Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin 1 − 1 x . Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √ 2x − x 2 , y = √ 2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy). Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I = Z 1 0 1 (x + 1)√ x arctan x α dx. Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1 2 . Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e −2x − 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = 5 4 , y0 (0) = 9 2Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin 1 − 1 x . Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √ 2x − x 2 , y = √ 2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy). Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I = Z 1 0 1 (x + 1)√ x arctan x α dx. Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1 2 . Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e −2x − 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = 5 4 , y0 (0) = 9 2
Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu x √ √ Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y = 2x − x2 , y = 2x, ≤ x ≤ Tính diện tích bề mặt vật thể tạo miền D quay xung quanh trục Ox (Kể đáy) Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin − 1 dx (x + 1) x arctan xα √ Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ I = Câu : Tính giá trị tích phân câu α = Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y = 2e−2x − sin 2x + cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = , y (0) = Câu : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối Người ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch đưa ngồi với tốc độ 12 lít/phút a/ Hãy xác định thể tích dung dịch bể chứa sau t phút b/ Gọi y(t) số kilogram muối lại thùng sau t phút, xác định nồng độ muối bể sau t phút theo t y(t) c/ Chứng minh lượng muối bể sau t phút nghiệm phương trình vi 12y với điều kiện đầu y(0) = 50 phân: y = 0.05 − 2000 − 2t d/ Tìm y(t), từ tính lượng muối lại thùng sau 10 phút Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA 1 Câu MXĐ : −1 ≤ − ≤ ⇔ x ≥ x f (x) = − √ , f (x) = ⇔ x = (0.25đ) x 2x − TCX : y = x − π/2 (0.25đ) BBT (0.5đ) x y y + π +∞ − + +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TCX sai BBT khơng có hay sai TCX: tối đa 0.75đ Câu S1 = 2π √ 2x + S2 = 2π √ √ 1 dx = 2π 3− 2x 2x − x2 1+ = 8.8874(0.25đ+0.25đ) (1 − x)2 dx = 2π = 6.2832 (0.25đ+0.25đ)(Có thể dùng 2x − x2 cơng thức hình học để tính) √ S3 = 2π − π = π(diện tích hình vành khăn, R1 = 1, R2 = 2)(0.5đ) √ S = 2π 3+ = 18.2132(0.5đ) a Câu TH1 : α ≤ 0, ≤ f (x) ∼ √ , x → 0+ : Hội tụ (0.5đ) x 1+α TH2 : α > 0, ≤ f (x) ∼ 1+α , I hội tụ ⇔ < 1, α > ⇔ ≤ α ≤ (0.5đ) x Câu I = I = √ dx (x + 1) x arctan x √ dt Đặt t = arctan x ⇒ dx = √ (0.5đ) x(1 + x) π dt √ √ √ (0.5đ)= t|0π/4 = π (0.5đ) Chú ý: Có thể đổi biến khác nhau, I = t đến tpxđ cuối ĐÚNG:(tối đa 1đ) Câu ptđt k + = ⇔ k = ±2i; y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x (0.5đ) yr = Ae−2x + x(B cos 2x + C sin 2x) (0.5đ) A = , B = 1, C = −2x → yT Q = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e + x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ) Thay điều kiện đầu: C1 = 1, C2 = (0.5đ) Câu a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ) y(t) b/ Nồng độ muối sau t phút : (kg/lít) (0.25đ) V (t) c/ Tốc độ thay đổi lượng muối bể y (t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muối (0.25đ) d/ y(t) = 10−2 (1000 − t) + C ∗ (1000 − t)6 (0.5đ) C = ∗ 10−17 (0.25đ) y(10) = 47, 56kg (0.5đ) Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu xe x , x > Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 ,x ≤ x3 − Câu : Cho miền D giới hạn y ≥ 0, x2 + y ≤ 2, x2 + y ≥ 2y Tính thể tích vật thể tạo tròn xoay tạo quay miền D quanh trục Oy +∞ Câu : Tính tích phân I = x dx − x2 +∞ Câu : Tìm tất số thực α > để tích phân I = Câu : Giải hệ phương trình x (t) = −2x + 5y + e3t y (t) = 2x + y + 8e3t xα − lnα (1 + x) dx HỘI TỤ (x3 + arctan x2 )α Câu : Khi pha 300 lít dung dịch thùng để sản xuất, người cho nhầm bao 10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch cách cho nước tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy với tốc độ lít / phút liên tục đến lượng hóa chất thùng kg 1/ Nếu gọi y(t) số kilogram hóa chất có thùng sau t phút tỉ lệ hóa chất thùng sau t phút bao nhiêu? y(0) bao nhiêu? 2/ Tốc độ thay đổi tỉ lệ hóa chất thùng thời điểm t0 y (t0 ) tính cơng thức nào? y 3/ Chứng minh hàm y(t) nghiệm phương trình vi phân y (t) = − với điều 60 kiện đầu y(0) = 10 Tìm y(t)? 4/ Sau phút lượng hóa chất thùng đạt yêu cầu 5kg? Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA √ Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y = : x = − 2, x = 1(0.25đ) TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d) BBT (0.5đ) √ −∞ −32 +∞ x y − 0√ + − + y − 0| + ∞ e +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TC sai BBT: tối đa 0.75đ Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay √ Oy pt chẵn với x nên cần tính nửa bên phải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), ( 2, 0) hoặc√ vẽ hình (0.5d) √ √ x − − x dx + 2π Vy = 2π x − x2 dx(0.5d) = π(0.5d) 1 +∞ 1 −dt −dt √ √ √ √ dx (0.5d)= + dx+ (0.5đ) Câu 3: I = 2 x x2 − 4t2 − 1 − 4t x 4−x 2 √ √ π 1 1 2 I = ln 2t + 4t − | + arcsin 2t|0 (0.5d)= ln + + ≈ 1, 444 (0.5d) 2 2 Câu 4: I = +∞ f (x)dx + f (x)dx = I1 + I2 α α+1 x x2α α > nên I1 HT ↔ α < 2(0.5d) α xα−1 x 1 Khi x → +∞ : f ∼ 3α = 2α > nên I2 HT ↔> x x Vậy HT ↔ < α < 2(0.5d) Khi x → 0+ : f ∼ = x + x − 12x = 42e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t (0.5d) → y + y − 12y = 42e3t y = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t (0.5d) → (0.5d) 3t −4t 3t y = C1 e + C2 e + 6te x = C e3t − C e−4t + 6te3t − e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t Nghiệm pt 2 y = C1 e3t − C2 e−4t + 6te3t + e3t y = C e3t + C e−4t + 6te3t Câu 5: Khử hàm: y(t) , y(0) = 10 (0.5d) 300 y 2/y (t) = − (0.5d) 300 −t 3/y = 10e 60 (0.5d) 4/y = ↔ t = 60 ln ≈ 42 (phút) (0.5d) Câu 6: 1/Tỉ lệ: (0 ... Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GI I TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Th i gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng t i liệu xe x , x > Câu : Khảo sát... bao nhiêu? y(0) bao nhiêu? 2/ Tốc độ thay đ i tỉ lệ hóa chất thùng th i i m t0 y (t0 ) tính cơng thức nào? y 3/ Chứng minh hàm y(t) nghiệm phương trình vi phân y (t) = − v i i u 60 kiện đầu... Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn i m Kết luận cực trị TC sai BBT: t i đa 0.75đ Câu 2: Miền D đ i xứng qua trục quay √ Oy pt chẵn v i x nên cần tính nửa bên ph i, giao i m:(0, 0), (1, 1),