CỤM TRƯỜNG THANH XUÂN – CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN – HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu Cho hàm số y x x 1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số 1 b) Tìm m để phương trình x2 x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 Câu Câu a) Giải bất phương trình sau: x x x x b) 2 2 x xy y x y Giải hệ phương trình sau : x y x y c) Tìm m để bất phương trình ? Cho tam giác ABC Đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB2 MC theo a , b , c b) Câu x2 x m nghiệm x x2 x Giả sử a cm , b 2cm , c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD Câu 42 41 là: x y 19 , điểm I ; 13 13 a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a b2 c2 Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Trang (http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y x x a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số b) Tìm m để phương trình x2 x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 Lời giải a) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh I 1;1 Hệ số a nên hàm số nghịch biến khoảng ;1 đồng biến khoảng 1; Bảng biến thiên: Đồ thị: P có tọa độ đỉnh I 1;1 ; trục đối xứng đường thẳng x P qua điểm A 0; ; B 2; Trang b) Tìm m để phương trình x2 x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 Lời giải Cách 1: Để phương trình x2 x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 m ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) ( x 3)( x 3) x x 3( x x ) 2 1 m m 1 2 m m 5 m 2 m Vậy m 5 Cách 2: Ta có x2 x m x x m * Số nghiệm phương trình * số giao điểm hai đồ thị hàm số: y x x P với đường thẳng y m Để phương trình * có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 , từ đồ thị phần a) ta có m m 5 Câu a) Giải bất phương trình sau: x x x 5x Lời giải x x x2 5x * Trang x 3 ĐKXĐ: x x x x 4 x x2 x x 3 * x x x So sánh điều kiện, suy tập nghiệm bất phương trình 1 S ; 4 ; 3 2 2 x xy y x y 0(1) b) Giải hệ phương trình sau : x y x y 0(2) Lời giải Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang Từ phương trình : x2 xy y 5x y x2 xy xy y x x y y (2 x2 xy x) (2 xy y2 y) (2 y x 2) x(2 x y 1) y(2 x y 1) 2(2 x y 1) (2 x y 1)( x y 2) x y (3) x y (4) Kết hợp (2) (3) (2) (4) ta có hệ : x2 y x y x (2 x 1) x (2 x 1) x2 y x y 2 x y y x y x x (2 x) x (2 x) x y2 x y x y2 x y x y y x y x x 2 5 x x 5 x x 13 y x y x y 2 2 x x ( x 1) x y x y x y 13 Vậy nghiệm hệ S x ; y 1;1 , ; 5 c) Tìm m để bất phương trình x2 x m nghiệm x x2 x ? Lời giải +/ Ta có x x x 1 x 2 nên : Trang 2 x x x x m 3x x m x2 4x m 2 x2 2x x x m 3x x 2x 2x m (1) ( 2) +/ u cầu tốn trở thành tìm m để bất phương trình 1 nghiệm với x thuộc 1 42 m m 17 2 12 m m Ta thấy : 1 nghiệm với x thuộc nghiệm với x thuộc 17 Vậy m ; 2 Câu a) Cho tam giác ABC Đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB2 MC theo a , b , c Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA GB GC 2 Ta có P MA2 MB2 MC MA MB MC MA2 MG GA MG 2.MG.GA GA 2 Với MB MG GB MG 2.MG.GB GB 2 MC MG GC MG 2.MG.GC GC MA MB MC 3MG GA2 GB GC 2 Khi P 3MG GA2 GB GC Pmin MG 2min MGmin M G 4 b2 c2 a 2b 2c a GA ma 9 4 a c2 b2 2a 2c b Mặt khác GB mb 9 4 2 GC mc a b c 2a 2b c 9 4 Từ trên, ta được: Pmin GA2 GB GC M G a b2 c Dấu diễn b) Giả sử a cm , b 2cm , c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải Do a cm, b 2cm, c cm nên b cạnh nhỏ ba cạnh tam giác Từ góc B góc có số đo nhỏ tam giác Áp dụng hệ định lý Cosin tam giác ABC ta có: Trang a c b2 Vậy góc B có số đo 45 cos B 2ac 2 3 sin 45 Diện tích tam giác ABC là: S ac.sin B cm2 2 Hoặc: Gọi p nửa chu vi tam giác ABC Ta có: p a b c 3 2 pa 3 p b 1 pc 1 3 cm2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên Diện tích tam giác ABC là: S Câu p p a p b p c BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD 42 41 là: x y 19 , điểm I ; 13 13 a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? Lời giải BD : x y 19 có véc tơ pháp tuyến n BD 1;5 AH BD nên AH nhận n BD 1;5 làm véc tơ phương u AH n BD 1;5 + Đường thẳng AH qua A 2;1 có véc tơ phương u AH 1;5 nên có phương x t trình tham số là: t y 5t + H giao điểm AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: Trang x t x t 32 43 y 5t H ; y 5t 13 13 x y 19 t 13 b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Lời giải A B I H C D 32 43 Theo câu a) ta có H ; mà I trung điểm BH nên suy B 4;3 nên tọa độ 13 13 véctơ AB 2; 1;1 Đường thẳng AD qua điểm A 2;1 , nhận n 1;1 làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát là: x y 1 x y Câu Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a b2 c2 Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b Lời giải Do a , b , c dương a b2 c2 nên a , b , c a ,1 b2 ,1 c2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2a ,1 a ,1 a , ta được: 2a 1 a 1 a 3 2a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 23 27 * , dấu " " xảy 3a a Ta có: a a a2 b2 c a a 1 a a2 2a 1 a 1 a * a2 23 27 3a 2 1 Chứng minh tương tự, ta được: Trang b b b2 c a b b 1 b2 c c c2 a b c c 1 c b2 2b 1 b 1 b c2 2c 1 c 1 c b2 3b 23 27 2 c2 3 3c 23 27 Cộng 1 , , 3 vế theo vế ta được: a b c 3 a b2 c 2 b c c a a b 2 a b c 3 (đpcm) Dấu " " xảy a b c 2 b c c a a b Trang ...(http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Q thầy liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y x x a) Lập bảng biến thi n vẽ đồ... Lời giải Do a cm, b 2cm, c cm nên b cạnh nhỏ ba cạnh tam giác Từ góc B góc có số đo nhỏ tam giác Áp dụng hệ định lý Cosin tam giác ABC ta có: Trang a c b2 Vậy góc B có. .. có tọa độ đỉnh I 1;1 ; trục đối xứng đường thẳng x P qua điểm A 0; ; B 2; Trang b) Tìm m để phương trình x2 x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 1 x2 Lời giải