêu phẳng đ ược gọi phép đối xứng Câu 10: Định nghĩa phép quay quanh - phẳng? Nó phép bi ến đ ổi đ ẳng c ự loại mấy? Nó có điểm bất động nảo hay khơng? Có ph ương bất đ ộng hay không? Là phép biến đổi loại mấy? Do phép đối xứng qua siêu phẳng phép dời loại 2, nên phép quay quanh - phẳng phép dời loại Phép quay quanh - phẳng giữ bất động điểm Ngược l ại, m ột phép dời loại giữ bất động - phẳng phép quay quanh Khi ta có thê chọn hai siêu phẳng nhiều cách khác đ ể tích hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng Bài 2: PHÂN LOẠI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ TRONG Câu 1: Định nghĩa phép đối xứng trượt? Nó phép dời hình loại m ấy? Có điểm bất động, phương bất động khơng? - Trên mặt phẳng Euclid cho phép đối xứng qua đ ường th ẳng d Tích phép đối xứng phép tịnh tiến v ới gọi m ột phép đối xứng trượt - Khi = phép đối xứng trượt phép đối x ứng Phép đ ối x ứng tr ượt phép dời hình loại - Phép đối xứng trượt khơng có điểm bất động Câu 2: Định lý phân loại phép biến đổi đẳng cự? Ch ứng minh? Mọi phép phản chiếu phép đối xứng tr ượt đ ặc bi ệt phép đối xứng Mọi phép dời phép tịnh tiến phép quay Trong trường hợp phép quay góc có biểu thức to độ có dạng: Thì ta có Câu 3: Cho ví dụ phân loại tắc phép biến đổi đ ẳng c ự lo ại (không tầm thường)? Phép biến đổi đẳng cự loại 2? - Ví dụ: Trong không gian Euclid cho , mục tiêu tr ực chu ẩn cho phép biến đổi Affine có biểu thức tọa độ dạng: Bài 3: PHÂN LOẠI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ TRONG Câu 1: Xây dựng định nghĩa phép đối xứng trượt không gian ? Nó có điểm bất động , phương bất động khơng? Nó có điểm bất đ ộng, ph ương b ất động khơng? Nó phep dời hình loại mấy? Để xác định phé đối x ứng tr ượt, phải biết yếu tố nào? - Phép đối xứng trượt tích phép đối xứng qua mặt phẳng phép tịnh tiến với - Phép đối xứng trượt phép dời loại - Phép đối xứng trượt khơng có điểm bất động Mọi vector phương bất động - Với điểm gọi ảnh qua phép đối xứng tr ượt I giao điểm Khi I trung điểm Câu 2: Xây dựng định nghĩa phép đối xứng quay ? Nó có ểm bất đ ộng khơng? Nó phép dời hình loại mấy? Để xác định phép đ ối x ứng quay, phải biết đối tượng nào? - Phép đối xứng quay không gian tích m ột phép đối x ứng qua mặt phẳng phép quay quanh đường thẳng d trực giao v ới Mặt phẳng gọi phép quay; đường th ẳng d đ ược g ọi trục quay; góc phép quay quanh đường thẳng d gọi góc quay phép đối xứng quay - Phép đối xứng quay phép dời loại - Phép đối xứng quay có điểm bất động giao ểm mặt phẳng đường thẳng d - Vector vector phương đường thẳng d - Nếu biểu thức toạ độ phép quay quanh đường thẳng có dạng góc quay xác định biểu thức Câu 3: Xây dựng định nghĩa phép xoắn ốc khơng gian ? Nó có ểm b ất động, phương bất động khơng? Nó phép dời hình loại mấy? Để xác đ ịnh phép xoắn ốc, phải biết yếu tố nào? - Phép xoắn ốc tích phép quay quanh đường th ẳng d v ới phép tịnh tiến , với Đường thẳng d gọi trục quay; góc phép quay quanh đường thẳng d gọi góc quay; vector gọi vector trượt - Phép xoắn ốc phép dời loại - Phép xoắn ốc khơng có điểm bất động - Vector vector phương đường thẳng d - Nếu biểu thức toạ độ phép xoắn ốc có dạng góc quay xác định biểu thức: Câu 4: Cơng thức xác định góc quay phép quay quanh đ ường th ẳng xoắn ốc, đối xứng quay, giống khác điểm nào? - Cơng thức xác định góc quay phép đối xứng quay: - Cơng thức xác định góc quay phép xoắn ốc: - Giống dựa vào vết ma trận A, khác chỗ thêm bớt ½ Câu 5: Định lý phân loại tắc phép biến đổi đẳng c ự không gian ? Chứng minh định lý đó? Mọi phép dời loại phép tịnh tiến, phép quay quanh đường thẳng , phép xoắn ốc Mọi phép dời loại phép đối xứng m ột phép đ ối xứng trượt phép đối xứng quay Câu 6: Cho ví dụ phân loại tắc phép biến đổi đ ẳng c ự lo ại 1, lo ại khơng gian ? - Ví dụ: Trong không gian Euclid cho cho phép biến đổi đẳng c ự có bi ểu thức toạ độ mục tiêu trực chuẩn dạng Hãy cho phép phép gì? Ma trận mục tiêu cho có dạng Do nên phép biến đổi đẳng cự loại Toạ độ điểm bất động có nghiệm hệ phương trình: Vơ nghiệm Suy khơng có điểm bất động Do phép xoắn ốc Góc quay thoả Giả sử vector phương trục quay Khi đó, ta có: nằm trục quay Hệ phương trình có nghiệm Khi Suy trục quay có phương trình Vector trượt Vậy phép xoắn ốc ... nhiều đi m chung Câu 8: Hai ph ng bù trực giao khơng gian có m chung? Chứng minh? - Hai ph ng bù trực giao có đi m chung - Chứng minh: Giả s Dim = dim +dim +1 – dim = n+1 – =n +1 n (vô lý ) Do Câu... độ m c tiêu có d ng đi m bất động Do Inv nên det Do đó, ph ơng trình có nghi m nh ất có đi m bất động Câu 9: Định nghĩa ph p đối xứng qua m- ph ng? Chứng minh m ột ph p biến đổi đẳng cự? Nó ph p... Có ph ương bất đ ộng hay không? Là ph p biến đổi loại m y? Do ph p đối xứng qua siêu ph ng ph p d i loại 2, nên ph p quay quanh - ph ng ph p d i loại Ph p quay quanh - ph ng giữ bất động điểm