MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 1.1 Bình phƣơng vế phƣơng trình a) Phƣơng pháp A B C D , ta thường bình phương Thơng thường ta gặp phương trình dạng : vế , điều đơi lại gặp khó khăn giải Bài sau A B C A B 3 A.B A B C ta sử dụng phép thế: A B C ta phương trình : A B 3 A.B.C C b) Bài Bài Giải phương trình sau : x 3x x x Bài Giải phương trình sau : x3 x x2 x x x3 Bài Giải phương trình: x2 x x2 x4 x2 2 1.2 Trục thức 1.2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phƣơng pháp Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích x x0 A x ta giải phương trình A x chứng minh A x vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh giá A x vơ nghiệm b) Bài tập Bài Giải phương trình sau: 3x x x x x 1 x 3x Bài Giải phương trình sau: x 12 3x x Bài Giải phương trình : x x x3 Bài Giải phương trình 3x x 3x 14 x Bài Giải phương trình ( x 1)( x x 5) x Bài Giải phương trình x2 11x 21 3 x Bài Giải phương trình: x 3 x x x NGUYễN CHIếN THắNG Bài Giải phương trình: 3x 1 x 3x x Bài 9: Giải phương trình: x x 2 x x 1 x (1) 3x x x x x 1 x 3x Bài 10 Giải phương trình sau : Bài 11 Giải phương trình sau: x2 12 3x x2 Bài 12 Giải phương trình : x2 x x3 Bài 13:Giải phƣơng trình sau: Bài 14:Giải phƣơng trình: x2 x x2 2x2 2x x2 x x2 x x9 1.2.2 Đƣa “hệ tạm “ a) Phƣơng pháp Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A B C , mà : A B C C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : A B C A B A C C A B Khi ta có hệ: A B A B b) Bài tập Bài Giải phương trình sau : x2 x x x x x x x x 3x Bài Giải phương trình : 1.3 Phƣơng trình biến đổi tích Sử dụng đẳng thức u v uv u 1 v 1 au bv ab vu u b v a A2 B Bài Giải phương trình : x x x 3x Bài Giải phương trình : x x2 x x2 x Bài Giải phương trình: x 2x x 2x x2 4x Bài Giải phương trình : x3 4x 4 x x3 Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak B k NGUYễN CHIếN THắNG Bài Giải phương trình : 3x x 3x Bài Giải phương trình sau : x x x Bài Giải phương trình sau : 3 x x x 3 3x x 2 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t f x ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hoàn toàn t f x thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: x x2 x x2 Bài Giải phương trình: x2 x x Bài Giải phương trình sau: x x Bài Giải phương trình sau : x 2016 x x Bài Giải phương trình sau : x x x 3x x Bài Giải phương trình : x x x x Bài Giải phương trình sau: x x Bài Giải phương trình sau : x 2015 x x Bài Giải phương trình sau : x x x 3x x Bài 10 Giải phương trình : x2 x4 x2 x Bài 11.Giải phương trình: 3x2 21x 18 x2 x 2.2 Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u uv v (1) cách u u Xét v phương trình trở thành : v v v thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A x bB x c A x B x u v mu nv NGUYễN CHIếN THắNG Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phƣơng trình dạng : a A x bB x c A x B x Như phương trình Q x P x giải phương pháp P x A x B x Q x aA x bB x Xuất phát từ đẳng thức : x3 x 1 x x 1 x x x x 1 x x x 1 x x 1 x4 x2 2x x2 2x x x x 1 x x 1 Bài Giải phương trình : x x3 x x2 Bài Giải phương trình : x 3x Bài 3: giải phương trình sau : x 5x x3 Bài Giải phương trình : x3 3x x 2 6x Bài Giải phương trình sau: x x Bài Giải phương trình sau : x 2015 x x Bài Giải phương trình sau : x x x 3x x Bài Giải phương trình : x2 x4 x2 x b) Phƣơng trình dạng : u v mu nv Bài giải phương trình : x x x x Bài 2.Giải phương trình sau : x x x 3x x Bài giải phương trình : 5x2 14 x x x 20 x 2.3 Đặt nhiều ẩn phụ đƣa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức a b c a3 b3 c3 3 a b b c c a , Ta có a3 b3 c3 a b c a b a c b c Bài Giải phương trình : x x x x x x x NGUYễN CHIếN THắNG Bài Giải phương trình sau : x2 x2 3x x x x x Bài Giải phương trình sau 1) x2 5x x x x 2) x x 1 x 1 x x x3 x 1 x 2.4 Đặt ẩn phụ đƣa hệ: Bài Giải phương trình: x 25 x3 x 25 x3 30 Bài Giải phương trình: 1 x x Bài Giải phương trình sau: x x 6 2x 2x Bài Giải phương trình: 5 x 5 x Bài Giải phương trình: x2 x 2 x Bài Giải phương trình: x2 x x Bài Giải phương trình: x2 13x 3x Bài Giải phương trình sau: 1) 18x2 18x x 17 x x 2) x 3x x2 3) x x2 1 4 x x x x2 x x x2 4) PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 3.1 Một số lƣu ý Khi giải phương trình vơ tỷ (chẳng hạn f ( x) g ( x) ) phương pháp đánh giá, thường để ta phương trình có nghiệm (nghiệm nhất).Ta thường sử dụng bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái tổng bình phương biểu thức, đồng thời vế phải Ta sử dụng tính đơn điệu hàm số (có thể thấy sử dụng đạo hàm xét biến thiên hàm số) để đánh giá cách hợp lý f ( x) g ( x) Thường ta đánh sau: f ( x) C ( C ) f ( x) g ( x) C , đánh giá f ( x) g ( x) g ( x ) C ( C ) f ( x) g ( x) … Ngoài Bài cụ thể ta có cách đánh giá khác NGUYễN CHIếN THắNG Cũng có số phương trình vơ tỷ có nhiều ẩn mà ta giải phương pháp đánh giá 3.2 Một số Bài tập x 1 x2 1 Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình 3x2 x 5x2 10 x 14 x x2 x2 x 19 x 8x 13 13x 17 x 3( x 2) Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình 27 x 24 x 28 27 1 x6 x 3x x x3 x 3x Bài Giải phương trình 1 4 x x x Bài Giải phương trình x2 Bài Giải phương trình 2 x x9 x 1 Bài Giải phương trình 13 x2 x4 x2 x4 16 Bài Giải phương trình x x3 Bài 10 Giải phương trình ( x 2)(2 x 1) x ( x 6)(2 x 1) x Bài 11 Giải phương trình x2 11x 21 3 x Bài 12 Giải phương trình x x 3x x x x x Bài 13 Giải phương trình : 2 x x9 x 1 Bài 14 Giải phương trình : 13 x2 x x x 16 Bài 15 Giải phương trình: x3` 3x2 8x 40 4 x Bài 16: Giải phương trình: x 3x x x 4x 2 x 4x Bài 18: Giải phương trình : x 5x 3x Bài 17: Giải phương trình : Bài 19: Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 14 2x x (1) x7 2x 2x x 1 6 Bài 10:Giải phương trình : 3 x 2x PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC Bài 20: Giải phương trình : 4.1 Một số lưu ý NGUYễN CHIếN THắNG Khi giải phương trình vơ tỷ phương pháp lượng giác ta đặt f ( x) sin với điều kiện ; 2 f ( x) 1;1 f ( x) cos với điều kiện 0; Cũng có đặt f ( x) tan ; f ( x) cot … để đưa phương trình cho phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác từ tìm nghiệm phương trình cho 4.2 Một số ví dụ x 1 x2 1 Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình 1 2 x x2 Bài Giải phương trình x3 (1 x2 )3 x 2(1 x ) Bài Giải phương trình x3 3x x Bài Giải phương trình x x6 (1 x )3 Bài Giải phương trình x x x 1 2 Bài Giải phương trình ( x) x2 3x x Bài Giải phương trình x(1 x ) x2 1 x (1 x )3 x2 Bài Giải phương trình x 20 x x Bài 10 Giải phương trình x2 x x x PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài Giải phương trình sau: 3x x ( x 1) x x Bài Giải phương trình: x x3 x x x3 x x2 x Bài Giải phương trình : x 1 x x 3x x Bài Giải phương trình: x6 x2 x3 Bài Giải phương trình : 5x3 x x (1) Bài Giải phương trình : Bài Giải phương trình x3 3x2 x 16 x NGUYễN CHIếN THắNG x 2 x 1 x6 4 x 6 x 1 x2 Bài Giải phương trình x5 x3 3x Bài Giải phương trình : 3x(2 x2 3) (4 x 2)(1 x x2 ) Bài 10 Giải phương trình : x3 x2 x3 3x 3x x Bài 11 Giải phương trình x x2 x2 x x x3 x Bài 12 Giải phương trình Bài 13 Giải phương trình x 15 3x x Bài 14 Giải phương trình: x2 4 x Bài 15 Giải phương trình sau: Bài 16 Giải phương trình : 2x 2x 2x x3 x x x x MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC 5.1 Một số lưu ý Ngồi phương pháp thường gặp trên, đơi ta có lời giải khác lạ số phương trình vơ tỷ Cũng ta sử dụng kết hợp phương pháp để giải phương trình 5.2 Một số ví dụ Bài Giải phương trình x2 2.x x 2.x 16 Bài Giải phương trình x x x y y y x 16 Bài Giải phương trình x x x x 8x x2 x 20 x2 x 29 97 Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình x x2 x x2 2( x 1)4 (2 x x 1) Bài Giải phương trình x x 113 x2 x 14 5x 13 x Bài Giải phương trình x x3 3x x3 x 3x Bài Giải phương trình x x x 3x Bài Giải phương trình x2 x x2 x 3x 3x2 Bài 10 Giải phương trình 2009 2010 x x 2011x x x 2009 NGUYễN CHIếN THắNG Bài 11 Giải phương trình x3 3x2 8x 40 4 x Bài 12 Giải phương trình x2 11x 21 3 x Bài 13 Giải phương trình 10 3x x Bài 14 Giải phương trình x x 1 1 x x NGUYễN CHIếN THắNG