Nhiệt dung cv của phonon âm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khóa luận: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan ThS Đỗ Thị Thu Thủy HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ em suốt thời gian theo học trường đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Nguyễn Thị Hà Loan cô Đỗ Thị Thu Thủy người trực tiếp hướng dẫn em tận tình bảo giúp đỡ em hồn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học hạn chế kinh nghiệm kiến thức nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn cô Nguyễn Thị Hà Loan cô Đỗ Thị Thu Thủy khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Các liệu thơng tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm 1.1 Hàm phân bố 1.2 Nội 1.3 Nhiệt dung Chương 2: Phonon âm 12 2.1 Phonon âm 12 2.2 Phonon âm phonon quang (mạng hai chiều) 20 Chương 3: Nhiệt dung phonon âm 25 3.1 Nhiệt dung phonon âm 25 3.1 Nhiệt dung vật rắn 28 PHẦN III: KẾT LUẬN 40 PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, vật liệu tự nhiên hay sử dụng hàng ngày đời sống người, tồn thể rắn, thể lỏng thể khí Do vậy, vật lý học chia thành chuyên ngành nghiên cứu vận động vật chất ba thể tồn Trong cách mạng khoa học cơng nghệ nay, ngành vật lý chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn tạo vật liệu cho ngành kỹ thuật mũi nhọn điện tử, du hành vũ trụ, lượng nguyên tử,…Trong năm gần đây, xuất hàng loạt cơng trình siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt công nghệ nanô làm cho vị trí ngành vật lý chất rắn ngày thêm bật Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều nguyên tử phân tử thể xếp cách đặn tạo thành tinh thể lượng dao động mạng bị lượng tử hóa Lượng tử lượng gọi phonon Phonon hạt thật mà giả hạt hay gọi chuẩn hạt Việc nghiên cứu tính chất vật lý phonon đặt móng cho việc nghiên cứu tính chất vật lý chất rắn, em thấy bị lơi muốn tìm hiểu khám phá Đặc biệt trạng thái dao động giả hạt Chính lý trên, em định chọn tên đề tài là: “ Nhiệt dung CV phonon âm” để nghiên cứu tìm hiểu sâu rộng vấn đề Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu phonon âm tính nhiệt dung phonon âm Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu dao động tử điều hòa  Nghiên cứu nhiệt dung hệ hạt lượng tử  Tính nhiệt dung phonon âm Đối tượng nghiên cứu  Nghiên cứu hệ nhiều hạt tính nhiệt dung đẳng tích chúng Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu vật lý thống kê  Phương pháp nghiên cứu giải tích tốn học Cấu trúc khóa luận  Đề tài “Nhiệt dung CV phonon âm” có kết cấu gồm phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo  Phần nội dung chia làm chương:  hương 1: Những khái niệm C Chương 2: Phonon âm Chương 3: Nhiệt dung phonon âm PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm 1.1 Hàm phân bố Những đại lượng ngẫu nhiên có tập hợp vô hạn trị số khác vô gần (phổ liên tục) xác suất biến cố riêng biệt đại lượng ngẫu nhiên có trị số thật xác khơng Vì có nghĩa ta nói xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số phân bố khoảng ∆x từ x x + ∆x Xác suất tìm thấy đại lượng x khoảng ∆x kí hiệu ∆W(x) Khi chuyển tới khoảng vơ nhỏ giá trị dx xác suất dW(x) cho đại lượng ngẫu nhiên lấy trị số từ x đến x + dx sẽ: phụ thuộc vào trị số x hay hàm f(x) đó; tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx Vì ta viết xác suất dW(x) sau: dW(x) = f(x)dx Tập hợp tất trị số sác xuất đại lượng ngẫu nhiên cho tạo nên phân bố đại lượng ngẫu nhiên đó, phân bố xác định hàm f(x) Hàm f(x) gọi hàm phân bố biểu thị công thức xác định: ( )= ( ) Một nhiệm vụ vật lí thống kê tìm hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên Ta nêu lên số hàm phân bố đó: 1.1.1 Phân bố tắc Gisbbs: Khi khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi Tại thời điểm, số hạt hệ không đổi nên ta áp dụng phân bố tắc Gibbs cho hệ hàm phân bố hay tích phân trạng thái hệ là: ( , )= − ( Trong (1.1.1) ( , ) ) Z: tích phân trạng thái X: biến số trạng thái H: lượng hạt : môđun phân bố a: thơng số ngồi 1.1.2 Phân bố tắc lớn Gisbbs: Trong vật lí học ta gặp hệ khơng lượng biến đổi mà số hạt hệ thay đổi, hệ có số hạt thay đổi Ở thời điểm, số hạt hệ không đổi thời điểm sau, số hạt hệ thay đổi (tăng giảm) nên ta áp dụng phân bố tắc lớn Gibbs cho hệ hàm phân bố hay tích phân trạng thái hệ là: = − (1.1.2) ! ( ) Trong k: số Boltzmann : hóa học hạt T: nhiệt độ tuyệt đối N: số hạt hệ 1.1.3 Phân bố Maxwell – Boltzmann Áp dụng với hệ hạt khơng tương tác, hệ hạt coi khác lượng có phổ liên tục rời rạc Khi ta chia không gian pha làm “ô” tương ứng với giá trị khác lượng xét phân bố khác hạt hệ theo đó, từ tìm số trạng thái vi mơ khả hữu hệ tương thích với điều kiện bên ngồi định tức tìm xác suất nhiệt động hệ, sau dựa vào ngun lý Bơnxơman tìm entropi hệ dựa vào điều kiện cực đại entropi có cân nhiệt động ta tìm phân bố thống kế hệ hàm phân bố hay tích phân trạng thái hệ là: = ( ) (1.1.3) − Trong đó: : lượng hạt thứ i ( ): bội suy biến mức ℏ ̅̅= + ℏ ℏ ℏ cot (3.2.5) = h ℏ −1 Vì nguyên tử có ba bậc tự nên hệ N nguyên tử vật rắn hệ 3N dao động tử điều hòa chiều Einstein quan điểm tất nguyển tử chung tần số dao động Trên sở quan điểm kết (3.2.5) ta tính lượng trung bình hệ: ℏ =3 ̅= ℏ + ℏ −1 Lấy đạo hàm lượng trung bình theo nhiệt độ ta tính nhiệt dung đẳng tích: = ℏ (3.2.6) = ℏ ℏ −1 Như vậy, theo lí thuyết Einstein nhiệt dung vật rắn phụ thuộc nhiệt độ theo qui luật phức tạp Chúng ta khảo sát dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ hai trường hợp: nhiệt độ cao nhiệt độ thấp a/ Trường hợp nhiệt độ cao: Xét trường hợp nhiệt độ độ = ℏ Đại lượng = ℏ gọi nhiệt Einstein Khi nhiệt độ T lớn nhiều so với nhiệt độ Einstein ta khai triển gần theo đại lượng ℏ ≪ 1: ℏ ℏ ≅1 + Thay giá trị vào biểu thức (3.2.6) ta được: ℏ ℏ = 1+ Vì ℏ ≪ nên lấy gần đúng: ℏ =3 Đối với mol vật rắn, nhiệt dung mol có giá trị là: =3 =3 25 ≈ Như vậy, vùng nhiệt độ cao kết lý thuyết Einstein phù hợp với kết cổ điển, tức định luật Dulong – Petit b/ Trường hợp nhiệt độ thấp: Xét trường hợp nhiệt độ thấp, hệ thức mãn Trong trường hợp ℏ ≪ ℏ = thỏa ≫ 1, ta bỏ qua số mẫu số vế phải biểu thức (3.2.6): ℏ ℏ = Như vậy, theo lí thuyết Einstein vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ thuộc nhiệt độ dạng: = ℏ (3.2.7) Qua ta thấy: lim = → Kết (3.2.7) phù hợp định tính với thực nghiệm: nhiệt dung tiến tới nhiệt độ tiến tới độ tuyệt đối Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy nhiệt dung vật rắn tiến tới theo qui luật ~ không tiến tới nhanh qui luật (3.2.7) Đây thiếu sót lí thuyết Einstein Thiếu sót bắt nguồn từ chỗ Einstein quan niệm tất nguyên tử vật rắn dao động với tần số 3.2.3 Theo quan điểm Debye Năm 1912 Debye đưa lí thuyết nhiệt dung chất rắn So với lí thuyết Einstein lí thuyết Debye phù hợp tốt với thực nghiệm, coi lí thuyết đắn Dưới điểm qua nét lí thuyết Debye Trong mạng tinh thể chất rắn nguyên tử tương tác với nhau, chúng chuyển động dao động tử liên kết, dao động tử độc lập lý thuyết Einstein Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, tập hợp N nguyên tử vật rắn tập hợp 3N dao động tử điều hòa lượng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số tần số cực đại (tần số Debye) Chuyển động dao động tập thể nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức sóng đàn hồi vật rắn Sóng âm vật rắn gồm hai loại: sóng dọc sóng ngang Ta ký hiệu vận tốc truyền sóng dọc tốc truyền sóng ngang , vận Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết thay tập hợp 3N dao động chuẩn (hay gọi “mốt”) Nếu vận tốc trruyền sóng C, tần số khoảng ( , + ) số lượng dao động chuẩn tính theo công thức: ( )= ( = ) Để ý sóng âm vật rắn bao gồm sóng ngang sóng dọc với vận tốc truyền khác nhau: mặt khác, sóng ngang lại có hai khả phân cực, ta tính số dao động chuẩn khoảng ( thức: 2( + )= , + ) theo công Để thuận tiện ta đưa vào đại lượng C xác định theo hệ thức: (3.3.1) = + Đại lượng C có thứ nguyên vận tốc truyền sóng Bây ta viết lại biểu thức ( ( ) sau: )= (3.3.2) Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ tần số cực đại xác định từ điều kiện: (3.3.3) )= ( =3 Sau lấy tích phân ta được: = Tần số (3.3.4) gọi tần số Debye Nó tùy thuộc vận tốc truyền sóng âm vật rắn mật độ ngun tử mơi trường Trên sở (3.3.4) ta viết lại (3.3.2) dạng: ( (3.3.5) )= Mỗi dao động chuẩn dao động tử điều hòa lượng tử, lượng trung bình dao động chuẩn là: (̅ ) = ℏ + ℏ ℏ (3.3.6) −1 Năng lượng trung bình hệ 3N dao động chuẩn tính theo cơng thức: ( ) = ( ) Thay biểu thức (3.3.5) (3.3.6) vào vế phải công thức ta được: ℏ = + (3.3.7) ℏ −1 ℏ Số hạng thứ vế phải (3.3.7) không phụ thuộc T, nhiệt dung tính sau: = ℏ = ℏ −1 Từ ta có: ℏ = Đăt ℏ = ℏ ℏ −1 , ta viết: ℏ =3 Đại lượng = ℏ ℏ ( − 1) gọi nhiệt độ Debye Với ký hiệu ta viết lại biểu thức nhiệt dung sau: (3.3.8) =3 ( 1) − Người ta thường viết biểu thức nhiệt dung vật rắn dạng ngắn gọn: (3.3.9) =3 Trong D hàm Debye xác định sau: (∝ ) = ∝ ∝ (3.3.10) ( − 1) Đối với mol ta có: (3.3.11) ( ) =3 Kết cho ta thấy nhiệt dung mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc nhiệt độ Ta xét dáng điệu ( ) hai vùng nhiệt độ khác biệt: nhiệt độ cao nhiệt độ thấp a/ Trường hợp nhiệt độ cao: Xét vùng nhiệt độ thỏa mãn điều kiện ℏ = với điều kiện ≫ có giá trị nhỏ Ta tham khảo hàm Debye biến số nhỏ Theo định nghĩa (3.3.7) ta có: (∝ ) = ∝ ∝ ( − 1) Nếu ∝ nhỏ ta lấy gần đúng: ≅( 1+ ≅ − 1) (∝ ) = ∝ ∝ Dựa vào kết biểu thức (3.3.8) ta có: =1 ( ) =3 ( ℎ ≫ ) Điều có nghĩa vùng nhiệt độ cao lí thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong – Petit b/ Trường hợp nhiệt độ thấp: Xét vùng nhiệt độ thỏa mãn điều kiện = lớn, ta phải khảo sát hàm ℏ ≪ Trong trường hợp (∝ ) ∝ lớn Từ định nghĩa ta thấy ∝ lớn cận tích phân vế phải biểu thức (3.3.7) thay ∞, đó: ∝ 3 (∝ ) = = ∝ ( − 1) ∝ 15 Thay kết vào (3.2.11) ta được: ( ) 12 = (3.3.12) Như vùng nhiệt độ thấp lí thuyết Debye cho kết phù hợp tốt thực nghiệm: ( ) ≈ Hình 6: Sự phụ thuộc nhiệt dung chất rắn vào nhiệt độ theo định luật Trên hình có vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung chất rắn theo kết lí thuyết cổ điển (định luật Dulong – Petit), lí thuyết Einstein lí thuyết Debye ) Như trình bày định luật Dulong – Petit (( nhiệt độ T lớn nhiều so với nhiệt độ Debye = =3 ) ℏ Các chất rắn khác có nhiệt độ Debye khác nhau, lĩnh vực nhiệt độ cho phép áp dụng định luật Dulong – Petit khác Điều cho phép hiểu thực tế: nhiệt độ phòng thí nghiệm số chất rắn có nhiệt dung ( lại có nhiệt dung ( ) ) xấp xỉ 3R, số khác khác nhiều với giá trị 3R Chẳng hạn, nhiệt độ Debye chì (Pb) có giá trị 88 K, nhiệt độ phòng thí nghiệm ( 300° , nhiệt dung ( ) cao so với ) chì điều kiện phòng thí nghiệm có giá trị cỡ 3R (số liệu thực nghiệm ( = 27,8 /độ Kim cương có nhiệt độ Debye cao ( ≈ 800° nhiệt độ phòng thị nghiệm ( ≈ 300° ≈ ) ), ) nhiệt dung khơng tn theo định luật Dulong – Petit (ở nhiệt độ T = 298 K, kim cương có nhiệt dung ( /độ ) = 6,1 Nhiệt dung kim loại bao gồm hai phần nhiệt dung mạng ion dương nhiệt dung điện tử tự Nhưng kết tính tốn nói liên quan tới nhiệt dung mạng ion dương Kí hiệu dung ion dương nhiệt nhiệt dung điện tử tự do, ta viết nhiệt dung kim loại sau: = + Ở nhiệt độ cao cỡ phòng thí nghiệm nhiệt dung điện tử nhỏ nhiều so với nhiệt dung mạng ion dương, ta lấy gần đúng: = ( ℎ ệ độ ) Ở vùng nhiệt độ thấp ta thấy có tình trạng ngược lại Khi nhiệt dung khí điện tử tự cỡ: ≈ Theo kết lí thuyết Debye mạng ion dương có giá trị cỡ: ≈ Như rõ ràng nhiệt độ thấp → 0° → 0° nhiệt dung ≈ Vì vậy, nhiệt độ thấp nhiệt dung kim loại chủ yếu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại: = ( ℎ ệ độ ℎấ ) Kết luận: Ở chương 3, áp dụng lí thuyết nhiệt dung tính vật lý thống kê cho hệ số lớn hạt, em tính nhiệt dung cho hệ hạt phonon âm tìm hiểu tính nhiệt dung vật rắn theo quan điểm cổ điển, quan điểm Einstein quan điểm Debye Ta thấy theo quan điểm Debye cho kết phù hợp tốt với thực nghiệm kết tìm từ quan điểm cổ điển Einstein chỗ: Đối với kết cổ điển coi nhiệt dung kT nhân với số bậc tự Khi nhiệt độ tăng lý thuyết cổ điển phù hợp với thực nghiệm, nhiệt độ giảm lý thuyết cổ điển khơng giải thích Đối với lí thuyết Einstein giải thích nhiệt độ cao nhiệt độ thấp theo cách định tính so với thực nghiệm Nhưng nhiệt độ thấp thực nghiệm cho thấy nhiệt dung tỷ lệ với lũy thừa bậc ba nhiệt độ tuyệt đối T lý thuyết Einstein tỷ lệ theo hàm e mũ giảm nhanh theo hàm e mũ chưa phù hợp với thực nghiệm Đối với lí thuyết Debye cho kết nhiệt dung nhiệt độ cao nhiệt độ thấp phù hợp với thực nghiệm giải thích nhiệt độ thấp giảm theo hàm bậc ba nhiệt độ tuyệt đối T PHẦN III: KẾT LUẬN Ở luận văn em tìm hiểu, trình bày khái niệm vật lý thống kê hàm phân bố, nội năng,nhiệt dung cho hệ có số lớn hạt Và em trình bày dao động mạng tinh thể chiều chiều đưa phổ lượng chúng Cuối em áp dụng lý thuyết nhiệt dung vật lý thống kê để tính nhiệt dung phonon âm Tìm hiểu trình bày cách tính nhiệt dung vật rắn theo quan điển cồ điển, quan điểm Einstein, quan điểm Debye thấy quan điểm Debye phù hợp tốt với thực nghiệm so với lý thuyết cổ điển, lý thuyết Einstein PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2013), “Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử”, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Vũ Đình Cự (1997), “Vật lý chất rắn”, NXB Khoa Học Kĩ Thuật [3] Vũ Thanh Khiết (1997), “Giáo trình nhiệt động lực học vật lý thống kê”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1997 [4] Nguyễn Thế Khơi, Nguyễn Hữu Mình (1992), “Vật lý chất rắn”, NXB Giáo Dục [5] Phạm Quý Tư (1998), “Giáo trình Nhiệt động lực học”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Nguyễn Quý Báu, Bùi Bằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng (2009), “Vật lý thống kê”, nhà xuất NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [7] Bài giảng vật lý thống kê thầy cô tổ Vật lý lí thuyết, khoa Vật lý ĐHSP Hà Nội [8] Charles Kittel (1970), “Sơ yếu Vật lý chất rắn”, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội (Phạm Duy Hiển Đặng Mộng Lân dịch) ... Phonon âm 12 2.2 Phonon âm phonon quang (mạng hai chiều) 20 Chương 3: Nhiệt dung phonon âm 25 3.1 Nhiệt dung phonon âm 25 3.1 Nhiệt dung vật rắn 28 PHẦN III:... em định chọn tên đề tài là: “ Nhiệt dung CV phonon âm để nghiên cứu tìm hiểu sâu rộng vấn đề Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu phonon âm tính nhiệt dung phonon âm Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên... Boltzmann T: nhiệt độ tuyệt đối Z: tích phân trạng thái ln (1.2.2) 1.3 Nhiệt dung 1.3.1 Khái niệm nhiệt dung Nhiệt dung đại lượng nhiệt học, muốn tìm hiểu nhiệt dung ta cần xem xét số khái niệm nhiệt