Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC QUY TẮC Chúng ta biết cách nhân đơn thức với đơn thức, ví dụ: − 3x3 y − 5xy3 = 15x4 y ( )( ) Ta tiếp tục với phép nhân đơn thức sau: 2x với đa thức 4x − , NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC Vậy, phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2 minh họa bởi: A(B1 + B2) = A.B1 + A.B2 Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức v ới hạng tử đa thức cộng tích với Mở rộng: A(B1 + B2 + … + Bn) = A.B1 + A.B2 + … + A.Bn (B1 + B2 + … + Bn)A = B1.A + B2.A + … + Bn.A NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC QUY TẮC Ta bắt đầu với phép nhân 2x + y với đa thức 2x – y, sau: Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 minh họa bởi: (A1 + A2)(B1 + B2) = A1.(B1 + B2) + A2.(B1 + B2) = A1.B1 + A1.B2 + A2.B1 + A2.B2 Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng t c đa thức với hạng tử đa thức tích với (tại thơng thường cần thực phép rút gọn) NHÂN HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP Để minh họa quy tắc “Nhân hai đa thức biến xếp”, bắt đầu với phép nhân đa thức P = x – 3x + với Q = 2x + Vậy ta được: P.Q = (x2 – 3x + 2)(2x + 3) = 2x3 – 3x2 – 5x + Muốn nhân hai đa thức biến xếp, ta trình bày sau: Đa thức viết đa thức Page of 15 Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số Kết phép nhân số hạng đa thức thứ hai với đa thức thứ viết riêng dòng Các đơn thức đồng dạng xếp vào cột Cộng theo cột Chúng ta bắt đầu với yêu cầu thực phép tính: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ PHÂN TÍCH THÀNH TÍCH ĐA THỨC Như hai lần thực phép tính có dạng: (A – B)(A + B) kết thu A – B2, từ nảy sinh câu hỏi: “Tại khơng ghi nhận đẳng thức (A – B)(A + B) = A – B2 để việc tính tốn đơn giản hơn?” Cụ thể, ta có ngay: (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – (2x2 – x)(2x2 + x) = (2x2)2 – x2 = 4x4 – x2 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bình phương tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Bình phương hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Lập phương hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Việc biến đổi: 2x − 16x = 2x.x − 8.2x = 2x ( x − 8) x − y = ( x − y )( x + y ) (1) xy + 2x + 3y + = x ( y + 2) + 3( y + ) = ( y + )( x + 3) (2) (3) gọi phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) phép biến đổi đa thức cho trước thành tích đ ơn thức đa thức A = A1 A A n Kí hiệu: (4) Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung – Minh họa (1) Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức – Minh họa (2) Page of 15 Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử - Minh họa (3) Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử thích hợp Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp MỞ ĐẦU Trước tiên cần biết: ≠ “Với hai đa thức A B 0, ta nói A chia hết cho B tìm đa thức C cho A = B.C” Trong đó, A gọi đa thức bị chia, B gọi đa th ức chia Q gọi đa thức thương, kí hiệu: A Q= Q = A:B B Ở đây, sử dụng kết bi ết ch ương trình l ớp là: x m : x n = x m −n , ∀x ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC Dễ thấy kết mở rộng tự nhiên cho đa thức A sau: A m : A n = A m−n , ∀A ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC Ta bắt đầu với phép chia đơn thức 15x 3y2 cho đơn thức 3xy2 sau: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia h ết cho B) ta thực sau: Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B Chia lũy thừa A cho lũy thừa biến B Nhân kết tìm với CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC Ta bắt đầu với phép tính chia đa thức 3x + 15x2y – 9xy3 cho đơn thức 3x, sau: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp h ạng t c Page of 15 Tóm Tắt Lý Thuyết Đại Số A chia hết cho B) ta chia hạng tử A cho B r ồi c ộng k ết với PHÉP CHIA HẾT Để minh họa quy tắc “Chia hai đa thức biến xếp”, sử dụng mẫu: Bắt đầu với phép chia đa thức P = 3x – 5x – cho đa thức Q = 3x + 1, ta thực theo thứ tự bước 1, 2, 3, 4, 5, sau: PHÉP CHIA HẾT Nhận thấy, số dư cuối 0, phép chia h ết ta được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x – Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A B đa thức biến xếp) ta thực sau: Bước 1: Đặt phép chia Bước 2: Chia hạng tử bậc cao đa thức bị chia cho h ạng t bậc cao đa thức chia, giả sử nhận thương C1 Bước 3: Lấy C1 nhân với đa thức chia, kết nhận viết đa thức bị chia Thực phép trừ hai đa thức để nhận số dư Bước 4: Đặt vai trò số dư số bị chia, ta quay trở l ại bước cho t ới nhận số dư có bậc nhỏ số chia PHÉP CHIA CÓ DƯ Trong trường hợp số dư nhận đa thức khác có bậc nhỏ đa thức chia, ta khẳng định phép chia phép chia có dư Chú ý: Người ta chứng minh rằng, hai đa thức c ≠ biến tùy ý A B, B 0, tồn hai đa thức Q R cho: A = B.Q + R, với R = bậc R nhỏ bậc B Với R = 0, ta nói A chia hết cho B ≠ Với R 0, ta nói A khơng chia hết cho B (phép chia có dư) https : //giaidethi24h.net Page of 15 ... phương tổng: (A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Lập phương hiệu: (A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2... + AB + B2) Việc biến đổi: 2x − 16 x = 2x.x − 8. 2x = 2x ( x − 8) x − y = ( x − y )( x + y ) (1) xy + 2x + 3y + = x ( y + 2) + 3( y + ) = ( y + )( x + 3) (2) (3) gọi phân tích đa thức thành nhân... đa thức P = 3x – 5x – cho đa thức Q = 3x + 1, ta thực theo thứ tự bước 1, 2, 3, 4, 5, sau: PHÉP CHIA HẾT Nhận thấy, số dư cuối 0, phép chia h ết ta được: (3x2 – 5x – 2) : (3x + 1) = x – Muốn