Hình 9 chương 2 2018 2019

BÀI TẬP HÌNH CHƯƠNG Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn, H chân đường vng góc kẻ từ M đến AB Vẽ đường (M;MH) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D tiếp điểm khác H) a) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng CD tiếp tuyến (O) b) Chứng minh: Khi M di chuyển AB tổng AC + BD không đổi c) Giả sử CD AB cắt I Chứng minh: OH.OI không đổi Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F chân đường cao đường vng góc kẻ từ A, B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) CE = CF b) AC tia phân giác c) · BAE CH = AE.BF Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Từ M điểm nửa đường tròn (O) (M khơng điểm cung AB) vẽ tiếp tuyến cắt Ax, By điểm C, D a) Chứng tỏ AC + BD = CD b) Chứng minh tam giác COD vuông c) Tia BM cắt Ax P, tia AM cắt By Q Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a) Chứng minh rằng: MC = MD b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C, D a) Chứng minh đường đường kính CD tiếp xúc AB b) Gọi E giao điểm BC AD ME cắt AB H c) Chứng minh: E trung điểm đoạn MH d) Tìm vị trí M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ e) Tìm vị trí C, D để hình thang ABDC có chu vi 14cm, biết AB = 4cm Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn (AM < BM) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax, By C D a) Tính số đo góc COD b) Chứng minh đường có đường kính CD tiếp xúc với AB Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R Từ C D kẻ tiếp tuyến Cx Dy phía nửa đường tròn Từ điểm E nửa đường tròn (E khác C D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Cx Dy A B a) Chứng minh: AB = AC + BD b) Chứng minh tam giác AOB tam giác vuông c) Gọi F giao điểm AD BC Chứng minh: EF.AB = AC.BD Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, E điểm tùy ý nửa ≠ đường tròn (E A, B) Kẻ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua E kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By M N a) Chứng minh MN = AM + BN b) Chứng minh AM.BN = · MON = 90o R2 c) OM cắt AE P, ON cắt BE Q Chứng minh PQ không đổi E chuyển động nửa đường tròn Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm tùy ý ( M ≠ A, B ) nửa đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D a) Chứng minh CD = AC + BD b) Chứng minh tam giác COD tam giác vuông c) Chứng minh AC.BD = R2 d) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax, By theo thứ tự C, D a) Chứng minh CD = AC + BD b) Tính số đo · COD c) Gọi I giao điểm OC AE, gọi K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình gì? Vì sao? d) Cho OC = 5; OD = Tính bán kính đường tròn Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn A cắt Ax, By theo thứ tự C D a) Chứng minh CD = AC + BD b) Tính số đo góc DOC c) Gọi I giao điểm OC AE; K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình gì? Vì sao? Và IK // MN d) Xác định vị trí OE để tứ giác EIOK hình vng Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) CE = CF b) AC tia phân giác c) · BAE CH = AE.BF Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax Từ M Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường C ∈ (O ) tròn ( ) Đường thẳng BC cắt tia Ax D a) Chứng minh : MA = MD CH ⊥ AB b) Kẻ , BM cắt CH I Chứng minh: I trung điểm CH Oy ⊥ OM c) Kẻ tia , tia cắt MC N Chứng minh: NB tiếp tuyến nửa (O) Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R Bài 16: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy Bài 17: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn điểm D a) AD có phải đường kính đường tròn (O) khơng ? Tại ? b) Chứng minh: c) Cho BC = AH DH BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường tròn (O) Bài 18: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường tròn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ABD b) Tứ giác BHCD hình gì? Tại sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường phân giác BI a) Chứng minh đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC AB = a b) Cho biết Chứng minh o tan 22 30' = − AI = ( ) −1 a Từ suy Bài 22: Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao Ah Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn b) Tính độ dài HE Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC a) Chứng minh AD.AB = AE.AC b) Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M;MD) (N;NE) c) Gọi P trung điểm MN; Q giao điểm DE AH Giả sử AB = 6cm; AC = 8cm Tính độ dài PQ Bài 24: Cho tam giác ABC vng A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt D theo thứ tự D E a) Tính DOE b) Chứng minh DE = BD + CE c) Chứng minh: BD.CE = R (R bán kinh đường tròn tâm O) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài 25: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đường tròn (O; r), (O; r1 ),(O; r2 ) ∆ABC , ∆ABH , ∆ACH theo thứ tự đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng: a) AB + AC – BC = 2r b) c) R + r1 + r2 = AH r = r12 + r22 Bài 26: Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lần · DOE = 60o lượt lấy điểm di động D, E cho a) Chứng minh tích BD.CE không đổi ∆BOD ≠ ∆OED b) Chứng minh Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường tròn ln tiếp xúc với DE Bài 27: Gọi O trung điểm AB Vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB chiều Vẽ góc vng zOt cho Oz cắt Ax C Ot cắt By D a) Chứng minh CO tia phân giác góc ACD b) Chứng minh CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB c) AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD Bài 28: Tính cạnh huyền tam giác vuông, biết r bán kính đường tròn nội tiếp R bán kính đường tròn bàng tiếp góc vng Bài 29: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C BE ⊥ AC CF ⊥ AB ( E ∈ AC , F ∈ AB ) tiếp điểm) Kẻ , BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) Bài 30: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC OA ⊥ BC a) Chứng minh tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 31: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC OA ⊥ BC a) Chứng minh tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 32: Từ điểm I bên (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB ICD (không qua tâm O) Gọi M N trung điểm hai dây AB CD a) Chứng minh: O, I, M, N thuộc đường tròn b) Đường tròn (OIMN) cắt (O) E F Chứng minh: IE, IF hai tiếp tuyến (O) c) EF cắt OM K cắt OI H Chứng minh: OM.OK = OH.OI = R2 Bài 33: Từ điểm I ngồi đường tròn (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB ICD (không qua O) Gọi M, N trung điểm dây cung AB, CD a) Chứng minh: OM ⊥ AB; ON ⊥ CD; OM + ON ≤ R, CD ≤ R, AB < 2R b) Chứng tỏ có đường tròn qua điểm O, I, M, N Xác định tâm K đường tròn c) Đường tròn (K) cắt (O) E F Chứng tỏ IE, IF hai tiếp tuyến (O) Suy cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến (O) AB > CD ⇔ OM < ON d) Chứng tỏ: Nói rõ vị trí tương đối cát tuyến IAB ICD lúc AB = CD Bài 34: Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp 40o điểm) Cho biết góc AMB a) Tính góc AOB b) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N Chứng minh tam giác OMN tam giác cân Bài 35: Từ điểm A ngồi đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O) Bài 36: Trên tiếp tuyến A (O; R) lấy điểm B với AB = R Từ A kẻ đường vng góc với OB H, cắt (O) C OB cắt cung nhỏ AC I a) Chứng minh: AC tiếp tuyến đường tròn (O) b) Tính theo R độ dài BH, IH AI Bài 37: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By đường thẳng vng góc với AB, M điểm cung AB không trùng với A, B Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C, D Chứng minh rằng: a) · COD = 90o b) CD = AC + BD c) Tích AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn d) Đường tròn qua C, D tiếp xúc với AB O Bài 38: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R Bài 39: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax, By phía nới nửa đường tròn AB Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho · COD = 90o ; OD kéo dài cắt CA I Chứng minh: a) OD = OI b) CD = AC + BD Bài 40: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M điểm nửa đường tròn (M khác A, B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt trung trực AB I Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C D (C nằm góc AOM) Chứng minh: a) OC, OD theo thứ tự tia phân giác góc AOM BOM b) CA, DB hai tiếp tuyến đường tròn đường kính AB c) AB AC.BD = Bài 41: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 8cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax, By Gọi C điểm tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E tiếp điểm), CE cắt By D a) Chứng minh tam giác COD tam giác vuông b) Giả sử ED = 2cm Tính độ dài đoạn CE c) Gọi I trung điểm CD, vẽ đường tròn tâm I bán kính IC Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn (I) Bài 42: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax; By phía với nửa đường tròn AB tiếp tuyến M cắt hai tiếp tuyến Ax By C D a) Chứng minh AC + BD = CD AC.BD khơng đổi b) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB AC = c) Cho R Tính MA, MB bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BMD Bài 43: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax, By E, F a) Chứng minh A, E, M, O thuộc đường tròn EO ⊥ OF b) Chứng minh c) Chứng minh EF = AE + BF AE.BF không đổi M di chuyển nửa đường tròn (O) d) Tìm vị trí M để chu vi tứ giá (hoặc diện tích) tứ giác AEFB nhỏ ∆EOF e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp f) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Vì sao? g) Kẻ MH ⊥ AB (H thuộc AB) Chứng minh EB qua trung điểm K MH h) Chứng minh ba điểm A, K, F thẳng hàng i) Cho OE = a Tính MH theo R a Bài 44: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By nằm phía với nửa đường tròn M điểm nửa đường tròn (M khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax By E N a) Chứng minh AE.BN = R b) Kẻ MH vng góc By Đường thẳng MH cắt OE K Chứng minh AK ⊥ MN c) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) để K nằm đường tròn (O) Trong trường hợp tính sinMAB ? Bài 45: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB điểm E di động nửa đường tròn (E không trùng với A B) Vẽ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AE cắt By C, tia BE cắt Ax D a) Chứng minh tích AD.BC khơng đổi b) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự M N Chứng minh ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy song song với c) Xác định vị trí điểm E nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Tính diện tích nhỏ Bài 46: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ A B kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB (Ax, By nằm nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ AB) Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D a) Chứng minh góc COD vng b) Chứng minh CD = AC + BD c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD d) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MI ⊥ AB Bài 47: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3, cắt hai tiếp tuyến Ax, By E F MH vng góc với AB cắt EB K a) Chứng minh AE + BF = EF b) Chứng minh 4ME.MF = AB c) So sánh MK KH d) Tia BM cắt Ax C, tia AM cắt By D Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy Bài 48: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường tròn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a) Khi AH = 2cm, MH = 4cm Hãy tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB b) Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) Hãy xác định vị trí M để 1 + MA MB biểu thức có giá trị nhỏ c) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) I chạy đường nào? Bài 49: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn dựng tia Ax, By vng góc với AB Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax, By C D a) Chứng minh góc COD vng b) Gọi I giao điểm AD BC, MI cắt AB H Chứng minh MH vng góc với AB I trung điểm MH c) Biết OD = d, tính MH theo d R Bài 50: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt trung trực đoạn AB I Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng (d) C D (D nằm góc BOM) a) Chứng minh: OC, OD tia phân giác góc AOM BOM b) Chứng minh: CA DB vng góc với AB c) Chứng minh: AC.BD = R d) AM cắt BD F, BM cắt AC E Chứng minh S ∆ABM = S ∆EFM e) Xác định vị trí M cho diện tích hình thang ABCD nhỏ Bài 51 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi D điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến D cắt Ax By theo thứ tự M N a) Tứ giác AMNB hình gì? Vì sao? b) Tính số đo góc MON c) Chứng minh: MN = AM + BN d) Chứng minh: AM.BN = R2 e) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB O f) AN BM cắt Q, DQ cắt AB H Chứng minh QH = QD g) Tìm vị trí D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ DQ ⊥ AB Bài 86: Cho đường tròn (O; R) tiếp tuyến xy điểm A cố định đường tròn BH ⊥ xy Từ điểm B tùy ý (O) (khác A), kẻ Đường phân giác góc AOB cắt BH C cắt xy M Chứng minh: a) BA tia phân giác OBH b) MB tiếp tuyến (O; R) c) C luôn thuộc đường tròn cố định B thay đổi Bài 87: Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (O) (M, N hai tiếp điểm) ∆AMN a) tam giác gì? Vì ? b) Đường thẳng vng góc với OM O cắt đường thẳng AN P Chứng minh: AP = PO c) Gọi H giao điểm AO MN Chứng minh OH.OA = R2 Bài 88: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường tròn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD BE tam giác MAB cắt H a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi c) Khi điểm M di động xy điểm H di động đường ? Bài 89: Cho đường tròn (O; R) điểm I (O) (I khác O) a) Hãy vẽ dây cung AB qua I nhận I làm trung điểm b) Gọi (I) đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn (O) C D, cắt đường tròn (I) E F Chứng tỏ C, D, E F cách A B c) Chứng minh: AEBF hình vng d) So sánh tích IE.IF IC.ID e) Biết OI = R/2, tính độ dài cạnh diện tích AEBF theo R ∆ACD hình vng Bài 90: Cho đường tròn (O; R) điểm I cố định với OI = R/2 AB dây cung quay quanh I a) Tìm vị trí C, D A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài nhất, ngắn b) Chứng tỏ tập hợp trung điểm M dây cung AB đường tròn, tìm tâm bán kính đường tròn c) Gọi EF vị trí giới hạn dây cung AB lúc M tiến dần đến I Chứng minh: EF ⊥ CD - - EF độ dài ngắn dây cung AB CD độ dài lớn AB Bài 91: Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 92: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy A Trên tia Oz song song với đường thẳng xy lấy điểm I Từ I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt xy E F ∆OEF a) Chứng minh: I tâm đường tròn ngoại tiếp b) Cho OI = R , tính chu vi ∆IEF Bài 93: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ∆ABC AB, AC, BC với (O) Chứng minh rằng: P∆ABC Gọi M, N, P tiếp điểm = 2( AM + BP + NC ) Bài 94: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: · CAB = 30o Trên a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) b) MC = 3R Bài 95: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Từ trung điểm I bán kính OB vẽ dây cung CD vng góc với OB a) So sánh IC ID b) Tiếp tuyến C (O) cắt đường thẳng AB M Chứng minh: ∆COM = ∆DOM - MD tiếp tuyến (O) c) Tính độ dài đoạn MC theo R M ∈ (O) Bài 96: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Lấy điểm Gọi P Q theo thứ tự hình chiếu M AB tiếp tuyến Ax (O), gọi I trung điểm PQ a) Chứng minh: A, I, M thẳng hàng Suy I thuộc đường tròn cố định tính theo R bán kính đường tròn b) Tiếp tuyến M (O) cắt tiếp tuyến Ax N Chứng minh: O, I, N thẳng hàng MA phân giác góc OMQ, NMP c) Đường trung trực đường kính AB cắt MB K Chứng minh: NK = R Xác định vị trí M để ∆AMN Bài 97: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Lấy điểm C ngồi đường tròn cho B trung điểm OC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM CN đến đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) ∆AMN a) Chứng minh: tam giác cân Tính CM AM theo R b) Chứng minh: tứ giác AMCN hình thoi Tính S AMCN theo R c) Gọi I trung điểm CM, AI cắt OM K Chứng minh: K trung điểm AI d) Tính diện tích ∆AKB theo R Bài 98: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn nhật CDEF 30o Tính diện tích hình chữ Bài 99: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dãy CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6,5cm, MA = 4cm Tính CD c) Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MC MH MK = 2R Bài 100: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Lấy điểm M (O), vẽ tiếp tuyến thứ ba M cắt Ax, By C D a) Chứng minh: CD = AC + BD b) Chứng minh (O) · COD = 90o tích AC.BD khơng thay đổi M di chuyển c) CD cắt AB E Tính ME · MAB = 60o d) Tìm vị trí M (O) để tổng AC, BD đạt giá trị nhỏ Bài 101: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB dây AC = R Vẽ đường kính CD (O) a) Tính theo R độ dài đoạn AD S∆ACD b) Gọi xy tiếp tuyến B (O) Tia AC AD cắt xy E F Gọi M trung điểm EF, đường thẳng (d) qua C song song với AM Đoạn thẳng AM cắt CD I Chứng minh (d) tiếp xúc (O) c) Chứng minh: điểm I, O, M, B thuộc đường tròn Bài 102: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB điểm C nằm đường tròn Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến C (O) D Chứng minh: a) · · COD = BOD b) DB tiếp tuyến B (O) c) AC OD = R Bài 103: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB (d) tiếp tuyến (O) A M điểm di động (d) Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C tiếp điểm khác A) Tia BC cắt (d) K kẻ CH vng góc với AB H a) Chứng minh: OM // BK b) BM cắt CH I Chứng minh: I trung điểm CH ∆AMC c) Gọi N trực tâm Chứng minh: tứ giác AOCN hình bình hành Từ suy N di động đường cố định, rõ đường cố định ? d) Cho OM = 2R Chứng minh: ∆AMC tính AM, S∆AMC theo R Bài 104: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, AC BD hai dây cung song song với a) Chứng minh: AC = BD, suy CD đường kính (O) b) Chứng tỏ ACBD hình chữ nhật c) Chứng tỏ dây cung AC = R d) Tính diện tích ACBD trường hợp ACBD hình vng ngược lại · BAC = 30o Bài 105: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) đường tròn tâm I, đường kính OA a) Chứng tỏ (O) (I) tiếp xúc ∈ (O) b) Cho C điểm (C khác A, B), AC cắt (I) K Chứng minh ∆ABC ∆AOK vuông - K trung điểm AC OK = BC/2 ∆IOK ∆OBC đồng dạng c) Gọi EF đường kính (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F đỉnh hình thang cân · BOC = 60o d) Cho BCEF Tính cạnh, diện tích ∆ABC hình thang cân Bài 106: Cho đường tròn (O; 5cm) có đường kính AB dây cung CD Kéo dài AB CD cắt M Gọi N trung điểm dây cung CD ∆MNO a) Chứng minh: tam giác vuông b) Tiếp tuyến B (O) cắt đường thẳng CD Q Chứng minh: MN.MQ = MO.MB c) Tia ON cắt (O) E Tính độ dài dây cung EC độ dài dây cung CD = 6cm Bài 107: Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = 6cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc · DOE Bài 108: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc vơi MP cắt đường thẳng (d’) N ∆NMP a) Chứng minh OM = OP cân OI ⊥ MN b) Hạ Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến (O) c) Chứng minh AM.BN = R2 d) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh họa Bài 109: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn (M khác A B) Tiếp tuyến A B (O) cắt tiếp tuyến M theo thứ tự C D a) Chứng tỏ ACDB hình thang vng b) Chứng tỏ AM // OD c) AM cắt OC E BM cắt OD F Chứng tỏ: OE.OC = OF.OD d) Biết e) Biết · MAB = 60o Tính theo R diện tích tứ giác OMDB · x = MBA = 30o Tính cos x, tan x,cot x Bài 110: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B C hai tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB AC D E Chứng minh ∆MPQ a) Chu vi khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) c) · · BOC = DOE DE < ( AB + AC ) Bài 111: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N hai tiếp điểm) OA ⊥ MN a) Chứng minh: b) Vẽ đường kính NOC Chứng minh: MC // AO c) Tính độ dài cạnh ∆AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm Bài 112: Cho đường tròn (O) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 113: Cho đường tròn (O) dây BC cố định Điểm A di động cung lớn BC Gọi M trung điểm dây AC Vẽ đường kính BD (O) a) Chứng minh: M thuộc đường tròn cố định Xác định tâm I đường tròn b) Gọi K trung điểm BC, đường tròn (I) cắt CD J Chứng minh: K, I, J thẳng hàng c) Gọi H hình chiếu M AB, chứng tỏ đường thẳng HM qua trung điểm dây CD A thay đổi d) Chứng minh: A di động H ln di động đường tròn cố định Bài 114: Cho đường tròn (O) đường kính BC điểm A nằm đường tròn (A khác B C) Qua O, kẻ tia Ox song song với AC, tia Ox cắt AB D OD ⊥ AB a) Chứng minh: từ suy D trung điểm AB b) Tiếp tuyến B (O) cắt tia Ox E Chứng minh: EA tiếp tuyến (O) c) Tia CA cắt tia BE F Chứng minh: tia CE qua trung điểm I đường cao ∆ABC AH Bài 115: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm E thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D Chứng minh rằng: a) CD = AC + BD b) Tam giác COD tam giác vuông Và AC.BD = R Bài 116: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax, By Từ điểm C (khác A, B) đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba, tiếp tuyến cắt Ax E By F a) Chứng minh AE + BF = EF b) AC cắt EO M; BC cắt OF N Chứng minh: MN // AB c) Chứng minh: OF // AC d) Chứng minh MC.OE = EM.OF Bài 117: Cho đường tròn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh: CH=DK Bài 118: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ M đường tròn khác A B) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax C, cắt By D cắt đường thẳng BA E Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh rằng: MN ⊥ AB a) b) c) · COD = 90o DM CM = DE CE d) N trung điểm MH e) Cho OD = d, OB = R Tính MH theo d R Bài 119: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm C cho OC = 2R Từ C kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) D a) Tính AC theo R b) Chứng minh CO đường trung trực AD CO // BD c) Tiếp tuyến B cắt tia CD E Chứng minh: CE = AC + BE không đổi d) Tính chu vi diện tích tam giác ACD theo R AC BE = R Bài 120: Cho đường tròn (O; R) hai điểm A, B thuộc đường tròn Tiếp tuyến A ( E ∈ OC ) B (O) cắt C Tia CO cắt (O) E F Gọi I trung điểm AB a) Cho biết ·AOB = 120o i) Tính OI theo R chứng minh I thuộc đường thẳng cố định A, B di ·AOB 120o động (O) cho ln có số đo K ∈ AC ii) Lấy (AK < AC) Vẽ đường tròn đường kính OK cắt cung AB (O) M (M khác A) Tia KM cắt BC H Chứng minh: KH tiếp tuyến (O) · KOT = 60o T ∈ AB iii) Lấy cho minh: O, T, H thẳng hàng (A, T nằm khác phía OK) Chứng b) Chứng minh: EI.FC = FI.EC Bài 121: Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy cố định (O) Từ điểm M xy kẻ hai tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) a) Xác định tâm O’ đường tròn qua M, B, O, C b) Chứng minh: (O’) qua điểm cố định H khác O c) Dây cung BC cắt OH I cắt OM K Chứng minh: OI.OH=OK.OM = Suy M thay đổi xy BC ln qua điểm cố định R2 Bài 122: Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) cắt đường tròn E, F Từ điểm A (d) ngồi đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H trung điểm EF BC cắt OA, OH I, K Chứng minh: a) điểm A, B, C, O, H thuộc đường tròn b) OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A thay đổi, đường thẳng BC qua điểm cố định d) I ln thuộc đường tròn cố định A thay đổi e) KE, KF tiếp tuyến (O; R) Bài 123: Cho đường tròn (O; R) đoạn thẳng OA = 2R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) a) Chứng minh: OA đường trung trực đoạn thẳng BC ∆ABC b) Chứng minh: ∆ABC c) Tính theo R độ dài BC diện tích d) Đoạn OA cắt (O) D Tứ giác OBDI hình gì? Vì sao? e) BO cắt AC kéo dài I Tính theo R độ dài cạnh ∆ABI f) Từ O kẻ đường vng góc với OC cắt AB K Tính khoảng cách từ K đến OA Bài 124: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Một tiếp tuyến M (O) cắt hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự C D Chứng minh: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB Bài 125: Cho đường tròn (O; R) AB Vẽ dây CD (O) vng góc với OA trung điểm M OA Gọi E trung điểm BC a) Chứng minh: O, M, C, E thuộc đường tròn b) Tính BC theo R c) Tiếp tuyến B (O) cắt OE N Chứng minh: NC tiếp tuyến (O) d) Chứng minh: NA chia MC hai phần e) Chứng minh: MA2 + MB + MC + MD = R Bài 126: Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = 6cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE ∆ABC Bài 127: Cho đường tròn (I; r) nội tiếp Gọi D, E, F hình chiếu I cạnh BC, CA, AB Cho BC = a, AC = b, AB = c Chứng mình: ∆ABC a) S = p.r (với S diện tích p nửa chu vi b) AE = p – a; BF = p – b; CD = p – c c) 1 1 = + + r h1 h2 h3 (với h1; h2 , h3 đường cao ∆ABC ) Bài 128: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax By song song với Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB C, với Ax D, với By E a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M b) Chứng minh: AD + BE khơng phụ thuộc vào vị trí Ax By c) Chứng minh: E, M, D thẳng hàng d) Chứng minh: M thuộc đường tròn cố định Ax By thay đổi Bài 129: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vng góc với AB Một góc vng POQ quay xung quanh O cắt Ax, By P, Q Gọi P’ giao điểm tia đối tia OP, By a) Tam giác OPP’ tam giác gì, sao? b) Chứng minh đường thẳng PQ luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OA) ∆OPQ c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ln ln tiếp xúc với đường thẳng cố định Bài 130: Cho đoạn thẳng AB vs O trung điểm Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Các điểm M N theo thứ tự di chuyển Ax By · MON = 90o cho Gọi I trung điểm MN Chứng minh: a) MN = AM + BN (O; b) MN tiếp tuyến AB ) c) AB tiếp tuyến (I ; IO) d) Khi M, N di chuyển Ax, By AM.BN khơng đổi Bài 131: Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB A, đường tròn (O’) tiếp xúc với AB B Hai đường tròn ln thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Hỏi tiếp điểm M hai đường tròn di động đường ? Bài 132: Cho điểm M (O; R) đường kính AB Gọi H trung điểm BM, OH cắt (O) I cắt tiếp tuyến B (O) điểm D Gọi N hình chiếu I AM Chứng minh: NI DM tiếp tuyến (O) Bài 133: Cho đường tròn ngồi (O; R) (O’; r) với R > r, AB tiếp tuyến ⊥ OA chung (A tiếp điểm (O), B tiếp điểm (O’)) Từ O’ vẽ O’C a) Chứng tỏ ABO’C hình chữ nhật b) Chứng tỏ O’C tiếp tuyến đường tròn tâm O bán kính R’ = R – r c) Suy cách dựng đường trung tuyến chung AB cho trước đường tròn (O; R) (O’; r) d) Tương tự, dựng tiếp tuyến chung đường tròn (O; R) (O’; r) e) Tính độ dài tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khoảng cách hai tâm d = OO’ theo hai bán kính Bài 134: Cho (O; R) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By nằm nửa mặt phẳng Từ E thuộc (O) Ta vẽ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By M N a) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính MN b) R2 AN NB = EQ ⊥ AB c) Kẻ (H thuộc AB) Chứng minh AN cắt EQ I Chứng minh M, I, B thẳng hàng I trung điểm EQ d) Tìm AM, AN để hình thang AMNB có chu vi 14cm, biết AB = 6cm Bài 135: Cho (O; R) (O’; r) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ( B ∈ (O); C ∈ (O ')) hai đường tròn Tiếp tuyến chung (O) (O’) cắt BC I a) Chứng tỏ góc · BAC · OIO ' góc vng b) Kẻ đường kính BD (O) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng c) Tính theo R r độ dài BC, BA, CA d) Kẻ đường kính CE (O’) Chứng minh: S ∆ABC = S ∆ADE Bài 136: Cho (O; R) (O’; R’) tiếp xúc E Gọi AB tiếp tuyến ( A ∈ (O ), B ∈ (O ')) chung ngồi hai đường tròn a) Tính diện tích tứ giác AOO’B theo R R’ b) Gọi D điểm đối xứng A qua O Chứng minh : B, E, D thẳng hàng c) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB đường tròn đường kính OO’ Bài 137: Cho (O) đường kính AB, điểm C nằm A O Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB a) Hai đường tròn (O) (O’) có vị trí tương đối với nhau? b) Kẻ dây DE đường tròn (O) vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? c) Gọi K giao điểm DB (O’) Chứng minh: ba điểm E, C, K thẳng hàng d) Chứng minh: KH tiếp tuyến (O) OA = R Bài 138: Cho (O; R) điểm A cho , kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Tứ giác ABOC hình gì? Vì b) Tính số đo góc · DOE c) Đoạn OA cắt (O) K Chứng minh: K tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn này? ∆ABC d) Tính độ dài BK theo R Bài 139: Cho (O; 3cm) điểm A cho OA = 5cm Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung ngỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, ∆ADE AC theo thứ tự D E Tính chu vi ∆ABC Bài 140: Cho vng A Vẽ đường tròn (B, BA) đường tròn (C; CA), chúng cắt điểm D (khác A) Chứng minh CD tiếp tuyến (B) ∆ABC Bài 141: Cho vuông A Vẽ đường tròn (O) (I) qua A tiếp xúc với BC điểm B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh: a) Các đường tròn (O) (I) tiếp xúc với b) AM tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (I) ∆OMI c) vng ∆OMI d) BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 142: Cho vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A; AH) Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E tiếp điểm khác H) Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC ∆ABC Bài 143: Cho vng A, có AB = a, BC = 2a Các đường tròn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D a) Chứng minh: B, C, D thẳng hàng b) Gọi E F điểm đối xứng D qua AB, AC Chứng minh: E, A, F thẳng hàng c) Tính theo a khoảng cách từ trung điểm O BC đến EF d) Tính theo a diện tích tứ giác BCEF ∆ABC Bài 144: Cho vuông A có đường cao AH Gọi I K tâm đường tròn có đường kính HB HC a) Chứng tỏ đường tròn (I) (K) tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn qua điểm A, B, C b) Đường tròn (I) cắt AB D, đường tròn (K) cắt AC E Chứng minh ADHE ∆ABC ∆AED hình chữ nhật AD.AB = AE.AC Suy đồng dạng với c) Chứng tỏ tứ giác BDEC có góc đối bù d) Cho AH = HB = Tính diện tích tứ giác BDEC cách: i) Diện tích nhiều tam giác ii) Diện tích tam giác µ = 60o B ∆ABC Bài 145: Cho vng A có BC = 2a Vẽ đường kính AB đường tròn (F) đường kính AC Hai đường tròn cắt điểm thứ hai H a) Chứng minh: B, H, C thẳng hàng b) Chứng minh: AC tiếp xúc (E) c) Tính theo a diện tích EF ⊥ AH K ∆AKF d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: A, E, H, M, F thuộc đường tròn e) Tứ giác DMCN hình gì? Vì f) Chứng minh: DM.DA = DN.DB g) Chứng minh: MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn có đường kính AC CB h) Điểm C vị trí AB MN có độ dài lớn nhất? ∆ABC Bài 146: Cho vuông A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC Kẻ dây AD vng góc với BC Gọi E giao điểm DB CA Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt BC H, cắt AB F Chứng minh: a) b) ∆EBF ∆HAF cân cân c) HA tiếp tuyến (O) ∆ABC Bài 147: Cho vng A (AB < AC) có đường cao AH Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA, đường tròn cắt AH điểm thứ hai D a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B; BA) b) Gọi I đối xứng B qua AH, đường thẳng AI cắt CD E Chứng minh: A, H, E, C thuộc đường tròn Suy AB tiếp tuyến đường tròn ∆ABC Bài 148: Cho đường cao AH Gọi E F điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng EF cắt AB I cắt AC K Chứng minh: a) A tâm đường tròn bàng tiếp b) BK CI đường cao ∆HIK ∆ABC ∆ABC Bài 149: Cho có I tâm đường tròn nội tiếp O tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi D F tiếp điểm (I) (O) BC Chứng minh BD = CF ∆ABC Bài 150: Cho có góc nhọn Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB F, cắt AC E BE cắt CF H ∆ABC a) Trong điểm H gọi ? b) Gọi K điểm đối xứng H qua I M điểm đối xứng H qua BC Chứng minh điểm A, B, K, M, C thuộc đường tròn Xác định râm bán kinh đường tròn c) Gọi O’ trung điểm AH Chứng minh O’OIM hình thang cân ∆ABC ∆AOG ∆AHG G trọng tâm So sánh diện tích ∆ABC Bài 151: Cho có M trung điểm AC µA = 90o (AB < AC) nội tiếp (O; R), có đường cao AH Gọi a) Chứng minh: A, M, O, H thuộc đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh: (O) (I) tiếp xúc c) Đường tròn (I) cắt AB N Chứng minh: I, M, N thẳng hàng ∆ABC Bài 152: Cho cân A, có O trung điểm BC BC = 2a Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC H K Qua D cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB AC M N a) Chứng minh: A, H, O, K thuộc đường tròn b) Chứng minh: · · MON = ABC c) Tính tích BM.CN theo a d) Định vị trí MN cho BM + CN đạt giá trị nhỏ ∆ABC Bài 153: Cho cân A, đường cao AD BE cắt H Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH Chứng minh: a) Điểm E nằm đường tròn (O) b) DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 154: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn · MAB = 60o cho Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B, BM) b) Chứng minh MN = AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng