Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C) A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và mp (Q) Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C) Vì (P) (Q) VTPT P = Q = (A;B;C) PT mp (P) đi qua A và có VTPT P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d Từ (d) VTCP d = (A;B;C)
Để viết pt măt phẳng có cách : Xác định điểm VTPT Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D Vậy sử dụng cách , sử dụng cách r em phân biệt dạng đề sau: Dạng 1: Viết PT mp qua A(x0; y0 ;z0) có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = ⇔ Ax + By + Cz + D = Dạng 2:Viết pt mặt phẳng v qua A(x0; y0 ;z0) // mp (Q) - Từ ptmp(Q) ⇒ VTPT n Q = (A;B;C) v v - Vì (P) // (Q) ⇒ VTPT n P = n Q = (A;B;C) v - PT mp (P) qua A có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mprđi qua A(x0; y0 ;z0) vng góc với đường thẳng d - Từ (d) ⇒ VTCP u d = (A;B;C) r r - Vì (P) vng góc với (d) ⇒ Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C) r ⇒ Viết ptmp (P) qua A có vtpt n P Dạng 4: Viết ptmp qua A ⊥ r (Q) , ⊥ (R) r - Từ pt mp (Q) (R) ⇒ VTPT n Q ; VTPT n R r r r r - Vì (P) ⊥ (Q) ⊥ (R) ⇒ VTPT n P ⊥ nQ n P ⊥ n R r r r ⇒ Chọn n P = [ n Q; n R] r r r - Vậy pt mp (P) qua A có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viếtuu r điuqua ur A,B,C không thẳng hàng uuu r Ptur mp (P) uu r 3uuđiểm - Tính AB , AC a = [ AB , AC ] r r uuu r uuur - PT mp (P) qua A có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmpr (P) qua A,B rvà ⊥ (Q) uuu r uuu r - Tính AB , vtpt n Q tính [ AB , n Q] r uuu r r - Vì A, B ∈ (P) ; (Q) ⊥ (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A ; ⊥ (Q) r r // với dt (d) - Tính VTPT n Q mp (Q); VTCP u d đường thẳng (d) r r - Tính [ u d, n Q] r r r - Vì (P) ⊥ (Q) // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ viết PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) trunguutrực u r AB - Tình trung điểm I ABvà AB uuu r - Mp (P) qua I nhận AB làm VTPT Dạng 9: Viết pt r mp(P) chứa (d) qua A - Tính VTCP u d đường thẳng (d) tìm điểm M∈ (d) r uuuu uuuu r r - Tính AM [ u d, AM ] r r uuuu r - Ptmp (P) qua A có VTPT n P =[ u d, AM ] Dạng 10: Viết pt mpr (P) chứa (d) // ( ∆ ) - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r r - Từ ( ∆ ) ⇒ VTCP u ∆ tính [ u d, u ∆ ] r r r - PT mp (P) qua M có VTPT n = [ u d, u ∆ ] Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) ⊥ (Q) r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r r - Từ (Q) ⇒ VTPT n Q tính [ u d, n Q] r r r - PT mp (P) qua M có VTPT n =[ u d, n Q] Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt mp (Q) , D ≠ DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa r (d) d(A,(P))=h - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A + B2 + C2 >0 r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì (d) nằm (P) ⇒ u d n P=0 (1) - PT mp (p) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) α Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa r (d) hợp với mp (Q)2 2góc ≠ 90 - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A + B + C >0 r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa góc α ≠ 900 r (d) hợp với đt( ∆ )một - Gọi VTPT mp (P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Tính sin ((P),( ∆ )) (2) - Hệ (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 16: Cho A (d) , viết PT mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn - Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' ≠ DQ) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇒ tìm D' - Từ ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r - d(I,(P)) = R − r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' ≠ DQ) - Suy d (I,(P)) (2) ⇒ Giải hệ (1), (2) tìm D' ⇒ viết pt (P) Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r - Gọi VTPT mp (P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ PT mp(P) Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r r r - Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) r - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0, chọn M đường thẳng d =>PT mp (P) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ PT mp(P) Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính nhỏ (áp dụng trường hợp d cắt (S) điểm) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) R − d ( I ,( p )) để r ⇒ d(I,(P)) max - Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK ≤ Ih ( tính chất đường vng góc đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - Bán kính r = uuu r - PT mp(P) qua H v nhn IH lm VTPT phơng trình ®êng th¼ng Có loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố vàr PT ChínhTắc Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) có VTCP u =(a,b,c) PP: phương trình tham số đường thẳng d là: x = x0 + at (d): y = y0 + bt với t ∈ R z = z + ct x − x0 y − y0 z − z0 = = * Chú ý : Nếu a, b, c ≠ (d) có PT tắc a b c * Chú ý: Đây toán Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) cần phải biết yếu tố tọa độ điểm thuộc d toạ độ VTCP d Dạng 2: uuViết u r pt dt(d) qua điểm A,B - Tính AB uuu r - Viết PT đường thăng qua A, nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d)r qua A //với đường thẳng ( ∆ ) - Từ pt( ∆ ) ⇒ VTCP u ∆ r - Viết Pt dt(d) qua A nhận u ∆ làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) qua r A ⊥ (P) - Tìm VTPT mp(P) n P r r - Pt dt(d) qua A Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A u u r vng uur góc với u u r 2uu rdt (d1),(d2) - Từ (d1),(d2) ⇒ VTCPd1, d 2là u1và u => tính [ u1 , u2 ] r uu r uu r - Vì (d) ⊥ (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u1 , u2 ] r uu r uu r - Pt dt(d) qua A có VTCP u d= [ u1 , u2 ] Dạng 6: Viết PT dt (d) giao tuyến mp (P):Ax + By + Cz + D = (Q):A'x + B'y + C'z r+ D'r= - Từ (P) (Q) ⇒ n P , n Q r r - Tính [ n P , n Q] Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ ' ' ' ' A x + B y + C z + D = ⇒ M∈d Chọn nghiệm (x0; y0 ;z0) từ r r r - Pt dt(d) qua M có VTCP u d =[ n P , n Q] Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) I (Q) Cách 2: + Tìm A = d I ( P ) ( áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M∈ d xác định hình chiếu H M lên (P) + Viết phương trình d' qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng d1, d2: Cách : * Viết pt mặt phẳng ( α ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 * Tìm B = (α ) I d * Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : - Viết pt mặt phẳng ( α ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng ( β ) qua điểm B chứa đường thẳng d2 - Đường thẳng cần tìm d = α I β Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 cắt d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P ) I (Q) Dạng 10 : Viết ptđt d qua A vng góc đường thẳng d1 cắt d2 Cách : - Viết pt mp (α ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = (α ) I d - Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : * Viết pt mp (α ) qua A vng góc d1 * Viết pt mp ( β ) qua A chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d = α I β Dạng 11 : Viết ptđt d qua A, song song mp (α ) , cắt đường thẳng d' Cách : - Viết ptmp(P) qua A song song với (α ) - Viết ptmp(Q) qua A chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P ) I (Q) Cách : * Viết ptmp(P) qua A song song với (α ) * Tìm B = ( P ) I d ' * Đường thẳng cần tìm qua điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) cắt đường thẳng d1, d2 cho trước - Tìm giao điểm A=d1 I ( P ) B=d2 I ( P ) - Đường thẳng d qua điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) vng góc với đường thẳng d' giao điểm I (P) d' * Tìm giao điểm I' = d' I ( P ) r r r rr * Tìm VTCP u d' VTPT n (P) tính v = [u,n] r * Viết ptđt d qua I có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vng góc chung d dường thẳng chéo d1, d2 : - Gọi M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d1 , N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d chân đường vng góc chung d1, d2 uuuu rr MN ⊥ d1 MN u1 = ⇒ uuuu ⇒ t, t ' - Ta có hệ rr MN ⊥ d MN u = - Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N ( Với cách em tính thêm khoảng cách MN, độ dài đường vng góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vng góc với mp(P) cắt đường thẳng d1,d2 * Viết ptmp(Q) chứa d1 vng góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 vng góc với mp(P) * Đường thẳng d = (Q) I ( R ) Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d1 - Viết pt mp (α ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = (α ) I d1 - Đường thẳng cần tìm qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc α ∈ (00 ;900 ) (= 300, 450, 600) r * Gọi VTCP d u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr * Vì d ⊥ d1 ⇒ u.u1 = =>phương trình (1) rr u.u Vì cosα = r r => phương trình (2) u u2 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d rr u.u P ( ý : thay giả thiết d tạo với mp(P) góc α ∈ (00 ;900 ) có sinα = r r ) u uP Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc α ∈ (00 ;900 ) r - Gọi VTCP d u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr - Vì d//(P) nên u.n p = => phương trình (1) rr u.u1 - Vì cos (d , d1 ) = r r = cosα nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm r a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u = (a; b; c) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc α ∈ (00 ;900 ) r - Gọi VTCP d u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr - Vì d ∈ (P) nên u.n p = => phương trình (1) rr u.u1 - Vì cos (d , d1 ) = r r = cosα nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìmra,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u = (a; b; c) Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d1 khoảng cách từ M đến d h r * Gọi VTCP d u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr * Vì d ⊥ d1 nên u.n = => phương trình (1) r uuuu r [u , AM ] = h => phương trình (2) r * Vì d ( M , d ) = h ⇒ u *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm r a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u = (a; b; c) Gạo đem vào giã bao đau đớn, Gạo giã xong trắng tựa Sống đời ngời vậy, Gian nan rèn luyện thành công! Hå ChÝ Minh!