Bộ công thức Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia từ A Z được chúng tôi sưu tầm và đăng tải, giúp các bạn thí sinh ôn tập, từ đó chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Những công thức này sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản của môn Toán lớp 12, giúp bạn yên tâm hơn bước vào thi trắc nghiệm Toán THPT Quốc gia.
CHUYÊN TOÁN 10-11-12-LTĐH Phạm Đào Thanh Tú (Xem chi tiết mặt trong) TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1.1 Cơng thức lượng giác Hệ thức • sin2 x + cos2 x = sin x • tan x = cos x 1.2 •1 + tan2 x = cos2 x cos x • cot x = sin x sin2 x • tan x cot x = •1 + cot2 x = Cơng thức cộng • sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a • tan(a ± b) = • cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b 1.3 Công thức nhân đôi • sin 2x = sin x cos x • tan 2x = • cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x 1.4 tan x − tan2 x Cơng thức nhân ba • sin 3x = sin x − sin3 x • cos 3x = cos3 x − cos x 1.5 tan a ± tan b ∓ tan a tan b Cơng thức hạ bậc • cos2 x = + cos 2x • sin2 x = 1 − cos 2x 1.6 Cơng thức tính theo t = tan x2 • sin x = 1.7 2t + t2 • cos x = − t2 + t2 a+b a−b cos 2 a+b a−b • cos a + cos b = cos cos 2 a+b a−b sin 2 a+b a−b • cos a − cos b = −2 sin sin 2 • sin a − sin b = cos Công thức tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] • sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] • sin a sin b = • cos a cos b = 1.9 [cos(a − b) − cos(a + b)] Một số cơng thức khác • sin x + cos x = √ cos x − π • sin6 x + cos6 x = − √ π sin2 2x 4 • sin x + cos x = − • sin x − cos x = •(sin x ± cos x)2 = ± sin 2x 2t − t2 Công thức tổng thành tích • sin a + sin b = sin 1.8 • tan x = sin2 2x sin x − Các lý thuyết đạo hàm 2.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b), x0 + ∆x ∈ (a, b), tồn giới hạn (hữu hạn) lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x gọi đạo hàm f (x) x0 , kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ), f (x0 ) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim x→x0 ∆x x − x0 Các qui tắc tính đạo hàm (a) [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (b) [f (x).g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) (c) [kf (x] = kf (x) với k ∈ R (d) f (x) g(x) = f (x)g(x) − f (x)g (x) với g(x) = [g(x)]2 (e) yx = yu ux với y = y(u), u = u(x) 2.2 Bảng đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp u = u(x) • (c) = với c ∈ R • (xα ) = α.xα−1 • x =− x2 u • =− u u2 √ • ( x) = √ x √ u • ( u) = √ u • (ex ) = ex • (eu ) = eu u • (ax ) = ax ln a • (au ) = au ln a.u • (sin x) = cos x • (sin u) = u cos u • (cos x) = − sin x • (cos u) = −u sin u • (tan x) = cos2 x • (cot x) = − 2.3 • (uα ) = α.uα−1 u sin2 x • (tan u) = u cos2 u • (cot u) = −u sin2 u Vi phân Cho hàm số y = f (x) xác định (a, b) có đạo hàm x ∈ (a, b) Giả sử ∆x số gia x cho x + ∆x ∈ (a, b) Tích f (x)∆x gọi vi phân hàm số f (x) x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu df (x) hay dy Như dy = df (x) = f (x)dx Lý thuyết khảo sát hàm số 3.1 Tính đồng biến - nghịch biến hàm số Giả sử hàm f (x) có đạo hàm khoảng (a; b), đó: f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f (x) đồng biến khoảng (a, b) f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f (x) nghịch biến khoảng (a, b) f (x) đồng biến khoảng (a, b) f (x) 0, ∀x ∈ (a, b) f (x) nghịch biến khoảng (a, b) f (x) 3.2 0, ∀x ∈ (a, b) Cực trị hàm số Giả sử hàm f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại f (x) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu f (x) Nếu f (x0 ) = f (x0 ) > x0 điểm cực đại f (x) Nếu f (x0 ) = f (x0 ) < x0 điểm cực tiểu f (x) 3.3 Giá trị lớn - nhỏ hàm số Xét đoạn: (a) Tìm xi ∈ [a, b], i = 1, 2, , n điểm có đạo hàm khơng xác định (b) Tính f (a), f (b), f (xi ), với i = 1, 2, , n (c) So sánh để suy giá trị lớn giá trị nhỏ Xét khoảng : Dùng bảng biến thiên để khảo sát hàm số 3.4 Đường tiệm cận Kí hiệu (C) đồ thị hàm số y = f (x) Đường tiệm cận đứng Nếu điều kiện sau xảy lim f (x) = +∞ + x→x0 lim f (x) = −∞ x→x+ lim− f (x) = +∞ x→x0 lim− f (x) = −∞ x→x0 đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng (C) Đường tiệm cận ngang Nếu lim f (x) = y0 x→+∞ lim f (x) = y0 đường thẳng y = y0 tiệm x→−∞ cận ngang (C) 3.5 Các bước khảo sát hàm số y = f (x) Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên (a) Chiều biến thiên i Tính y ii Tìm nghiệm phương trình y = điểm y khơng xác định iii Xét dấu y suy chiều biến thiên hàm số (b) Tìm điểm cực trị (nếu có) (c) Tìm giới hạn vô cực, giới hạn +∞, −∞ điểm mà hàm số không xác định Suy đường tiệm cận đứng ngang (nếu có) (d) Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị: Tính thêm tọa độ số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị 3.6 Tương giao hai đồ thị Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Giả sử (C1 ) đồ thị hàm số y = f (x) (C2 ) đồ thị hàm số y = g(x) Khi số nghiệm phương trình f (x) = g(x) tương ứng với số giao điểm (C1 ) (C2 ) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số (a) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x): i ii iii iv v Tại Tại Tại Tại Tại điểm (x0 ; y0 ) đồ thị điểm có hồnh độ x0 đồ thị điểm có tung độ y0 đồ thị giao điểm đồ thị với trục tung giao điểm đồ thị với trục hoành Phương pháp giải: Tìm đủ giá trị x0 ; y0 = f (x0 ) f (x0 ) Khi đó, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) (x0 ; y0 ) y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) (b) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng y = ax + b Phương pháp giải sau i Tính y = f (x) ii Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b hệ số góc tiếp tuyến a, tức giải phương trình f (x) = a để tìm x0 Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b hệ số góc 1 tiếp tuyến − , tức giải phương trình f (x) = − để tìm a a x0 iii Tính y0 = f (x0 ) iv Thay vào phương trình tiếp tuyến y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) (c) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước đến đồ thị hàm số y = f (x) Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y = f (x) đường thẳng y = g(x) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 x0 nghiệm hệ f (x) = g(x) f (x) = g (x) Các lý thuyết nguyên hàm 4.1 Nguyên hàm tính chất Cho hàm số f (x) xác định khoảng K ⊆ R Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) khoảng K F (x) = f (x), ∀x ∈ K Mọi hàm số liên tục khoảng K ⊆ R có nguyên hàm đoạn Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng K ⊆ R với số C, hàm số G(x) = F (x) + C nguyên hàm f (x) K Ngược lại, F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm f (x) K có dạng F (x) + C với C số Kí hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f (x) f (x)dx, đọc tích phân bất định f (x) Khi f (x)dx = F (x) + C với C ∈ R Các tính chất 4.2 (a) f (x)dx = f (x) + C với C số thực (b) kf (x)dx = k (c) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx với k số thực f (x)dx ± g(x)dx Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f (u(x))u (x)du = F (u(x)) + C Phương pháp tích phân phần Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x)v (x)du = u(x)v(x) − u (x)v(x)du 4.3 Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm hợp u = u(x) • 0dx = C • 0du = C • dx = x + C • du = u + C • xα dx = • xα+1 +C α+1 uα+1 +C α+1 • uα du = dx = ln |x| + C x • du = ln |u| + C u • ex dx = ex + C • eu du = eu + C • ax dx = • au du = • cos xdx = sin x + C • cos udx = sin u + C • sin xdx = − cos x + C • sin udu = − cos u + C • dx = tan x + C cos2 x • du = tan u + C cos2 u • dx = − cot x + C sin2 x • du = − cot u + C sin2 u ax +C ln a au +C ln a Các lý thuyết tích phân 5.1 Tích phân tính chất Định nghĩa Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] Giả sử F (x) nguyên hàm f (x) đoạn [a, b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định [a, b]) hàm số f (x) Ký hiệu b f (x)dx Khi a b b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a a a Trường hợp a = b ta định nghĩa b a f (x)dx = − nghĩa a f (x)dx = Trường hợp a > b ta định a f (x)dx b Các tính chất tích phân b (a) b kf (x)dx = k a f (x)dx với k số a b b [f (x) ± g(x)]dx = (b) a g(x)dx a b (c) b f (x)dx ± a c f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx với a < c < b c (d) Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số dấu tích phân, tức b b f (t)dt = · · · f (x)dx = a 5.2 a Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số (a) Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [α, β] cho ϕ(α) = a, ϕ(β) = b a ϕ(t) b, ∀t ∈ [α, β] Khi b b f (x)dx = a f (ϕ(t))ϕ (t)dt a (b) Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a, b] cho α u(x) β, ∀x ∈ [a, b] Nếu f (x) = g(u(x))u (x), ∀x ∈ [a, b], g(u) liên tục đoạn [α, β] b u(b) f (x)dx = a g(u)du u(a) Phương pháp tích phân phần Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a, b] b b b − u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] a a u (x)v(x)dx a b b b − udv = [uv] a a vdu a 5.3 Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng (a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), hai đường thẳng x = a, x = b trục Ox y y = f (x) b |f (x)|dx S= b a |f (x)|dx a a O x b (b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f (x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b y y = f (x) b |f (x) − g(x)|dx S= a y = g(x) a O b x Tính thể tích vật thể tròn xoay (a) Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = (trục Ox), x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành vật thể tròn xoay Thể b [f (x)]2 dx tích vật thể V = π a (b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) liên tục với y ∈ [a; b] Nếu hình giới hạn đường x = g(y), x = (trục Oy), y = a, y = b quay quanh trục Oy thể tích vật thể tròn xoay tạo thành xác định b [g(y)]2 dy V =π a 10 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Phần II LƯỢNG GIÁC Bao gồm chuyên đề lớn Cơng thức lượng giác Phương trình lượng giác Hệ thức lượng tam giác VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Phần III ĐẠO HÀM – TÍCH PHÂN – HÌNH HỌC – NHỊ THỨC NEWTON Đạo hàm Bảng ngun hàm Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa độ không gian Nhị thức Newton VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ... hiểu phần mềm thông minh Latex 16 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí BỘ CƠNG THỨC TỐN LỚP 12 ƠN THI THPT QUỐC GIA TỪ A – Z Phần I ĐẠI SỐ Tam thức bậc 2 Bất đẳng thức Cauchy Cấp... (x) Tìm tập xác định hàm số Sự biến thi n (a) Chiều biến thi n i Tính y ii Tìm nghiệm phương trình y = điểm y không xác định iii Xét dấu y suy chiều biến thi n hàm số (b) Tìm điểm cực trị (nếu... không xác định Suy đường tiệm cận đứng ngang (nếu có) (d) Lập bảng biến thi n Vẽ đồ thị: Tính thêm tọa độ số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị dựa vào bảng biến thi n để vẽ đồ thị 3.6 Tương giao