Đánh giá sai số nội suy và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN XUÂN THÀNH THÁI NGUYÊN, 5/2019 ii Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Khơng gian có tích vơ hướng 1.1.5 Không gian Hilbert 1.2 Đạo hàm suy rộng không gian Sobolev 1.3 Hàm nội suy 13 Chương Đánh giá sai số nội suy 2.1 2.2 16 Hàm nội suy chiều 16 2.1.1 Hàm nội suy số chiều 16 2.1.2 Hàm nội suy tuyến tính chiều 18 2.1.3 Hàm nội suy bậc hai chiều 21 2.1.4 Ví dụ số 26 Hàm nội suy tuyến tính hai chiều 28 iii Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 37 3.1 Bài toán biên elliptic 37 3.2 Phương pháp biến phân 39 3.3 Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Việc nghiên cứu trình tự nhiên thường dẫn đến tốn biên phương trình đạo hàm riêng Giải số tốn yêu cầu quan trọng thực tiễn Một phương pháp hay dùng để giải số (giải gần đúng) phương trình đạo hàm riêng phương pháp phần tử hữu hạn Ý tưởng xấp xỉ nghiệm không gian hữu hạn chiều sinh hàm đa thức (tuyến tính, bậc cao) phần tử hữu hạn (trong đó, phần tử hữu hạn hiểu đoạn thẳng chiều, tam giác hai chiều, tứ diện ba chiều) Mục đích luận văn nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số hàm nội suy tuyến tính (hoặc số, bậc hai) chiều hai chiều đánh giá sai số phương pháp nội suy Cụ thể đánh giá sai số nội suy không gian hàm L2 W Các hàm nội suy tuyến tính dùng để đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung luận văn trình bày ba chương, gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đánh giá sai số nội suy Chương Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Phan Xuân Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Tin, tồn thể thầy trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K11 (khóa 2017-2019), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 11 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hứa Thị Thùy Bông Bảng ký hiệu x Rn chuẩn vectơ x không gian Euclide n-chiều L2 (a, b) khơng gian hàm bình phương khả tích (a, b) Lloc (Ω) không gian hàm khả tích địa phương Ω L∞ (Ω) khơng gian hàm đo bị chặn hầu khắp nơi Ω Wm (Ω) không gian Sobolev cấp m C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn lần có giá compact Ω C(Ω) khơng gian hàm liên tục miền Ω C m (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp m miền Ω eoc estimated order of convergence - ước lượng tốc độ hội tụ uI (x) hàm nội suy (đa thức) hàm u(x) Vh không gian hữu hạn chiều không gian Hilbert V h bước lưới (của phép chia miền) Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức không gian, khái niệm đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev khái niệm hàm số nội suy Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4] 1.1 1.1.1 Các không gian hàm Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Không gian vectơ V trường vô hướng K tập đối tượng, đối tượng gọi vectơ, có xác định hai phép tốn: 1) Phép cộng: ứng cặp phần tử x y thuộc V có cách xác định phần tử thuộc V , viết x + y; 2) Phép nhân với vô hướng: ứng phần tử x ∈ V số k ∈ K có cách xác định phần tử thuộc V , viết kx; cho tính chất sau thỏa mãn: 1/ x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; 2/ x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V ; 3/ Tồn θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V Phần thử θ gọi phần tử “trung hòa” hay phần tử “không” V ; 4/ Với x ∈ V tồn −x ∈ V cho x + (−x) = −x + x = θ Phần tử −x gọi phần tử “đối” x; 5/ k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, 6/ (k + l)x = kx + lx ∀x ∈ V, 7/ k(lx) = (kl)x ∀x ∈ V, 8/ 1x = x, ∀k ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀k, l ∈ K; ∀x ∈ V Tám tính chất gọi tám tiên đề không gian vectơ Chú ý 1.1.2 Sau thường ta xét trường hợp K trường số thực R 1.1.2 Không gian chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Khơng gian chuẩn, cịn gọi khơng gian định chuẩn, không gian vectơ V ứng với phần tử x ∈ V có cách xác định số thực ký hiệu x gọi chuẩn x, thỏa mãn ba tính chất: 1/ x ≥ 0, ∀x ∈ V ; x = ⇔ x = θ; 2/ kx = |k| x , ∀x ∈ V, 3/ x + y ≤ x + y , ∀k ∈ K; ∀x, y ∈ V Ba tính chất gọi ba tiên đề chuẩn vectơ hay không gian chuẩn Tập phần tử không gian vectơ V gọi tập không gian chuẩn V Sự hội tụ Trong không gian chuẩn V xét dãy phần tử {xn } Nói dãy xn hội tụ tới x ∈ V (hay có giới hạn x ∈ V ) dãy số xn − x −→ n −→ ∞, tức ∀ > ∃N : n > N ⇒ xn − x < Khi ta viết xn −→ x n −→ ∞ hay đơn giản xn −→ x Nói dãy xn hội tụ V hay dãy xn hội tụ tồn x ∈ V để xn −→ x 1.1.3 Không gian Banach Cho V không gian chuẩn Xét dãy {xn } ∈ V Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy xn dãy Cauchy với số >0 cho trước tồn số nguyên dương N tương ứng để n, m > N ⇒ xn − xm < Dãy Cauchy có tính chất sau: Mọi dãy Cauchy khơng có q giới hạn Thực vậy, giả sử {xn } ∈ V có hai giới hạn a b với a = b, nghĩa b − a > Khi với = b − a /4 tồn số nguyên N > cho n > N xn − a < b−a , xn − b < b−a Từ b − a = (xn − a) − (xn − b) ta suy b − a < xn − a + xn − b < ⇒ b−a b−a b−a + = 4 b−a < ⇒ b − a < Điều mâu thuẫn với giả thiết b − a > Vậy có b = a, nghĩa dãy Cauchy có giới hạn 39 3.2 Phương pháp biến phân Trước hết ta nêu số định nghĩa sau Cho V không gian Hilbert Định nghĩa 3.2.1 Ta nói α(u, v) dạng song tuyến tính V (hay V × V ánh xạ từ V × V ) tới R, tuyến tính theo u giữ v cố định tuyến tính theo v giữ u cố định, nghĩa ∀u, v, w ∈ V, ∀h, k ∈ R ta có α(ku + hw, v) = kα(u, v) + hα(w, v), α(u, kv + hw) = kα(u, v) + hα(u, w) Định nghĩa 3.2.2 Nói phiếm hàm F (v) tuyến tính F (pu + qv) = pF (u) + qF (v), ∀p, q ∈ R, ∀u, v ∈ V Định nghĩa 3.2.3 Dạng song tuyến tính α(u, v) gọi liên tục hay bị chặn V tồn số dương C2α cho |α(u, v)| ≤ C2α u V v V, ∀u, v ∈ V (3.10) Định nghĩa 3.2.4 Ta nói dạng song tuyến tính α(u, v) có tính V-elliptic tồn số dương C1α cho α(u, u) ≥ C1α u V, ∀u ∈ V (3.11) Định nghĩa 3.2.5 Ta nói dạng tuyến tính L(·) : V → R bị chặn V tồn số dương K cho |L(u)| ≤ K u V, ∀u ∈ V (3.12) Định nghĩa 3.2.6 Ta nói dạng song tuyến tính α(u, v) đối xứng α(u, v) = α(v, u) ∀u, v ∈ V (3.13) 40 Sự tồn nghiệm toán yếu Xét không gian Hilbert V Cho α(u, v) dạng song tuyến V × V Cho L(v) phiếm hàm tuyến tính V Bài tốn yếu phát biểu sau: Tìm hàm u ∈ V cho α(u, v) = L(v) ∀v ∈ V (3.14) Định lý 3.2.7 (Lax - Milgram) Cho α(·, ·) dạng song tuyến tính xác định khơng gian Hilbert V L(·) : V → R dạng tuyến tính Giả sử α(·, ·) bị chặn V -elliptic, L : V → R bị chặn Khi tốn yếu (3.14) có nghiệm u ∈ V Chứng minh (xem [1]) Ta chứng minh định lý Lax-Milgram trường hợp dạng song tuyến α(u, v) đối xứng Theo giả thiết, dạng song tuyến α(u, v) đối xứng V -elliptic nên ta xem tích vơ hướng V , ký hiệu (u, v)α := α(u, v) Tập V với tích vơ hướng chuẩn u α := (u, u)α = α(u, u), ∀u ∈ V (3.15) trở thành không gian Hilbert mới, ký hiệu Vα V Vα hai không gian Hilbert khác tập không gian vectơ V Vì α(u, v) cịn liên tục V nên theo (3.10) (3.13) ta có C1α u V ≤ u α ≤ C2α u V (3.16) C1α , C2α số cho định nghĩa 3.2.3, 3.2.4 Như chuẩn tương đương với chuẩn cũ V Bây L(v) liên tục V , nên ta có số dương K để |L(v)| ≤ K v V (3.17) 41 Kết hợp với (3.16) ta suy K v C1α |L(v)| ≤ (3.18) α nghĩa L(v) liên tục Vα Vậy theo định lý Riesz tồn u0 thuộc Vα để L(v) = (u0 , v)α = α(u0 , v), ∀v ∈ Vα tức tồn u0 ∈ V thỏa mãn ∀v ∈ V α(u0 , v) = L(v), (3.19) Vậy u0 nghiệm (3.14) Bây ta chứng minh tốn yếu (3.9) có nghiệm W01 (a, b) cách áp dụng định lý Lax-Milgram với V = W01 (a, b) Như vậy, ta cần chứng minh: +) Dạng song tuyến tính α(u, v) cho (3.7) bị chặn W01 (a, b)elliptic +) Dạng tuyến tính L(v) cho (3.8) bị chặn Lưu ý từ định nghĩa (3.7), ta dễ thấy dạng song tuyến tính α(u, v) đối xứng, tức α(u, v) = α(v, u) với u, v ∈ W (a, b) Bổ đề 3.2.8 Dạng tuyến tính cho (3.8) bị chặn Chứng minh Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lưu ý v v W (a,b) , ta b |L(v)| = b f (x)v(x)dx ≤ a = f b f (x)dx a L2 (a,b) v L2 (a,b) ≤ f v (x)dx a L2 (a,b) v W (a,b) L2 (a,b) ≤ 42 Bổ đề 3.2.9 Dạng song tuyến tính α(u, v) cho (3.7) bị chặn W01 (a, b)-elliptic Chứng minh Ta chứng minh tính bị chặn Từ (3.7), ta có b |α(u, v)| ≤ b (p|u |.|v | + q|u|.|v|)dx ≤ C1 b |u |.|v |dx + C2 a a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta suy    b b |u |2 dx |α(u, v)| ≤ C1  = C1 u b |v |2 dx + C2  a v ≤ max{C1 , C2 } u + C2 v L2 (a,b) L2 (a,b) ≤ max{C1 , C2 } u = max{C1 , C2 } u W01 (a,b) |v|2 dx a L2 (a,b) v u + u L2 (a,b) + u v L2 (a,b) L2 (a,b)  b |u|2 dx a L2 (a,b) |u|.|v|dx a a L2 (a,b) L2 (a,b) v L2 (a,b) v L2 (a,b) + v L2 (a,b) W01 (a,b) Vậy với u, v ∈ W01 (a, b), ta có |α(u, v)| ≤ C2α u W01 (a,b) v C2α = max{C1 , C2 } W01 (a,b) , (3.20) Vậy α(u, v) bị chặn W01 (a, b) Tiếp theo, ta chứng minh α(u, v) W01 (a, b)-elliptic Từ (3.7) ta lại có b b 2 [p(u ) + qu ]dx ≥ C0 α(u, u) = a b (u )2 dx ≤ (u ) dx ⇒ a a α(u, u) C0 (3.21) Xét u ∈ D(a, b) Khi u(a) = 0, x u(x) = u(a) + x u (t)dt ⇒ |u(x)| ≤ u (t)dt = a b a |u (t)|dt a Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có b |u(x)| ≤ |u (t)|dt a b ≤ (u (t))2 dt (1 )dt = (b − a) (u (t)) dt a b b a a 43 Kết hợp với (3.21) ta có b b |u(x)| dx ≤ b (b − a) a a b 2 |u (t)|2 dt |u (t)| dt dx = (b − a) a a ≤ (b − a) α(u, u) C0 (3.22) Từ (3.21) (3.22), ta b u W01 (a,b) (b − a)2 α(u, u) + α(u, u) [(u ) + u ]dx ≤ C0 C0 + (b − a)2 = α(u, u) C0 = a ⇒α(u, u) ≥ C1α u 2 W01 (a,b) , C1α = C0 , + (b − a)2 (3.23) ∀u ∈ D(a, b) (3.24) Vì D(a, b) trù mật W01 (a, b) nên từ (3.23), ta suy α(u, u) ≥ C1α u W01 (a,b) , ∀u ∈ W01 (a, b) (3.25) Vậy α(u, v) W01 (a, b)-elliptic Suy điều phải chứng minh 3.3 Đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Xét không gian hữu hạn chiều Vh không gian V ≡ W01 (a, b), Vh ⊂ V , dim Vh = N Bài toán xấp xỉ: Tìm uh ∈ Vh cho α(uh , v) = L(v) ∀v ∈ Vh Do uh ∈ Vh dim Vh = N nên Vh = span{ϕi (x), i = 1, , N } N uh (x) = ui ϕi (x), i=1 với ui ∈ R (3.26) 44 Bài toán xấp xỉ (3.26) tương đương với toán tìm vectơ u = (u1 , u2 , , uN ) ∈ RN cho N α = L(ϕj ) ∀j = 1, , N ui ϕi (x), ϕj (x) i=1 Do α(·, ·) tuyến tính nên ta viết lại N α (ϕi , ϕj ) ui = L(ϕj ) ∀j = 1, , N i=1 Đặt ma trận A = (aji )N ×N vectơ F = (fj )N với aji = α(ϕi , ϕj ), fj = L(ϕj ), i, j = 1, , N Bài toán xấp xỉ tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính Au = F (3.27) Với giả thiết α(·, ·) dạng song tuyến tính có tính chất V -elliptic ma trận A ma trận xác định dương Do đó, hệ phương trình tuyến tính (3.27) có nghiệm nhất, tương ứng tốn xấp xỉ (3.26) có nghiệm Trường hợp α(·, ·) đối xứng ma trận A ma trận đối xứng Đánh giá sai số toán yếu (3.14) toán xấp xỉ (3.26) cho bổ đề sau, xem [4] Bổ đề 3.3.1 (Bổ đề Cea) Cho α(·, ·) : V × V → R dạng song tuyến tính bị chặn V -elliptic; L(·) : V → R dạng tuyến tính bị chặn Giả sử u, uh nghiệm toán yếu (3.14) toán xấp xỉ (3.26) Khi ta có đánh giá ổn định uh V ≤ K C1α (3.28) đánh giá sai số u − uh V C2α ≤ α inf u − vh C1 vh ∈Vh V (3.29) 45 số C1α , C2α , K cho tương ứng định nghĩa 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5 Chứng minh Do α(·, ·) V -elliptic L(·) bị chặn, uh ∈ Vh ⊂ V nên C1α uh V ≤ α(uh , uh ) = L(uh ) ≤ K uh V Ta thu bất đẳng thức (3.28) Mặt khác ta có α(u, v) = L(v) ∀v ∈ V α(uh , v) = L(v) ∀v ∈ Vh ⊂ V Lấy v ∈ Vh ⊂ V trừ vế hai đẳng thức ta α(u − uh , v) = ∀v ∈ Vh (3.30) Do α(u, v) V -elliptic nên C1α u − uh V ≤ α(u − uh , u − uh ) = α(u − uh , u − vh ) + α(u − uh , vh − uh ) Vì vh − uh ∈ Vh nên theo (3.30) α(u − uh , vh − uh ) = Suy C1α u − uh V ≤ α(u − uh , u − vh ) Do α(·, ·) bị chặn nên C1α u − uh V ≤ α(u − uh , u − vh ) ≤ C2α u − uh ⇒ u − uh V C2α ≤ α u − vh C1 V V u − vh ∀vh ∈ Vh Vậy u − uh V C2α ≤ α inf u − vh C1 vh ∈Vh V V ∀vh ∈ Vh , 46 Như với việc chọn không gian Vh "xấp xỉ tốt" không gian V , ta đánh giá đại lượng inf vh ∈Vh u − vh V ≤ u − θh V, θh ∈ Vh hàm thích hợp mà xấp xỉ tốt hàm u Không gian Vh thường chọn không gian hàm đa thức phần tử hữu hạn Bậc đa thức bậc (tuyến tính), bậc hai bậc cao Hàm θh chọn hàm nội suy uI hàm u Ở ta xét hai cách xây dựng không gian Vh : i) Vh khơng gian hàm tuyến tính khúc liên tục ii) Vh không gian hàm liên tục, đa thức bậc hai phần tử hữu hạn Trường hợp Vh không gian hàm tuyến tính khúc liên tục Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia xk = a + kh, với bước lưới h = (b − a)/n Ta xây dựng không gian Vh V = W01 (a, b) (2.1) Vh := Vh = span{ϕ1k (x), k = 1, , n},     x = xk ,    ϕ1k (x) = x = x = xk ,      tuyến tính ngược lại Bài tốn xấp xỉ tương ứng tìm hàm uh ∈ Vh cho α(uh , v) = L(v) ∀v ∈ Vh (3.31) 47 Định lý 3.3.2 Giả sử u nghiệm toán yếu (3.9) u ∈ W (a, b), |p (x)| ≤ C3 , a < x < b, với C3 số dương; uh ∈ Vh nghiệm toán xấp xỉ (3.31) Khi ta có đánh giá sai số u − uh W (a,b) ≤ Ch f L2 (a,b) , C số dương (3.32) Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.3 Giả sử u ∈ W (a, b) nghiệm cổ điển toán (3.1)(3.2) |p (x)| ≤ C3 , a < x < b, với C3 số dương Khi tồn số dương C cho u L2 (a,b) ≤C f L2 (a,b) (3.33) Chứng minh Từ tính chất W01 (a, b)-elliptic α(u, v) ta suy u W (a,b) 1 α(u, u) = (f, u)L2 (a,b) C1α C1α 1 ≤ α f L2 (a,b) u L2 (a,b) ≤ α f C1 C1 ≤ L2 (a,b) u W (a,b) Vậy ta có u ≤ f C1α L2 (a,b) (3.34) pu = −p u + qu − f (3.35) W (a,b) Từ (3.1) ta thu ⇒ p|u | ≤ |p |.|u | + |q|.|u| + |f | Từ điều kiện (3.4) ta suy |u | ≤ ⇒ u L2 (a,b) {C3 |u | + C2 |u| + |f |} C0 {C3 u C0 {C3 u ≤ C0 ≤ L2 (a,b) + C2 u L2 (a,b) + f W (a,b) + C2 u W (a,b) + f L2 (a,b) } L2 (a,b) } 48 Áp dụng (3.34) u L2 (a,b) ≤ 1 {(C2 + C3 ) α f C0 C1 L2 (a,b) + f L2 (a,b) } =C f L2 (a,b) , với C= C0 (C2 + C3 ) +1 C1α Bây ta chứng minh định lý 3.3.2 Chứng minh (Định lý 3.3.2) Áp dụng bổ đề 3.3.1 (Bổ đề Cea) ta có u − uh W (a,b) C2α ≤ α inf u − vh C1 vh ∈Vh W (a,b) Với giả thiết u ∈ W (a, b) ta chọn vh (x) = uI (x) ∈ Vh , uI (x) cho (2.2), hàm nội suy tuyến tính hàm u(x) u − uh W (a,b) C2α ≤ α inf u − vh C1 vh ∈Vh W (a,b) C2α ≤ α u − uI C1 W (a,b) Theo định lý 2.1.3 bổ đề 2.1.3 ta có, với u ∈ W (a, b), u − uh W (a,b) C2α ≤ α u − uI C1 W (a,b) C2α √ ≤ α 2h u C1 L2 (a,b) ≤ Ch f L2 (a,b) , C số dương Định lý 3.3.4 Giả sử u nghiệm toán yếu (3.9) u ∈ W (a, b), |p (x)| ≤ C3 , a < x < b, với C3 số dương; uh ∈ Vh nghiệm tốn xấp xỉ (3.31) Khi ta có đánh giá sai số u − uh L2 (a,b) ≤ Ch2 f L2 (a,b) , C số dương (3.36) 49 Chứng minh Đặt F = u − uh , xét toán − (p(x)Φ ) + q(x)Φ = F (x), a < x < b, (3.37) Φ(a) = Φ(b) = (3.38) Đây dạng toán (3.1)-(3.2) với vế phải F = u − uh ∈ L2 (a, b) Do hàm Φ ∈ W01 (a, b) thỏa mãn α(Φ, v) = (F, v), ∀v ∈ W01 (a, b) Thay v = u − uh ∈ W01 (a, b) ta có α(Φ, u − uh ) = (F, u − uh ) = (u − uh , u − uh ), tức (u − uh , u − uh ) = α(Φ, u − uh ) (3.39) Giả sử ΦI ∈ Vh hàm nội suy tuyến tính hàm Φ, N Φ(xi )ϕi (x) ∈ Vh ΦI (x) := i=1 Theo tính chất (3.30) α(u − uh , ΦI ) = Do (3.39) viết lại (u − uh , u − uh ) = α(Φ, u − uh ) − α(u − uh , ΦI ) = α(Φ − ΦI , u − uh ) Do α(·, ·) bị chặn nên u − uh L2 (a,b) = α(Φ − ΦI , u − uh ) ≤ C2α Φ − ΦI W (a,b) u − uh W (a,b) Theo định lý 3.3.2 u − uh W (a,b) ≤ Ch f L2 (a,b) (3.40) 50 Sử dụng đánh giá sai số nội suy tuyến tính hàm Φ (Định lý 2.1.3) bổ đề 3.3.3, tồn số C1 cho √ √ Φ−ΦI W (a,b) ≤ 2h Φ L2 (a,b) ≤ 2C1 h F L2 (a,b) = √ 2C1 h u−uh L2 (a,b) Suy u − uh L2 (a,b) ≤ C2α Φ − ΦI W (a,b) u − uh W (a,b) , √ ≤ C2α 2C1 h u − uh L2 (a,b) Ch f L2 (a,b) Vậy u − uh L2 (a,b) ≤ √ 2C2α C1 Ch2 f L2 (a,b) Trường hợp Vh không gian hàm bậc hai khúc liên tục Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia xk = a + kh, với bước lưới h = (b − a)/n Ta xây dựng không gian Sh V = W01 (a, b) (2.8) Sh := span{ϕ1k (x), ψl (x)},     x = xk ,    ϕ1k (x) = x = x = xk ,      tuyến tính ngược lại,     (x − x )(x +1 − x) x ∈ [x , x +1 ], ψ (x) = h   0 x ∈ / [x , x +1 ] Bài tốn xấp xỉ tương ứng tìm hàm uh ∈ Sh cho α(uh , v) = L(v) ∀v ∈ Sh (3.41) 51 Định lý 3.3.5 Giả sử u nghiệm toán yếu (3.9) u ∈ W (a, b); uh ∈ Sh nghiệm tốn xấp xỉ (3.41) Khi ta có đánh giá sai số u − uh W (a,b) ≤ Ch2 u L2 (a,b) , C số dương (3.42) Chứng minh Theo bổ đề 3.3.1 (Bổ đề Cea) ta có u − uh W (a,b) C2α ≤ α inf u − vh C1 vh ∈Sh W (a,b) Với giả thiết u ∈ W (a, b) ta chọn vh (x) = uI (x) ∈ Sh ⊂ W01 (a, b), uI (x) cho (2.11), hàm nội suy bậc hai hàm u(x) u − uh W (a,b) ≤ C2α inf u − vh C1α vh ∈Sh W (a,b) ≤ C2α u − uI C1α W (a,b) Theo định lý 2.1.4, với u ∈ W (a, b), u − uh C = W (a,b) ≤ C2α u − uI C1α W (a,b) ≤ Ch2 u L2 (a,b) , C2α C số dương C1α Nhận xét 3.3.6 Như với việc chọn khơng gian Vh khác nhau, ta có tốc độ hội tụ sai số theo chuẩn W (a, b) khác Cụ thể nghiệm xấp xỉ uh tìm khơng gian Vh hàm tuyến tính liên tục khúc ta có tốc độ hội tụ sai số theo chuẩn W (a, b) O(h) (đánh giá (3.32)); cịn tìm nghiệm xấp xỉ uh không gian Sh hàm bậc hai khúc liên tục ta thu tốc độ hội tụ bậc hai O(h2 ) (đánh giá (3.42)) 52 Kết luận Nội dung luận văn đề cập đến việc đánh giá sai số nội suy ứng dụng Các kết luận văn gồm có: +) Trình bày kiến thức không gian hàm: Không gian vectơ, không gian chuẩn, không gian Banach, Hilbert không gian có tích vơ hướng +) Trình bày đạo hàm suy rộng khơng gian Sobolev, số ví dụ không gian hàm hàm nội suy +) Đánh giá sai số nội suy hàm nội suy số chiều, hàm nội suy tuyến tính chiều, hàm nội suy bậc hai chiều hàm nội suy tuyến tính hai chiều +) Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn giải toán biên elliptic chiều +) Chứng minh tồn nghiệm suy rộng tốn yếu +) Tìm nghiệm xấp xỉ phương pháp phần tử hữu hạn chứng minh đánh giá sai số 53 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, NXB KHKT, Hà Nội, 2002 Tiếng Anh [2] Claes Johnson, Numerical solutions of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, Cambridge, 1987 [3] Martin H Schultz, Spline Analysis, Prentice-Hall, London, 1973 [4] Steinbach O Numerical approximation methods for elliptic boundary value problems Finite and Boundary Elements, Springer, New York, 2008 ... L2 (a,b) Ví dụ số Trong mục trình bày ví dụ số để minh họa đánh giá sai số nội suy trường hợp chiều, gồm nội suy số, nội suy tuyến tính nội suy bậc hai Theo đánh giá sai số nội suy theo chuẩn... Mục đính luận văn chứng minh đánh giá sai số hàm nội suy không gian khác nhau, tức đánh giá sai số u − uI Đó nội dung chương luận văn Để chứng minh đánh giá sai số ta cần sử dụng khai triển Taylor... u(n+1) (x + ty; y)dt 16 Chương Đánh giá sai số nội suy Nội dung chương trình bày hàm số nội suy chiều hàm số nội suy tuyến tính hai chiều 2.1 Hàm nội suy chiều Cho hàm số u(x) xác định đoạn [a, b]