Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (chun đề gồm 106 trang) ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm cực trị hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm GTLN, GTNN hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm tiệm cận hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán tiếp tuyến đồ thị hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán xét tương giao đồ thị hai hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: Biết đặc điểm hàm số y = f ( x ) Dạng tốn Các tốn tính đơn điệu hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Câu 1: Cho parabol ( P ) : y = f ( x ) = ax + bx + c , a ≠ biết: ( P ) qua M (4;3) , ( P ) cắt Ox N (3;0) Q cho ∆INQ có diện tích đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ Khi hàm số f ( x − 1) đồng biến khoảng sau 1  A  ; +∞  2  C ( 5;7 ) B ( 0; ) D ( −∞; ) Lời giải Chọn C Vì ( P ) qua M (4;3) nên = 16a + 4b + c (1) Mặt khác ( P ) cắt Ox N (3;0) suy = 9a + 3b + c (2), ( P ) cắt Ox Q nên Q ( t ;0 ) , t < b  t + =− a Theo định lý Viét ta có   3t = c  a Ta có S ∆INQ = Do IH = − IH NQ với H hình chiếu ∆   b I  − ; −  lên trục hoành  2a 4a  ∆ ∆ , NQ= − t nên S ∆INQ =1 ⇔ − ( − t ) =1 4a 4a ( t + 3) − 3t = ⇔ − t = (3)  b  c ⇔ (3 − t )   − = ⇔ (3 − t ) ( ) a a a  2a  a 2 Từ (1) (2) ta có a + b = ⇔ b = − a suy t + =− Thay vào (3) ta có ( − t ) = 3 − 7a 4−t ⇔ = a a 8(4 − t ) ⇔ 3t − 27t + 73t − 49 = ⇔ t = Suy a =1 ⇒ b =−4 ⇒ c =3 Vậy ( P ) cần tìm y = f ( x ) = x − x + Khi f ( x − 1)= ( x − 1) − ( x − 1) + 3= x − 12 x + 3  Hàm số đồng biến khoảng  ; +∞  2  Câu 2: Cho hai hàm số bậc = hai y f= ( x), y g ( x) thỏa mãn f ( x) + f (2 − x) = x − 10 x + 10 ; số y f= g (0) = 9; g (1) = 10; g (−1) = Biết hai đồ thi hàm= ( x), y g ( x) cắt hai điểm phân biệt A, B Đường thẳng d vng góc với AB tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 36 Hỏi điểm thuộc đường thẳng d ? A M ( −2;1) B N ( −1;9 ) C P (1; ) Lời giải D Q ( 3;5 ) Chọn B Gọi hàm số f ( x) = ax + bx + c ta có f ( x) + f (2 − x) = x − 10 x + 10 ⇔ ax + bx + c +  a (2 − x) + b(2 − x) + c = x − 10 x + 10 = a 1= a   ⇔ −2b − 12a =−10 ⇔ b =−1 ⇒ f ( x) =x − x + 12a + 6b = c + 4c 10 =   Gọi hàm số g ( x) = mx + nx + p ta có g (0) = 9; g (1) = 10; g (−1) = hệ giải m= −2; n = 3; p =⇒ g ( x) = −2 x + x + Khi tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình 2  y = x − x + 2 y = x − x + ⇔ ⇒ y =x + 11   −2 x + x + −2 x + x +  y =  y = 11 Do đường thẳng AB: y = x + ⇒ d : y = −3 x + k Đường thẳng d cắt hai trục tọa 3 k k  độ E ( 0; k ) ; F  ;0  Diện tích tam giác OEF k 6⇔k = = ±6 3  Vậy phương trình đường thẳng d là: d : y = −3 x + 6, y = -3 x - Chọn đáp án B Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ≠ 0) có điểm chung với y = −2,5 cắt đường thẳng y = hai điểm có hồnh độ −1 Tính P = a + b + c B A C −1 Lời giải D −2 Chọn D Gọi (P): y = ax + bx + c, ( a ≠ ) Ta có: a − b + c =2 b =−4a +) ( P ) qua hai điểm ( −1; ) ; ( 5; ) nên ta có  ⇔ 25a + 5b + c =  c = − 5a +) ( P ) có điểm chung với đường thẳng y = −2,5 nên −∆ b − 4ac = −2,5 ⇔ = 2,5 ⇔ 16a − 4a ( − 5a ) = 10a ⇔ 36a − 18a = 0⇔ a = 4a 4a Do đó: b = −2; c = − Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục  thỏa mãn f (1) <  f ( x ) − x  f ( x )= x + x + x , ∀x ∈  Hàm số g= ( x ) f ( x ) + x đồng biến khoảng  1 B  0;   3 A (1;3) 1  C  ;1 3  Lời giải D (1; +∞ ) Chọn C Ta có  f ( x ) − x  f ( x ) = x + x + x ⇔ ( f ( x ) ) − x f ( x ) − x − x − x = Đặt t = f ( x ) ta phương trình t − x.t − x − x − x = Ta có ∆= x − ( − x − x − x )= x + 12 x + x 2= ( 2x + 3x )  x + x3 + 3x t = x3 + x =  f ( x= ) x3 + x Vậy  Suy  − x3 − x  x − x3 − 3x  f ( x ) = t x x = = − −  − x3 − x Do f (1) < nên f ( x ) = Ta có g ( x ) =− x3 + x − x ⇒ g ' ( x ) =−3 x + x − > ⇔ Câu 5: < x < Cho đa thức f ( x ) hệ số thực thỏa điều kiện f ( x ) + f (1 − x = ) x , ∀x ∈ R Hàm số = y x f ( x ) + x + x + đồng biến A R \ {−1} B (0; +∞) C R D (−∞;0) Lời giải Chọn C Từ giả thiết, thay x x − ta f (1 − x ) + f ( x ) = ( x − 1) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x2 Khi ta có   →3 f = ( x ) x + x − 2 f (1 − x ) + f ( x ) = x − x + Suy y = x3 + x + x + ⇒ y′ = x + x + ≥ 0, ∀x ∈ R Nên hàm số đồng biến R Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ −1;1] thỏa f (1) = , + f ( x ) = x + 16 x − Hàm số g ( x = ) f ( x ) − x3 − x + đồng biến khoảng nào? ( f ′ ( x )) A ( − 1; ) B ( 0;3 ) C ( 0; ) D ( − 2; ) Lời giải Chọn C Chọn f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai) ⇒ f ′( x) = 2ax + b Ta có: ( f ′ ( x )) + f ( x ) = x + 16 x − ⇔ ( 2ax + b ) + ( ax + bx + c ) = x + 16 x − ⇔ ( 4a + 4a ) x + ( 4ab + 4b ) x + b + 4c = x + 16 x − Đồng vế ta được:  4a + 4a = a =   16 ⇔ b = 4ab + 4b = c = −3 b + 4c = −8   a = −2  b = −4 c = −6  , b = c = −3 Do f (1) = ⇒ a + b + c = ⇒ a = x = Vậy f ( x ) = x + x − ⇒ g ( x ) = 0⇔ − x3 + x ⇒ g ' ( x ) = − x2 + 2x ⇒ g ' ( x ) = x = Ta có bảng biến thiên x −∞ g '( x) − 0 +∞ + − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) Câu 7: Cho hàm g= ( x) f ( số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Đặt ) x + x + Chọn khẳng định khẳng định sau y O A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) x B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 )  −1  C g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0  D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1)   Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c , có đồ thị hình vẽ Do x = ⇒ d = ; x = ⇒ 8a + 4b + 2c + d = ; f ′ ( ) = ⇒ 12a + 4b + c = ; f ′ ( ) = ⇒ c = Tìm a = 1; b = −3; c = 0; d = hàm số y =x − x + Ta có g= ( x) f ⇒ g ′ ( x= ) ( ) ( x2 + x + x + x + 2= ) − 3( x + x + 2) + 3 ( x + 1) x + x + − ( x + 1=) ( x + 1)  x + x + − 1 ; 2   x = −   g ′ ( x ) =0 ⇔  x =1  x = −2   Bảng xét dấu hàm y = g ( x ) : x −∞ y′ y − −2 −1/ + +∞ − 7 − 10 +∞ + +∞ 4  −1  Vậy y = g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0    Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có f ( −2 ) < Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Hàm số= y f (1 − x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) B Hàm số= y f (1 − x ) đồng biến ( −∞; −2 ) C Hàm số= y f (1 − x ) nghịch biến ( −1;0 ) D Giá trị nhỏ hàm số f ( −2 ) Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Ta có f ( −2 ) < 0;1 − x ≤ ⇒ f (1 − x ) < 0.∀x ∈  ( 3) ∪( t = − x ⇒ f ' ( t ) < ⇒ t ∈ ( −2;1) ⇔ x ∈ − 3; ( < f ' ( t ) ⇒ t ∈ ( −∞; −2 ) ⇔ x ∈ −∞; − g ( x ) = f (1 − x ) ⇒ g ' ( x ) = f (1 − x ) = ) 3; +∞ ) −4 xf ( t ) f ' ( t ) f (t ) Dạng toán Dạng toán tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) toán chứa tham số Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) qua gốc tọa độ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ y −1 O x Tính giá trị= H f ( 4) − f ( 2) A H = 58 B H = 51 C H = 45 Lời giải D H = 64 Chọn A Do f ( x ) hàm số bậc ba nên f ′ ( x ) hàm số bậc hai Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) f ′ ( x ) có dạng f ′ (= x ) ax + với a > Đồ thị qua điểm A (1; ) nên a = f ′ (= x ) 3x + Vậy H = f ( ) − f ( ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x 2 + 1) dx = 58 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới: Tập nghiệm phương trình f = ( x ) 48ax + m có số phần tử là: A B C Lời giải D Chọn B Ta có f ′ ( x ) = 4ax3 + 3bx + 2cx + d (1) Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) =a ( x − 1)( x + )( x + 3) = 4ax3 + 13ax − 2ax − 15a ( ) a ≠ Từ (1) ( ) suy b = 13 a , c = −a d = −15a Khi đó: f= 48ax ( x ) 48ax + m ⇔ ax + bx3 + cx + dx = 13   ⇔ a  x + x3 − x − 63 x  =   x = ⇔ x + 13 x − x − 189 x = 0⇔ x = Vậy tập nghiệm phương trình f = ( x ) 48ax + m S = {0;3} Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x + bx3 + cx + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới: Biết phương trình f ( x= ) nx + m có nghiệm phân biệt Tìm số giá trị nguyên n A 15 B 14 C Lời giải D Chọn B Ta có f ′ ( x ) = x3 + 3bx + 2cx + d (1) Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) = ( x − 1)( x + 5)( x + 3) = x3 + 13x − x − 15 Từ (1) ( ) suy b = 13 , c = −1 d = −15 Khi đó: f ( x= nx ) nx + m ⇔ x + bx3 + cx + dx = x = 13 ⇔ x + x − x − 15 x = nx ⇔  13  x + x − x − 15 = n  (*) Phương trình f ( x= ) nx + m có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Xét hàm số g ( x) = x + 13 x − x − 15  x = −3 26 g ( x) = 3x + x −1 = ⇔  x =  ' Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác biệt n ∈ {−1; −2; ; −14} Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) = x3 + ax + bx + c ( a, b, c ∈  ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến khoảng đây? A (1; +∞ ) B ( −∞; −2 )  3 D  − ;   3  C ( −1;0 ) Lời giải Chọn B Vì điểm ( −1;0 ) , ( 0;0 ) , (1;0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nên ta có hệ: b+c = −1 + a −= a   ⇔ b =−1 ⇒ f ′ ( x ) =x − x ⇒ f '' ( x ) =3 x − c =0 1 + a += c b+c =   x ) f ( f ′ ( x )) ⇒ g′ ( = x ) f ′ ( f ′ ( x ) ) f '' ( x ) Ta có: g ( =  x3 − x =  x −x= Xét g ′ ( x ) = ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( f ' ( x ) ) f ′′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x3 − x )( x − 1) = ⇔  x − x =−1  3 x − =0   x = ±1  x = 1,325 ⇔  x =  x = −1,325  x = ±  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , xét ( ) biến thiên hàm y f= = f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán (ϕ ( x ) ) ; y f (= không chứa tham số ... biến thiên : Dạng tốn 10 Biết biểu thức hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu hàm số = y g= ( x ) f ( x ) + h ( x ) toán chứa tham số Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đạo hàm f ′ (... Vậy hàm số = y g= ( x ) e f ( x )− m +2 nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ∪ ( 0; ) Dạng toán Các dạng khác với dạng đưa ra… PHẦN 2: Biết biểu thức hàm số y = f ' ( x ) Dạng toán Biết biểu thức hàm số. .. ) Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , xét ( ) biến thiên hàm y f= = f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán (ϕ ( x ) ) ; y f (= không chứa tham số Câu 13: Cho hàm số