Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có một số bài toán đưa ra dạng toán có quy luật và đan xen vào đó là tính tổng của dãy (phần bài tập tự luyện). Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phép toán trong tập hợp số tự nhiên là dạng toán có quy luật. Các em học sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính toán sau: Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
2 CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Thực phép tính a) Dạng tốn có quy luật: (Dãy cộng) Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có số tốn đưa dạng tốn có quy luật đan xen vào tính tổng dãy (phần tập tự luyện) Ở chủ đề này, mục xin đưa phép toán tập hợp số tự nhiên dạng tốn có quy luật Các em học sinh nghiên cứu bước giải ví dụ tính tốn sau: Muốn tính tổng dãy số có quy luật cách thường hướng dẫn học sinh tính theo bước sau: Bước 1: So� so� ha� ng Bước Tính số số hạng có dãy: So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u 1 Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p 2: Tính tổng dãy: �So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u� To� ngcu� ada� y � So� so� ha� ng � � � (quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi) Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối = số hạng lớn Số hạng đầu = số hạng bé Ở tập đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp dãy tăng dần Ví dụ 1: Có số tự nhiên có hai chữ số ? Tính tổng chúng Hướng dẫn giải Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số : 99 10 90 số Ta có : A 10 11 12 99 (1) A 99 98 11 10 (2) Cộng (1) với (2) áp dụng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng ta được: A A 10 99 11 98 98 11 99 10 109 109 109 109 Nên 2A = 109.90 Do A 109.90 : 45.109 4905 Cách 2: Số số hạng dãy: 99 10 90 (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) 99 10 90 4905 Tổng dãy: Ví dụ 2: Tính giá trị A biết: A 2014 Hướng dẫn giải Dãy số có số số hạng là: Giá trị A là: 2014 2014 1 2014 : – 1 :1 2014 (số hạng) 2029105 Đáp số: 2029105 Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; Tìm số hạng thứ 2014 dãy số trên? Phân tích: Từ cơng thức Ta có: So� so� ha� ng So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u 1 Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p ng 1 Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u So�so�ha� � ng 1 � Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p � ha� ng� a� u So� ha� ngcuo� i So�so�ha� � � So� So� ha� ng� a� u So� ha� ngcuo� i� ng 1 � Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p � So�so�ha� � � Hướng dẫn giải Số hạng thứ 2014 dãy số là: 2014 –1 4028 Đáp số: 4028 Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn dãy 2019 ? Phân tích: Như tập số ta có: Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối = số hạng lớn Số hạng đầu = số hạng bé So� ha� ng� a� u So� ha� ngcuo� i� ng 1 � Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p � So�so�ha� � � Hướng dẫn giải Số hạng bé dãy số là: Tổng 50 số lẻ cần tìm 2019 2019 50 – 1 1921 1921 50 : 98500 Đáp số: 98500 Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà 15 nhà đánh số lẻ liên tiếp, biết tổng 15 số nhà dãy phố 915 Hãy cho biết số nhà dãy phố số ? Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật tăng dần: Bước 1: Suy ra: So� so� ha� ng So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u 1 Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p ng 1 Khoa� ngca� ch2so� ha� nglie� ntie� p So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u So�so�ha� �So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u� To� ngcu� ada� y � So� so� ha� ng � � � Bước 2: Suy ra: ngcu� ada� y : So� so� ha� ng So� ha� ngcuo� i So� ha� ng� a� u 2.To� Bài toán cho biết số số hạng 15, khoảng cách số hạng liên tiếp dãy tổng dãy số 915 Từ bước học sinh tính hiệu tổng số nhà đầu số nhà cuối Từ ta hướng dẫn học sinh chuyển tốn dạng tìm số bé biết tổng hiêu hai số Hướng dẫn giải Hiệu số nhà cuối số nhà đầu là: 15 1 28 Tổng số nhà cuối số nhà đầu là: 915 :15 122 Số nhà dãy phố là: 122 28 : 47 (bài toán tổng hiệu quen thuộc) Đáp số: 47 CÂU CHUYỆN VỀ VUA TỐN HỌC GAUSS Ba tuổi, thiên tài tính tốn bộc lộ Gauss; Bảy tuổi đến trường khiến cho giáo viên phải kinh ngạc trước khả tốn học Mười chín tuổi, Gauss tâm trở thành nhà tốn học Khó ngành tốn học mà lại khơng có đóng góp ơng “Vua tốn học” Carl Friedrich Gauss Gauss sinh gia đình người sửa ống nước kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777 Người ta kể câu chuyện thời thơ ấu ông sau: Cha Gauss thường nhận thầu khốn cơng việc để cải thiện đời sống Ơng hay tốn tiền nong vào chiều thứ bảy Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng tốn từ phía giường trẻ có tiếng Gauss gọi: - Cha ơi, cha tính sai rồi, phải đúng… Mọi người không tin, kiểm tra lại Gauss tính Khi ấy, Gauss tròn tuổi Có thể nói, Gauss học tính trước học nói Những ngày đầu đến trường, Gauss khơng có đặc biệt so với trò khác Nhưng tình hình thay đổi hẳn nhà trường bắt đầu dạy môn số học Một lần, thầy giáo cho lớp tốn tính tổng tất số nguyên từ – 100 Khi thầy vừa đọc phân tích đầu Gauss lên tiếng: - Thưa thầy, em giải xong rồi! Thầy giáo không để ý đến Gauss, dạo quanh bàn nói chế nhạo: - Carl, em sai đấy, khơng thể giải q nhanh tốn khó đâu! - Thầy tha lỗi cho em, em giải ạ! Em nhận thấy dãy số có tổng hai số cặp số đứng cách phía đầu phía cuối dãy số nhau: 100 + = 99 + = 98 + =… 50 = 51 = 101 Có 50 tổng nên kết = = 3= … = 101 * 50 = 5050 Thầy giáo ngạc nhiên thấy Gauss giải tốn cách xác tuyệt đối, mà cách giải lại vô độc đáo Từ đó,Gauss người biết đến thiên tài toán học Ngay năm trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đưa cách dựng đa giác 17 cạnh thước kẻ compa Đây phát quan trọng, nên sau người ta theo di chúc ông mà khắc mộ ông đa giác 17 cạnh nội tiếp đường tròn Sau này, nhờ có nghệ thuật tính tốn mà Gauss phát hành tinh Vào đầu kỷ XIX, nhà thiên văn học người Italia phát hành tinh gọi Xexera Ông quan sát khơng lâu, sau dịch lại gần mặt trời bị lẫn vào tia sáng mặt trời Những thí nghiệm nhà thiên văn khơng đạt kết nữa, họ khơng nhìn thấy chỗ mà theo dự đốn phải hành trình đến Các kính viễn vọng bất lực Nhưng Gauss, với số liệu quan sát ban đầu, ông tính quỹ đạo hành tinh vị trí với độ xác cao Nhờ thế, nhà thiên văn tìm thấy Xexera Về sau, theo cách này, người ta tìm nhiều hành tinh khác Sau cơng trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss xem nhà tốn học vĩ đại giới tơn “Ơng hồng tốn học” C F Gauss thọ 78 tuổi, đời ông cống hiến vĩ đại cho ngành toán học nhân loại Cho đến tận ngày nay, câu chuyện khả tính tốn thiên bẩm Gauss kể huyền thoại Một số tập có giải Bài 1: Tính A 2013 2014 Hướng dẫn giải Số số hạng là: Tổng dãy: 2014 – : 2010 2014 2010 2029095 Bài 2: Cho S 7 11 97 99 a) Tính tổng S b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Hướng dẫn giải + Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 99 + Khoảng cách hai số hạng là: + S có số số hạng tính cách: Tổng dãy: S 99 99 – : 47 47 : 2491 (cách viết khác hay sử dụng: S b) Số hạng thứ 33 tổng : 99 47 2491 ) 33 –1 71 Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;… a) Nêu quy luật dãy số c) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Hướng dẫn giải Xét dãy số 2;7;12;17;22;… a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) B 22; 27;32;37; 42 c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x, ta có: ( x 2) : 100 � x 497 Do tổng 100 số hạng đầu dãy là: (2 497) � 100 : 24950 Bài 4: Người ta viết liền số tự nhiên 123456… a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hàng thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào? Hướng dẫn giải Viết liền số tự nhiên 123456… a) chữ số đầu tiên: 1, 2, …, 44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53 � Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số: 44.2 97 Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số 90.2 229.3 876 ; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số 90.2 900.3 588.4 5241 b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số (chữ số hàng trăm số 179) Bài tập tự luyện Bài 1: Tính tổng A � 2015 B � 1017 C � 2014 D � 2008 Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ; 2014 a, Tính tổng dãy số trên? b, Tìm số hạng thứ 99 dãy? c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số khơng? Vì sao? Bài 3: Tìm tổng số chẵn có chữ số ? Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn dãy 2010? Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu số 1? Bài 6: Tính tổng: + 5+ + 13 + biết tổng có 100 số hạng? Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà 20 nhà đánh số chẵn liên tiếp, biết tổng 20 số nhà dãy phố 2000 Hãy cho biết số nhà cuối dãy phố số nào? b) Dạng tốn có khơng có quy luật Bài 1: Tính tổng: 10 a) A � 2 2014 2015 b) B 2014 2014 2014 � 2014 2014 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải 10 a) A � 2 A 21 22 23 � 210 211 - A 20 21 22 23 � 210 A – A 211 20 211 1 A 211 – 2047 2014 2015 b) B 2014 2014 2014 � 2014 2014 - 2014.B 20141 20142 20143 2014 � 2014 2015 20142016 B 1 20141 20142 20143 � 20142014 20142015 2014.B – B 20142016 20142016 20142016 B 2014 2013 c) S n a a1 a a � a n a n 1 �; a 1; a 0 ) a ( nι� Nhận xét: Từ toán tổng quát ta vận dụng để giải tốn tương tự tổng có nhều số hạng nhanh chóng thuận tiện tốn liên quan khác * Một số lưu ý dạy toán dạng này: - Ta thấy biểu thức cần tính tổng dãy số số hạng có số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu? - Trong toán ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng (có thể để dạng biểu thức) câu a; câu b; - Đối với tập dạng Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với số n *Công thức tổng quát: A a a a a � a n n 1 Nhân hai vế A với a ta có a A a a a a a a aA – A a – 1 A a n 1 – Từ ta có cơng thức : Vậy b) B 42 43 4100 với a �2 a n 1 – a – 1 a a a a n * Bài tập vận dụng: Tính tổng a ) A 72 73 72007 A a n – 1 : a – 1 14 c) Chứng minh : 14 – Chia hết cho 13 d) Chứng minh rằng: 20152015 – Chia hết cho 2014 Bài 2: Tính tổng: 100 a) A 3 99 b) B c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải Nhận xét: Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 100 a) A - 32 A 32 34 36 38 3100 3102 A 32 34 36 38 3100 32 A A 3102 A 1 Với 102 � 8A 102 3102 1� A 99 b) B - B 73 75 7 79 99 7101 B 73 7 799 B B 7101 Với B 1 7101 – � B 7101 – 48 2n c) * Công thức tổng quát: A a a a a a - a A a a a a8 a n a n A a a a a a n a A A a 2n2 A a 1 a n Từ ta có cơng thức : a a a a a n a n –1 : a 1 n 1 * Công thức tổng quát: B a a a a a a - a B a a a a a n 1 a n B a a a5 a a9 a n 1 a B B a n 3 a B a 1 a n a Từ ta có cơng thức: a a a a a a n 1 a 2n – a : a 1 * Bài tập vận dụng: Tính tổng C 22 24 26 28 210 200 D 42 44 46 48 410 4300 E 53 55 57 59 5101 F 13 133 135 137 139 13199 Bài 3: Tính tổng: a) A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 + 8.9 98.99 b) B 9.10 10.11 11.12 � c) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng Hướng dẫn giải Nhận xét : Khoảng cách thừa số số hạng dạng Nên ta nhân vế A với lần khoảng cách a) Ta có: A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 + 8.9 1.2 2.3 1 3.4 4.5 5.6 8.9 10 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 � -7.8.9 +8.9.10 8.9.10 720 Vậy A 720 : 240 Ta ý tới đáp số 720 8.9.10 , 8.9 số hạng cuối A 10 số tự nhiên kề sau 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp 98.99 b) Cách 1: B 9.10 10.11 11.12 � Với C 1.2 2.3 � 9.10 10.11 11.12 � 89.99 ta có: C A B � B C A Dễ dàng tính 3C 98.99.100 , theo câu a ta có A 8.9.10 720 Vậy B 98.99.100 8.9.10 323160 Cách 2: 3B 9.10 10.11 11.12 � 98.99 = 9.10(11 8) 10.11(12 9) 11.12(13 10) � 98.99(100 97) = 8.9.10 9.10.11 9.10.11 10.11.12 10.11.12 11.12.13 � 97.98.99 98.99.100 98.99.100 8.9.10 B 98.99.100 8.9.10 323160 c) *Công thức tổng quát: A 1.2 2.3 � n 1 n n 1 n n 1 : * Bài tập vận dụng: Tính tổng A 1.2 2.3 3.4 � 199.200 B 1.3 3.5 5.7 � 97.99 C 2.4 4.6 6.8 � 98.100 D 51.52 52.53 53.54 � 99.100 (Gợi ý: Bài B C khoảng cách thừa số số hạng 2) Hướng dẫn giải câu B B 1.3 3.5 5.7 � 97.99 B 1.3 .6 3.5.6 5.7.6 � 97.99.6 B 1.3.(5 1) 3.5.(7 1) 5.7.(9 3) � 97.99.(101 95) B 1.3.1 1.3.5 1.3.5 3.5.7 3 .5.7 5.7.9 3 � 95.97.99 97.99.101 B 97.99.101 � B 161651 Bài 4: Tính tổng: 2 2 a) A � 99 2 2 b) C � 100 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải 2 2 a) A � 99 Xét B 1.2 2.3 3.4 � 99.100 B 0.1 1.2 2.3 3.4 � 99.100 B � 99 98 100 B 1.1.2 3.3.2 5.5.2 � 99.99.2 B 12 32 52 � 992 A Theo cách giải Bài ta có Vậy B B 99.100.101 99.100.101 12 32 52 � 992 A.2 Vậy ta có: A B 99.100.101 166650 2 2 b) C � 100 Xét D 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 100.101 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 99.100 100.101 3 100 99 101 2.4 4.8 6.12 100.200 2.2.2 2.4.4 2.6.6 2.100.100 = 2.22 2.42 2.62 2.100 2 42 1002 D 22 42 62 1002 2.C Theo cách giải Bài ta có ta có: C D 100.101.102 D 100.101.102 171700 c) * Công thức tổng quát: A 12 32 52 � 2n 1 2n 1 2n 2n : *Công thức tổng quát: C 22 42 62 � 2n 2n 2n 1 2n : * Bài tập vận dụng: Tính tổng M 112 132 152 � 20192 N 202 222 � 482 50 P n n n � n 100 2 ; n ��* Bài 5: Tính tổng: 2 2 a) A � 100 2 2 b) B � 99 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải 2 2 a) A � 100 2 2 Cách 1: A � 100 A 12 32 52 � 992 22 42 62 � 100 Theo kết Bài ta có A 99.100.101 100.101.102 : A 100.101 99 102 : 100.101 2.100 1 : Cách 2: A 12 22 32 � 100 A 1.1 2.2 3.3 4.4 � 100.100 A 1 1 1 � �100 � 100 1 1� � � A 1.2 2.3 3.4 4.5 +100.(100+1) 100 A 1.2 2.3 3.4 4.5 � 100 100 – ( � 100) A 100.101.102 : – 100.101: 100.101 2.100 1 : 2 2 b) B � 99 2 2 Cách 1: B � 99 B 12 32 52 � 992 22 42 62 � 982 B 99.100.101 98.99.100 : B 99.100 98 101 : 99.100 2.99 1 : 2 2 Cách 2: B � 99 B 1.1 2.2 3.3 4.4 � 99.99 B 1 1 1 � �99 � 99 1 1� � � B 1.2 2.3 3.4 4.5 +99.(99+1) 99 B 1.2 2.3 3.4 4.5 � 99 99 – ( � 100) B 99.100.101: – 99.100 : 99.100 101: – 1: 99.100 2.99 1 : c) *Công thức tổng quát: A 1 2 22 32 � n n n 1 2n 1 : * Bài tập vận dụng: Tính tổng M 22 32 42 52 � 999 P 16 25 36 10000 Q 12 22 – 32 � 19 20 Bài 6: Tính tổng: a) A 1.2.3 2.3.4 � 7.8.9 8.9.10 b) B 1.3.5 3.5.7 � 5.7.9 � 95.97.99 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng A Hướng dẫn giải Nhận xét: ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hạng tử có thừa số Ta giải tốn sau : a) A 1.2.3 2.3.4 � 7.8.9 8.9.10 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 5.6.7 6.7.8 7.8.9 8.9.10 4A � 1.2.3 – 2.3.4 –1 � 8.9.10 11 – � � � A 1.2.3.4 – 1.2.3.4 2.3.4.5 – 2.3.4.5 � – 7.8.9.10 8.9.10.11 A 8.9.10.11 Vậy A 8.9.10.11: 1980 : 495 b) B 1.3.5 3.5.7 � 5.7.9 � 95.97.99 B 1.3.5.8 3.5.7.8 5.7.9.8 � 95.97.99.8 B 1.3.5 1 3.5.7 1 5.7.9 11 3 � 95.97.99 101 93 B 1.3.5.7 15 3.5.7.9 1.3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 � 95.97.99.101 93.95.97.99 8B 15 95.97.99.101 c) *Công thức tổng quát: A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 � n –1 n n 1 n 1 n n 1 (n 2) * Bài tập vận dụng: Tính tổng A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 99.100.101 B 9.10.11 99.100.101 C 1.3.5 3.5.7 � 5.7.9 � .2015.2017.2019 D 2.4.6 4.6.8 96.98.100 Bài 7: Tính tổng: a) A 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ � 100³ b) Viết công thức tổng quát cách tính tổng A Hướng dẫn giải Nhận xét: Ta có: n2 – n – 1 n 1 n3 – n n n – 1 n n – 1 n 1 n – 1 n n 1 a) A 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ � 100³ A 13 – 23 – 33 – 43 – 53 – � 1003 –100 � 100 A 2 –1 32 –1 42 –1 � 100 100 –1 � 100 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 � 100 –1 100 100 1 � 100 Theo kết Bài ta có: A (100 1).100.(100 1).(100 2) 100.(100 1) 100(100 1) � � � � 2 � � Theo kết Bài ta có: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 � n –1 n n 1 n 1 n n 1 (n 2) (100 1).100.(100 1).(100 2) 100.(100 1) 100(100 1) � � A � � 2 � � Vậy A n 1 n n 1 n n n 1 � n 1 n � n n 1 � � 2� � A n(n 1) n2 n n( n 1) n (n 1) � n( n 1) � n(n 1) � � 4 � � � n n 1 1 2 3 4 � n Nhận xét Với nên ta có cơng thức tổng quát sau: A 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ � n³ ( � n )² Bài 8: Tính tổng: A 1.22 2.32 3.42 � 99.1002 Hướng dẫn giải A 1.2 1 2.3 1 3.4 1 � 99.100 101 1 1.2.3 1.2 2.3.4 2.3 3.4.5 3.4 � 99.100.101 99.100 1.2.3 2.3.4 � 99.100.101 1.2 2.3 3.4 � 99.100 Áp dụng kiến thức Bài 3, Bài ta có: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 � 1.2 2.3 � Vậy A n n –1 n n 1 n 1 n n 1 (n 2) 1 n n 1 n n 1 : 99.100.101.102 99.100.101 c) Phương pháp dự đoán quy nạp Trong số trường hợp gặp toán dạng tổng hữu hạn S n a1 a2 an Bằng cách ta biết kết (dự đoán, toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp để giải tốn Ví dụ : Tính tổng S n 2n 1 Hướng dẫn giải Thử trực tiếp ta thấy : S1 S2 22 S3 32 Sn n Ta dự đoán Với n 1; 2; 3� ta thấy kết đúng, giả sử với n k ( k �1) ta có: Sk k (2) Ta cần chứng minh S k 1 k 1 (3) Thật ; cộng hai vế (2) với 2k 1 ta có 2k k 2k 1 – 1 k 1 2k 1 k 2k 1 nên ta có (3) tức S k 1 k 1 Theo nguyên lí quy nạp tốn chứng minh Vậy S n 2n 1 n Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học: n(n 1) n(n 1)(2n 1) 12 22 n n(n 1) � � 3 n � � � � 15 25 n5 n n 1 2n 2n –1 12 n Bài tập áp dụng tổng hợp Dạng 1: Tính tổng A 13 – 23 33 – 43 993 –1003 B 12 42 � 100 C 1.32 3.52 5.7 � 97.992 E 1.3 5.7 9.11 � 97.101 G 1.99 3.97 5.95 � 49.51 I 1.992 2.982 3.97 � 49.512 K 22 23 262 263 M 10 13 76 P 1.4 3.6 4.7 n n D F H J 1.99 2.98 3.97 � 49.51 50.50 1 .3.5 – 3.5.7 5.7.9 – 7.9.11 � 97.99.101 1.33 3.53 5.73 � 49.513 10 14 202 L 52 53 599 5100 N 49 64 81 169 với n ��* Dạng 2: Bài 1: Chứng minh : A 22 23 24 220 lũy thừa 22 a, b, B 22 23 260 M 3 ; 7; 15 1991 13 ; 41 c, C M M5 d, D 11 11 11 11 1 100 Bài 2: Cho A .3 n Tìm số tự nhiên n biết A 3 100 Bài 3: Cho M .3 Hỏi : a M có chia hết cho 4, cho 12 khơng ? sao? n b.Tìm số tự nhiên n biết 2M 3 118 119 Bài 4: Cho biểu thức: M � a) Thu gọn biểu thức M b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao? Bài 5: Cho A – – 99 – 100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ? c) A có ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên? ... Đáp số: 98500 Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà 15 nhà đánh số lẻ liên tiếp, biết tổng 15 số nhà dãy phố 915 Hãy cho biết số nhà dãy phố số ? Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật. .. giải Số hạng thứ 2014 dãy số là: 2014 –1 4028 Đáp số: 4028 Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn dãy 2019 ? Phân tích: Như tập số ta có: Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng... Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ; 2014 a, Tính tổng dãy số trên? b, Tìm số hạng thứ 99 dãy? c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số khơng? Vì sao? Bài 3: Tìm tổng số chẵn có chữ số ? Bài 4: Tính tổng 60 số