Biên soạn chơng trình Thầy : Dơng Thế Khiển Chuyên đề: Phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng AB, CD, EF đồng quy. I / Tóm tắt các cách chứng minh * Có thể chứng minh 1. AB,CD,EF là ba đờng cao , ba đờng trung tuyến , ba đờng trung trực , ba đờng phân giác trong , một đờng phân giác trong và hai đờng phân giác ngoài .của một tam giác . 2. AB,CD cắt nhau tại một điểm thẳng hàng với E,F. 3. AB,CD cắt nhau và đối xứng với nhau qua EF . 4. Có ba đờng tròn (O 1 ) , (O 2 ) , (O 3 ) sao cho AB , CD , EF là dây chung (hoặc tiếp tuyến chung trong ) của các cặp đờng tròn tơng ứng (O 1 ) với (O 2 ) ; (O 2 ) với (O 3 ) ; (O 3 ) với (O 1 ). II/ các ví dụ: Bài 1 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Một đờng tròn (O) qua B cắt đoạn AB tại điểm thứ hai C và cắt đờng tròn (O) tại đểm thứ hai D. Đoạn AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai E. Tia BE cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng ba đờng thẳng AF, BD, CE đồng quy . Bài 2 : Cho hình thang cân ABCD (AD // BC; AD > BC ) . Gọi I là giao điểm Của AC , BD , K là trung điểm của AD . Chứng minh rằng ba đờng thẳng AB , CD , IK đồng quy . Bài 3: Cho hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M và một đờng tròn (O 3 ) tiếp xúc trong với (O 1 ) và (O 2 ) tại các điểm tơng ứng N , P . Chứng minh rằng đờng tròn qua ba điểm M,N,P là đờng tròn bàng tiếp tam giác O 1 O 2 O 3 . Bài 4 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB với điểm M trên đó . Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB . đờng tròn đờng kính MH cắt MA tại điểm P , cắt MB tại điểm Q và cắt cung AB tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng tứ giác APQB là tứ giác nội tiếp . Suy ra các đờng thẳng AB , PQ , ME đồng quy . Bài 5 : : Cho nửa đờng tròn(O)đờng kính AB với điểm M trên đó, một điẻm I nằm giữa A,B và không trùng với O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M ngời ta kẻ các tia Ax, Làm việc gì bao giờ cũng đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp 1 Biên soạn chơng trình Thầy : Dơng Thế Khiển By vuông góc với AB. Đờng thẳng qua M vuông góc với MI cắt Ax tại điểm N, đờng thẳng d qua I vuông góc với IN. Chứng minh các đờng thẳng d, MN, By đồng quy. Bài 6 Xét góc nhọn xAy và tia Az nằm giữa Ax và Ay. Trên Ax, Az ngời ta lấy lần lợt hai điểm B, C sao cho AB = AC. đờng tròn đờng kính AB lần lợt cắt Az, Ay ở K và D. Đờng tròn đờng kính AC lần lợt cắt Ax, Ay tại H và E. Gọi Giao điểm thứ hai của hai đ- ờng tròn là N . a)Chứng minh các đờng thẳng BK, CH, AN đồng quy. b) Tứ giác BCED là hình gì, tại sao? c) Chứng minh BD = HE và CE = KD. d)Chứng minh : NDEABXC . e) Gọi M là điểm đối xứng của B qua Ay. Chứng minh góc BMC = yAx 2 1 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F, G . a) Chứng minh BE.BC = BD.BA. b) Chứng minh góc AED = góc ABF. c) Chứng minh AFGC là hình thang. d) Chứng minh các đờng thẳng .AC, DE, BF đồng quy. Bài 8 : Xét tam giác vuông ABC nội tiếp nửa đờng tròn (O) đờng kính BC và đờng cao AH . Đờng tròn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng tròn tại điểm thứ hai G, cắt AB, AC lần lợt tại D và E . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. c) Các tiếp tuyến tại D và E của đờng tròn tâm (I) lần lợt cắt cạnh BC tại M và N . Chứng minh M và N lần lợt là trung điểm của BH và HC. d) Chứng minh DE AO, suy ra các đờng thẳng AG, DE, BC đồng quy Bài9: Xét tam giác vuông ABC vuông tại A với đờng cao AH. Ngời ta dựng về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACGF . a) Chứng minh A, D, G thẳng hàng . b) Chứng minh BCFE là hình thang cân . Làm việc gì bao giờ cũng đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp 2 Biên soạn chơng trình Thầy : Dơng Thế Khiển c) Gọi I, J theo thứ tự là hình chiếu của D, G trên đờng thẳng BC. Chứng minh DI + GJ = BC . d) Gọi S là giao điểm của các đờng thẳng DE và GF . Chứng minh rằng điểm S nằm trên đờng thẳng AH e) Chứng minh rằng: các đờng thẳng AH, BG, CD đồng quy . Bài 10 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. Gọi M và N lần lợt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. 1/ Chứng minh tứ giác AMBH nội tiếp . 2/Chứng minh AM = AH = AN . 3/ Gọi Giao điểm của MN với AB và AC lần lợt là F và E. Chứng minh rằng điểm E thuộc đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH. 4/ Chứng minh ba đờng thẳng AH , BE , CF đồng quy. Bài 11: Cho hai đờng tròn (O,R) và (O,R) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (Ovà O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Các đờng thẳng AO, AO cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai C và D. cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai E và F . a) Chứng minh ba điểm B, C, F thẳng hàng và tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh ba đờng thẳng AB , CD , EF đồng quy . c)Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE . d) . Tìm điều kiện đẻ DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O) và (O) . Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Đờng tròn đờng kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D (D khác điểm I). Chứng minh: a) Tứ giác ABCD nội tiếp . b) I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE . c) Các đờng thẳng AB, CD, EI đồng quy. Bài 13: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại C và D. Các đờng thẳng CA và DA cắt (O), (O) theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: Làm việc gì bao giờ cũng đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp 3 Biên soạn chơng trình Thầy : Dơng Thế Khiển a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB là phân giác góc FBE . c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy. Bài 14 : Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB . Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, IM, và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh các tiếp tuyến tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bài 15: Cho hai đờng tròn (O, R) và (O, R) tiếp xúc ngoài tại A. (R > R). Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O) và (O) theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O) tại D. a) Tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O). Bài 16: Cho đờng tròn tâm (O;R). Hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a) CEF và EMB là các tam giác gì? b) Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Tìm tâm đờng tròn đó. c) Chứng minh rằng các đờng thẳng OE, BF, CM đồng quy ( Toán tuổi thơ THCS đề số 15) Bài 17: Làm việc gì bao giờ cũng đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp 4