Điện tích và điện trường 2

Điện tích và điện trường 1 Điện tích 1.1 Tính chất của điện tích Điện tích là một tính chất nội tại của vật chất, giống như khối lượng vậy. Tuy nhiên, thông thường chúng ta không thấy ảnh hưởng của điện tích, vì trong vật chất có hai loại điện tích dương và âm với số lượng bằng nhau, ta nói vật ở trạng thái trung hòa điện. Chỉ khi nào có sự mất cân bằng giữa hai loại điện tích trong một vật thì tính chất điện của vật đó mới thể hiện ra. Nếu số lượng điện tích dương trội hơn thì vật tích điện dương, còn nếu số lượng điện tích âm trội hơn thì vật mang điện tích âm. Điện tích âm trong vật chất có nguồn gốc từ các electron, còn điện tích dương thì do các proton trong hạt nhân nguyên tử. Electron có điện tích bằng –e (e = 1,60 × 10 -19 C), còn proton có điện tích bằng +e, do đó điện tích của một vật bao giờ cũng là một bội số của e: điện tích của vật chất bị lượng tử hóa. Trong một số vật chất như kim loại, nước, cơ thể con người, các electron có thể di chuyển tương đối tự do, đó là các vật dẫn. Ngược lại, electron trong các chất như thủy tinh, nước tinh khiết, nhựa không thể di chuyển tự do, đó là các chất cách điện. Để tích điện một vật trung hòa, người ta có thể cọ xát nó với một vật khác. Do cọ xát các electron bị tách rời và dịch chuyển giữa hai vật, vật nào mất electron thì sẽ tích điện dương, còn vật nào có thêm electron thì sẽ tích điện âm. 1.2 Lực giữa hai điện tích điểm - Định luật Coulomb Lực tương tác giữa các điện tích được gọi là lực tĩnh điện. Các điện tích trái dấu thì hút nhau, và ngược dấu thì đẩy nhau. Định luật Coulomb cho biết lực tĩnh điện giữa hai điện tích điểm q 1 , q 2 có phương nằm trên đường nối liền hai điện tích, tỷ lệ với độ lớn hai điện tích và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r giữa chúng: 2 21 r qq kF = trong đó 229 0 /CN.m1099,841 ×== πε k , với 2212 0 /N.mC1085,8 − ×= ε , ε 0 được gọi là hằng số điện. Tất cả những tính chất trên được thể hiện trong một công thức duy nhất nếu chúng ta dùng cách viết vectơ, theo đó thì lực do điện tích q 1 tác động lên điện tích q 2 là: r r qq kF   3 21 = trong đó r  là vectơ nối từ q 1 đến q 2 (xem Hình 1). © Lê Quang Nguyên 2005 1 Điện tích và điện trường Hình 1. (a) Hai điện tích cùng dấu, lực F cùng chiều với r. (b) Hai điện tích trái dấu, lực F ngược chiều với r. 2 Điện trường 2.1 Cường độ điện trường Mỗi hệ điện tích đều tạo ra quanh mình một điện trường, là một khoảng không gian trong đó tại mỗi điểm có một vectơ cường độ điện trường E  (gọi tắt là điện trường) xác định. Để định điện trường ở một vị trí nào đó, người ta đặt vào đó một điện tích điểm q 0 , gọi là điện tích thử. Điện trường là tỷ số giữa lực do hệ điện tích tác động lên điện tích thử q 0 với chính q 0 : 0 qFE  = Như vậy, khi đặt một điện tích điểm q 0 trong một điện trường thì lực do điện trường tác động lên điện tích điểm q 0 là: EqF  0 = với E  là điện trường tại vị trí đặt q 0 . 2.2 Điện trường của một điện tích điểm Dùng định luật Coulomb ta suy ra điện trường do một điện tích điểm q tạo ra ở vị trí r  quanh nó: r r q kE   3 = Từ đây ta nhận xét là điện trường của một điện tích dương luôn luôn hướng từ điện tích đó ra ngoài, còn điện trường của một điện tích âm thì hướng về điện tích đó (xem Hình 2). Độ lớn điện trường do điện tích điểm q tạo ra ở khoảng cách r là: 2 r q kE = © Lê Quang Nguyên 2005 q 1 q 2 F r q 1 q 2 F r (a) (b) 2 Điện tích và điện trường Hình 2. Điện trường của một điện tích điểm (a) dương, (b) âm. Điện trường có độ lớn như nhau tại các điểm nằm trên một mặt cầu có tâm đặt tại điện tích điểm. 2.3 Điện trường của một hệ điện tích điểm - Nguyên lý chồng chất điện trường Để tìm điện trường của một hệ điện tích điểm, chúng ta cộng vectơ điện trường của tất cả các điện tích điểm thuộc hệ - đó là nguyên lý chồng chất điện trường. 3 Bài tập áp dụng 3.1 Bài tập 1 Hai điện tích điểm q và 2q đặt cách nhau 10 cm. M là một điểm nằm trên đường nối dài hai điện tích và cách q một đoạn r. Tìm r để điện trường tổng hợp tại M triệt tiêu. Trả lời Trước hết ta nhận xét là cả hai điện tích cùng dấu nên điện trường của chúng ở một điểm M nằm trên đường nối liền và trong hai điện tích thì ngược chiều nhau, do đó có thể cho điện trường tổng hợp bằng không. Hình 3 minh họa điều đó khi q dương. Hình 3 Gọi d là khoảng cách giữa hai điện tích, độ lớn điện trường do chúng tạo ra ở M lần lượt là: ( ) 2 2 2 1 2 rd q kE r q kE − = = Độ lớn của điện trường toàn phần tại M là: ( )         − −=−= 22 21 21 rd r qkEEE © Lê Quang Nguyên 2005 (a) E (b) E E 1 E 2 2q q r 3 Điện tích và điện trường Đặt E = 0 ta có ( ) ( ) ( ) 0222 2 2 =+−−+=−− drrdrrrdr , suy ra ( ) cm1,421 =+= dr . 3.2 Bài tập 2 Ở mỗi đỉnh của một hình vuông có một điện tích điểm dương tự do q. Hỏi phải đặt thêm điện tích điểm q 0 bằng bao nhiêu vào tâm hình vuông để hệ điện tích đứng yên? Trả lời Để cho hệ điện tích đứng yên thì lực tổng hợp tác động lên mỗi điện tích trong hệ đều bằng không. Do tính chất đối xứng của hệ nên lực tác động lên q 0 luôn triệt tiêu, và lực tác động lên mỗi điện tích q đều như nhau. Vì thế chỉ còn phải phân tích lực tác động lên một điện tích q và đặt lực đó bằng không là tìm được điều kiện cân bằng cho cả hệ. Trước hết ta phân tích lực do ba điện tích trên ba đỉnh kia tác động lên q. Gọi a là cạnh của hình vuông ta có độ lớn của ba lực này: 2 2 2 2 2 31 2a q kF a q kFF = == Do tính chất đối xứng của hệ nên lực tổng hợp của ba lực trên có phương nằm trên đường chéo đi qua q, ngoài ra vì chúng đẩy nhau nên lực này hướng ra ngoài hình vuông (xem Hình 4). Độ lớn của lực tổng hợp này là: ( ) 221 2 45cos2 2 2 12 +=°+= a q kFFF Hình 4 Để tạo ra một lực cân bằng với lực trên q 0 phải âm. Nó tác động một lực hút có phương nằm trên đường chéo đi qua q và có độ lớn: ( ) 2 0 2 0 2 22 a qq k a qq kF −== ′ © Lê Quang Nguyên 2005 F 1 F 2 F 3 F ’ q q 0 4 Điện tích và điện trường Đặt FF ′ = ta suy ra 4 221 0 + −= qq . 3.3 Bài tập 3 Một thanh tích điện đều được đặt trong một điện trường đều.Khi thanh nằm song song với điện trường thì lực điện tác dụng lên thanh có độ lớn là F 1 . Khi thanh nằm vuông góc với điện trường thì lực tác dụng lên thanh có độ lớn là F 2 . Hãy so sánh F 1 và F 2 . Trả lời Thanh tích điện không phải là một điện tích điểm nên chúng ta không thể tính lực tác động lên thanh bằng cách lấy điện tích của thanh nhân với điện trường được. Cách làm thông thường khi gặp một vật tích điện lớn là chia nhỏ vật ấy ra thành nhiều phần nhỏ, nhỏ đến mức có thể coi là điện tích điểm, rồi sau đó áp dụng các công thức của điện tích điểm. Gọi Q là điện tích của thanh, L là chiều dài thanh và E là cường độ điện trường. Chia thanh tích điện làm nhiều đoạn rất nhỏ, mỗi đoạn có chiều dài là dx (chiều dài vi phân), có điện tích là dQ = λdx, với λ là mật độ điện tích trên một đơn vị chiều dài của thanh (λ = Q/L) (xem Hình 5). Mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi là một điện tích điểm. Vì điện trường là đều nên trong cả hai trường hợp, khi thanh song song hay vuông góc với E, lực tác động lên một đoạn nhỏ đều có độ lớn: dx L QE EdQdF =⋅= Để tìm lực điện trường tác động lên thanh chúng ta lấy tổng của lực điện tác động lên tất cả các phần nhỏ của thanh, tức là lấy tích phân của dF khi x thay đổi trên suốt chiều dài thanh: QEdx L QE dFF LLx x === ∫∫ = = 00 Tóm lại trong cả hai trường hợp, dù thanh song song hay vuông góc với điện trường, thì lực điện trên thanh cũng không thay đổi và bằng điện tích của thanh nhân với điện trường. Hình 5. Lực điện tác động lên một phần nhỏ của thanh tích điện khi thanh nằm (a) vuông góc, (b) song song với điện trường đều. Giả sử điện tích thanh là dương. © Lê Quang Nguyên 2005 E dF x dx (a) E dF x dx (b) 5 Điện tích và điện trường 3.4 Bài tập 4 Một thanh thẳng AB có chiều dài a được tích điện đều với mật độ là λ. Tìm độ lớn điện trường tại một điểm M nằm trên đường nối dài của thanh, cách đầu B một đoạn b. Trả lời Hình 6 Chọn trục x trùng với đường nối dài qua thanh, có gốc đặt tại A và chiều dương hướng tới M. Chia thanh AB làm nhiều đoạn vi phân, mỗi đoạn có chiều dài dx, điện tích dq = λdx, và có vị trí là x (xem Hình 6). Điện trường do dq tạo ra ở M có độ lớn bằng: ( ) 22 xba dx k r dq kdE −+ == λ Điện trường vi phân trên đây có phương nằm trên trục x, vì vậy điện trường tổng hợp cũng thế, nó có độ lớn cho bởi: ( )       + −=       −+ = −+ == ∫∫ bab k xba k xba dx kdEE a a 111 0 0 2 λλλ 3.5 Bài tập 5 Một vành tròn bán kính R được tích điện đều với mật độ điện tích dài là λ. Vành tròn này nằm trong mặt phẳng xy. Tìm điện trường tại một điểm M nằm trên trục z, cách mặt phẳng xy một khoảng bằng a. Hình 7. (a) Điện trường do một phần nhỏ của vành tạo ra tại một điểm trên trục z. (b) Hai phần tử vi phân đối xứng qua trục z tạo ra hai điện trường đối xứng, do đó điện trường tổng hợp của chúng nằm trên trục z. © Lê Quang Nguyên 2005 x a+b-x dE dx ds R ds a r dE α z R a r dE (a) (b) α 6 Điện tích và điện trường Trả lời Chia vành tròn làm nhiều phần nhỏ vi phân, mỗi phần có chiều dài là ds, điện tích dq = λds (như trên Hình 7(a)). Giả sử λ dương, điện trường do một phần nhỏ như vậy tạo ra ở M có độ lớn: 2 r ds kdE λ = Do tính chất đối xứng của vành tròn, ứng với mỗi đoạn ds đều có một đoạn giống hệt đối xứng với nó qua trục z, điện trường của chúng cũng đối xứng qua trục z (Hình 7(b)). Vì vậy điện trường toàn phần tại M sẽ hướng theo chiều dương của trục z và có độ lớn cho bởi: R r kds r kdEdEE z π αλαλ α 2 coscos cos 22 ==== ∫∫∫ Thay ra = α cos và 222 aRr += ta thu được: ( ) 2 3 22 2 aR a RkE + = λπ Nếu vành tích điện âm (λ < 0) thì điện trường sẽ hướng theo chiều âm của trục z. 3.6 Bài tập 6 Một đĩa tròn bán kính R được tích điện đều với mật độ điện tích là σ. Vành tròn này nằm trong mặt phẳng xy. Tìm điện trường tại một điểm M nằm trên trục z, cách mặt phẳng xy một khoảng bằng a. Hình 8 Trả lời Các bạn có thể làm theo cách bình thường là chia đĩa ra thành nhiều phần vi phân để có thể coi như điện tích điểm . Ở đây tôi muốn giới thiệu một cách khác, nhằm sử dụng kết quả của bài tập 5. Giả sử đĩa tích điện dương, chúng ta hãy chia đĩa tròn thành nhiều vành, mỗi vành có bán kính là r và bề dày là dr (xem Hình 8). Mỗi vành có diện tích là 2 π rdr, do đó có điện tích là σ2 π rdr và mật độ điện tích dài là λ = σ2 π rdr / 2 π r = σdr. Theo bài tập 5, mỗi vành như thế, có bán kính r, và có mật độ điện tích dài λ = σdr, tạo ra tại M một điện trường nằm trên trục z, có độ lớn: © Lê Quang Nguyên 2005 r dr λ = σ dr 7 Điện tích và điện trường ( ) ( ) 2 3 22 2 3 22 22 ar rdr ak ar a rkdE + = + = σπλπ Điện trường toàn phần là tổng của các điện trường do các vành như trên tạo ra, nên cũng có phương là trục z và có độ lớn cho bởi: ( )         + −=         + −= + == ∫∫ 22 0 22 0 2 3 22 12 1 22 aR a k ar ak ar rdr akdEE R R σπσπσπ Đặc biệt, khi bán kính R tiến tới vô cùng, tức là khi đĩa trở thành một bản phẳng vô hạn tích điện đều, thì điện trường tiến tới: 0 2 2 ε σ σπ == kE © Lê Quang Nguyên 2005 8 Điện tích và điện trường 4 Tóm tắt Điện tích bị lượng tử hóa: q = Ne, với N là một số nguyên đại số, còn e là điện tích cơ sở, e = 1,6 × 10 -19 C. Vật mang điện do có sự mất cân bằng giữa lượng điện tích âm và dương trong nó. Lực do điện tích điểm q 1 tác động lên điện tích điểm q 2 ở cách nó một khoảng r: r r qq kF   3 21 = trong đó r  là vectơ nối từ q 1 đến q 2 . Lực do điện trường tác động lên điện tích điểm q 0 là: EqF  0 = với E  là điện trường tại vị trí đặt q 0 . Điện trường do một điện tích điểm q tạo ra ở vị trí r  quanh nó: r r q kE   3 = Để tìm điện trường của một hệ điện tích điểm, chúng ta cộng vectơ điện trường của tất cả các điện tích điểm thuộc hệ. © Lê Quang Nguyên 2005 9 . Nguyên 20 05 r dr λ = σ dr 7 Điện tích và điện trường ( ) ( ) 2 3 22 2 3 22 22 ar rdr ak ar a rkdE + = + = σπλπ Điện trường toàn phần là tổng của các điện trường.  − −=−= 22 21 21 rd r qkEEE © Lê Quang Nguyên 20 05 (a) E (b) E E 1 E 2 2q q r 3 Điện tích và điện trường Đặt E = 0 ta có ( ) ( ) ( ) 022 2 2 2 =+−−+=−−