I. Ôn tập kiến thức cơ bản: ÔN TẬP 1. 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2 AB2 AC 2 b) BA2 BH .BC; CA2 CH.CB c) AB. AC = BC. AH 1 d) AH 2 1 AB2 1 AC 2 e) BC = 2AM f) sin B b , cosB c , tan B b , cot B c a a c b g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = b = c. tanB = c.cot C 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: b sin B b , cos C Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 2bc.cosA Định lý hàm số Sin: 3. Các công thức tính diện tích. a sin A b sin B c sin C 2R a Công thức tính diện tích tam giác: S 1 a.h 2 = 1 a.b sin C a.b.c 2 4R p.r với p a b c 2 Đặc biệt : ABC vuông ở A : , ABC đều cạnh a: b Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d Diên tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo ngắn) 2 d Diện tích hình thang : S 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 e Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f Diện tích hình tròn : S .R2 ÔN TẬP 2 Thể tích khối đa diện
Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook Thể tích khối đa diện PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ: I Ôn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vng : cho ∆ABC vng A ta có : 2 a) Định lý Pitago : BC = AB + AC 2 b) BA = BH BC; CA = CH.CB c) AB AC = BC AH 1 = d) AC AH + 2 AB e) BC = 2AM b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b cA b C B Ha M b b = cos C , sin B g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: a b = sin sin B A = c sin C = 2R Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c S= a+b+c p.( p a)( p b)( p c) a b sin C = = p.r a với p = = a.h = a2 2 4R S Đặc biệt :* ∆ABC vuông A : S= AB.AC ,* ∆ABC cạnh a: b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π R2 ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Thể tích khối đa diện A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt a/ / phẳng gọi song song với chúng (P)⇔a∩(P)=∅ (P) khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d d không nằm mp(P) d ⊄ (P) song song với đường a d / /a ⇒d / /(P) thẳng a nằm mp(P) (P) a ⊂ (P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a (Q) a/ /(P) a song song với mp(P) ⇒d/ /a mp(Q) chứa a mà cắt a ⊂(Q) d (P)∩(Q) = d mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng (P)∩(Q) = d (P)/ /a ⇒d/ /a (Q)/ /a d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với (P)/ /(Q) ⇔(P)∩(Q) =∅ a,b ⊂(P) a∩b = I ⇒(P)/ /(Q) a/ /(Q),b/ /(Q) P Q P Q a bI Thể tích khối đa diện ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song (P) / /(Q) a ⊂ (P) ⇒ a / /(Q) a P Q R (P) / /(Q) (R) ∩ (P) = a ⇒ a / / b (R) ∩ (Q) = b P a Q b B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi vng góc với a⊥ mp(P) ⇔a⊥ c,″c mặt phẳng vng ⊂(P) góc với đường thẳng c P nằm mặt phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) d ⊥a ,d⊥b a ,b⊂mp(P)⇒d ⊥mp(P) a,b caét d P b a a a⊥ mp(P),b⊂mp(P) b⊥a⇔b⊥a' P a' b §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Thể tích khối đa diện II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Q a ⊥ mp(P) a ⇒ mp(Q) ⊥ mp(P) a ⊂ mp(Q) P (P) ⊥(Q) (P)∩(Q) ⇒a⊥(Q) =d a⊂(P),a ⊥d (P) ⊥ (Q) A ∈(P) ⇒ a ⊂ (P) A ∈a a ⊥ (Q) (P) ∩(Q) = a (P) ⊥ (R) ⇒a ⊥ (R) (Q) ⊥ (R) P a Q d P a A Q Q P a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH O O a H P H Thể tích khối đa diện Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a a' b' b a a' P a P b Q a P b Q Thể tích khối đa diện Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S' = Scosϕ A ϕ góc hai mặt phẳng (P),(P’) C ϕ B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h h B : d ie än t íc h vớih : cđhaiéy àu c a o B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= c b a a a Bh h B : diện tích đáy với h : chiều cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC = VSA ' B ' C ' SA ' SB' SC ' B S C' A' A B' C B Thể tích khối đa diện THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: ( ) A' h V= B + B'+BB' B, B' :3diện tích hai đáy với h : chieàu cao B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , 2 Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b + c , a 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: Nội dung LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ a2 Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng ⇒ AA ' ⊥ AB VAA'B⇒ AA'2 = A' B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ? NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Thể tích khối đa diện Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a 3a ABCD hình vng ⇒ AB = 9a2 Suy B = S = C' D' A' B' 4a 5a C D A ABCD Vậy V = B.h = SABCD4.AA' = 9a3 B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên C' A' B' AI = AB = & AI ⊥ BC ⇒A'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2SA'BC S = BC.A'I ⇒ A'I = = A A'BC AA' ⊥ (ABC) ⇒AA' ⊥ AI BC C VA'AI ⇒ AA' = A'I −AI2 = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp C' D' D' A' B' D A D' D A' A C B A' Giải Theo đề bài, ta có C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm C C' nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V B B' = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn Thể tích khối đa diện 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp C' D' 60 B a a3 = a3 VDD'B ⇒ DD' = BD'2 −BD2 = a a3 Vậy V = S DD' = Theo đề BD' = AC = C D A SABCD = 2SABD = B' A' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a ABCD Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS: a3 ; S = 3a2 V= Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Thể tích khối đa diện Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼BAC = 90o ; ¼ABC = 30o ; SBC tam giác cạnh a (SAB) ⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: a2 V= 24 Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) ⊥ (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: 4h3 V= Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs: a3 V= 36 Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: 4h3 V= Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: a3 V= Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: 8a3 V= Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: a3 V= 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD 3) Dạng : Khối chóp Đs: a3 V= Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên Thể tích khối đa diện S 2a3 a AO = AH = 3 2 = 32 11a2 VSAO ⇒ SO = SA −OA = a 11 ⇒ SO = Vậy V = S a 11 = 2a C A a O H B ABC 3 SO 12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD S C D Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên V ASC vuông S ⇒ OS = O A a B ⇒V = SABCD SO = Vậy V = a3 a a 2 a2 a = 6 Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC) V= ABC DO S 3 a SABC = a , OC = CI 3 = a ∆DOC vng có : DO = DC − OC = 3 ⇒V = a a = a 12 Thể tích khối đa diện b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH a6 MH = DO = D M A C O I H ⇒ VMABC a 3 a a = SABC MH = = a3 24 Vậy V = 1a B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: 3a3 V= Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o a 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = 2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V = a3 Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: a3 V= 24 Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: 60o Tính thể tích hình chóp Đs: h3 V= Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh h3 V= Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ¼ASB = 60o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs: a2 S= 2) Tính thể tích hình chóp Đs: a3 V= Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs: 2h3 V= Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a Thể tích khối đa diện Tính thể tích hình chóp Đs: 8a3 V= Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o Tính thề tích hình chóp Đs: a3 V= 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích V 9a=3 4) Dạng : Đs: AB = 3a Khối chóp & phương pháp tỷ số thể Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , SA vng góc với đáy ABC , SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: = a)Ta có: V S S ABC N C G A M I B S SA SA = a ABC : AC = a ⇒ + ∆ABC cân có AB 2= a a ⇒S = a V = = a a Vậy: SABC ABC b) Gọi I trung điểm BC SG = G trọng tâm,ta có : SI SM 3SN SG = = α // BC ⇒ MN// BC ⇒ = SB SM SN ⇒ = = VSABC SB SC 2a Vậy: VSAMN = VSABC = 27 SC SI VSAMN Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook Thể tích khối đa diện ? Lời giải: a) Tính V D F b) Tacó: ABCD = :V ABCD a3 S CD = ABC AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD) ⇒ AB ⊥ EC a DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD) Ta có: E c) Tính V B C :Ta có: DCEF VDCEF DE DF (*) = VDABC DA DB Mà DE.DA = DC , chia cho DA2 a 2 DE DC a ⇒ DA = DA2 = 2a2 = 2 DF DC a = = = Tương tự: 2 DB DB DC + CB A Từ(*) ⇒ VDCEF DABC V = 1 = V VậyV DCEF 6 = ABCD a3 36 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) V SN 1 + SAND = = ⇒V = V = V S N SANB M D A VSBCD O SADB VSADB SM SD SN2 1 VSBMN = = = ⇒V SC SD 2 SBMN Mà VSABMN = VSANB + VSBMN C Do : VSABMN SABCD VABMN ABCD = V Suy VABMN.ABCD = V B = 41 = SABCD = V SBCD V SABC SABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F 27 NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook Thể tích khối đa diện a) Hảy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I = SO ∩ AM Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD S = b) V M S ABCD E B S = a2 SO với S ABCD ABCD ο + VSOA có : SO = AO tan 60 = I C Vậy : VS ABCD = F O A D a a6 6 c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD SM = Ta có : ⇒ SC ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: VSAMF SM SF SI SF = = = = ⇒ SO SD VSACD SC SD 1 a3 ⇒V = V = V = ⇒ SAMF SACD ⇒ V S AEMF = a 6 = SACD 36 a 36 18 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 28 NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook Thể tích khối đa diện Lời giải: a) Ta có: VS ABCD = S B' C' D' I B A SABCD SA = a 3 b) Ta có BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ (SBC) nên AB' ⊥ SC Tương tự AD' ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AB'D') c) Tính VS AB 'C ' D ' VSAB'C' SB' SC' = (*) +Tính V : Ta có: S AB 'C ' O D C VSABC S C ' SB 1SC = SC 2 2 SB ' SA 2a 2a = = = = Ta có: 2 2 SB SB SA + AB 3a ∆SAC vuông cân nên VSA B ' C ' Từ (*) ⇒ V S A B C = 3 a a ⇒ VSAB 'C ' = = 3 2a + VS AB 'C ' D ' = 2VS AB 'C ' = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính Đs: k = Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC a 2a cho AB = ;AC' = Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs: a3 V= 36 tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3 Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V= NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia a 29 Tài liệu ĐỘC ngày www.facebook.com/NgoNaBook 40 Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3 30 NgoNa Book - Sách ôn thi THPT Quốc Gia Thể tích khối đa diện Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đs: a2 h V= Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA SM cho = Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tỉ số thể tích phần x SA tích Đs: 5) Dạng : −1 x= Ơn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng ο góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: S a)Ta có V = S SA ABCD + SABCD = (2a) = 4a2 H A B 60 o D 2a + ∆SAC có :SA = AC tan C = 2a 8a3 ⇒V = 4a 2a = 3 b) Kẻ MH / / SA ⇒ MH ⊥ (DBC) 1 = S S = MH SA Ta có: , BCD C 12 2a = V= ⇒V MBCD ABCD Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Thể tích khối đa diện Lời giải: Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC suy SE⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ⊥ AC Ta có S¼EH = S¼FH = S¼JH = 60O ⇒ ∆SAH = ∆SFH = ∆SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆ABC ) Ta có SABC = p( p − a)( p − b)( p − c) a+b+c = 9a Nên S = 9.4.3.2 a với p = S J A C 60 H E F ABC Mặt khác SABC = p.r ⇒ r = B Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = Vậy V SABC 26a S p = 26a 3= 22a 3 = 6 a 2 a = a Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ Tính thể tích khối OBB’C’ Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V D M C B' A' C' D' Ta có :V = AB.AD.AA' = a 3.a = a O ∆ABD có :DB = AB + AD = 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao a giống khối hộp nên: ⇒VOA'B'C'D' = V = 3 ⇒OM ⊥(BB'C') b) M trung điểm BC 1 2a a 3a ⇒V = S OM = = OBB'C' BB'C' C’ tứ 12 c) Gọi C’H 3là đường cao3đỉnh diện OBB’C’ Ta có : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' Thể tích khối đa diện ∆ABD có : DB = AB2 + AD2 = 2a ⇒ S OBB = ' a2 ⇒ C ' H = 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích Khối CB’D’C’ có V1= C A' B' 1 a a = a3 63 +Khối lập phương tích: V = a 3 = a − a = a ⇒V C' ACB ' D ' D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I B F C B' A' J C' Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, 1a a a V A' B ' BC = SA' B ' B.CI = = 3 2hai khối CEFA’ 12 b)Khối CA’B’FE: phân CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao V = S A ' A A’A nên SCEF = A 'CEF SABC = CEF a3 16 ⇒ VA'CEF = a3 48 Thể tích khối đa diện +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên V A ' B = CFB' A ' 'CF J S SCFB' = SCBB ' = a a a3 ⇒ V A' B = = 24 'CF a 3 + Vậy : VCA'B'FE = a 16 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = a 12 Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA ⊥ (ABC) A¼CB = 60o, BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: V MABC = a Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh SABCD ¼ A CB = o 90 Tính thể tích khối chóp Đ s: VSABCD = Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: Đs: V = 11 Đs: V = 12 Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o b) AB = 1, SA = Tính VA’ABC theo a? Đs: V = Tính VSABCD Đs: a3 Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o V= Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, a CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính VSABC Đs: V = 12 Thể tích khối đa diện Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB= a mặt phẳng (SAB) vng góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN 3 Đs: v =a S.BMDN Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a Đs : vM.CNP = 96 ... (Q) a/ /(P) a song song với mp(P) ⇒d/ /a mp(Q) chứa a mà cắt a ⊂(Q) d (P)∩(Q) = d mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao... lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp C' D' D' A' B' D A D' D A' A C B A' Giải Theo đề bài, ta có C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm C C' nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm... trụ Tính thể tích hình hộp C' D' 60 B a a3 = a3 VDD'B ⇒ DD' = BD'2 −BD2 = a a3 Vậy V = S DD' = Theo đề BD' = AC = C D A SABCD = 2SABD = B' A' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a ABCD Bài