Đề thi HSG toán 10 năm 2018 – 2019 cụm THPT hà đông hoài đức có lời giải

CỤM TRƯỜNG HÀ ĐƠNG _ HỒI ĐỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ NỘI LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu ( 5,0 điểm) a) Tìm m để phương trình mx   m   x  2m   ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  b) Tìm tất giá trị tham số m để x2  x   với giá trị x  x  2(m  1) x  16 Câu ( 5,0 điểm) a) Cho phương trình x   m   x  2m   ( m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14  x2  x34  x4  52 b) Giải phương trình 4x  12x x   27  x  1 Câu ( 5,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c , độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C , hb , hc Biết a sinA  b sinB  c sinC   hb  hc , chứng minh tam giác ABC y b) Cho hai tia Ax , By với AB  100  cm  , xAB  450 x By  AB Chất điểm X chuyển động tia Ax A với N vận tốc  cm / s  , lúc chất điểm Y chuyển động tia By B với vận tốc  cm / s  Sau t (giây) chất điểm X di chuyển đoạn đường AM , chất điểm Y di chuyển đoạn đường BN Tìm giá trị nhỏ MN Câu ( 5,0 điểm) M 450 A B mx  y  m  a) Cho hệ phương trình  Khi hệ có nghiệm  xo ; yo  , tìm giá trị  x  my  nhỏ biểu thức A  xo  yo  b) Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C ma , mb , mc Chứng minh rằng: a b c   2 ma mb mc - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang (http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Q thầy liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1a Tìm m để phương trình mx   m   x  2m   ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  Lời giải Ta có x1  x2    x1  x2 Do đó, phương trình mx   m   x  2m   có hai nghiệm x1 , x2  m  m  m     1  m   m  3m    m    m  2m     m  2  S  x1  x2    m Theo định lí Vi-ét, ta có:  m   P  x x   m  Khi đó:   m  2  16 16  2m   16 x1  x2   x12  x1 x2  x22   S  4P      4  9 m  m    m  m  4m  m  13     m  3m      m  12 m2 m 9 13  m  Kết hợp điều kiện suy   m  12 13  Lưu ý: Có thể sử dụng công thức x1  x2  Câu 1b Tìm tất giá trị tham số m để  a x2  x   với giá trị x  x  2(m  1) x  16 Lời giải Trang Để x2  4x   với giá trị x  x  2(m  1) x  16 trước hết cần điều kiện: x2  2(m  1) x  16  0, x    '   (m  1)2  16   3  m  (1) Khi x2  2(m  1) x  16  0, x  nên yêu cầu toán  x2  x   x2  4(m  1) x  32 với giá trị x   x2  4(m  2) x  36  với giá trị x    '   4(m  2)2  36   1  m  (2) Từ (1) (2) suy 1  m  tất giá trị cần tìm Câu 2a Cho phương trình x   m   x  2m   ( m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14 +x2  x34  x4  52 Lời giải Cách 1: x   m   x  2m    1 Đặt t  x , t  Phương trình trở thành t   m  t  2m   2 Phương trình 1 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4  Phương trình   có nghiệm dương phân biệt t , t  '(2)  m  2m   m  1     S   m      P  2 m   m     t  t   m   Áp dụng định lý Vi-et, ta có  t t  m   12 Đến đây, x 14  x  x 34  x 4  52 nên m  2t 12  2t 2  52  t 12  t 2  26  t  t   2t 1t  26   4m2  12m  16     m  4 Đối chiếu điều kiện  *  ta m  Cách 2: x   m   x  2m     x  1 x  2m  3   x  1 x     x  m    x  m     Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x , x , x , x phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác nghiệm x  1; x  1 Trang 3  2 m   m       1  2m   m  1 Ta có : x 14  x  x 34  x 4  52  (1)4  (1)4   2m     2m    52 m    2m  3  25    m  4 Đối chiếu điều kiện   ta m  Câu 2b Giải phương trình 4x  12x x   27  x  1 Lời giải Điều kiện: x    x  1 4x  12x x   27  x  1  4x  2.2x x    x  1  36  x  1   2x  x    2x  x   x   2x  x    36  x  1   2x  x   6 x  2x  9 x    x   x  1 x 3   x 0    (thỏa mãn điều kiện)   x  81  97  x  81 x        1  x  81  97 Câu 3a Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c , độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Vậy phương trình có nghiệm x  x  , hb , hc Biết a sinA  b sinB  c sinC   hb  hc , chứng minh tam giác ABC Lời giải A b c B Trong tam giác ABC ta có sinA   a C 2S 2S 2S , sinB  , sinC  bc ac ab 2S 2S 2S , hb  , hc  , với S diện tích tam giác ABC a b c Ta có a sinA  b sinB  c sin C   hb  hc a 2S 2S 2S 2S 2S 2S b c    bc ac ab a b c Trang  a  b2  c ab  ac  bc  abc abc   a  b   a  c   b  c   2 a bc Vậy tam giác ABC Câu 3b Cho hai tia Ax , By với AB  100  cm  , xAB  450 By  AB Chất điểm X chuyển động tia Ax A với vận tốc  cm / s  , lúc chất điểm Y chuyển động tia By B với vận tốc  cm / s  Sau t (giây) chất điểm X di chuyển đoạn đường AM , chất điểm Y di chuyển đoạn đường BN Tìm giá trị nhỏ MN y x N M 450 A B Lời giải Sau t (giây) ta có AM  2t (cm) , BN  4t (cm) y' N M K A H x' B Dựng hệ trục Descartes vng góc Axy, A  O(0;0) hình vẽ Gọi H , K hình chiếu M lên trục Ax Ay Với t  ( tức M  A ) ta có AHMK hình vng Suy AH  AK  3t (cm)  M   3t;3t  , N  100;4t  (Nói thêm trường hợp M  A tọa độ M đúng) Khi MN  100  3t   t  10t  600t  10000  10  t  30   1000  1000, t  2  MN  10 10, t  Dấu "  " xảy t  30 Vậy MN  10 10 cm t  30 giây mx  y  m  Câu 4a Cho hệ phương trình  Khi hệ có nghiệm  xo ; yo  , tìm giá trị nhỏ  x  my  biểu thức A  xo  yo  Lời giải Ta có: D  m 1 m  m2  , Dx  m 1 m  m2  m  Dy  m m 1  m 1 Trang Hệ phương trình có nghiệm  D   m  1 (*) Khi nghiệm hệ là: xo  D Dx m2  m  m  m 1 yo  y     D D m 1 m 1 m 1 m 1   m2  Ta có: A  xo  yo      1  6      m 1  m 1  m 1  m 1 2 2     6     2, m  1  m 1   m  1 m  1 Dấu "  " xảy    m   ( thỏa mãn điều kiện (*)) m 1 Vậy A  m   Câu 4b Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C ma , mb , mc Chứng minh rằng: a b c   2 ma mb mc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức: xy  Ta có: ama     Tương tự: bmb  x2  y , x, y  Dấu “=” xảy x  y 2(b  c )  a 2 a  a  ma a  b2  c 3a  4   ma   2 3  a  b2  c a  b2  c ; cmc  3 Vì vậy: 3a 2 3b2 3b2 a b c a2 b2 c2         ma mb mc ama bmb cmc a  b2  c a  b2  c a  b2  c 2 3(a  b2  c ) a b c  2    a  b2  c ma mb mc Dấu “=” xảy a  b  c hay tam giác ABC Trang ...(http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Q thầy liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1a Tìm m để phương trình... ta có AHMK hình vng Suy AH  AK  3t (cm)  M   3t;3t  , N  100 ;4t  (Nói thêm trường hợp M  A tọa độ M đúng) Khi MN  100  3t   t  10t  600t  100 00  10  t  30   100 0  100 0,...   m   x  2m   ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  Lời giải Ta có x1  x2    x1  x2 Do đó, phương trình mx   m   x  2m   có hai nghiệm x1 , x2  m  m 